Ứng dụng phương pháp lọc bayes và mô hình markov ẩn trong bài toán quan sát quỹ đạo đa mục tiêu TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ ———————— NGUYỄN THỊ HẰNG ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LỌC BAYES VÀ MƠ HÌNH MARKOV ẨN TRONG BÀI TOÁN QUAN SÁT QUỸ ĐẠO ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê tốn học Mã số: 46 01 06 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 Luận án hoàn thành tại: VIỆN KH-CN QUÂN SỰ - BỘ QUỐC PHÒNG Người hướng dẫn khoa học: TS Trịnh Quốc Anh TS Nguyễn Văn Hùng Phản biện 1: PGS.TS Phạm Ngọc Phúc Học viện Kỹ thuật quân Phản biện 2: PGS.TS Trần Hùng Thao Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Phản biện 3: TS Nguyễn Hắc Hải Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ Hội đồng đánh giá luận án cấp Viện, họp Viện Khoa học Công nghệ quân vào hồi ngày tháng .năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Viện KH-CN quân - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài luận án Các mơ hình quan sát vết đa mục tiêu MTT (Multiple Target Tracking), đơi cịn gọi quan sát quỹ đạo đa mục tiêu, thành phần đóng vai trò quan trọng nhiều hệ thống chức thực tiễn xã hội đặc biệt an ninh quốc phòng Trong thực tiễn, thường gặp hệ thống chức như: Hệ thống giám sát không lưu (trong hàng không); Hệ thống camera bảo vệ khu vực; Hệ thống điều khiển tự động cho thiết bị tự lái; cho robot; Trong an ninh quốc phòng, thấy hệ thống chức như: Hệ thống radar giám sát không phận; Hệ thống radar phòng thủ bờ biển; Hệ thống phòng thủ tên lửa đạn đạo; Hệ thống điều khiển tên lửa tự hành; Hệ thống điều khiển máy bay khơng người lái; Hệ thống phịng khơng S-400 (của Nga); Hệ thống radar THAAD (của Mỹ); Hệ thống điều khiển tàu ngầm; Tùy đặc thù hệ thống chức mà u cầu mơ hình MTT nhúng hệ thống xây dựng với điều kiện phù hợp tương ứng Cho đến thời điểm tại, lớp mơ hình MTT nghiên cứu phong phú có nhiều kết nghiên cứu công bố Mặt khác, thấy công bố công khai cấp độ định số lĩnh vực, song số lĩnh vực khác, mà đặc biệt an ninh quốc phịng, mang tính bảo mật quốc gia, kết nghiên cứu, thuật toán then chốt giữ bí mật quyền Bởi lẽ quốc gia phải quan tâm tự nghiên cứu mơ hình MTT phục vụ cho mục đích phát triển cơng nghiệp quốc phịng Ngồi ra, phát triển tiến không ngừng khoa học-kỹ thuật, “công cụ quan sát” ngày phát triển thay đổi Vì mơ hình MTT thay đổi theo, thuật tốn phải nghiên cứu thay đổi phù hợp với thay đổi tiến Tất điều nói lên ý nghĩa thực tiễn, ý nghĩa khoa học, tính thời tính cấp thiết việc nghiên cứu mơ hình MTT Mục tiêu nghiên cứu Các mơ hình MTT hệ thống chức khác có điều kiện cấu trúc khác Song chúng có nguyên tắc, mục đích giống Mục đích MTT xác định số mục tiêu thuộc tính trạng thái (quỹ đạo hệ tổ hợp số thuộc tính trạng thái) chúng thời điểm miền quan sát với điều kiện là: Các mục tiêu xuất hiện, biến cách ngẫu nhiên; Các mục tiêu xuất hiện, chuyển động biến độc lập với nhau; Các quan sát tiến hành mốc thời gian rời rạc (thường cách nhau) quan sát thực mơi trường có nhiễu (kể nhiễu thụ động nhiễu chủ động (do đối phương gây ra)) Tập liệu quan sát thời điểm tập liệu "lộn xộn" Mỗi liệu số liệu quan sát có nguồn gốc từ mục tiêu hay có nguồn gốc từ mục tiêu khác số liệu có nguồn gốc từ mục tiêu giả (do nhiễu gây ra) Cho tới thời điểm tại, phương pháp toán học phổ biến để giải toán MTT phương pháp ước lượng Bayes (BSE) – Bayesian Sequential Estimation) Phương pháp chất cập nhật cách đệ quy hàm phân phối hậu nghiệm trạng thái mục tiêu để đưa thuật toán “bám mục tiêu”, “bám quỹ đạo” Tất thuật toán công bố xây dựng nguyên tắc thời điểm thuật tốn khơng tầm thường chúng gắn với mơ hình xác suất phức tạp Phương pháp giải kết hợp thuật toán liên kết liệu (DA - Data Association) với lọc (filters) phù hợp Chúng ta điểm qua số thuật toán liên kết