Bài giảng Xử lý tín hiệu số

CHƯƠNG II: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 2.1 BIẾN ĐỔI Z (ZT: Z TRANSFORM) 2.1.1 Định nghĩa biến đổi z Định nghĩa: Biến đổi z dãy x(n) định nghĩa sau: X z    x  n  z n n  Ký hiệu toán tử: ZT  x  n    X  z  ZT x  n    X z Trong định nghĩa trên, đổi cận n=0 ta có biến đổi z phía:  X  z    x  n  z n n 0 Biểu diễn theo phần thực, phần ảo Re[z], Im[z] Im[z] z = Re[z] + j.Im[z] t phẳng Z MtMặ phng Re[z] Biểu diễn theo tọa độ cực: z  re j  r  cos   j sin    r cos   jjrsin sin   Re  z   Im  z  z  r 1 ta có vịng trịn đơn vị Im[z] Im r Re Re[z] Ví dụ biến đổi z Tìm biến đổi z của: x1  n     n  x3  n     n  1 x2  n     n  1 n 1 x4  n     u  n  2 x5  n   2n u  n  Giải: X  z   ZT  x1  n      x n z   n  X  z   ZT  x2  n    X  z   ZT  x3  n    n    n z n  1.z  n   n 1 1  n  z  z  z    n      n  1 z n  1.z1  z n  n n  1    n   1  n X  z      u n z     z    z   n    n 0   n0  X  z   ZT  x5  n      n  u n z n n   2 z n n 0 n n 1 1 z 1 1 z  2 z     2z n 0 1  n  1  z 1 2.1.2 Miền hội tụ biến đổi z Định nghĩa: Tập hợp tất giá trị z mà chuỗi X  z     x n z n n  hội tụ gọi miền hội tụ biến đổi z , Ký hiệu: RC: miền hội tụ (Region of Convergence) I m[z] Ví dụ: Hãy tìm miền hội tụ biến đổi z ví dụ trước: RC  X  z   RC  X  z   Toàn mặt phẳng z Re[z] RC  X  z   : Toàn mặt phẳng z trừ gốc tọa độ z = I m[z] RC  X  z   1/2 : Ngồi vịng trịn bán kính ½ Re[z] -1/2 RC  X  z   -1/2 : Ngồi vịng trịn bán kính 1/2 2.2 CỰC VÀ KHÔNG (POLE AND ZERO) 2.2.1 Định nghĩa điểm không Trong biến đổi z điểm z0r mà X(z) triệt tiêu X z z  zor 0 z0r gọi điểm không X(z) 2.2.2 Định nghĩa điểm cực Nếu điểm zpk mà X(z) khơng xác định X  z z  zpk  điểm zpk gọi điểm cực X(z) M Ta biểu diễn X(z) theo điểm cực, điểm không N z b X z   M D  z  aN  z  z  0r r 1 N  z  z  pk k 1 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC (IZT: INVERSE Z TRANSFORM) 2.3.1 Định nghĩa biến đổi z ngược IZT  X  z    x  n  IZT X  z   x n Biến đổi z ngược định nghĩa sau: x n  2 j c X  z  z n 1dz C Đường cong kín qua gốc tọa độ.Tích phân đường theo chiều  -dương c Có phương pháp để tìm tích phân đường này: Phương pháp thặng dư để tìm trực tiếp tích phân, cho cách tìm Khai triển thành chuỗi lũy thừa, tìm biến đổi z ngược Khai triển thành phân thức tối giản 2.3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa Ở phương pháp này, ta khai triển biến đổi z thành chuỗi lũy thừa có dạng: X z    n  n z n So sánh với định nghĩa: X z    x n z n  n  x n  n Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược z X  z   z   z 1 hệ số chuỗi mẫu tín hiệu x(n) Thực chia đa thức sau:  z 1  