Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 103 CHỈÅNG 18 QUẠ TRÇNH QUẠ ÂÄÜ ÅÍ MẢCH PHI TUÚN §1. Âàûc âiãøm ca quạ trçnh quạ âäü trong mảch phi tuún. - Viãûc âọng ngưn hçnh sin vo mảch tuún tênh cọ chỉïa dung, cm v tråí cọ thãø tảo dng, ạp quạ âäü cỉûc âải khäng vỉåüt quạ 2 láưn biãn âäü åí trảng thại xạc láûp. Nhỉng khi âọng vo mảch khạng phi tuún thç cọ thãø xút hiãûn âiãûn ạp hay dng âiãûn quạ âäü låïn hån trë säú xạc láûp nhiãưu láưn, trảng thại ny ráút dãù âỉa âãún sỉû cäú. - Quạ trçnh quạ âäü åí mảch phi tuún ngoi sỉû thay âäøi âàûc biãût vãư lỉåüng nhỉ trãn nọ cn thay âäøi vãư cháút : QTQÂ trong mảch phi tuún cọ thãø phạt sinh nhỉỵng hiãûn tỉåüng måïi nhỉ quạ trçnh tỉû dao âäüng cọ táưn säú ω ≠ ω ngưn - Quạ trçnh quạ âäü mảch phi tuún âỉåüc miãu t bàòng nhỉỵng phỉång trçnh vi phán phi tuún viãút theo lût K1, K2. Bi toạn quạ trçnh quạ âäü l bi toạn gii hãû phỉång trçnh vi phán phi tuún cho tha mn så kiãûn nãn khäng cọ phỉång phạp no chung m chè cọ nhỉỵng phỉång phạp gáưn âụng dng cho nhỉỵng mảch củ thãø. Ta xẹt mäüt säú phỉång phạp gáưn âụng gii quạ trçnh quạ âäü mảch phi tuún. §2. Phỉång phạp tuún tênh họa säú hảng phi tuún nh. I. Tinh tháưn phỉång phạp : 1. Trong trỉåìng håüp quạ trçnh ca mảch âi âãún äøn âënh thç nãúu cọ thay âäøi êt no âọ cạc säú hảng hay hãû säú ca phỉång trçnh thç nghiãû m cng thay âäøi nh tỉång ỉïng, lục âọ ta cọ thãø coi säú hảng phi tuún l nh trong hãû phỉång trçnh mảch nãn cọ thãø gáưn âụng cho nọ bàòng 0 m khäng nh hỉåíng nhiãưu âãún nghiãûm ca quạ trçnh. Vê dủ : Khi phi tuún nh cọ thãø coi gáưn âụng nhỉ sau : 'i.a'i ).i.ba('i).i(LU i. R i )i. R (i).i( R U L 00R ≈++== ≈ +α+== 2. Ạp dủng tinh tháưn áúy âãø gii nhỉỵng bi toạn m phỉång trçnh mảch l phỉång trçnh vi phán cáúp 1 liãn hãû hai biãún, nhỉng giỉỵa hai biãún âọ lải cọ quan hãû hm phi tuún (âọ chênh l hm âàûc tênh) Vê dủ : Xẹt cün dáy li thẹp cọ âiãûn tråí r âỉåüc âọng vo ngưn cọ Sââ e(t) hçnh sin hçnh (h.18-1). ta biãút sau khi âọng mäüt thåìi gian thç quạ trçnh trong mảch s âãún xạc láûp, äøn âënh nãn cọ thãø ạp dủng phỉång phạp tuún tênh họa âãø chuøn hãû phỉång trçnh vi phán phi tuún thnh phỉång trçnh vi phán tuún tênh gáưn âụng âãø gii mảch. Âiãûn cm phi tuún âỉåüc cho dảng hm xáúp xè : r ψ(i) K e(t) ba)(ihay biiL)i( 3 3 0 +ψ+ψ=ψ ++=ψ Phỉång trçnh vi phán mä t QTQÂ ca mảch l : )t(e d t d i.r = ψ + h.18-1 Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 104 Âáy l phỉång trçnh vi phán cáúp 1 liãn hãû hai biãún trảng thại ψ, I nãn r rng mún gii phỉång trçnh ta phi chuøn tỉì biãún ny sang biãún kia âãø âỉåüc phỉång trçnh vi phán cáúp 1 theo mäüt biãún. Hai biãún ψ, I liãn hãû våïi nhau trong hm âàûc tênh phi tuún nãn nãúu dng quan hãû ny âỉa vo phỉång trçnh thç hãû phỉång trçnh s phỉïc tảp khọ gii. Khi mảch cọ tênh phi tuún nh b qua säú hảng phi tuún trong quan hãû hm ψ(i) thay vo hãû phỉång trçnh s âỉåüc phỉång trçnh vi phán cáúp mäüt tuún tênh theo mäüt biãún thç gii âỉåüc dãù dng. Ta chuøn âäøi cạc biãún trong trỉåìng håüp củ thãø nhỉ sau : a. Khi quạ trçnh trong mảch cọ tiãu tạn êt nãn cọ d t d i.r ψ << thç âäøi biãún i theo biãún ψ âỉåüc gáưn âụng : i(ψ) ≈ a.