liệu lọc kết hợp quan trọng công bố sử dụng lĩnh vực Các thuật toán liên kết liệu gom lại thành họ chính: ❼ Thuật tốn liên kết liệu lân cận gần tồn cục (GNN – Global Nearest Neighbors) phát triển biến thể ❼ Thuật tốn liên kết liệu đa giả thuyết (MHT – Multiple Hypothesis Tracking) phát triển biến thể ❼ Thuật toán liên kết liệu xác suất đồng thời (JPDA – Joint Probabilistic Data Association) phát triển biến thể Các lọc dùng thơng dụng lĩnh vực là: Các lọc Bayes, lọc Kalman, lọc Kalman mở rộng (EKF – Extended Kalman Filter) Trong thực tế mục tiêu di chuyển gần khả phân giải Sensor bị giới hạn dẫn đến mục tiêu khơng thể phân biệt giả lý kỹ thuật dẫn đến tình trạng hay nhiều mục tiêu có số liệu quan sát Hiện tượng gọi tượng mục tiêu bị che khuất Với tượng này, thuật toán “bám mục tiêu”, “bám quỹ đạo” công bố thời điểm có tình trạng mục tiêu, quỹ đạo bám Bởi mục tiêu thứ luận án nghiên cứu thuật toán giải toán MTT tổng quát, phương pháp giải khắc phục tượng mục tiêu bị che khuất Mặt khác, thực tế gặp nhiều hệ thống chức có mơ hình MTT yêu cầu xác định số lượng mục tiêu lớp mục tiêu thời điểm miền quan sát Lớp mục tiêu cần quan tâm tất mục tiêu, lớp thực lớp tất mục tiêu Số lượng mục tiêu lớp mục tiêu cần quan tâm số lượng ẩn số lượng tất mục tiêu mà mô hình MTT ước lượng (xem ví dụ đầu chương 3) Bởi mục tiêu thứ hai luận án quan tâm giải lớp mơ hình MTT Cụ thể nghiên cứu phương pháp dùng mơ hình Markov ẩn (HMM – Hidden Markov Model) để giải lớp mơ hình MTT Nội dung nghiên cứu luận án Luận án nghiên cứu hai lớp toán MTT: ❼ Lớp toán MTT tổng quát có tượng mục tiêu bị che khuất ❼ Lớp tốn MTT u cầu ước lượng số lượng mục tiêu lớp mục tiêu cần quan tâm thời điểm miền quan sát Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Luận án nghiên cứu mơ hình MTT thuật toán; Thống kê lọc Bayes; Lọc Kalman; Mơ hình Markov ẩn; Một phần cần thiết giải tích ngẫu nhiên q trình ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp thống kê Bayes, lọc Kalman thuật toán mơ hình Markov ẩn để thực mục tiêu nghiên cứu luận án Ý nghĩa khoa học thực tiễn: Các kết luận án thu ngồi ý nghĩa góp phần làm phong phú thêm mặt khoa học toán MTT lý thuyết HMM mà cịn có ý nghĩa khơng nhỏ ứng dụng thực tiễn Chính xác đóng góp gồm: − Với lớp mơ hình MTT tổng qt có tượng mục tiêu bị che khuất, luận án đề xuất phương pháp liên kết liệu chiến lược liên kết liệu dựa hệ thống ánh xạ xác định đệ quy Chiến lược liên kết khắc phục tình trạng “mất mục tiêu”, “mất quỹ đạo bám” có mục tiêu bị che khuất Đồng thời luận án chứng minh tồn chiến lược liên kết liệu tối ưu theo nghĩa Bayes, cách xây dựng tường minh chiến lược thỏa mãn tính chất T tổng quát cho trước tính chất “ K(ε)-tối ưu” cụ thể thường dùng thực tiễn − Với lớp mô hình MTT quan tâm tới lớp mục tiêu, luận án tiếp cận mơ hình HMM thu kết sau: Đề xuất ”thuật toán tiến”, ”thuật toán Viterbi cải tiến” HMM không nhất; Xây dựng HMM tương thích giải tốn xác định số lượng mục tiêu lớp mục tiêu cần quan tâm mơ hình MTT nêu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số kiến thức suy luận Bayes trường hợp rời rạc liên tục, lọc Kalman, lọc Kalman mở rộng, số kiến thức trình ngẫu nhiên, làm sở cho việc trình bày nội dung luận án chương sau 1.1 Thống kê Bayes Trong phần trình bày khái niệm bản, cơng thức tư tưởng yếu phương pháp suy luận Bayes phục vụ cho nội dung nghiên cứu luận án 1.2 Một số vấn đề lọc Bayes Nội dung mục tổng hợp trích dãn số kết cần thiết cho luận án lọc Bayes như: Nguồn gốc chất lọc Bayes, phương trình lọc bản, phương pháp tiếp cận lọc Bayes làm mịn (trong trường hợp rời rạc liên tục), ứng dụng lọc Bayes 1.3 Lọc Kalman lọc Kalman mở rộng Trích dẫn kết lọc Kalman lọc Kalman mở rộng (trường hợp thời gan rời rạc thời gian liên tục) cần dùng cho luận án 1.4 Một số kiến thức trình ngẫu nhiên Trình