Bài giảng xử lý tín hiệu số

MỤC LỤC CHƯƠNG I: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1 Mở đầu 1.1.1 Phân loại tín hiệu 1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc .7 1.2.2 Các tín hiệu rời rạc 1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc .11 1.3 Hê thống tuyến tính bất biến 15 1.3.1 Hệ thống tuyến tính 15 1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến .17 1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân 21 1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định 24 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số 25 1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính .25 1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số 26 với n lại .28 1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối có lối ra) 28 1.4.4 Hệ thống số không đệ quy 29 1.4.5 Các phần tử thực hệ thống bất biến 29 1.5 Tương quan chéo tín hiệu 31 1.5.1 Tương quan chéo .31 1.5.2 Hàm tự tương quan 31 CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 33 2.1 Mở đầu 33 2.2 Biến đổi Z (ZT) 33 2.2.1 Định nghĩa 33 2.2.2 Sự tồn biến đổi z 34 2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng 37 2.3 Biến đổi Z ngược 38 2.3.1 Tính trực tiếp tích phân lý thuyết thặng dư 38 với n < 40 2.3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa 40 2.3.3 Phương pháp khai triển thành tổng phân thức tối giản 41 2.4 Các tính chất biến đổi Z .42 2.4.1 Tính chất tuyến tính 42 2.4.2 Tính chất trễ .43 2.4.3 Tính chất nhân với hàm mũ an 44 2.4.4 Đạo hàm biến đổi Z ( tính đạo hàm n.x(n) ) 45 2.4.5 Tích chập hai dãy 45 2.4.6 Tương quan hai tín hiệu 46 2.4.7 Dãy liên hợp phức .47 2.4.8 Định lý giá trị ban đầu .48 2.4.9 Tích hai dãy 48 2.5 Biểu diễn hệ thống rời rạc miền Z 48 2.5.1 Hàm truyền đạt hệ thống rời rạc 48 2.5.2 Hàm truyền đạt hệ thống tuyến tính bất biến đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính hệ số 49 2.5.3 Các phần tử thực hệ thống tuyến tính bất biến 50 2.5.4 Phân tích hệ thống miền Z .51 2.5.5 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số nhờ biến đổi Z 53 2.6 Độ ổn định hệ thống 54 2.6.1 Sự ổn định hệ thống tuyến tính bất biến 54 2.6.2 Sự ổn định hệ thống tuyến tính bất biến nhân 55 2.6.3 Tiêu chuẩn ổn định Jury 56 CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU 58 RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 58 3.1 Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc 58 3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier (Fourier Transform) .58 3.1.2 Sự tồn biến đổi Fourier 60 3.1.3 Biến đổi Fourier ngược (Inverse Fourier Transform) 61 3.2 Các tính chất biến đổi Fourier 62 3.2.1 Tính chất tuyến tính 62 3.2.2 Tính chất trễ .63 3.2.3 Tính chất trễ tần số 64 3.2.4 Tích chập hai dãy 65 3.2.5 Tính chất đối xứng 66 3.2.6 