ψ Lục ny phỉång trçnh vi phán theo biãún ψ l : )t(e.a.r d t d =ψ+ ψ Gii phỉång trçnh vi phán tuún tênh gáưn âụng )t(e.a.r d t d =ψ+ ψ (bàòng phỉång phạp têch phán phỉång trçnh vi phán, hay phỉång phạp toạn tỉí) cho tha mn så kiãûn ψ(0) s âỉåüc nghiãûm ψ(t), sau khi cọ ψ(t) dỉûa vo quan hãû ψ(i) xạc âënh âỉåüc dng âiãûn quạ âäü i(t). b. Khi tiãu tạn trong mảch låïn, nãn cọ dt d i.r ψ >> lục âọ tênh biãún ψ theo biãún i âỉåüc gáưn âụng : ψ(i) ≈ L 0 .i nãn cọ : 'i.L d t di . id t d 0 ≈ ∂ ψ ∂ = ψ v phỉång trçnh mä t QTQÂ l : )t(e d t di Li.r 0 =+ l phỉång trçnh tuún tênh. Gii phỉång trçnh cho tha mn så kiãûn i(0) âỉåüc dng âiãûn quạ âäü i(t) v dỉûa vo quan hãû ψ(i) xạc âënh âỉåüc ψ(t). II. Cạc bỉåïc ca phỉång phạp tuún tênh họa säú hảng phi tuún nh : Tỉì vê dủ trãn ta rụt ra cạc bỉåïc thỉûc hiãûn nhỉ sau : 1. Viãút phỉång trçnh ca mảch dỉåïi dảng phỉång trçnh vi phán cáúp 1 theo hai biãún trảng thại - Ty theo âàûc âiãøm ca mảch âãø qua hm âàûc tênh, tênh gáưn âụng biãún ny theo biãún kia. Thay vo phỉång trçnh vi phán âãø âỉåüc phỉång trçnh vi phán theo mäüt biãún. 2. Gii phỉång trçnh vi phán cáúp 1 theo mäüt biãún cho tha mn så kiãûn ta âỉåüc nghiãûm phán bäú thåìi gian ca mäüt biãún. Dỉûa vo nghiãûm â cọ v hm âàûc tênh ca pháưn tỉí phi tuún â cho ta xạc âënh âỉåüc nghiãûm cn lải (cọ thãø dng phỉång phạp toạn tỉí Laplace hồûc phỉång phạp têch phán kinh âiãøn âãø gii phỉång trçnh vi phán cáúp mäüt theo mäüt biãún). Chụ ràòng cün dáy li thẹp cọ bo ha thç chn L l giạ trë trung bçnh m m i L ψ = . §3. Phỉång phạp nhiãùu loản ( phỉång phạp tham säú nh) : I. Tinh tháưn ca phỉång phạp tham säú nh : Phỉång phạp tham säú nh l th thût âãø gii phỉång trçnh vi phán nọ âàûc biãût tiãûn låüi khi nghiãn cỉïu cạc hãû dao âäüng phi tuún nh phủ thüc mäüt tham säú. Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 105 Phỉång trçnh vi phán phi tuún thãø hiãûn tênh phi tuún åí säú hảng báûc cao. Säú hảng ny tham gia quút âënh nghiãûm quạ trçnh. Coi nọ l mäüt tham säú tham gia vo phỉång trçnh mảch. Kê hiãûu tham säú âọ l : µ. Váûy phỉång trçnh vi phán ca mảch l : H(x, µ, t) = 0. Ta phán têch v gäüp cạc säú hảng ca phỉång trçnh thnh hai nhọm säú hảng : H(x, µ, t) = H 1 (x, t) + µ.H 2 (x, µ, t) = 0 (18-1) Trong âọ : H 1 (x, t) l táûp håüp táút c cạc säú hảng tuún tênh trong hãû, cn H 2 (x, µ, t) l táûp håüp táút c cạc säú hảng phi tuún trong hãû. Trong âọ tham säú µ quút âënh tênh cháút, mỉïc âäü phi tuún ca quạ trçnh phi tuún trong mảch. Khi µ = 0 säú hảng phi tuún khäng cn. Lục ny phỉång trçnh mảch chè cn H 1 (x, t) = 0 gi l phỉång trçnh tuún tênh suy biãún. Nghiãûm ca H 1 (x, t) = 0 kê hiãûu l x 0 (t) gi l nghiãûm tuún tênh suy biãún. Nghiãûm ca H(x, µ , t) = 0 kê hiãûu l x(t), nọi chung x(t) ≠ x 0 (t) såí dé cọ sai khạc âọ l do cọ sỉû tham gia ca säú hảng phi tuún. Tỉïc l mỉïc sai khạc ty thüc µ. Âäúi våïi cạc quạ trçnh âi âãún äøn âënh, khi µ bẹ cọ thãø coi nghiãûm x(t) cọ quan hãû gii têch våïi tham säú µ, nãn cọ thãø khai triãøn x(t, µ) theo chùi ly thỉìa våïi tham säú µ . Ta cọ nghiãûm dỉåïi dảng khai triãøn l : k kk 2 22 0 x !k x !2 x )t(x)t,(x µ∂ ∂µ ++ µ∂ ∂µ + µ∂ ∂ µ+=µ (18-2a) Viãút gn lải : )t( x ) t ( x .) t ( x .) t ( x )t,( x k k 2 2 10 µ++µ+µ+=µ (18-2b) Trong âọ x 1 (t), x 2 (t), , x k (t) gi l cạc hm hiãûu chènh sỉû sai khạc giỉỵa x(t) v x 0 (t) âãø x 0 (t) tiãún dáưn âãún x(t). Nãn ta cn gi âáy l phỉång phạp nhiãùu loản. Tỉì âọ dáùn âãún tinh tháưn ca phỉång phạp l : Tçm âỉåüc nghiãûm quạ trçnh phi tuún x(t) bàòng cạch gii tçm nghiãûm phỉång trçnh tuún tênh suy biãún x 0 (t), sau âọ tçm cạc hm hiãûu chènh âãø x 0 (t) tiãún âãún x(t), ta tháúy cng nhiãưu hm hiãûu chènh thç x 0 (t) cng tiãûm cáûn âãún nghiãûm phi tuún x(t). II. Vê dủ : Nảp tủ âiãûn C âãún u C (-0) = U 0 räưi cho phọng