bày số khái niệm kết hai loại trình ngẫu nhiên trình Poisson trình Markov cần thiết cho việc trình bày luận án 1.5 Kết luận Chương Các kiến thức trình bày chương kết trích dẫn, luận án giới thiệu mà khơng đưa chứng minh Các tài liệu trích dẫn thể trình trình bày Chương BÀI TOÁN QUAN SÁT QUỸ ĐẠO ĐA MỤC TIÊU TỔNG QUÁT CÓ THỂ CÓ MỤC TIÊU BỊ CHE KHUẤT Trong chương này, luận án trình bày số kết nghiên cứu toán quan sát đa mục tiêu (MTT) tổng quát có mục tiêu bị che khuất sở ứng dụng tư tưởng phương pháp thống kê Bayes lọc Bayes 2.1 Giới thiệu mở đầu Ở mục Luận án tổng hợp phân tích kết nghiên cứu toán quan sát quỹ đạo đa mục tiêu (MTT) cơng bố ngồi nước thời điểm Qua tính mới, tính mở kết Luận án tốn MTT tổng qt có tượng mục tiêu bị che khuất 2.2 Bài toán quan sát đa mục tiêu: Mơ hình tốn học Ở mục Luận án trình bày tốn MTT tổng quát nghiên cứu chương 2, cụ thể sau: Miền quan sát ký hiệu R, R ⊂ Rnx , với Rnx không gian trạng thái mục tiêu Khoảng thời gian quan sát [0, T ], T ∈ R+ Các thời điểm quan sát ti , i = 0, 1, ; ti ∈ [0, T ] Thông thường mốc quan sát cách nên khơng tính tổng quát ta coi T ∈ Z+ , ti = i, i = 0, 1, , n Tại thời điểm t, t ∈ [0, T ], có số mục tiêu miền quan sát Số mục tiêu ngẫu nhiên ký hiệu Mt = Mt (ω) Mục tiêu thứ k (hay loại thứ k ) ký hiệu Xtk , k = 1, 2, , t ∈ tki , tkf ⊂ [0, T ] Mục tiêu thứ k xuất vị trí ngẫu nhiên có phân phối R thời điểm tki , biến thời điểm tkf Các mục tiêu xuất hiện, chuyển động biến cách độc lập với Xác suất xuất Xtk pk , < pk < Trong miền quan sát R thời điểm t, t ∈ [0, T ] có mục tiêu giả nhiễu kỹ thuật quan trắc gây Các mục tiêu giả ký hiệu FA (False Alarm) Chúng xuất với xác suất q , < q < Các mục tiêu giả xuất vị trí ngẫu nhiên có phân phối R Các mục tiêu giả xuất biến cách độc lập với độc lập với mục tiêu Số mục tiêu giả có miền R thời điểm t ngẫu nhiên ký hiệu Gt = Gt (ω) Mục tiêu giả loại mục tiêu đặc biệt, chúng xuất tức thời khoảng thời gian ngắn (thậm chí xuất thời điểm) khơng có quỹ đạo chuyển động Mơ hình chuyển trạng thái mục tiêu mô tả sau: k Xt+1 = Fk Xtk + Vtk , (2.1) với Fk : Rnx → Rnx ánh xạ đo từ Rnx vào Rnx ; Vtk ∈ Rnx nhiễu trắng với ma trận hiệp phương sai Qk , Vtk , k = 1, 2, khơng tương quan Mơ hình quan sát mơ tả bởi: Yt = G (Xt ) + Wt , (2.2) với G : Rnx → Rny , ny số chiều véc tơ quan sát; G ánh xạ đo từ Rnx vào Rny , Wt ∈ Rny nhiễu trắng với ma trận hiệp phương sai R Wt không tương quan với Vtk , k = 1, 2, Nói riêng mục tiêu k , từ (2.2), ta có: Ytk = G Xtk + Wt (2.3) Trong mơ hình (2.1)-(2.2) trên, Vtk gọi nhiễu hệ thống, Wt gọi nhiễu quan sát (hay gọi sai số đo đạc) Ta phát biểu số giả thiết cho mơ hình MTT mơ tả sau: Ký hiệu d(x, y), khoảng cách Euclid Rn Giả thiết 2.2.1 Miền quan sát R miền đóng giới nội Rnx (theo Metric d(·, ·)) Trong thực tế, độ phân giải thiết bị quan sát bị giới hạn, nên xảy tình trạng hai mục tiêu X X gần liệu quan sát chúng Y Y tương ứng Hiện tượng gọi tượng mục tiêu bị che khuất, nghĩa mục tiêu X bị che khuất mục tiêu X ngược lại, mục tiêu X bị che khuất mục tiêu X Mặt khác, mục tiêu vật thể có khối lượng dương Vị trí mục tiêu khơng thể điểm (theo nghĩa toán học), mà phải miền khơng gian trạng thái Ta có giả thiết sau: Ký hiệu O(O;r) , r > 0, hình cầu mở tâm O bán kính r O(O,r) , r > 0, hình cầu đóng tương ứng Rnx Giả thiết 2.2.2 Với điểm x miền quan sát R, x ∈ R, tồn số rx > cho với toán (2.1)-(2.2) X X thuộc hình cầu O(x;rx ) , O(x;rx ) ⊂ R, liệu quan sát chúng Mục đích tốn MTT là: Với mơ hình điều kiện mơ tả trên, dựa giá trị (dữ liệu) quan sát ước lượng số mục tiêu có R thời điểm t, t ∈ [0, T ] ước lượng quỹ đạo chúng 2.3 Phương pháp liên kết liệu, chiến lược tối ưu tồn chiến lược tối ưu 2.3.1 Phương pháp liên kết liệu đệ quy Ký hiệu: Y (t) = {Ytj |j = 1, 2, , nt } tập giá trị quan sát thời điểm t, nt số lượng