z 1  z 2  z 3  16 z 4   z 1  z 1  1  2z  4z  n 0 z 2   X  z    2 z 1 2  n x  n    2  u  n  n z 2  z 3  z 3   z 3  16 z 4 16 z 4 2.3.3 Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản Xét X  z  N  z Dz Bậc N(z) M, bậc D(z) N Trường hợp: M ≥ N: Để phân thức tối giản thì: N z Pz X z   S z  D z Q z với S(z) phần nguyên Bậc S(z): M – N D(z)  Q(z) S  z   BM  N z M  N  BM  N 1 z M  N 1   B1 z1  B0 s  xn   BM  N   n   M  N    BM  N 1  n   M  N  1   B1  n  1  B0 2.3.3 Phương pháp khai triển thành phân thức tối giản (tt) X z  * Trường hợp M < N: N z D z  Pz Qz Trường hợp 1: X(z) có cực đơn, zpk điểm cực Q(z), có N cực X  z  P z N Ak X  z   k 1 z  z pk Q z Trong đó: Ak   z  z pk  P z Q  z  zz Trường hợp 2: X(z) có cực bội zpl bậc s, cịn lại nghiệm zpk đơn N s s Cj Ak X  z    j k 1  z  z pk  j 1  z  z  pl Trong đó: Lưu ý: Ak   z  z pk  P z d s j Cj   s  j ! dz s  j : Q  z  zz  s P z   z  z pl   Q  z    z  z pl pk   nn  1 n  m  1 n m z IZT   z pk u n  : m 1  m!  z  z pk   z  z pk pk 4.1 Mở đầu •Biến đổi Fourier biến đổi z thực liên tục vòng tròn đơn vị •Nhưng dãy tuần hồn với chu kỳ N, ta thấy không cần thiết phải thực biến đổi Fourier liên tục mà cần lợi dụng tính chất tuần hồn để thực biến đổi Fourier theo điểm đặc biệt đường tròn đơn vị tương ứng với chu kỳ N tín hiệu tuần hồn Ví du: cho t/h tuần hồn chu kỳ Im[z] x  n N r= 2  k  k k N = Chia phn: Vòng tròn Vũng trũn đơn vị đơn vị  Re[z] 2 4.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC DFT ĐỐI VỚI DÃY TUẦN HỒN CĨ CHU KỲ N 4.2.1 Định nghĩa Biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hồn có chu kỳ N định nghĩa sau: N 1 X  k    x  n  e j 2 kn N n 0 k  Đặt: N 1   x  n  e  jk n n 0 2 k N WNkn  e  jk n  e j 2 kn N N 1 X  k    x  n  WNkn n 0 Ký hiệu toán tử: DFT  x  n    X  k  DFT x  n    X k  1 x n   0 Cho dãy tuần hoàn chu kỳ N = 10 Tim X  k  Giải X  k    x  n  W kn N n 0 j sin k  e j k sin  1.e 2 j kn 10 n 0 k 0n4 5n9 X k   1 e 1 e j 2 k 10 j 2 k 10 4 2 e  j 10 k  A  k  e j  k   X  k  e j  k  X k     k  j 10 k sin  k j sin e 10 10 k  9 Lưu ý: Khi tính tốn ta cần xác định với k chạy từ đến 9, chu kỳ khác lặp lại Biểu diễn DFT dạng ma trận N 1 X  k    x  n  WNkn Từ ĐN: n 0 Ta khai triển X    x  WN0  x 1WN0  x  WN0   x  N  1WN0 X 1  x  WN0  x 1WN1  x  WN2   x  N  1WN X    x  WN0  x 1WN2  x  WN4   x  N  1WN  X  N  1  x  WN0  x 1WNN 1  x  WN   N 1 Ta ký hiệu:  X  0     X 1  X  k    X  2       X  N  1     x  0    x     x  n    x  2       x  N  1    N 1 N 1  x  N  1WN N 1 N 1 WN0 WN0 WN0  WN1 WN2 WN WN  WN0 WN2 WN4   WN0 WN N 1 WN2 N 1   N 1  WN   N 1 WN       N 1 N 1  WN WN0 4.2.2 Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT dãy tuần hoàn Biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT định nghĩa sau: x n  N N 1  X  k  e j 2 kn N k 0 Hay: x n  N N 1  kn X k W    N k 0 Ký hiệu: IDFT  X  k    x  n  IDFT X  k    x n Cách tính IDFT hồn tồn giống DFT khác dấu (–) , (+) hệ số 1/N trước dấu  Vì ta cần xét DFT suy biến đổi IDFT Về mặt thuật toán Bảng 4.1 Tổng kết tính chất DFT dãy tuần hồn có chu kỳ N Miền n x n  N N 1 Miền k N 1  X  k W X  k    x  n WNkn ax1  n  N  bx2  n  N aX  k  N  bX  k  N x  n  n0  N WNkn0 X  k  WNln x  n  X k  l   kn N k 0  x1  n  N * N k 0 X1  k N X  k N x2  n  N x1  n  N x2  n  N N N 1  X l  l 0 N X1  k  l N  X1  k N * X  k N x  n  thực X  k   X *  k  Re  X  k    Re  X  k   Im  X  k    Im  X  k   X  k   X  k  arg  X  k     arg  X   k   4.4 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC DFT ĐỐI VỚI DÃY KHƠNG TUẦN HỒN CÓ CHIỀU DÀI HỮU HẠN N Chúng ta xét biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn có chu kỳ N Ưu điểm bật biến đổi Fourier rời rạc DFT biến đổi xuôi biến đổi ngược thực thuật tốn Nhưng thực tế khơng phải lúc gặp dãy tuần hồn Ta xét dãy khơng tuần hồn có chiều dài hữu hạn sau: Dãy khụng DÃ y không tun tuần hon hoàn x nN -1 n N-1 N Ta coi dãy có chiều dài N chu kỳ dãy tuần hồn có chu k M nh sau: Dóy DÃ y tuần tunhoàn hon  xnM M ≥ N thường chọn M =2 -1 M-1 M n Định nghĩa cặp DFT dãy có chiều dài hữu hạn N Biến đổi xuôi DFT  N 1 kn  x  n WN X  k    n 0 0  Ký hiệu:  k  N 1 k DFT  x  n    X  k  DFT x  n    X k  Biến đổi ngược IDFT 1  x  n   N 0  Ký hiệu: N 1  X  k W k 0  kn N  n  N 1 n I DFT  X  k    x  n  I DFT X  k    x n Ví dụ Hãy tìm biến đổi Fourier rời rạc dãy có chiều dài hữu hạn sau: x(n) x n   n -1 Áp dụng định nghĩa:: Chỉ có giá trị  N 1 kn  x  n WN X  k    n 0 0  x  n  n 0  n N-1 N  k  N 1 k 1 X k    0  X(k) -1 N-1 N n k k  N 1 0n kn  Bảng 4.2 Tính chất DFT dãy có chiều dài hữu hạn N Miền n x  n N 1   N 0  N 1  X k  k 0 N Miền tần số rời rạc k WN kn  n  N 1 n ax  n  N  bx  n  N  x  n  N , N  max  N1 , N  N 1  x  m m 0 N X  k N  N 1 kn  x  n  N WN  n=0 k 0 0   k  N 1 k aX  k  N  bX  k  N  X  k  N 3 x  n  n0  N W WN k0 n x  n  X  k  k0  N kn0 N X  k N X1  k N X  k N x2  n  m  N  x1  n  N * N x2  n  N x1  n  N x2  n  N N N 1  X l  l 0 N X  k  l N x*  n  N X *  k  N x*   n  N X *  k N Re  x  n  N  1 X  k  N  X *  k  N 2 j Re  x  n  N  1 X  k  N  X *  k  N 2 Với x  n  N thực X  k  N  X *  k  N X *  k  N  X  k  N Re  X  k  N   Re  X   k  N  Im  X  k  N    Im  X   k  N  X  k  N  X  k  N arg  X  k  N    arg  X  k  N  N 1  x  n n 0 N N 1  X k  h 0 N 4.5 Tính tích chập tuyến