âiãûn qua âiãûn tråí phi tuún r(i) cọ hm âàûc tênh i(u) = a.u + b.u 2 nhỉ hçnh (h.18-2). Xạc âënh âiãûn ạp trãn tủ âiãûn sau khi âọng khọa K. Phỉång trçnh mä t QTQÂ ca mảch : trong âọ bu0u.bu.a'u.C 2 C =++ 2 l säú hảng phi tuún nãn âỉa tham säú µ vo ta âỉåüc phỉång trçnh : 0u.bu.a'u.C 2 C =µ++ Âàût nghiãûm dỉåïi dảng khai triãøn : u = u 0 + µ.u 1 (våïi mäüt hm hiãûu chènh u 1 ) thç u' = u' 0 + µu' 1 v 2 110 2 0 2 u u u 2 u u µ+µ+= . Vç u = u 0 + µ.u 1 l nghiãûm nãn thay vo phỉång trçnh mảch phi nghiãûm âụng nãn cọ : 0 0 )uu2uu(b)uu(a)'u'u(C 01 2 1 22 01010 =µ+µ+µ+µ++µ+ ubu2bubuuaau'uC'C u 01 22 1 32 01010 =µ+µ+µ+µ++µ+ Sàõp xãúp cạc säú hảng theo báûc ca µ ta âỉåüc : 0buubu2)buau'C u (au'C u 2 1 3 01 22 01100 =µ+µ+++µ++ Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang 106 Ta bióỳt caùc sọỳ haỷng cuớa khai trióứn luợy thổỡa õọỹc lỏỷp tuyóỳn tờnh, nón thay nghióỷm khai trióứn vaỡo phổồng trỗnh maỷch õóứ nghióỷm õuùng phổồng trỗnh maỷch phaới coù nhổợng phổồng trỗnh cỏn bũng rióng reợ theo tổỡng bỏỷc cuớa à. Tổỡ õoù ta õổồỹc caùc phổồng trỗnh cỏn bũng rióng reợ : ặẽng vồùi à = 0 coù C.u' 0 + a.u 0 = 0 laỡ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn. ặẽng vồùi à coù : 0buau'C u 2 011 =++ . Vỗ ta chố cỏửn mọỹt haỡm hióỷu chốnh nón khọng cỏửn nhổợng phổồng trỗnh bỏỷc cao hồn cuớa à. 1. Giaới phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn õóứ xaùc õởnh nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn u 0 (t). Tổỡ phổồng trỗnh vi phỏn theo thồỡi gian : C.u' 0 + a.u 0 = 0 vồùi sồ kióỷn u C (0) = u C (-0) = U 0 . Duỡng phổồng phaùp toaùn tổớ giaới phổồng trỗnh vi phỏn tuyóỳn tờnh vồùi bióỳn u 0 (t) ta õổồỹc nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn. Vồùi u 0 (t) U 0 (p) chuyóứn sang phổồng trỗnh õaỷi sọỳ aớnh toaùn tổớ : [] 0) p (aU)0( u )p(pUC 0C0 = + [] Cap U apC CU )p(U CU)0(CuapC)p(U 0) p (aU)0(u.C)p(CpU 00 0 0C0 0C0 + = + = ==+ = + giaới õổồỹc nghióỷm aớnh toaùn tổớ : Tổỡ nghióỷm aớnh suy ra gọỳc: U 0 (p) t C a 2 2 0 2 0 t C a 00 eU)t(ueU)t(u == chuyóứn sang daỷng aớnh Ca2p U )t(u 2 0 2 0 + 2. Giaới phổồng trỗnh bỏỷc à õóứ xaùc õởnh haỡm hióỷu chốnh u 1 (t). Phổồng trỗnh cỏn bũng vồùi bỏỷc cuớa à laỡ :0 tổỡ phổồng trỗnh naỡy ta thỏỳy roợ à laỡ tham sọỳ, chuyóứn phổồng trỗnh naỡy sang daỷng aớnh toaùn tổớ õổồỹc phổồng trỗnh : )buau'Cu( 2 011 =++à [] a2pC bCU apC)p(U 0 a2pC CU b)p(aU)p(CpU 2 0 1 2 0 11 + =+ = + ++ ồớ õỏy lổu yù sồ kióỷn õóứ tờnh caùc haỡm hióỷu chốnh laỡ 0, tổỡ laỡ u 1 (0) = 0, , u k (0) = 0. Giaới õổồỹc nghióỷm aớnh : ()( ) )p(F )p(F a2pCapC bCU )p(U 2 1 2 0 1 = ++ = giaới F 2 (p) = (pC+a)(pC+2a) = 0 õổồỹc : C a2 p, C a p 21 == (hai nghióỷm õồn) Coù : aC3pC2)p('F 2 2 += suy ra nghióỷm gọỳc coù daỷng : t C a 2 2 t C a 11 eAeA)t(u += trong õoù : a bU aC bCU )p('F ) p (F A, a bU aC bCU )p('F )p(F A 2 0 2 0 22 21 2 2 0 2 0 12 11 1 = ===== Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang 107 Nón haỡm hióỷu chốnh : t C a 2 2 0 t C a 2 0 1 e a bU e a bU )t(u += Daỷng nghióỷm quaù õọỹ laỡ : u(t) = u 0 (t) + u 1 (t). Bióứu thổùc õióỷn aùp QTQ laỡ : t C a 2 2 0 t C a 2 0 t C a 010 e.U a b e.U a b eU)t(u)t(u)t(u +=+= III. Caùc bổồùc thổỷc hióỷn theo phổồng phaùp nhióựu loaỷn : Tổỡ vờ duỷ minh hoỹa trón ta ruùt ra caùc bổồùc thổỷc hióỷn phổồng phaùp nhióựu loaỷn nhổ sau : 1. ỷt nghióỷm dổồùi daỷng khai trióứn vồùi sọỳ haỡm hióỷu chốnh tuỡy õọỹ chờnh xaùc cỏửn thióỳt. 