kết quan sát thời điểm t Ký hiệu: Y (0 : t) = t s=0 Y (s) tập giá trị quan sát thời điểm t Định nghĩa 2.3.1 Một quỹ đạo mục tiêu thứ k xuất thời điểm tki , tki ∈ [0, T ], biến thời điểm tkf , tkf ∈ [0, T ] là: X ktk ,tk = {Xtk | tki [ i f] t tkf ; tki ∈ [0, T ] ; tkf ∈ [0, T ]} Với As tập hợp, ta sử dụng ký hiệu tích trực tiếp: n As = {(a1 , a2 , , an ) | as ∈ As , s = 1, n}, s=1 quy ước gọi ak với k = 1, 2, , n thành phần thứ k phần tử (a1 , a2 , , an ) Định nghĩa 2.3.2 Một dây chuyền liên kết liệu với thời điểm bắt đầu ti thời điểm cuối tf ký hiệu L[ti ,tf ] đường gấp khúc nối js+1 thành phần liên tiếp Ytjs với Yt+1 , t = ti , ti+1 , , tf −1 ; s = 1, 2, phần tử jt , , Ytjs , , Ytf f Ytji , Ytji +1 −ti +1 tập tích trực 11 Trong mơ tả thuật tốn lưu ý ti = i có nghĩa tk +1 = tk+1 ; thời điểm t, t = t0 , t1 , , tn−1 Ký hiệu Ll t− , Yti , l Card −1 ftT (Yti ) , Yti ∈ Y (t) dây chuyền thứ l có đỉnh cuối thời điểm t Yti Trường hợp: Card ftT −1 (Yti ) = ⇔ l = ⇔ Yti số đo xuất thời điểm t Ký hiệu DLl [t− , Yti ] tập đỉnh dây chuyền Ll [t− , Yti ] i ] ∪ {Y j } Ký hiệu Zlt (j) = DLl [(t − 1)− , Yt−1 t Lưu ý: ∀ Y0i ∈ Y (t0 ) Card ftT0 −1 Y0i = Thuật tốn tìm T -chiến lược sau: Thuật tốn 2.1 Thuật tốn tìm T -chiến lược Input: T ; Y (t) = {Ytj | ≤ j ≤ nt } Output: T -chiến lược ftT |t = t1 , t2 , , tn BEGIN Get Input T for t = to T Get Input(Y (t)); nt = Card(Y (t)); for i = to nt−1 −1 i )) for l = to Card(ft−1 (Yt−1 for j = to nt Xác định Ll [t− ; Ytj ]; IF Ll [t− ; Ytj ] thỏa T ) THEN i ) = Y j; 10 Get Output ftT (Yt−1 t 11 ELSE i ) = ∅; 12 Get Output ftT (Yt−1 13 END IF 14 end for 15 end for 16 end for 17 end for 18 END i Nhận xét 2.4.1 a/ Dễ dàng thấy giá trị đo y = Yt−1 i ftT (y) = ftT Yt−1 nhận m + 1, với m = Card giá trị ảnh Y (t) T ft−1 −1 i Yt−1 , 12 b/ Giá trị m = Card T ft−1 −1 i Yt−1 số mục tiêu tối thiểu bị che i khuất lẫn thời điểm (t − 1) có giá trị quan sát Yt−1 2.5 Chiến lược "K(ε) -tối ưu" thuật tốn tìm chiến lược "K(ε) -tối ưu" Định nghĩa 2.5.1 Chiến lược {ftK(ε) |t = t1 , , tn } gọi chiến lược tối ưu ε-ngưỡng (và gọi tắt K(ε) -tối ưu) dây chuyền liên liên kết liệu thỏa mãn điều kiện sau đây: A1 – Khi sử dụng liệu dây chuyền ảnh để ước lượng quỹ đạo thực mục tiêu tương ứng theo lọc Kalman phương sai ước lượng P (t|t) cực tiểu với t thuộc miền thời gian tồn dây chuyền A2 – Giá trị phương sai ước lượng P (t|t) vừa nêu (A1 –) không vượt ε, ε > 0, với t thuộc miền thời gian tồn dây chuyền Ở đây, ε > 0, ε cho trước tùy ý bé, gọi ngưỡng chấp nhận chiến lược Thuật tốn tìm chiến lược {ftK(ε) |t = t1 , t2 , , tn } Ký hiệu F = {Fθ | θ ∈ Θ} tập thông tin tiên nghiệm dự báo hệ động lực có mơ hình chuyển trạng thái mục tiêu (xem (2.1)) Ký hiệu phương sai hiệu chỉnh bước t áp dụng lọc Kalman cho mơ Fθ hình (2.1)-(2.3) với Fk = Fθ số liệu Zlt (j) Plij (t | t) Ký hiệu δli = min1 Fθ j nt {minθ∈Θ Plij (t | t)} Fθ Ký hiệu (j∗ , θ∗ ) = arg min1 j nt {minθ∈Θ Plij (t | t)} Khi thuật tốn K(ε) tìm chiến lược {ft |t = t1 , t2 , , tn } sau: Thuật tốn 2.2 Thuật tốn tìm chiến lược K( ) -tối ưu Input: T ; ; Y (t) = {Ytj | ≤ j ≤ nt } Output: Chiến lược K( ) − tối ưu: ftK( ) |t = t1 , t2 , , tn BEGIN Get Input T ; ; for t = to T Get Input(Y (t)); 13 nt = Card(Y (t)); for i = to nt−1 −1 i )) for l = to Card(ft−1 (Yt−1 for j = to nt F Tính Plijq (t|t); F δli = min Plijq (t|t); 1≤j≤nt 10 11 12 13 14 15 16 17 18 END IF δli > THEN i ) = ∅; Get Output ftK( ) (Yt−1 ELSE i ) = Y j; Get Output ftK( ) (Yt−1 t END IF end for end fof end for end fof 2.6 Kết luận Chương Kết đạt Chương 2: 1/ Đề xuất chiến lược liên kết liệu phương pháp liên kết liệu dựa hệ ánh xạ xây dựng đệ quy: ft : M [Y (t − 1)] → Y (t), t = t1 , t2 , , tn Với cấu trúc khoa học hợp lý tập nguồn M [Y (t − 1)] cho phép khắc phục tình trạng mục tiêu, quỹ đạo bám có tượng mục tiêu bị che