Tương quan hai tín hiệu 66 3.2.7 Quan hệ Parseval .66 3.2.8 Tích hai dãy 67 3.2.9 Vi phân miền tần số 68 3.2.10 Tính chất đảo biến số .68 3.3 So sánh biến đổi Fourier biến đổi Z 68 3.3.1 Quan hệ biến đổi Fourier biến đổi Z 68 3.3.2 Đánh giá hình học X(ejw) mặt phẳng Z .69 3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc miền tần số liên tục 70 3.4.1 Đáp ứng tần số 70 3.4.2 Các lọc số lý tưởng .71 3.5 Lấy mẫu tín hiệu .75 3.5.1 Định lý lấy mẫu 75 3.5.2 Tần số Nyquist 77 CHƯƠNG 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG 78 RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 78 4.1 Mở đầu 78 4.2 Biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N .78 4.2.1 Các định nghĩa 78 4.2.2 Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn 79 có chu kỳ N .79 4.3 Biến đổi Fourier rời rạc dãy không tuần hoàn có chiều dài 81 hữu hạn .81 4.3.1 Các định nghĩa 81 4.3.2 Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc dãy có chiều 81 dài hữu hạn 82 4.3.3 Khôi phục biến đổi Z biến đổi Fourier từ DFT 83 4.4 Biến đổi nhanh Fourier rời rạc (FFT) .84 4.4.1 Mở đầu .84 4.4.2 Thuật toán FFT số phân chia theo thời gian .87 4.4.3 Thuật toán FFT số phân chia theo tần số 91 4.4.4 Tình FFT ngược 92 92 CHƯƠNG I: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1 Mở đầu 1.1.1 Phân loại tín hiệu 1.1.1.1 Định nghĩa tín hiệu Tín hiệu biến thiên biên độ theo thời gian đại lượng vật lý Với tín hiệu không điện ta có cảm biến (sensor) để biến đổi thành tín hiệu điện Nhiễu: Do than mạch môi trường truyền phát sinh từ bên thâm nhập vào Ví dụ: - Các tín hiệu nhìn thấy sóng ánh sáng chuyển tải thông tin màu sắc, hình khối tới mắt - Các tín hiệu nghe thấy biến đổi áp suất không khí truyền thông tin tới tai 1.1.1.2 Biểu diễn toán học tín hiệu Về mặt toán học, tín hiệu biểu diễn hàm nhiều biến số độc lập Ví dụ : Ta có tín hiệu microphone Sa(t) biểu diễn hình 1.1 Sa(t) t n Z Hình 1.1 Từ hình 1.1 ta thấy Sa(t) hàm biến số, biến số thời gian t Vì hàm biến nên ta gọi tín hiệu chiều 1.1.1.3 Phân loại tín hiệu Các tín hiệu thực tế phân loại sau: TÍN HIỆU Tín hiệu liên tục Tín hiệu tương tự Tín hiệu rời rạc Tín hiệu lượng tử hóa Tín hiệu lấy mẫu Tín hiệu số 1.1.1.3.1 Định nghĩa tín hiệu liên tục ( y=f(x) ) Nếu biến độc lập biến đổi toán học tín hiệu liên tục, tín hiệu gọi tín hiệu liên tục Nhận xét: Như theo định nghĩa tín hiệu liên tục, từ liên tục hiểu liên tục theo biến số, xét theo hàm hay biên độ ta có tín hiệu tương tự Và tín hiệu lượng tử hóa +) Tín hiệu gọi tín hiệu tương tự hàm (biên độ) tín hiệu liên tục liên tục +) Tín hiệu gọi tín hiệu lượng tử hóa hàm (biên độ) tín hiệu liên tục rời rạc Mỗi mức lượng tử định giá trị số 8(n) bit, kết hợp 8(n) bit có 256 (2n) mức hay giá trị Qui ước bit dùng để đánh dấu giá trị âm dương