2. Thay nghióỷm vaỡo hóỷ phổồng trỗnh cuớa maỷch, ta ruùt ra õổồỹc nhổợng phổồng trỗnh cỏn bũng rióng reợ theo tổỡng bỏỷc cuớa tham sọỳ à. 3. Giaới phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn cho thoớa maợn sồ kióỷn baỡi toaùn õổồỹc nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn x 0 (t). 4. Giaới caùc phổồng trỗnh coỡn laỷi theo caùc bỏỷc cuớa à cho thoớa maợn sồ kióỷn 0 ta seợ õổồỹc caùc haỡm hióỷu chốnh x 1 (t), x 2 (t), , x k (t). 5. Cọỹng nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn vồùi caùc haỡm hióỷu chốnhta seợ õổồỹc nghióỷm quaù trỗnh quaù õọỹ phi tuyóỳn cỏửn tỗm x(t). Đ4. Phổồng phaùp bión, pha bióỳn thión chỏỷm (PP VanderPol) ỏy thổỷc chỏỳt laỡ phổồng phaùp bióỳn thión hũng sọỳ tờch phỏn - laỡ mọỹt thuớ thuỏỷt õóứ giaới hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn phi tuyóỳn. Duỡng tờnh cho hóỷ õồn giaớn, tióỷn lồỹi õóứ khaớo saùt maỷch dao õọỹng gọửm hai phỏửn tổớ khaùng phi tuyóỳn (hóỷ tọnọm). I. Tinh thỏửn chung caùc phổồng phaùp bióỳn thión hóỷ sọỳ tờch phỏn. Ta õaợ bióỳt phổồng trỗnh maỷch phi tuyóỳn coù thóứ vióỳt vaỡ sừp xóỳp dổồùi daỷng : H(x,t) = H 1 (x,t) + H 2 (x,à,t) (18-3a) Trong õoù : H 2 (x,à,t) laỡ nhoùm caùc sọỳ haỷng phi tuyóỳn gỏy khoù khn cho vióỷc tỗm nghióỷm quaù trỗnh, coỡn H 1 (x,t) = 0 laỡ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn dóự daỡng tỗm õổồỹc nghióỷm tọứng quaùt x(t,c) vồùi c laỡ hóỷ sọỳ tờch phỏn. Vỗ maỷch coù phỏửn tổớ phi tuyóỳn nón nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn x(t,c) khaùc nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn nón coù thóứ coi nghióỷm cuớa quaù trỗnh phi tuyóỳn cuợng dổồùi daỷng x(t,c) nhổng c(t) bióỳn thión theo thồỡi gian õóứ õióửu chốnh nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn õóỳn nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn. Tổùc laỡ nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn coù daỷng x[t,c(t)]. Nóỳu noù laỡ nghióỷm cuớa quaù trỗnh thỗ ta thay vaỡo phổồng trỗnh maỷch, phổồng trỗnh maỷch phaới õổồỹc nghióỷm õuùng vaỡ tổỡ phổồng trỗnh nghióỷm õuùng õoù ta ruùt ra phổồng trỗnh vồùi ỏứn sọỳ c(t) laỡ K(c,t) = 0. Giaới phổồng trỗnh K(c,t) = 0 naỡy ta õổồỹc c(t). (18-3b) Lổu yù : thuớ thuỏỷt naỡy chố coù lồỹi khi giaới K(c,t) 0 dóự hồn giaới H(x,t) = 0. II. Phổồng phaùp bión, pha bióỳn thión chỏỷm : Vồùi caùc baỡi toaùn QTQ coù sinh ra caùc dao õọỹng trong maỷch dỏửn tióỳn õóỳn ọứn õởnh (dao õọỹng õióửu hoỡa). Trong quaù trỗnh naỡy thọng sọỳ cuớa maỷch phi tuyóỳn coỡn thay õọứi nhổng bión õọỹ vaỡ goùc pha õỏửu cuớa dao õọỹng thay õọứi rỏỳt ờt so vồùi baớn thỏn dao Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang 108 õọỹng, do õoù coù thóứ boớ qua caùc õaỷo haỡm theo bión õọỹ vaỡ goùc pha õỏửu dỏựn õóỳn coù thóứ giaớm bỏỷc phổồng trỗnh vi phỏn cuớa maỷch vaỡ vióỷc giaới maỷch seợ dóự daỡng hồn. Ta vỏỷn duỷng tinh thỏửn õoù phỏn tờch baỡi toaùn dao õọỹng phi tuyóỳn cỏỳp 2 nhổ sau : Tổỡ phổồng trỗnh mọ taớ maỷch laỡ : )x,x(fxx 2 0 à=+ Trong õoù : . )x,x(fHcoỡn),t,x(Hxx 21 2 0 à==+ Thổồỡng H(x,t) phi tuyóỳn ờt nón nghióỷm cuớa H(x,t) khaùc chuùt ờt so vồùi nghióỷm cuớa phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn H 1 (x,t) = 0. Giaớ thióỳt coù nghióỷm õióửu hoỡa laỡ :0xx)t,x(H 2 01 =+= ) t cos(. A ) t ( x 0 + = Trong õoù : A, laỡ hai hóỷ sọỳ tờch phỏn. Ta bióỳt trong õaùp ổùng maỷch phi tuyóỳn ngoaỡi õióửu hoỡa cồ baớn coỡn coù caùc õióửu hoỡa bỏỷc cao nổợa song chuớ yóỳu laỡ õióửu hoỡa cồ baớn coỡn caùc õióửu hoỡa bỏỷc cao