khuất 2/ Chứng minh tồn chiến lược liên kết liệu tối ưu theo nghĩa làm cực đại xác suất hậu nghiệm bước lọc 3/ Xây dựng chiến lược liên kết liệu thỏa mãn tính chất cho trước T 4/ Xây dựng chiến lược liên kết liệu thỏa mãn tính chất “ K(ε) -tối ưu” tính chất thường ứng dụng thực tế Các kết chương cơng bố báo khoa học [CT1]; [CT2] 14 Chương MƠ HÌNH MARKOV ẨN TRONG BÀI TỐN QUAN SÁT QUỸ ĐẠO ĐA MỤC TIÊU Chương luận án nghiên cứu lớp mơ hình MTT mà mục tiêu quan tâm lớp mục tiêu số mục tiêu có mơ hình MTT Luận án đưa phương pháp tiếp cận sử dụng mơ hình Markov ẩn để giải 3.1 Giới thiệu mở đầu Giới thiệu lớp mô hình MTT mà đối tượng quan tâm theo dõi xác định tất mục tiêu mà lớp số Đưa số ví dụ thực tiễn lớp mơ hình MTT giới thiệu nội dung cấu trúc chương 3.2 Mơ hình tốn học tốn MTT 3.2.1 Mơ hình tốn học tốn MTT Giả sử ta quan sát đối tượng (hay cịn gọi mục tiêu) di động miền không gian khoảng thời gian Ký hiệu R miền khơng gian mà ta cần quan tâm, R ⊂ Rnx , với Rnx không gian trạng thái mục tiêu R gọi miền quan sát Ký hiệu [1, T ], T > 1, T ∈ R+ , khoảng thời gian mà ta cần quan tâm [1, T ] gọi khoảng thời gian trình quan sát Do thời điểm quan sát: t1 , t2 , , tn ; = t1 < t2 < < tn = T , rời rạc, nên khơng tính tổng qt, nói đến thời điểm thứ i (ti ), quy ước: T ∈ Z+ , ti ∈ Z+ đồng ti = i, i = 1, 2, , n; t1 = lần quan sát tn = T lần quan sát cuối trình quan sát Các mục tiêu xuất hiện, biến cách ngẫu nhiên Các mục tiêu xuất vị trí ngẫu nhiên có phân bố R Các mục tiêu xuất chuyển đông biến cách độc lập với Các mục tiêu giả FA xem loại mục tiêu tuân theo giả thiết (về mục tiêu) 15 mục tiêu khác Ký hiệu Xtk , t ∈ tki , tkf , k = 1, 2, trạng mục tiêu thứ k thời điểm t (tki tkf thời điểm xuất biến tương ứng) Ký hiệu M lớp mục tiêu mà mơ hình MTT quan tâm Số mục tiêu cần quan tâm có R thời điểm t ký hiệu Mt , có: Mt = Mt (ω) = Card{Xtk |k ∈ M} Số mục tiêu không thuộc lớp mục tiêu quan tâm có R thời điểm t ký hiệu Gt , đó: Gt = Gt (ω) = Card{Xts |s ∈ / M} Một cách hợp lý tự nhiên, giả thiết: + Mt = Mt (ω) biến ngẫu nhiên Poisson với tham số λm , λm > + Các Xtk , k ∈ M, xuất với xác suất pm , < pm < + Gt = Gt (ω), biến ngẫu nhiên Poisson với tham số λg , λg > + Các Xts , s ∈ / M, xuất với xác suất pg , < pg < Ký hiệu: Y (t) = {Ytj |j = 1, 2, , nt } tập giá trị quan sát thời điểm t, t = t1 , t2 , , tn ; nt số lượng mục tiêu quan sát thời điểm t Dễ thấy nt = Card(Y (t)) biến ngẫu nhiên nt = nt (ω) = Mt (ω) + Gt (ω); từ ta có: nt = nt (ω) P (λm + λg ) Yêu cầu toán MTT là: Hãy xác định số lượng mục tiêu có lớp M thời điểm t miền thời gian quan sát R, nghĩa xác định Mt (ω) 3.2.2 Mô hình xấp xỉ Do: Mt (ω) P (λm ) nt (ω) P (λm + λg ) nên ∀ε > tùy ý bé, ∃M ∗ = M (ε) ∈ N+ ∃N ∗ = N (ε) ∈ N+ cho P [Mt (ω) ≤ M ∗ ] ≥ − ε P [nt ≤ N ∗ ] ≥ − ε, ∀t ∈ [1, T ] Chúng ta đưa giả thiết hạn chế sau đây: Giả thiết 3.2.1 ∃ M ∗ , N ∗ ∈ N+ cho: Mt (ω) ≤ M ∗ (modP ), ∀t ∈ [1, T ]; nt (ω) ≤ N ∗ (modP ), ∀t ∈ [1, T ] Chúng ta gọi toán MTT phát biểu mục 3.2.1 với điều 16 kiện tuân theo Giả thiết 3.2.1 mô hình xấp xỉ Mơ hình đối tượng nghiên cứu chương 3.3 Mơ hình Markov ẩn Chúng ta xét HMM có cấu trúc mơ tả sau: + Tham số số trạng thái là: M, M ∈ N+ + Tập trạng thái phân biệt S = {S1 , S2 , , SM }, S gọi khơng gian trạng thái Ký hiệu qt trạng thái HMM thời điểm t, qt nhận giá trị S + Tham số số lượng giá trị quan sát N, N ∈ N+ + Tập tất giá trị quan sát phân biệt V = {v1 , v2 , , vN } Khi V gọi không gian giá trị quan sát Ký hiệu Ot quan sát thời điểm t, Ot nhận giá trị V + Phân phối trạng thái ban đầu: Π = {πi : ≤ i ≤ M }, đó: πi = P (q1 = Si ), ≤ i ≤ M + Phân phối xác xuất chuyển trạng thái: a/ Trường hợp HMM nhất: A = [aij ]1≤i,j≤M , đó: aij = P [ql+1 = Sj |ql = Si ] , ∀l, ≤ i, j ≤ M b/ Trường hợp HMM không nhất: A(k) = [aij (k)]1≤i,j≤M đó: aij (k) = P [qk+1 = Sj |qk = Si ] , ≤ i, j ≤ M Lưu ý: Để thuận tiện aij (a/) dùng ký hiệu aql ql+1 (b/) với aij (k) dùng ký hiệu aqk qk+1 (k) + Ký hiệu phân phối xác xuất quan sát HMM trạng thái Sj , ≤ j ≤ M B = [bj (k)]1≤k≤N , ≤ j ≤ M bj (k) = P [Ot = vk |qt = sj ], ≤ k ≤ N, ≤ j ≤ M + Ký hiệu: A = {A(k) : k = 1, 2, } Khi xác định tham số M, N HMM hồn tồn xác định biết Λ = (A, B, Π) trường hợp Λ = (A, B, Π) trường hợp không Bởi người ta thường dùng ký hiệu ba Λ = (A, B, Π) (trường hợp nhất) Λ = (A, B, Π) (trường hợp không nhất) để ký hiệu HMM tương ứng Chúng ta quan tâm nghiên cứu HMM miền thời gian [1, T ], T > 1, 17 T ∈ N+ Các thời điểm t nói đến hiểu t ∈ [1, T ], t ∈ N+ Các thời điểm xét là: = t1 < t2 < < tn = T , khơng tổng qt đồng tk = k, k = 1, 2, , n Mơ hình HMM gọi HMM rời rạc Với dãy quan sát miền thời gian [1, T ]: O = O1 O2 OT Chúng ta quan tâm tới hai toán sau HMM - Bài toán thứ nhất: Cho dãy quan sát O = O1 O2 OT Λ Hãy tính P (O|Λ) - Bài tốn thứ hai: Cho dãy quan sát O = O1 O2 OT Λ Hãy xác định dãy trạng thái Q = q1 q2 qT tối ưu (tính “tối ưu” hay gọi “phù hợp nhất” hiểu theo nghĩa cực đại xác xuất) Đây tốn xác định phần ẩn mơ hình HMM dựa dãy quan sát Trong nghiên cứu HMM, người ta cịn quan tâm tới tốn thứ toán điều chỉnh HMM, liên quan đến học máy (machine learning) thường ứng dụng lý thuyết nhận dạng Với cơng trình cơng bố thời điểm HMM, người ta đưa thuật toán “Tiến – Lùi” thuật toán Viterbi để giải toán thứ thứ hai Như biết, mô hình MTT liệu quan sát có q khứ tại, số liệu quan sát tương lai chưa thể có, “biến lùi” khơng tồn Do thuật tốn khơng áp dụng cho HMM liên quan đến MTT (sẽ xây dựng mục 3.5) Chúng xây dựng hai thuật toán: Thuật toán tiến thuật toán Viterbi cải tiến HMM không sau: 3.4 Thuật toán tiến thuật toán Viterbi cải tiến Trong mục luận án xây dựng thuật toán tiến (Forward Algorithm) thuật toán Viterbi cải tiến (Modified Viterbi Algorithm) Thuật toán Viterbi cải tiến thực chất thuật toán Viterbi sử dụng biến tiến thuật toán tiến Cả hai thuật toán xây dựng HMM không Lẽ đương nhiên HMM trường hợp riêng HMM không Với HMM khơng có kết sau đây: 18 3.4.1 Bài toán thứ thuật tốn tiến Xét mơ hình Markov ẩn khơng Λ = (A, B, Π) Với t = tk với quan sát Otk ký hiệu gọn Ok ; với trạng thái qtk ký hiệu gọn qk Tại thời điểm t = tk bất kỳ, tk ∈ [1, T ], với Λ ta có dãy quan sát đến thời điểm t, O = O1 O2 · · · Ot (3.4) Bài tốn thứ tính xác suất dãy quan sát (3.4) với điều kiện HMM không Λ cho Công thức giải thuật tốn giải tốn cho thơng qua bổ đề thuật toán sau đây: Bổ đề 3.4.1 k aqs−1 qs (s − 1) bqs (Os ) P (O|Λ) = ∀(q1 q2 qk ) (3.5) s=1 ký hiệu hình thức: aq0 q1 (0) = πq1 Trong HMM người ta đưa thuật toán tiến-lùi (ForwardBackward Algorithm) để tính cơng thức (3.5) với t = T Đối với HMM với mục tiêu áp dụng để giải tốn MTT thuật tốn không dùng Ở luận án đưa thuật tốn gọi thuật tốn tiến (Forward Algorithm) để tính công thức (3.5) với ∀t ∈ [1, T ] sau ❼ Thuật toán tiến Ký hiệu ατ (i) = P (O1 O2 · · · Oτ ; qτ = Si |Λ); nghĩa ατ (i) xác suất phần đầu dãy quan sát thời điểm tτ thời điểm tτ đó, trạng thái qτ = qtτ = Si , Si ∈ S ατ (i) gọi biến tiến Khi đó, xác suất P (O|Λ) tính theo biến tiến ατ (i) theo thủ tục quy nạp sau: 1/ Bước khởi đầu: α1 (i) = πi bi (O1 ), ≤ i ≤ M 2/ Bước quy nạp: M ατ (i) aij (τ ) · bj (Oτ +1 ); ατ +1 (j) = i=1 ≤ τ ≤ t − = tk − 1, ≤ j ≤ M 19 3/ Kết thúc: M P (O|Λ) = M αt (i) = i=1 αtk (i) i=1 3.4.2 Bài toán thứ hai thuật toán Viterbi cải tiến HMM khơng Bài tốn thứ HMM mục đích phát phần ẩn mơ hình nghĩa tìm dãy trạng thái hợp lý nhất, dãy trạng thái tối ưu tương ứng với dãy quan sát cho Vấn đề quan trọng tiêu chuẩn hợp lý nhất? Thế tối ưu? Có hai dạng yêu cầu sau: ❼ Dạng : Cho dãy quan sát: O = O1 O2 · · · Ot , ≤ t ≤ T sinh HMM không Λ Hãy tìm trạng thái qt = qt∗ tối ưu theo nghĩa cực đại xác suất ❼ Dạng 