cho mẫu Bảy bít lại biểu diễn cho độ lớn; bit nửa hay nửa dãy, bit thứ hai phần tư hay dưới, bit thứ phần tám hay Ví dụ: Chúng ta có hai tín hiệu liên tục có biến số thời gian t biểu diễn hình 1.2a tín hiệu tương tự hình 1.2b tín hiệu lượng tử hóa xa(t) xa(t) 69 59 49 39 29 19 t t (a) (b) Hình 1.2: Hai tín hiệu liên tục có biến số thời gian t (a): Là tín hiệu tương tự (b): Tín hiệu lượng tử hóa 1.1.1.3.2 Định nghĩa tín hiệu rời rạc Nếu tín hiệu biểu diễn hàm biến rời rạc, tín hiệu gọi tín hiệu rời rạc Nhận xét: Theo định nghĩa từ rời rạc hiểu rời rạc theo biến số Nếu dựa vào hàm hay biên độ, có tín hiệu lấy mẫu tín hiệu số +) Tín hiệu gọi tín hiệu lấy mẫu biên độ tín hiệu rời rạc liên tục (không bị lượng tử hóa) Tín hiệu lấy mẫu rời rạc theo hàm, liên tục theo biến +) Tín hiệu gọi tín hiệu số biên độ tín hiệu rời rạc rời rạc Nhận xét: Như tín hiệu số gọi tín hiệu rời rạc hóa biến số biên độ Còn tín hiệu tương tự tín hiệu liên tục biến số biên độ Ví dụ : Chúng ta có hai tín hiệu rời rạc có biến số thời gian t biểu diễn hình 1.3, thời gian t rời rạc hóa với chu kỳ Ts Hình 1.3 (a) tín hiệu lấy mẫu (b) tín hiệu số xs(n.Ts) xd(n.Ts) n.Ts (a) n.Ts (b) Hình 1.3 1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) Sơ đồ tổng quát hệ thống xử lý tín hiệu (theo hình 1.4): Xa(t) Đưa qua LPF S&H ADC Xd(t) Yd(t) Ya(t) LPF DAC DSP Hình 1.4 Trong đó: - LPF: Low Pass Fillter (Bộ lọc thông thấp) - S&H: Sample And Hold (lấy giữ mẫu) - ADC: Analog Digital Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu tương tự - số) - DAC: Digital Analog Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu số – tương tự) Nhận xét: - Tín hiệu tương tự đầu vào chuyển sang dạng số nhờ chuyển đổi tương tự - số ADC - Tín hiệu tương tự đầu thiết lập lại nhờ chuyển đổi số - tương tự DAC Như vậy, tín hiệu biến đổi ADC tín hiệu số X d(n), tín hiệu hệ thống xử lý tín hiệu số DSP, DSP làm nhiệm vụ xử lý tín hiệu số X d(n) đưa tín hiệu số Yd(n) 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc Tín hiệu rời rạc có hai loại : - Tín hiệu lấy mẫu, ký hiệu xs(nTs) - Tín hiệu số, ký hiệu xd(nTs) Bây ta thống ký hiệu chung tín hiệu rời rạc x(nT s) Như nTs biến độc lập, n số nguyên Ts chu kỳ lấy mẫu Để tiện cho biểu biểu diễn tín hiệu rời rạc chuẩn hóa biến số độc lập nTs sau: Chuẩn hóa với Ts=1 x(nTs) x(n) Có ba cách biểu diễn tín hiệu rời rạc hay dùng : - Biểu diễn biểu thức toán học - Biểu diễn đồ thị - Biểu diễn liệt kê phần tử 1.2.1.1 Biểu diễn toán học Tín hiệu rời rạc x(n) biểu diễn dạng toán học sau: Biểu diễn toán học với N1 ≤ n ≤ N2 với n lại x(n) = n, N1, N2 nguyên (còn giá trị không nguyên ta không xét) Ví dụ: Hãy cho cách biểu diễn toán học tín hiệu rời rạc với ≤ n ≤ với n lại x(n) = Ở N1 = 0, N2 = 1.2.1.2 Biểu diễn đồ thị Để tiện minh