laỡ nhoớ, nón coù thóứ õỷt vỏỳn õóử bióứu dióựn nghióỷm QTQ phi tuyóỳn dổồùi daỷng õióửu hoỡa cồ baớn nhổng coù bión õọỹ vaỡ goùc pha thay õọứi theo thồỡi gian. Tổùc laỡ dao õọỹng coù bión õọỹ A(t), vaỡ goùc pha (t). Luùc naỡy nghióỷm QTQ coù daỷng : [ ] ) t ( t cos) t ( A ) t ( x 0 + = (18-4) nón chố cỏửn xaùc õởnh A(t) vaỡ (t) lừp vaỡo daỷng (18-4) laỡ õổồỹc nghióỷm quaù õọỹ phi tuyóỳn. Khi hóỷ phi tuyóỳn ờt nón theo phỏn tờch ồớ trón seợ coù A, bióỳn thión õuớ chỏỷm. óứ cho goỹn ta õỷt : =+ ) t ( t 0 thỗ coù = cos A ) t (x nón coù : + += cosAsin)t()t(Ax 0 Vỗ A, bióỳn thión chỏỷm nón << sinAsinAcosA 0 nón gỏửn õuùng coù : (18-5) = sinAx 0 =+= cosAcosAsinAcos)(AsinAx 0 2 00000 thay vaỡo phổồng trỗnh maỷch ta õổồỹc : [] [] à= à=+ sinA,cosAfcosAsinA sinA,cosAfcosAcosAcosAsinA 000 0 2 00 2 00 (18-6) Tổỡ phổồng trỗnh cỏn bũng chung naỡy ruùt ra phổồng trỗnh cỏn bũng cuớa caùc sọỳ haỷng õọỹc lỏỷp tuyóỳn tờnh õổồỹ bióứu thổùc cuớa laỡ : vaỡA [] [] à = à = sinA,cosAf sinA,cosAfA 0 0 0 0 (18-7) Nhổ vỏỷy thay vỗ phaới giaới mọỹt phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc 2 laỡ : ta õổa ra õổồỹc 2 phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc 1 vồùi hai bióỳn nhổ (18-7). Vóỳ phaới )x,x(fxx 2 0 à=+ )t(),t(A Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 109 ca hai phỉång trçnh (18-7) l cạc hm chu k v cọ thãø biãøu diãùn dỉåïi dảng chùi Fourier. Nãúu åí chùi ta chè láúy gáưn âụng thç cọ dảng rụt gn l : [] [] ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ψψψω−ψ πω µ −=θ ψψψω−ψ πω µ −= ∫ ∫ π • π • 2 0 0 00 2 0 0 0 dcossinA,cosAf A2 dsinsinA,cosAf 2 A (18-8) Bàòng 2 phỉång trçnh ny xạc âënh biãn âäü A, gọc pha θ âãø thay vo nghiãûm x(t) = A(t)cosψ = A(t).cos[ω 0 t + θ(t)]. Trong âọ : [] C 2 0 0 FdcossinA,cosAf 2 1 =ψψψω−ψ π ∫ π : giạ trë trung bçnh bçnh phỉång trong mäüt chu k âọ l biãn âäü ca âiãưu ha cå bn thnh pháưn cos. V [] S 2 0 0 FdsinsinA,cosAf 2 1 =ψψψω−ψ π ∫ π : l biãn âäü ca âiãưu ha cå bn thnh pháưn sin. Xạc âënh âỉåüc v . ∫ • = t 0 dtAA dt t 0 ∫ • θ=θ Cọ biãøu thỉïc nghiãûm l : (18-9) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ θ+θ+ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += ∫∫ t 0 00 t 0 0 dt)t(tcosdt)t(AA)t(x Trong âọ A 0 , θ 0 l biãn, pha ca nghiãûm tuún tênh suy biãún cho tha mn så kiãûn ca bi toạn. Vê dủ : Xẹt tủ âiãûn C âỉåüc nảp âiãûn âãún âiãûn ạp U 0 räưi cho phọng âiãûn qua cün dáy phi tuún cọ hm âàûc tênh i(ψ) = a.ψ +b.ψ 3 . Xạc âënh ψ(t) sau khi âọng tủ âiãûn vo cün dáy nhỉ hçnh (h.18-3) Xạc âënh så kiãûn âäüc láûp : ψ(-0) = ψ(+0) = 0, i L (-0) = i L (+0) = 0. Phỉång trçnh hiãûn hnh : u C + u L = 0 (âãø xạc âënh så kiãûn phủ thüc) hay : →= ψ + ∫ 0 dt d idt C 1 thay tải t = 0 cọ u C (0) + ψ’(0) = 0 nãn ψ’(0) = - u C (0) = - U 0 . Tỉì phỉång trçnh mảch : 0idt C 1 =ψ+ • ∫ âảo hm c hai vãú âỉåüc phỉång trçnh : 0 C i =ψ+ •• thay theo biãún ψ cọ : 0 C b C a 3 = ψ + ψ +ψ •• h.18-3 C i(ψ) K âáy l phỉång trçnh vi phán cáúp 2 cọ dảng : 0 32 0 =µψ+ψω+ψ •• trong âọ : C b v C a 2 0 =µ=ω Rụt ra phỉång trçnh tuún tênh suy biãún : 0 2 0 =ψω+ψ •• Gii phỉång trçnh ny bàòng phỉång phạp toạn tỉí Laplace: )0()0(p)p(p),p()t( 2 • •• ψ−Ψ−Ψ↔ψΨ↔ψ m ψ(0) = 0, ψ'(0) = - U 0 nãn cọ phỉång trçnh nh toạn tỉí l : 0) p (U) p ( p 2 00 2 =Ψω++Ψ gii ra nghiãûm nh : 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 p U p U )p( ω+ ω ω − = ω+ − =Ψ Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 110 tỉì âáy suy ra nghiãûm gäúc : )90tcos( U tsin U )t( 0 0 0 0 0 0 0 +ω ω =ω ω − =ψ Váûy ta cọ : 0 0 0 0 0 90, U A =θ ω = . Tỉì dảng nghiãûm : ψ = ψ cos) t ( A ) t ( thay vo phỉång trçnh mảch ta cọ : ψµ−ψµ−=ψµ−=ψωθ−ψω− •• 3cos 4 1 Acos 4 3 AcosAcosAsinA 3333 00 ta cán bàòng cạc âiãưu ha : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ µ−=ωθ− =ψω− • • 3 0 0 A 4 3 A 0sinA rụt ra âỉåüc : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ω µ=θ = • • 0 2 A 4 3 0A nãn cọ : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ω µ += ω µ +=θ+θ=θ ω ==+= ∫∫ ∫ • • t U 4 3 90dt U 4 3 90dt)t( U AdtAA)t(A 3 0 2 0 0 t 0 3 0 2 0 0 t 0 0 0 0 0 t 0 0 Làõp A(t) v θ(t) vỉìa tênh âỉåüc vo biãøu thỉïc nghiãûm [] ) t ( t cos) t ( A ) t ( 0 θ +ω = Ψ ta âỉåüc nghiãûm : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ω µ +ω ω −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ω µ ++ω ω =ψ t U 4 3 tsin U t U 4 3 90tcos U )t( 3 0 2 0 0 0 0 3 0 2 0 0 0 0 0 III. Cạc bỉåïc thỉûc hiãûn phỉång phạp biãn pha biãún thiãn cháûm : 1. Viãút phỉång trçnh mảch dỉåïi dảng vi phán phi tuún. 2. Gii phỉång trçnh tuún tênh suy biãún cho tha mn så kiãûn xạc âënh âỉåüc A 0 , θ 0 tỉì nghiãûm [ ] 000 t cos A ) t ( x θ + ω = 3. Thay dảng nghiãûm x(t) = A(t)cosψ vo phỉång trçnh vi phán ca mảch phi tuún tỉì âọ rụt ra cạc phỉång trçnh cán bàòng theo cos, sin âãø âỉåüc cạc biãøu thỉïc ca . )t(),t(A •• θ 4. Gii tçm ∫∫ •• θ=θ= t 0 t 0 dt)t()t(,dt)t(A)t(A 5. Làõp A(t), θ(t) vo dảng nghiãûm : [ ] ) t ( t cos) t ( A ) t ( x 0 θ+ ω = âỉåüc nghiãûm quạ trçnh quạ âäü l : [] [ ] ) t ( t cos) t ( A A ) t ( x 000 θ + θ + ω + = §5. Phỉång phạp säú : Viãûc phán têch mảch phi tuún bàòng cạc phỉång phạp â xẹt s tråí nãn ráút kho khàn trong trỉåìng håüp mảch phỉïc tảp, säú lỉåüng cạc phán tỉí phi tuún låïn. Lục ny cáưn thiãút phi dáùn ra hãû phỉång trçnh mảch sao cho viãûc gii nọ thỉûc hiãûn trãn mạy tênh säú thç viãûc gii mảch phi tuún s ráút nhanh chọng, âäü chênh xạc cao. Hãû phỉång trçnh nhỉ váûy s cọ âỉåüc khi ta thay hãû säú ca phỉång trçnh vi phán bàòng biãøu thỉïc xáúp xè räưi váûn dủng cạc máùu thût toạn khạc nhau âãø dáùn ra hãû phỉång trçnh gáưn âụng tênh âỉåüc trãn mạy tênh säú cho ra nghiãûm. Dỉåïi âáy ta dỉûa vo mäüt máùu sai phán âãø chuøn hãû phỉång trçnh vi phán thnh hãû phỉång trçnh sai phán räưi âỉa vo mạy tênh gii. I. Tinh tháưn phỉång phạp sai phán: Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 111 Ta biãút nghiãûm bi toạn mảch phi tênh l phán bäú thåìi gian x(t). Thay vç gii ra nghiãûm x(t) liãn tủc theo thåìi gian ta tçm nghiãûm phán bäú råìi rảc theo thåìi gian x(t 0 ), x(t 1 ), x(t 2 ), , x(t n ) cạc thåìi âiãøm t 0 , t 1 , t 2 , , t n láưn lỉåüt cạch nhau mäüt khong thåìi gian ∆t = h gi l bỉåïc thåìi gian h do ta tỉû chn. Cạc nghiãûm x(t 0 ), x(t 1 ), x(t 2 ), , x(t n ) láưn lỉåüt khạc nhau mäüt lỉåüng ∆x gi l säú gia ca biãún säú. Tỉì âọ tháúy ràòng nãúu biãút nghiãûm tải t 0 (l så kiãûn ca bi toạn), chn bỉåïc h v cọ säú gia ∆x thç ta tênh âỉåüc x(t 1 ), cỉï nhỉ váûy tiãúp tủc láưn lỉåüt tênh âãún x(t n ). Vê dủ nhỉ : Tải t 0 cọ nghiãûm l x(t 0 ) = x 0 Tải t 1 = t 0 + h cọ nghiãûm l x(t 1 ) = x 1 = x 0 + ∆ 0 x. Tải t 2 = t 1 + h = t 0 + 2h cọ x(t 2 ) = x 2 = x 1 + ∆ 1 x. . . . . . . . . . Tải t n = t 0 + nh cọ x(t n ) = x n = x n-1 +∆ n-1 .x Váûy âãø xạc âënh nghiãûm dỉåïi dảng phán bäú råìi rảc theo thåìi gian cáưn phi tênh så kiãûn x 0 tải thåìi âiãøm âọng måí t 0 , chn bỉåïc thåìi gian h, chn säú gia ∆x. R rng nãúu chn bỉåïc