2: Cho dãy quan sát: O = O1 O2 · · · Ot , ≤ t ≤ T sinh HMM khơng Λ Hãy tìm dãy trạng thái Q∗ = q1∗ q2∗ · · · qt∗ Λ tối ưu theo nghĩa cực đại xác suất a/ Phương pháp tìm lời giải cho dạng Đây tốn tìm trạng thái tối ưu riêng biệt qt = qt∗ thời điểm t Chúng ta xây dựng biến: γt (i) = P (qt = Si |O, Λ) (3.10) Dễ dàng biểu diễn γt (i) qua biến tiến αt (i) theo công thức sau: γt (i) = αt (i) P (O|Λ) (3.11) Từ công thức (3.10) thu lời giải: qt∗ = arg max γt (i) 1≤i≤M (3.12) ❼ Thuật toán Viterbi cải tiến 1: Theo thuật toán tiến mục 3.4.1 dễ dàng dùng thuật toán tiến để thu γt (i) thơng qua cơng thức (3.11) từ thu qt∗ qua công thức (3.12) 20 b/ Phương pháp tìm lời giải cho dạng Để tìm dãy trạng thái tốt Q∗ = q1∗ q2∗ · · · qt∗ cho trước dãy quan sát O = O1 O2 Ot Λ, luận án đề xuất thuật toán sau gọi thuật toán Viterbi cải tiến HMM không Chúng ta định nghĩa đại lượng : δτ (i) = max q1 q2 qτ −1 P (q1 q2 qτ −1 qτ , qτ = Si , O1 O2 · · · Oτ |Λ), (3.13) nghĩa δτ (i) xác suất lớn dọc theo dãy trạng thái đơn thời điểm τ kết thúc τ trạng thái Si Từ (3.13) có cơng thức quy nạp cho δτ (j) theo công thức sau: max δτ −1 (i) · aij (τ − 1) δτ (j) = 1≤i≤M · bj (Oτ ) (3.14) Để tính dãy trạng thái cần tìm trình qui nạp theo công thức (3.14) phải giữ lại đối số (trạng thái) đạt cực đại (3.14) τ j Bởi với δτ (i), thực quy nạp với đại lượng ψt (j) sau: ❼ Thuật toán Viterbi cải tiến 1/ Bước khởi tạo: δ1 (i) = πi bi (O1 ), ψ1 (i) = 0, ≤ i ≤ M 2/ Bước quy nạp: δτ (j) = max δτ −1 (i) · aij (τ − 1) 1≤i≤M · bj (Oτ ), ≤ τ ≤ t, ≤ j ≤ M ψτ (j) = arg max {δτ −1 (i) · aij (τ − 1)} , ≤ τ ≤ t, ≤ j ≤ M 1≤i≤M 3/ Kết thúc: P ∗ = max {δt (i)} , qt∗ = arg max {δt (i)} 1≤i≤M 1≤i≤M 4/ Truy ngược: qτ∗ = ψτ +1 (q∗τ +1 ), τ = t − 1, t − 2, · · · , Kết thúc thuật toán xác định dãy trạng thái tối ưu Q∗ = q1∗ q2∗ · · · qt∗ 21 3.5 Áp dụng HMM giải tốn MTT 3.5.1 Bổ trợ phương pháp tính xác suất xây dựng HMM tương ứng với mơ hình MTT Nội dung mục nêu phương pháp bổ trợ để tính xác suất mục (mục 3.5.2) 3.5.2 Ứng dụng HMM giải toán MTT Trong mục xét toán MTT phát biểu mục 3.2.2 Chúng ta xây dựng HMM sau: 1/ Tham số M không gian trạng thái Chúng ta lấy: M = M ∗ + 1.Không gian trạng thái: S = {S0 , S1 , , SM ∗ } , đó, Si biến cố “Có i mục tiêu thuộc lớp M miền R thời điểm quan tâm tương ứng”, i = 0, 1, , M ∗ 2/ Tham số N không gian giá trị quan sát Chúng ta lấy N = N ∗ +1.Không gian giá trị quan sát: V = {v0 , v1 , , vN ∗ } , đó, vk biến cố “Có k giá trị quan sát thời điểm quan tâm tương ứng”, k = 0, 1, , N ∗ 3/ Phân phối xác suất chuyển trạng thái A = [aij ], ≤ i, j ≤ M ∗ , đó, aij = P [qtk = Sj |qtk−1 = Si ] i = D1 · l=max{0;(i−j)} (λm )i −λm j+l−i l l j+l−i D0 · e · CM ∗ +l−i · Ci · (1 − pm ) · pm i! số chuẩn hóa D0 D1 tính theo công thức: M∗ D0 = i=0 D1 =   M∗  (λm )i −λm e i! −1 i j=0 l=max{0;(i−j)} −1  (λm )i −λm j+l−i e CM ∗ +l−i · Cil (1 − pm )l pj+l−i D0 · m i!  dùng Cnm ký hiệu tổ hợp chập m n 22 4/ Phân phối xác suất dãy quan sát hệ thống trạng thái Sj thời điểm t là: B = {bj (vk )}, ≤ k ≤ N ∗ , ≤ j ≤ M ∗ đó, bj (vk ) = P [Ot = vk |qt = Sj ] =   0 với k < j k (λ + λg ) −(λm +λg )  D2 · m e k! với k ≥ j D2 số chuẩn  hóa tính theo côngthức −1  N ∗ (λ + λ )k  m D2 =  k=j g k! e−(λm +λg ) 5/ Phân phối trạng thái ban đầu: Π = {πi }, P [q1 = Si ] = D0 ·  ≤ i ≤ M ∗ πi = (λm )i −λm ·e i! Như xây dựng HMM cho toán MTT phát biểu mục 3.2.2 Chúng ta ký hiệu HMM ΛM T T Áp dụng thuật tốn tiến thuật tốn Viterbi cải tiến trình bày mục 3.4 cho ΛM T T với lưu ý mơ hình trường hợp riêng trường hợp không với A(n) ≡ A, ∀n Khi đó, biết giá trị nt1 , nt2 , , ntk (ntk = nt ), theo thuật toán xác định số mục tiêu tương ứng m∗t1 , m∗t2 , , m∗tk (m∗tk = m∗t ), với tk = t ký hiệu thời điểm hện 3.6 Kết luận Chương Chương nghiên cứu toán MTT dạng phát biểu mục 3.2.2 Với phương pháp dùng HMM, chương