Bài tiểu luận PT hàm. Lê Diễm Hương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC BÀI TIỂU LUẬN ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HỌC VIÊN: LÊ DIỄM HƯƠNG LỚP: CAO HỌC TOÁN GIẢI TÍCH K13 GVHD: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thanh hóa, tháng 08 năm 2021 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Phương trình hàm lĩnh vực sâu sắc tốn sơ cấp, sử dụng nhiều việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh khối trung học chun tốn nói chung đối tượng học sinh khiếu nói riêng Các dạng tốn phương trình hàm phong phú thường xuất kỳ thi chọn học sinh giỏi nước kỳ thi quốc tế Nhiều tài liệu đề tài phương trình hàm biên soạn thực Tuy nhiên với thời gian có hạn mà q trình học tập nghiên cứu qua giảng thân nhận thấy phương trình hàm Cauchy có vai trị quan trọng mảng tốn phương trình hàm Rất nhiều phương trình hàm giải cách gọn gàng nhờ phép biến đổi đưa phương trình hàm Cauchy Từ tơi lựa chọn đề tài: “Phương trình hàm Cauchy ứng dụng giải toán” 1.2 Đối tượng nghiên cứu đề tài: Đối tượng nghiên cứu đề tài nội dung Phương trình hàm Cauchy ứng dụng giải số toán cụ thể 1.3 Phạm vi nghiên cứu đề tài: + Phương trình hàm Cauchy cách giải + Sử dụng Phương trình Cauchy giải số toán cụ thể 1.4 Phương pháp nghiên cứu đề tài: + Phương pháp nghiên cứu tài liệu + Phương pháp tổng hợp, thống kê NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 2.1.Các kiến thức chuẩn bị hàm số biến số 2.1.1 Hàm số chẵn – Hàm số lẻ Xét hàm số f(x) với tập xác định D  f  �R tập giá trị R  f  �� f x M , M �D  f  x �M �  x �M : f   x   f  x  + Hàm số   gọi chẵn + Hàm số f  x gọi lẻ Nhận xét: Khi f  x M , M �D  f  x �M �  x �M : f   x    f  x  f x hàm số chẵn (lẻ) �thì ta gọi   hàm chẵn (lẻ) � 2.1.2 Hàm tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính f x M �D  f  + Hàm   gọi hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ a(a  0) M �� x M  x M � � f  x  a   f  x  , x �M � f x + Hàm   gọi hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kỳ b(b  0) M M �D  f  �� x M  x b M � � f  x  b    f  x  , x �M � 2.1.3 Hàm tuần hoàn phản tuần hoàn nhân tính f x a (a � 0,1, 1 ) + Hàm   gọi hàm tuần hoàn nhân tínhchu kỳ M M �D  f  � x �M � a �1 x �M � � �f  ax   f  x  , x �M + Hàm f  x  gọi hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ a(a � 0,1, 1 ) M M �D  f  � x �M � a �1 x �M � � f ax   f  x  , x �M �   2.1.4 Đặc trưng hàm số hàm sơ cấp + Hàm tuyến tính : f  t   at , a �0 có tính chất f  x  y   f  x   f  y  ; x, y �� �x  y � f  x   f  y  f� ; x, y �� � f  t   at  b, a, b �0 2 � � + Hàm bậc nhất: có tính chất + Hàm mũ : f  t   a t , a  0, a �1 có tính chất f  x  y   f  x  f  y  ; x, y �� + Hàm logarit : f  t   log a t , a  0, a �1, t  + Hàm lũy thừa : f  t   t , t  có tính chất có tính chất f  x y   f  x   f  y  ; x, y �� f  x y   f  x   f  y  ; x, y �� + Hàm lượng giác: f  t   cos t f  t   sin t f x  y   f  x  y   f  x  f  y  ; x, y �� có tính chất:  f  3x   f  x   � �f  x  � �; x �� có tính chất: 2.2 Phương trình hàm Cauchy Bài tốn Xác định tất hàm số