h cng nh thç cạc nghiãûm s åí cạc âiãøm thåìi gian sêt nhau, âäü chênh xạc cng cao. Cọ nhiãưu cạch xạc âënh ∆ n x, mäùi cạch s cho âäü chênh xạc khạc nhau. II. Näüi dung phỉång phạp sai phán : Âáy l phỉång phạp säú våïi máùu sai phán l : n1nn1nnn x x ) t ( x ) t ( x ) t ( x ) t (dx − = − =∆≈ ++ (18-8) nãn cọ : h x x )t( h x )t( dt d x )t(x n1n nnn − = ∆ ≈= + • (18-9) dt = h l bỉåïc thåìi gian ty chn v âảo hm cáúp 2 l : )xx2x( h 1 )xx( h 1 h 1 )xx( h 1 h xx dt )t(xd )t( dt xd )t(x n1n2n 2 n1n1n2n n1n n n 2 2 n +−= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−−≈ − ≈=== ++ +++ • + • • •• (18-10) tỉång tỉû nhỉ trãn ta xạc âënh biãøu thỉïc gáưn âụng ca âảo hm cáúp cao hån. Nhỉ váûy thay phẹp âảo hm bàòng phẹp tênh âải säú gáưn âụng ta s chuøn âỉåüc hãû phỉång trçnh vi phán thnh hãû phỉång trçnh âải säú liãn hãû giạ trë ca biãún åí nhỉỵng thåìi âiãøm kãú cáûn nhau. Tỉì phỉång trçnh ny dng phỉång phạp thêch håüp tçm bàòng säú dáưn tỉìng bỉåïc nghiãûm gáưn âụng (biãút giạ trë biãún åí bỉåïc k, tênh âỉåüc giạ trë áøn åí bỉåïc tiãúp theo k + 1 cỉï thãú tênh dáưn âỉåüc giạ trë nghiãûm råìi rảc gáưn âụng åí cạc bỉåïc kãø tỉì k = 0 l så kiãûn) h.18-4 r i(ψ) e(t) K Ta minh ha phỉång phạp bàòng vê dủ sau âáy : Vê dủ : Âọng cün dáy li thẹp vo ngư n e(t) nhỉ hçnh (h.18-4). Hy xạc âënh ψ(t), i(t) trong mảch. Så kiãûn bi toạn : Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 112 0L0L )0()0(,i)0(i)0(i ψ = − ψ = ψ=−= Phỉång trçnh mä t quạ trçnh quạ âäü ca mảch : )t(e dt d i.r = ψ + Gáưn âụng cọ h k1k ψ −ψ ≈ψ + • nãn phỉång trçnh ca mảch l : )t(e h i.r k1k k = ψ − ψ + + Rụt ra phỉång trçnh âải säú : [ ] kk1k i. r ) t (e. h − + ψ = ψ + (*) Tỉì phỉång trçnh (*) xạc âënh tỉìng giạ trë ψ tải nhỉỵng thåìi âiãøm cạch nhau bỉåïc h. Tải thåìi âiãøm âọng måí : t = 0, k = 0 cọ : 0)0(ii,0)0( 00 = = = ψ=ψ (så kiãûn â tênh) thay vo (*) tênh âỉåüc : [ ] [ ] )0(e.h0)0(e.h0i. r )0(e.h 001 = − + = − + ψ=ψ Biãút ψ 1 tải thåìi âiãøm t 1 = t 0 + h ta xạc âënh âỉåüc i 1 qua tra hm âàûc tênh l âỉåìng cong quan hãû ψ(i), cọ ψ 1 , i 1 ta tiãúp tủc xạc âënh [ ] 112 i. r )h(e.h − + ψ = ψ tải t 2 = t 1 + h, tỉì ψ 2 xạc âënh i 2 qua ψ(i) v ta âỉåüc ψ 1 (t 1 ), ψ 2 (t 2 ), , ψ k (t k ) cng nhỉ i 1 (t 1 ), i 2 (t 2 ), , i k (t k ). Cỉï nhỉ váûy tiãúp tủc xạc âënh cạc nghiãûm ψ k+1 kãú tiãúp ỉïng våïi tỉìng bỉåïc thåìi gian. III. Mäüt säú nháûn xẹt vãư phỉång phạp : 1. R rng chn bỉåïc h cng nh thç nghiãûm cng chênh xạc. 2. Ty theo máùu sai phán sai lảc giỉỵa nghiãûm tênh våïi nghiãûm chênh xạc s cọ cåí ly thỉìa báûc n ca bỉåïc h, våïi cng mäüt bỉåïc h thç báûc n cng låïn sai lảc cng êt, nghiãûm s häüi tủ nhanh vo nghiãûm chênh xạc. 3. Nghiãûm råìi rảc tênh åí mäùi bỉåïc cọ mäüt sai säú no âọ gọp pháưn gáy sai säú cho bỉåïc sau. Nãúu sai säú mäùi bỉåïc khäng gáy nhỉỵng sai säú ngy cng låïn vä hản trong tỉìng bỉåïc sau ta nọi nghiãûm sai phán l äøn âënh, ngỉåüc lải l khäng äøn âënh. Táút nhiãn nghiãûm l äøn âënh måïi cọ nghéa. Ta s tháúy våïi mäüt bi toạn nãúu tênh máùu sai phán ny thç äøn âënh cn tênh theo máùu sai phán khạc cọ thãø khäng äøn âënh. 4. Cọ thãø dng mạy tênh säú âãø gii phỉång trçnh sai phán mäüt cạch nhanh chọng. Âáy chênh l ỉu âiãøm näøi báût ca phỉång phạp säú. §6. Phỉång phạp gii têch âäư thë trãn màût phàóng pha : I. Biãøu diãùn quạ trçnh ca hãû trong khäng gian trảng thại : Táút c cạc phỉång phạp tênh mảch â hc cho phẹp tênh âỉåüc phán bäú thåìi gian ca nghiãûm : x(t) l âỉåìng cong cọ thãø