tính biến đổi DFT • • Điều kiện để ta sử dụng phép chập vịng để tính phép chập tuyến tính dãy có chiều dài hữu hạn x1(n)N1 x2(n)N2 chiều dài chọn để thực phép chập N3 phải thoả mãn: N3≥ N1+N2-1 Ở đây, trước tiên ta phải bổ xung mẫu để tăng chiều dài tổi thiểu N1+N2-1 sau thực phép chập vòng: x3  n  N  N • 1  x1  n  N * N  N 1 1 x2  n  N Tính phép chập tuyến tính thơng qua phép chập vòng ta lợi dụng ưu biến đổi Fourier rời rạc biến đổi xuôi ngược thuật toán, cải thiện hiệu tính tốn đáng kể, phép chập sang miền tần số rời rạc trở thành phép nhân thực đơn giản nhiều 4.6 PHÉP CHẬP NHANH (PHÉP CHẬP PHÂN ĐOẠN) • Trên thực tế, thường gặp trường hợp phải thực biến đổi Fourier rời rạc với dãy có chiều dài khác xa nhau, dãy phép DFT dài dẫn đến vượt dung lượng nhớ thời gian tính tốn q lớn khơng cho phép, để có mẫu kết ta phải đợi kết thúc tất q trình tính tốn Khi gặp vấn đề ta phải chia tính tốn thành nhiều giai đoạn • Giả sử xét hệ thống với đầu vào x(n) có chiều dài N, đáp ứng xung h(n) có chiều dài M, ta thấy thực tế N >> M Khi thực phép chập tuyến tính để xác định đầu y(n) hệ thống y(n)=x(n)*h(n) thông qua DFT ta phải thực bước sau theo phương pháp Stockham 4.6 PHÉP CHẬP NHANH (tt) - Chia đầu vào x(n) thành nhiều dãy con: x(n) N   x(n) N1 với i  x  n  iN1  n  (i  1) N1  xi  n  N   n  - Thực chập dãy với nhau: y (n)   yi (n) N1  M 1 i Phép chập thực thông qua phép chập vòng nhờ DFT Ở đây, chiều dài thực DFT N1+M-1 - Sau tổ hợp kết thành phần: yi (n) N1  M 1  h(n) M * xi  n  N Chiều dài thực DFT chọn theo bảng Helm sau: Bảng HELM chọn chiều dài thực DFT Chiều dài h(n) M Chiều dài DFT N1 + M -1 ≤ 10 11-17 18-29 30-52 53-94 95-171 172-310 311-575 576-1050 1051-2000 2001-3800 3801-7400 7401-1480 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16.384 32.768 65.536 131.072 Tổng kết Cặp biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hồn có chu kỳ N Cặp biến đổi Fourier rời rạc dãy có chiều dài hữu hạn N Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc DFT Thực phép chập nhanh ... Một số khái niệm   X e j   : Phổ tín hiệu x(n)   arg  X e j      : Phổ pha tín hiệu   A e j    Ae  X e : Phổ biên độ tín hiệu    : Pha tín hiệu : Độ lớn tín hiệu. .. đáp ứng tần số biến đổi Fourier đáp ứng xung h(n) hay xác định tỷ số biến đổi Fourier tín hiệu biến đổi Fourier tín hiệu vào Đáp ứng tần số đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống miền tần số    j... xung lọc thơng tất pha (ví dụ dây dẫn tín hiệu) chúng cho tất tín hiệu qua với tần số c Bộ lọc thông dải lý tưởng: Định nghĩa: Đáp ứng biên độ lọc số thông dải lý tưởng định nghĩa sau:   H e j