họa cách trực quan, nhiều trường hợp dùng biểu diễn đồ thị Ví dụ: Hãy vẽ đồ thị tín hiệu rời rạc ví dụ với ≤ n ≤ x(n) = x (n ) với n lại -1 n Hình 1.5 Biểu diễn tín hiệu đồ thị 1.2.1.3 Biểu diễn dãy số Chúng ta biểu diễn cách liệt kê giá trị x(n) thành dãy số sau : x(n)={…, x(n-1), x(n), x(n+1), …} n Để giá trị x(n) vị trí thứ n, ta dùng kí hiệu n , dùng biểu diễn ta không x(n) Vì tín hiệu rời rạc thực chất dãy số nên ta thường gọi dãy x(n) Ví dụ: Biểu diễn dãy sau cách liệt kê phần tử x(n) = với ≤ n ≤ với n lại Giải : x(n) = {…, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0,…} (đánh dấu gốc tín hiệu n0) 1.2.2 Các tín hiệu rời rạc 1.2.2.1 Dãy xung đơn vị Kí hiệu: δ(n) (n số nguyên ) Trong miền n, dãy xung đơn vị định nghĩa sau : 1 δ ( n) =   Khi n = Khi n ≠ Ví dụ: Biểu diễn δ(n) δ(n-5) đồ thị Giải : -2 -1 n - Với δ(n): - Với δ(n-5): Hình 1.6: Biểu diễn δ(n) δ(n-5) đồ thị Mở rộng có dãy xung đơn vị δ(n - k) , với k số dương âm : Khi n = k Khi n ≠ k 1 δ (n − k ) =   Trên hình 1.6 đồ thị dãy xung đơn vị δ(n - 5) 1.2.2.2 Dãy nhảy đơn vị Dãy nhảy đơn vị định nghĩa sau miền n  u ( n) =   Khi n < Khi n ≥ Đồ thị dãy u(n) có dạng hình vẽ sau : u (n ) -1 Ví dụ : Biểu diễn u(n-2) u(n+2) đồ thị n ∞ 1 -1 n ∞ -3 -2 -1 n ∞ Hình 1.7 Biểu diễn u(n-2) u(n+2) đồ thị Mở rộng có dãy nhảy đơn vị u(n - k) , với k số dương âm : 1 u (n − k ) =  0 Khi n ≥ k Khi n < k 1.2.2.3 Dãy chữ nhật Trong miền n, dãy chữ nhật định nghĩa sau: Khi n ∈ [ , ( N − 1) ] 1 rect N (n) =   Khi n ∉ [ , ( N − 1) ] Đồ thị rectN(n) có dạng hình bên : -1 n (N -1 ) Mở rộng có dãy chữ nhật rectN(n-k) với k số nguyên dương âm Khi n ∈ [ k , ( N + k − 1) ] 1 rect N (n − k ) =   Khi n ∉ [ k , ( N + k − 1) ] Ví dụ: Biểu diễn rectN(n-2) rectN(n+2) đồ thị Hình 1.8 Biểu diễn rectN(n-2) rectN(n+2) đồ thị 1.2.2.4 Dãy mũ thực -1 1 -4 -3 -2 -1 Dãy hàm mũ thực định nghĩa sau miền n : an với n ≥ 0 với n < e(n) = Dãy tăng hay giảm phụ thuộc vào tham số a lớn hay nhỏ Hình 1.9 (a) (b) e(n) ví dụ e(n) 1 n a1 (b) 1.2.2.5 Dãy hình sin 10 : 6.2 Các phương pháp tổng hợp lọc IIR từ lọc tương tự Có nhiều phương pháp thiết kế lọc số IIR với mục đích tìm hệ số lọc số IIR cho thỏa mãn tiêu kỹ thuật lọc miền liên tục ω H (e jω ) Các phương pháp thiết kế tổng hợp lọc IIR chia làm hai loại chính: - Loại thứ chuyển từ việc thiết kế lọc tương tự sang lọc số, tức phải thiết kế lọc tương tự trước, sau dùng phương pháp chuyển đổi tương đương cách gần miền tương tự miền số để thu lọc số Phương pháp thứ sử dụng rộng rãi - Loại thứ hai phương pháp tìm thủ tục tối ưu hóa nhờ tham gia máy tính điện tử Các phương pháp tìm kiếm cách tối thiểu hóa sai số việc xấp xỉ tiêu kỹ thuật lọc cần thiết kế lọc khác thực tiêu chuẩn gần Loại thứ hai dùng Trong phạm vi giáo trình nghiên cứu phương pháp thuộc loại