biãøu diãùn trong màût phàóng gäưm trủc honh l trủc thåìi gian, trủc tung l nghiãûm x, khäng gian âọ l khäng gian trảng thại thåìi gian. Qua x(t) trãn màût phàóng âọ tháúy âỉåüc cỉåìng âäü åí mäùi thåìi âiãøm, cng xạc âënh âỉåüc • x nhỉ l âäü däúc ca âỉåìng cong. Nãúu biãút thãm sỉû phủ thüc ca x(t) vo så kiãûn (thãø hiãûn trãn âỉåìng cong)thç s biãút âỉåüc ton bäü tênh cháút ca hãû kãø c äøn âënh. Song vç nhiãưu bi toạn khọ gii ra nghiãûm x(t), khọ tçm sỉû phủ thüc ca x(t) vo så kiãûn v âàûc biãût khi chè cáưn xẹt tênh cháút ca quạ trçnh chỉï khäng cáưn gii nghiãûm x(t) củ thãø. Lục ny nãn tçm mäüt âỉåìng cong khạc (ỉïng våïi mäüt khäng gian Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn [...]... phán ca phỉång trçnh vi phán mä t mảch Váûy bn cháút ca phỉång phạp ny l thay vç phi têch phán phỉång trçnh vi phán (lm âỉåüc dãù dng våïi hãû tuún tênh) cho ra nghiãûm âãø xẹt tênh cháút thç ta v âỉåìng cong têch phán phỉång trçnh vi phán räưi xẹt tênh cháút Âáy r rng l phỉång phạp tiãûn dủng cho c mảch quạ âäü, xạc láûp phi tuún våïi dao âäüng âiãưu ha hồûc khäng âiãưu ha Thỉåìng ta hay gàûp hãû phỉång... nghiãûm x(t) räưi dỉûa vo phán bäú x(t) xẹt cạc âàûc âiãøm, tênh cháút ca quạ trçnh trong mảch Váûy våïi • phỉång phạp v qu âảo pha x (x ) ta phi âạnh giạ âỉåüc âàûc âiãøm, tênh cháút ca quạ • trçnh trong mảch qua âỉåìng cong qu âảo pha x (x ) Vç thãú ráút cáưn thiãút phi rụt ra mäúi • quan hãû giỉỵa tỉìng âàûc âiãøm ca phán bäú qu âảo pha x (x ) våïi tỉìng âàûc âiãøm, tênh cháút • ca quạ trçnh mảch âiãûn... thại, nãn cạc • âiãøm trảng thại nàòm åí nỉía màût phàóng trãn trủc honh cọ x > 0 thç biãún x tàng, nãn âiãøm trảng thại di chuøn tỉì trại sang phi Cạc âiãøm trảng thại nàòm åí màût phàóng dỉåïi • trủc honh cọ x < 0 thç biãún x gim, nãn âiãøm trảng thại di chuøn tỉì phi sang trại Nhỉ váûy âiãøm trảng thại chuøn âäüng theo chiãưu kim âäưng häư trãn màût phàóng pha 2 Tỉì qy âảo pha ta biãút âỉåüc gia täúc... (âiãøm nàòm trãn trủc ngang x) qy âảo pha phi tiãún âãún nọ x x M 0 0 x Âiãøm 0 l âiãøm cán bàòng h.18-8a x Âiãøm M l âiãøm cán bàòng h.18-8b • d x dy l hỉỵu hản nãn s cọ dỉåïi mäüt gọc khäng vng : vç gọc α ≠ π/2 thç tgα = = dx dx •• • dx thãm x = 0 Nãn nãúu qu âảo pha càõt trủc ngang dỉåïi gọc π/2 thç tgα = = ∞ dáùn dx •• âãún x ≠ 0 nãn âiãøm càõt khäng phi l âiãøm cán bàòng thç quạ trçnh cn tiãúp... h.18-11 cong qu âảo pha khạc nhau tảo thnh h qu âảo pha Dỉûa vo phán bäú ca qu âảo pha cn cọ thãø xẹt vãư äøn âënh ca quạ trçnh y b Phỉång phạp Liena : Phỉång phạp ny gii mảch dao âäüng phi tuún f(y) α • cáúp 2 trong âọ säú hảng phi tuún l hm riãng ca x •• • dảng : x + x − f (x ) = 0 (18-13) Thç phỉång trçnh qy âảo pha l : dy y + x − f (y) = 0 dx dy x − f (y) (18-13a) hay =− y dx y0 P M0 P' Q' Q x0 M1 x h.18-12...Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 113 khạc) âãø biãøu diãùn quạ trçnh thç tiãûn låüi hån l phi dng nhỉỵng phỉång phạp â hc âãø gii ra nghiãûm x(t) Ta cọ thãø dng khäng gian trảng thại l khäng gian chè cọ sỉû liãn hãû giỉỵa cạc biãún (loải âi biãún thåìi gian) âãø x1(t) biãøu diãùn quạ trçnh . säú hảng phi tuún trong hãû. Trong âọ tham säú µ quút âënh tênh cháút, mỉïc âäü phi tuún ca quạ trçnh phi tuún trong mảch. Khi µ = 0 säú hảng phi tuún. phỏửn tổớ phi tuyóỳn nón nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn x(t,c) khaùc nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn nón coù thóứ coi nghióỷm cuớa quaù trỗnh phi tuyóỳn