đạt kết sau: 1/ Đề xuất "thuật toán tiến" "thuật toán Viterbi cải tiến" HMM khơng 2/ Xây dựng HMM tương thích với toán MTT nghiên cứu chương 3/ Sử dụng thuật toán đề xuất HMM tương thích để giải tốn MTT nêu Các kết chương cơng bố cơng trình [CT3], [CT4] 23 KẾT LUẬN Luận án đề cập đến chủ đề nghiên cứu quan trọng khoa học kỹ thuật giải toán quan sát quỹ đạo đa mục tiêu MTT Bài tốn có nhiều ứng dụng dân quân thời điểm toán nhiều quốc gia nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Kết nghiên cứu luận án: Luận án trình bày kết nghiên cứu hai lớp mơ hình MTT Với lớp mơ hình MTT tổng quát có tượng mục tiêu bị che khuất, luận án đề xuất phương pháp liên kết liệu chiến lược liên kết liệu dựa hệ thống ánh xạ xác định đệ quy Chiến lược liên kết khắc phục tình trạng “mất mục tiêu”, “mất quỹ đạo bám” có mục tiêu bị che khuất Đồng thời luận án chứng minh tồn chiến lược liên kết liệu tối ưu theo nghĩa Bayes, cách xây dựng tường minh chiến lược thỏa mãn tính chất T tổng quát cho trước tính chất “ K(ε)-tối ưu” cụ thể thường dùng thực tiễn Với lớp mơ hình MTT quan tâm tới lớp mục tiêu, luận án tiếp cận mơ hình HMM thu kết sau: Đề xuất ”thuật toán tiến”, ”thuật toán Viterbi cải tiến” HMM không nhất; Xây dựng HMM tương thích giải tốn xác định số lượng mục tiêu lớp mục tiêu cần quan tâm mơ hình MTT nêu Những đóng góp luận án: Xây dựng mơ hình quỹ đạo nhiều mục tiêu phương pháp liên kết liệu đệ quy có tính đến tồn lịch sử quỹ đạo Đưa phương pháp “liên kết liệu” xây dựng phương pháp “kiến thiết đệ quy” dựa tư tưởng suy luận Bayes để tìm liên kết liệu thoả mãn tính chất cho trước 24 Giải toán ước lượng số mục tiêu dựa mơ hình Markov ẩn với hai thuật toán thuật toán tiến (Forwark Algorithm) thuật toán Viterbi cải tiến Hướng nghiên cứu tiếp luận án: Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận án, có số vấn đề mở sau nên tiếp tục nghiên cứu, hoàn thiện để có kết tốt Xét mơ hình MTT tổng quát với phân phối tiên nghiệm số mũ bội phần tử tập ban đầu M [Y (t0 )] Dựa vào thuật tốn tìm T - chiến lược, tìm lời giải tối ưu theo nghĩa khác cho toán MTT Nghiên cứu mơ hình HMM lớp mơ hình MTT tổng quát Nghiên cứu tính trạng thái tối ưu qt∗ Q∗ tìm mối quan hệ qt∗ có thuộc Q∗ hay khơng DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ [CT1] Nguyễn Thị Hằng, Nguyễn Hải Nam, “Bài toán quan sát đa mục tiêu: tồn lời giải tối ưu thuật tốn Kalman tìm nghiệm theo ngưỡng xác định”, Tạp chí Nghiên cứu Khoa học Cơng nghệ qn sự, ISSN 1859-1043, Số 46 (12-2016), tr 149–157, 2016 [CT2] Nguyễn Thị Hằng, “Một thuật toán tối ưu bám quỹ đạo mục tiêu toán quan sát đa mục tiêu trường hợp có mục tiêu bị che khuất”, Tạp chí Nghiên cứu phát triển Cơng nghệ Thơng tin Truyền thông, ISSN 1859-3526, Số 1, tháng 9, tập 2019, tr 47–55, 2019 [CT3] Nguyễn Thị Hằng, “Sử dụng mơ hình Markov ẩn để xác định mục tiêu toán quan sát quỹ đạo đa mục tiêu”, Tạp chí Nghiên cứu Khoa học Cơng nghệ qn sự, ISSN 1859-1043, Số 68 (8-2020), tr 178–185, 2020 [CT4] Nguyễn Thị Hằng, Lê Bích Phượng, Phạm Ngọc Anh, “Thuật tốn Viterbi cải tiến toán xác định mục tiêu mơ hình quan sát đa mục tiêu”, Tạp chí Nghiên cứu Khoa học Công nghệ quân sự, ISSN 1859-1043, Số 73 (6-2021), tr 145–152, 2021 ... Chương BÀI TỐN QUAN SÁT QUỸ ĐẠO ĐA MỤC TIÊU TỔNG QUÁT CÓ THỂ CÓ MỤC TIÊU BỊ CHE KHUẤT Trong chương này, luận án trình bày số kết nghiên cứu toán quan sát đa mục tiêu (MTT) tổng quát có mục tiêu. .. thường ứng dụng thực tế Các kết chương cơng bố báo khoa học [CT1]; [CT2] 14 Chương MÔ HÌNH MARKOV ẨN TRONG BÀI TỐN QUAN SÁT QUỸ ĐẠO ĐA MỤC TIÊU Chương luận án nghiên cứu lớp mơ hình MTT mà mục tiêu. .. điểm miền quan sát Lớp mục tiêu cần quan tâm tất mục tiêu, lớp thực lớp tất mục tiêu Số lượng mục tiêu lớp mục tiêu cần quan tâm số lượng ẩn số lượng tất mục tiêu mà mơ hình MTT ước lượng (xem ví