thứ đơn giản độ xác chấp nhận Với phương pháp thuộc loại thứ nhất, nghiên cứu phương pháp chuyển đổi hàm truyền đạt hệ thống tương tự H a ( s ) sang hàm truyền đạt hệ thống số H(z) Như việc phải tổng hợp hàm truyền đạt hệ thống tương tự H a ( s ) Có bốn phương pháp chuyển đổi từ hệ thống tương tự sang hệ thống số sau: - Phương pháp 1: Phương pháp bất biến xung - Phương pháp 2: Phương pháp biến đổi song tuyến - Phương pháp 3: Phương pháp tương đương vi phân - Phương pháp 4: Phương pháp biến đổi z tương ứng Để thấy rõ chất phương pháp này, tiến hành so sánh hệ thống tương tự hệ thống số Sau vài đặc trưng lọc tương tự lọc số: Miền tương tự Miền số Hệ thống Tương tự Số Hàm truyền đạt M H a (s) = A ∏ (1 − s r =1 N ∏ (1 − s r =1 M −1 0r s ) pk s −1 ) H ( z) = B ∏ (1 − z r =1 N ∏ (1 − z r =1 0r z −1 ) pk z −1 ) s0r : Các điểm không H a ( s ) s pk : Các điểm cực H a ( s ) z0r : điểm không H(z) z pk : Các điểm cực H(z) A: hệ số Tích chập ya (t ) = (t )* xa (t ) Phương trình biểu diễn hệ thống Vi phân N d k ya (t ) M d r xa (t ) c = d ∑ ∑ k r dt k dt r k =0 r =0 B: hệ số y ( n) = h(n)* x(n) Sai phân N M k =0 r =0 ∑ ak y (n − k ) = ∑ br x(n − r ) 109 Biến đổi Laplace LT: Laplace Transform s = σ + jωa Fourier FT: Fourier transform FT [ (t ) ] = H a (ωa ) = ∞ − jω t ∫ (t )e a dt Z ZT: Z – Transform z = re jω Fourier FT: Fourier transform FT [ h(n) ] = H (e jω ) = −∞ ∞ ∑ h ( n)e − jω n n =−∞ Mặt phẳng Sự ổn định Nếu tất điểm cực H a ( s ) nằm Nếu tất điểm cực H(z) nằm bên vòng tròn đơn vị hệ thống ổn định bên trái mặt phẳng s hệ thống ổn định Bảng 6.1 Đặc trưng hệ thống tương tự số 6.2.1 Phương pháp bất biến xung Bản chất phương pháp đáp ứng xung lọc số h(n) nhận cách lấy mẫu đáp ứng xung lọc tương tự (t ) , dạng (t ) h(n) nhau, khác chỗ (t ) liên tục, h( n) rời rạc Trong mặt phẳng s ta thấy trục tung (trục tần số tương tự ωa ), hạn chế định lý  −π π  ;  lấy mẫu nên tín hiệu có bề rộng phổ hữu hạn tồn khoảng   Ts Ts  Sự tương ứng mặt phẳng s mặt phẳng z minh họa hình đây: 110 Hình 6.1 Sự tương ứng mặt phẳng s z Chúng ta biết hàm truyền đạt H a ( s ) lọc tương tự biểu diễn dạng khai triển thành phân thức tối giản sau: N (6.9) Ak H a (s) = ∑ k =1 s − s pk s pk điểm cực đơn H a ( s ) Ak = ( s − s pk ) H a ( s ) |s = s pk Theo lý thuyết biến đổi Laplace ta có: s t LT e pk u (t )  = s − s pk LT  Ak e pk u (t )  = s t (6.10) (6.11) Ak s − s pk  A  s t ILT  k  = Ak e pk u (t )  s − s pk  LT: biến đổi Laplace (Laplace transform) ILT: biến đổi Laplace ngược (Inverse Laplace transform) u(t): hàm nhảy đơn vị tương tự Từ ta có:  N Ak  N   Ak   ILT [ H a ( s ) ] = (t ) = ILT  ∑  = ∑  ILT    k =1 s − s pk  k =1   s − s pk   N s t k =1 Lấy mẫu (t ) ta được: N k =1 s pk nTs (6.13) (6.14) ⇒ (t ) = ∑ Ak e pk u (t ) h(nTs ) = ∑ Ak e (6.12) u (nTs ) Biến đổi z h( nTs ) là: N  s nT ZT [ h(nTs ) ] = ZT  ∑ Ak e pk s u (nTs )  = H ( z )  k =1  Áp dụng công thức tính chuỗi phép biến đổi, ta có: 111 N H ( z) = ∑ (6.15) Ak s pk Ts −1 1− e z s pk : cực đơn H a ( s ) Ts : chu kỳ lấy mẫu k =1 Ak : hệ số Công thức nội dung phương pháp bất biến xung Từ công thức (6.15) ta thấy z = e s pk Ts H ( z ) → ∞ , rõ ràng z = e s pk Ts điểm cực H(z), mà s pk điểm cực H a ( s ) Như nói điểm cực s pk = σ pk + jωak H a ( s ) biển đổi cách trực tiếp thành điểm cực z pk = e s pkTs H(z), Thay s pk vào z pk ta viết: z pk = e (σ k + jωak )Ts = eσ k Ts e jωakTs = rk e jωk ⇒ rk = eσ k Ts ωk = ωak Ts So sánh điều kiện ổn định H a ( s ) H(z) ta thấy σ k < tức điểm cực s pk tương ứng nằm bên trái mặt phẳng s, dẫn đến z pk = rk = eσ k Ts < tức điểm cực z pk tương ứng nằm vòng tròn đơn vị Như điều kiện ổn định đảm bảo ta chuyển H a ( s ) thành H(z) theo phương pháp bất biến xung Ví dụ 1: Cho hàm truyền đạt lọc tương tự H a ( s ) sau: H a ( s) = ( s + 3)( s + 5) - Hãy tìm hàm truyền đạt H(z) lọc số tương ứng phương pháp bất biến xung Giải: H a ( s ) có hai điểm cực s p1 = −3, s p = −5 , vậy: A1 A2 H a (s) = + s − s p1 s − s p A1 = ( s + 3) =2 ( s + 3)( s + 5) s =−3 = −2 ( s + 3)( s + 5) s =−5 −2 ⇒ H (z) = + −3Ts −1 1− e z − e −5Ts z −1 A1 = ( s + 5) Vậy hàm truyền đạt H(z) lọc là: H ( z ) = 1− e −3Ts z −1 + −2 − e −5Ts z −1 6.2.2 Phương pháp biến đổi song tuyến Phương pháp dựa vào mối quan hệ việc tính tích phân miền liên tục đạo hàm tương ứng với việc tính diện tích miền rời rạc Hàm truyền đạt lọc số thu từ hàm truyền đạt lọc tương tự biểu thức sau: (6.16) H ( z ) = H a ( s ) s = 1− z −1 Ts 1+ z −1 112 Ts : chu kỳ lấy mẫu Từ biểu thức s = − z −1 Ts + z −1 +s Ts ⇒z= −s Ts Trục ảo mặt phẳng s ứng với σ = tức là: s = jωa Vậy: + jωa + j Ts ω a T z= s = T − jωa − j s ωa Ts z=  T   T  j arg 1+ j s ωa  T + j s ωa e   j arg 1− j s ωa  T − j s ωa e   T  j 2ar ct g  s ωa ÷ 2  z=e Từ biểu thức ta thầy z = Vậy quan hệ chứng tỏ giá trị s nằm trục ảo tương ứng với giá trị z vòng tròn đơn vị Thế phần thực s( σ ) âm dẫn đến modul z nhỏ đơn vị Như thế, nửa mặt phẳng bên trái mặt phẳng s ánh xạ vào vòng tròn đơn vị mặt phẳng z qua phép biến đổi song tuyến Từ ta nói phép biến đổi song tuyến thỏa mãn điều kiện chuyển lọc tương tự ổn định sang lọc số ổn định Hình 6.2 Phép ánh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z • Sự tương ứng tần số  Ts  Xuất phát từ biểu thức: z = e j 2ar ct g ωa ÷ ta thấy: 113 T  j 2ar ctg  s ωa ÷ 2  = e jω T  ⇒ ω = 2arctg  s ωa ÷ 2  Hoặc: ω ωa = tg Ts z=e (6.17) (6.18) Các quan hệ tần số ω ωa quan hệ phi tuyến Hình 6.6 Quan hệ phi tuyến ω ωa Ví dụ2: Cho hàm truyền đạt lọc tương tự H a ( s ) sau: H a ( s) = ( s − 3)( s − 5) Hãy tìm hàm truyền đạt H(z) lọc số tương ứng phương