liên tục � thỏa mãn: f  x  y   f  x   f  y  ;x, y �� (1) Lời giải + Với x  0, y  vào  1 ta được: f    f    f   � f    Với y   x vào (1) ta được: f  x   f   x   f    � f   x    f  x  với x ��  *  Với y  x vào (1) ta được: f  x   f  x  với x �� + Chứng minh f  nx   nf  x  ,n ��,x ��  2 - Với n � ,1,2 , theo    - Giả sử   với k ��,k  , tức f  kx   kf  x  - Với n  k  , ta có: f   k  1 x   f  kx  x   f  kx   f  x   kf  x   f  x    k  1 f  x  Theo nguyên lý quy nạp, ta có f  nx   nf  x  ,n ��,x �� + Kết hợp  *  ,  ta f  mx   mf  x  với m ��,x ��  3 � x� �x � f  x  f � � f � � 22 � 2� �2 � + Từ   ta có: �x � � f � n � n f  x  �2 � �m f �n Từ  3 ,  ta �2 �x � f � �  2n �2 � �x � f �n � �2 �  4 � m x � n f  x  * � với m ��,n �� �m � m f � n � n f  1 Với x   �2 �  5 Do tính trù mật � � tính liên tục hàm số f  x  nên từ   ta f  x   ax với a  f  x  ,x �� + Thử lại ta thấy hàm f  x   ax thỏa mãn  1 Vậy Hàm số cần tìm (Hay nghiệm phương trình hàm Cauchy) f  x   ax với a �� tùy ý Nhận xét: Qua lời giải toán trên, ta nhận thấy rằng: Khi hàm số f  x  liên tục � thỏa mãn điều kiện f  x  y   f  x   f  y  với x, y �� hàm số f  x  có dạng f  x   ax , a tùy ý thuộc � Đây ứng dụng tốn để giải toán cụ thể 2.2 Một số ứng dụng phương trình Cauchy Bài tốn Xác định hàm số f  x  liên tục � thỏa mãn điều kiện f  x  y   f  x  f  y  , x, y ��  6 Nhận xét: Để áp dụng nghiệm toán Cauchy cộng tính vào giải tốn trên, từ hàm f  x  ta cần xây dựng hàm g  x  liên tục � thỏa mãn điều kiện g  x  y   g  x   g  y  , ta có nghiệm g  x   ax từ tìm hàm f  x  Lời giải + Nhận thấy f  x  �0 nghiệm   + Xét trường hợp f  x  �0 , tồn x0 �� cho f  x0  �0 f  x0   f  x   x0  x    f  x  f  x0  x  �0 x �� Theo   ta có: , � �x x � � �x � f  x   f �  � �f � � � ,x �� f x � ,  x �� 2   � � � � � �  Đặt g  x   ln f  x  � f  x   e g  x  Khi hàm g  x  liên tục � g  x  y   ln f  x  y   ln � �f  x  f  y  � � ln f  x   ln f  y   g  x   g  y  , x, y �� � g  x   bx với b ��, b tùy ý � f  x   ebx  a x với a  tùy ý x Vậy f  x  �0 f  x   a  a   Bài toán Xác định hàm số f  x  liên tục �\  0 thỏa mãn điều kiện: f  xy   f  x   f  y  , x, y ��\  0  7 Lời giải  + Xét x, y �� u v � f  eu v   f  eu   f  e v  Đặt x  e , y  e , từ   Đặt g  t   f  et   8 , từ   ta g  u  v   g  u   g  v  , u,v �� � f  et   bt  g  t   bt  9 � f  x   a ln x , x �� ,a �� tùy ý   + Xét x, y �� � x �� f  x2   f  x  y  x   Với , từ kết trên, ta � f  x  1 f  x   bln  x   bln x  2 , x �� , b �� tùy ý Thử lại, ta thấy hàm f  x   bln x với b �� tùy ý , thỏa mãn điều kiện toán đặt Vậy f  x   bln x , x ��\  0 ,b �� tùy ý Bài tốn Tìm hàm số f  x  liên tục � thỏa mãn điều kiện: �x  y � f  x   f  y  f� � 2 � �  10  Lời giải �x � f � � f  x   f   ,x �� + Với y  , vào  10   �2 � � �x � f  x   f � � f   �2 � Khi đó, từ  10  suy �x y � �x � f �  � f  x   f  y   f � � �2 � �2 � �y � f � � f   �2 �  11 Đặt g  t   f  t   f   , phương trình  11 trở thành g  x  y  g  x  g  y  12  Theo nghiệm phương trình  1   12  có nghiệm g  t   at  f  t   g  t   f    at  f   Hay f  x   ax  b , với a ��,b  f   Vậy phương trình có