pháp biến đổi song tuyến Giải: −1 Áp dụng biểu thức biến đổi song tuyến H ( z ) = H a ( s ) s = 1− z Ts 1+ z −1 Ta có H(z) sau:  1− z  − z −1  − −  ÷ ÷ −1 −1  Ts + z  Ts + z  4Ts2 (1 + z −1 ) H ( z) =  2(1 − z −1 ) − 3Ts (1 + z −1 )   2(1 − z −1 ) − 5Ts (1 + z −1 )  H (z) = −1 4Ts2 + 8Ts2 z −1 + 4Ts2 z −2 H (z) = (2 − 3Ts )(2 − 5Ts ) − [ (2 + 3Ts )(2 − 5Ts ) + (2 − 3Ts )(2 + 5Ts ) ] z −1 − (2 + 3Ts )(2 + 5Ts ) z −2 Ví dụ 3: Cho mạch điện tương tự điều khiển điện áp hình đây: 114 Hình 6.4 Mạch điện Hãy chuyển mạch điện thành mạch số phương pháp biến đổi song tuyến Giải: Trước tiên phải tính hàm truyền đạt điện đáp H a ( s ) : H a (s) = RCs + 1 ⇒ H (z) = − z −1 + RC Ts + z −1 Ts (1 + z −1 ) Ts + RC + (Ts − RC ) z −1 Cấu trúc thực lọc: H ( z) = Hình 6.5 Cấu trúc thực lọc ví dụ 6.2.6 Phương pháp tương đương vi phân Phương pháp dựa tương đương vi phân sai phân Bộ lọc số có hàm truyền đạt H(z) thu từ hàm truyền đạt lọc tương tự cách biến đổi số theo biểu thức sau: (6.19) H ( z ) = H a ( s ) s =1− z −1 Ts • Xét ổn định 1 − z −1 ⇒z= Từ công thức s = − sTs Ts Thay s = σ + jωa vào ta có: z= − σ Ts − jωTs ⇒ z = Re [ z ] + j Im [ z ] 115 Re [ z ] = − σ Ts (1 − σ Ts ) + (ωaTs ) Im [ z ] = ωaTs (1 − σ Ts ) + (ωaTs ) z = (1 − σ Ts ) + (ωaTs ) 2 Nếu lọc tương tự ổn định σ < (các điểm cực H a ( s ) nằm bên trái mặt phẳng s), dẫn đến σ Ts < (1 − σ T ) > với giá trị (ωaTs ) ta luôn có: (1 − σ T ) + (ωaTs ) > Dẫn đến: z = 9966699999966699999966699966669996699999996699666996699 9966999999996999999996666996699666699666996699666996699 9966699999999999999966666699996666699666996699666996699 9966666999999999999666666669966666699666996699666996699 9966666669999999966666666669966666699666996699666996699 9966666666699996666666666669966666699666996699666996666 9966666666669966666666666669966666699999996699999996699 123 [...]... y(n) = ∏ i =1 xi(n) Hình 1.13 Ký hiệu phần tử nhân 1.4.5.3 Phần tử nhân với hằng số : Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân một tín hiệu số với một hằng số, nó là phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.14 x(n) y(n) = a.x(n) a Hình 1.14 Ký hiệu một phần tử nhân với hằng số Để nhân tín hiệu số x(n) với hằng số a, sử dụng bộ nhân hai số với một đầu vào là tín hiệu số x(n), còn đầu vào kia là giá... E x = N −1 ∑ x ( n) n =0 - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1): Ex = N ∑ x( n) 2 n =−N - Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn: Ex = ∞ ∑ x(n) 2 n =0 - Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn: Ex = ∞ ∑ x (n) 2 n =−∞ 1.2.3.3.2 Công suất trung bình của dãy Công suất trung bình Px của tín hiệu số x(n) được tính như sau: - Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài... Không biểu diễn được tín hiệu x(n) đối với miền biến số độc lập âm (n