nghiệm f  x   ax  b , với a ��,b  f   Bài tốn Tìm hàm số f đơn điệu � thỏa mãn điều kiện: f  x  y   f  x   f  y   xy; x, y ��  13 Lời giải Ta nhẩm nghiệm f  x   x2 ; Đặt: g ( x)  f  x   x Phương trình trở thành : g  x  y    x  y   g  x   g  y   x  y  xy;x, y �� � g  x  y  g  x  g  y Từ phương trình hàm cauchy ta được: g ( x)  ax � f(x)=x  ax Thử lại thấy Nhận xét : Có thể tổng quát: f  x  y   f  x   f  y   axy; x, y,a �� Bài tốn Tìm hàm số f liên tục � thỏa mãn điều kiện: � �x  y � � f � � � � f  x  f  y  ,x, y �� � �� �  14  Lời giải Nhận xét: f ( x) �0 nghiệm phương trình Nếu f ( x) �0 � x0 : f ( x0 )  �f  x  �  f  x0  f  x  x0  � f ( x)  0, x �� Khi � � suy vơ lí Vậy f  x  �0 f x 0 f ( x )  x �� � Vì f liên tục �nên   Mặt khác f nghiệm phương trình f nghiệm nên ta giả sử f ( x )  x �� �x  y � �x  y � g  x   g  y  ln f � ; g ( x)  ln f ( x) � ln f  x   ln f  y  � g � � � � � � Từ giả thiết suy ra: Và g liên tục suy g ( x)  ax+b � f  x   eax b Thử lại thấy Nếu f ( x )  0, x ��� f ( x )  e ax b Kết luận: Nghiệm phương trình Bài tốn 6: Tìm tất hàm f f ( x)  0; f ( x )  �e axb  liên tục � thỏa mãn: � � f� � f  x  f  y  ,x, y  f xy   � � Lời giải �1 � f  1  a; f � �f  1 � � b � � Đặt: � � f  xy  f  x  f  y  y 1� f � � af  x  af xy  f x f y �        �f  xy  � a a a Thay Ta được: Hay g ( xy )  g ( x) g ( y), x, y   g x  x ( ��) � f ( x)  ax , x �� Mà g liên tục � suy   Bài toán Tìm hàm số f  x  liên tục � thỏa mãn điều kiện: f  x  y  f  y  z  f  z  x    0,x, y,z ��  16  Lời giải Cho x  t, y  0,z  t , phương trình  16  trở thành: f  t  f  t  f  2t    � f  2t    � �f  t  � �  ,t �� � f  t   ,t �� Đặt g  t   ln f  t ,t ��� f  t   2e g  t  2 g  t  liên tục � Khi đó, từ  16   2e     2e     2e      ta g x y g yz g zx � e g  x  y   g  y  z   g  z  x   � g  x  y   g  y  z   g  z  x   x, y,z ��  17  , Với x  y  z  , vào  17   g    Với y  z  0,x ��, vào  17  ta được: g  x   g    g   x   � g   x    g  x  ,x �� Khi đó, từ  17  ta có: g  x  y   g  y  z    g  z  x   g  x  z  10 � g  x  y  g  y  z  g   x  y   y  z   18 ux y � � v  y  z , Phương trình  18  trở thành: g  u   g  v   g  u  v  Đặt �  19  Khi phương trình  19  có nghiệm g  t   at,a �� f  t   2eat  2  ea  ,a �� t  x Hay f  x   2c với c ��,c  x f x   c   Vậy Hàm số cần tìm với c ��,c  Bài tốn Tìm hàm số f ,g xác định liên tục � thỏa mãn điều kiện: f  x  y  g  x  g  y , x, y ��  20  Lời giải Thế y  vào  20  ta f  x   g  x   g    g  x   a với a  g   � g  x   f  x   a,x �� Thay vào  20  ta được: f  x  y   f  x   a  f  y   a  f  x   f  y   2a � f  x  y   a   f  x   2a    f  y   2a   21 Đặt F  x   f  x   2a � f  x   F  x   2a Khi phương trình  21 trở thành F  x  y   F  x   F  y   22  Áp dụng phương trình  1  phương trình  22  có nghiệm F  t   mt,m �� � f  t   mt  2a hay f  x   mx  2a  g  x   mt  a 11 Thử lại ta thấy f ,g thỏa mãn phương trình  20  Vậy f  x   mx  2a g  x   mx  a với m �� tùy ý n lim u u Bài toán Cho dãy số  n  xác định bởi: un  2     Tìm n�� n Lời giải: Đặt: Vn      (n dấu căn) Ta chứng minh : Vn  cos  2n 1  1 Rõ ràng (1) n = Giả sử (1) n = k, nghĩa là: Xét Vk 1   Vk   cos Vk  cos  k 1     2.2 cos k   cos k 2 k 1 2 Vậy (1) với n = k + suy (1) với n Ta có: un  2n      2n  cos  2n 1 sin    2n 2.2 sin n   n 1 2    2n  sin n  n2 2   2n    lim un  lim 2n  .sin n   lim  n �� n �� n � �  2 n 2 Từ ta có: sin Bài tốn 10 Giải phương trình x  3x  x   (1) Lời giải: Đặt: t  x  � x  t  Khi phương trình trở thành :  t  1   t  1   t  1   � t  t    2 12 Đặt: y t 2y 3 �t y3  y  Khi phương trình (2) có dạng:  3 Dễ thấy (3) có nghiệm a Xác định nghiệm ta đặt: Ta được: 4  3  3  23 � 3  23 3  23 � � ;   �3  � 2� 2 � � 3 � y  nghiệm phương trình (3) Vậy phương trình (1) có nghiệm: x �3 3  23 3  23 � � �  � 2 3� � � * Tổng quát: Cho phương trình bậc tổng quát: Đặt: t t  at  bt  c   1 a x x  px  q ta chuyển phương trình (1) thành phương trình Trong p Từ ta đặt  2 a2 2a ab  b; q    c 27 x2 p y ta sử dụng hàm cos ta thu nghiệm Các tốn tự luyện 13 Bài tốn 11 Tìm tất hàm số f  x  ,g  x  xác định liên tục � thỏa mãn điều kiện: f  x   f  y   xy   x  y  g  x  y  ,x, y ��, x, y �� Bài tốn 12 Tìm tất hàm số f  x  liên tục � thỏa mãn điều kiện: f  x  f ( y )  f  x   y,x, y �� Bài tốn 13 Tìm tất hàm số f  x  liên tục � thỏa mãn điều kiện: f  x  f  y    f  x   y,x, y �� 14 2.3 KẾT LUẬN + Đề tài nêu nội dung, cách giải nghiệm phương trình hàm Cauchy + Đề tài giới thiệu số tập có ứng dụng nghiệm Phương trình hàm Cauchy , số tập liên quan đến số dạng toán + Qua số ví dụ cụ thể trên, ta thấy quan trọng tốn nghiệm phương trình hàm Cauchy ứng dụng rộng rãi + Mặc dù cố gắng nghiêm túc trình nghiên cứu, thời gian khả cịn hạn chế nên khơng thể tránh thiếu sót mong nhận nhiều góp ý thời gian tới hoàn thiện + Trân trọng cảm ơn thầy GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu cung cấp, trang bị kiến thức giúp hoàn thành tiểu luận 2.4 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Các chuyên đề Lý thuyết Phương trình hàm, tác giả: Nguyễn Văn Mậu [2] Phương trình hàm, tác giả: Nguyễn Văn Mậu – Nhà xuất GD năm 1997 [3] Phương trình hàm, tác giả: Nguyễn Tài Chung - Nguyễn Hồnh Phị – NXB ĐHQGHN năm 2006 [4] Bài toán hàm số qua kỳ thi Olimpic, tác giả: Nguyễn Trọng Tuấn – Nhà xuất GD năm 2005 [5] Bài toán dãy số, tác giả: Phan Huy Khải – Nhà xuất GD năm 2007 [6] Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn, tác giả: PGS.TS Nguyễn Quý Dy – Nhà xuất GD năm 2002 [7] Phương pháp giải toán đại số, tác giả: Lê Hồng Đức – Nhà xuất Hà Nội năm 2005 15 16 ... hồn thành tiểu luận 2.4 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Các chuyên đề Lý thuyết Phương trình hàm, tác giả: Nguyễn Văn Mậu [2] Phương trình hàm, tác giả: Nguyễn Văn Mậu – Nhà xuất GD năm 1997 [3] Phương trình... nội dung Phương trình hàm Cauchy ứng dụng giải số toán cụ thể 1.3 Phạm vi nghiên cứu đề tài: + Phương trình hàm Cauchy cách giải + Sử dụng Phương trình Cauchy giải số toán cụ thể 1.4 Phương pháp... đề tài phương trình hàm biên soạn thực Tuy nhiên với thời gian có hạn mà trình học tập nghiên cứu qua giảng thân tơi nhận thấy phương trình hàm Cauchy có vai trị quan trọng mảng tốn phương trình