CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ và tên tác giả luận văn : Nguyễn Hoàng Việt Đề tài luận văn: Nghiên cứu thiết
T Ổ NG QUAN V Ề BÁNH RĂNG KHÔNG TRÒN
Gi ớ i thi ệu bánh răng không tròn
Cặp BRKT là cặp bánh răng có khả năng thực hiện các chuyển động không điển hình, đặc biệt nhờ các đặc trưng hình học và đặc điểm động học phức tạp BRKT được biết đến lần đầu tiên vào thế kỷ 15, được đưa ra bởi nhà bác học Leonardo Da Vinchi trong cuốn sách “Codex Madrid ” (hình 1.1) Trong các thế kỷ tiếp theo, BRKT được ứng dụng để phát triển các loại thiết bị tự động như: thiết bị quan sát thiên văn (hình 1.2), máy cắt khóa tự động, nhạc cụ và các công cụ tự động Cơ cấu BRKT có đặc điểm nhỏ gọn, chính xác, đáng tin cậy, thường được dùng để thay thế cho các cơ cấu truyền thống như cam, ly hợp, v.v Tuy nhiên, trong giai đoạn từ thế kỷ 15 đến đầu thế kỷ 20, BRKT hầu như không được phát triển do một số đặc điểm sau:
+ Công nghệ gia công chưa phát triển, còn phụ thuộc vào tay nghề công nhân
+ Tính toán, thiết kế quá phức tạp, tài liệu kỹ thuật hầu như không có
Từ đầu thế kỷ 20 với sự phát triển của khoa học, đặc biệt là giai đoạn từ
1949 – 1955 với sự ra đời của lý thuyết ăn khớp dựa trên thanh răng sinh của Litvin đã tạo ra đột phá mới Từ đó đến nay, BRKT bắt đầu được nghiên cứu, ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau trong công nghiệp như thiết bị đo lưu lượng, hệ thống đánh lái của xe tự hành, gạt nước mưa của xe ô tô, hay các hệ thống biến đổi tốc độ vô cấp CVT đời mới của các nhà thiết kế người Nhật Bản và Trung Quốc, v.v
Hình 1.1 Thiết kế BRKT của Leonardo Da Vinchi [1]
Hình 1.2 Thiết bị quan sát thiên văn sử dụng BRKT của Giovanni Dondi [2]
Phân loại bánh răng không tròn
Căn cứ theo đặc trưng hình học và đặc điểm động học, ta có thể phân loại BRKT như sau:
+ Cơ cấu BRKT có vận tốc đầu ra biến đổi liên tục được minh họa trong hình 1.3:
+ Cơ cấu BRKT biến đổi tốc độ: được thiết kế để đáp ứng yêu cầu một số phân đoạn chuyển động với tốc độ không đổi BRKT đa vận tốc cung a) Biên dạng cặp BRKT ăn khớp ngoài b) Tỷ số truyền của cặp BRKT
Hình 1.3 Cặp BRKT ăn khớp ngoài i 12 ϕ
3 cấp một tốc độ bằng hằng số cho một phần chu kỳ và tốc độ khác đối với phần khác của chu kỳ Quá trình chuyển đổi giữa các vận tốc diễn ra dần dần, không thay đổi đột ngột (hình 1.4)
+ BRKT có đường lăn là đường cong kín (hình 1.5):
Hình 1.5 HệBRKT có đường lăn kín [4]
+ BRKT có đường lăn là đường cong hở (hình 1.6):
Hình 1.6 Cặp BRKT có đường lăn hở [5] b) Đồ thị tốc độ góc của BRKT a) Biên dạng cặp BRKT ăn khớp ngoài
Hình 1.4 Cặp BRKT ăn khớp ngoài [3] ω
Ngoài ra ta có thể phân loại BRKT theo biên dạng răng như: BRKT biên dạng thân khai, BRKT biên dạng xycôlít (hình 1.7), v.v
Hình 1.7 BRKT biên dạng xycolit
Các ứng dụng của bánh răng không tròn
1.3.1 Ứng dụng bánh răng không tròn trong đồng hồ Đồng hồ là một trong số những thiết bị ứng dụng BRKT sớm nhất để tạo ra các hiệu ứng đặc biệt của các bộ phận chỉ thời gian
Trong đồng hồ Square-wheel của hãng Maurice Lacroix (hình 1.8), ta thấy đồng hồ này thay thế bộ phận kim chỉ giây thông thường bằng một cặp BRKT ăn khớp ngoài Trong quá trình hai BRKT ăn khớp với nhau, BRKT dạng ô van quay với tốc độ góc không đổi, BRKT dạng hình vuông quay với tốc độ góc thay đổi liên tục có nhiệm vụ chỉ số giây
Hình 1.8 Đồng hồ Square-wheel [6] Đồng hồ Lady Arpels Ronde des Papillons (hình 1.9) ứng dụng cơ cấu BRKT ở một mức độ cao hơn Chiếc đồng hồ này sử dụng cánh chim én để chỉ giờ, các cánh bướm khác nhau để chỉ phút Quan sát bề mặt đồng hồ ta nhận thấy
5 các số chỉ phút được chia thành ba phần riêng biệt với độ dài các cung đi qua các số chỉ phút là khác nhau Từ đó, để đồng hồ hoạt động chính xác thì tốc độ quay của các cánh bướm phải khác nhau Điều này đạt được nhờ sử dụng các BRKT dạng elíp trong kết cấu của đồng hồ
Cơ cấu BRKT được thể hiện trên hình 1.10, bánh răng elip trung tâm A được gắn đồng trục với một bánh răng trụ răng thẳng trong hệ vi sai, có một chu kỳ chạy trong hai giờ BRKT A ăn khớp với bánh răng elip B nhỏ hơn có chu kỳ chạy trong một giờ BRKT A quay với tốc độ không đổi trong khi BRKT B quay với tốc độ góc thay đổi liên tục BRKT B được gắn đồng trục với một bánh răng trụ răng thẳng mang theo cánh bướm chỉ từ 0-30 phút Tương tự, BRKT D được gắn đồng trục với một bánh răng trụ răng thẳng ăn khớp với các bánh răng E và E’ lần lượt mang theo các cánh bướm chỉ từ 30-45 phút và 45-60 phút
Hình 1.10 Cơ cấu BRKT trong đồng hồ [7] a) Bề mặt đồng hồ [7] b) Cấu trúc bên trong đồng hồ [7]
Hình 1.9 Đồng hồ Lady Arpels Ronde des Papillons
Không chỉ được sử dụng trong đồng hồ đeo tay, BRKT còn được sử dụng trong đồng hồ treo tường tạo ra vẻ đẹp độc đáo, cổ điển
Hình 1.11 Đồng hồtreo tường sử dụng BRKT [8]
1.3.2 Ứng dụng bánh răng không tròn trong thiết bị đo lưu lượng
Thiết bị đo thể tích chất lưu (hình 1.12) chảy qua thiết bị đo bằng cách đếm trực tiếp lượng thể tích đi qua buồng chứa có thể tích xác định của thiết bị đo
Hình 1.12 Thiết bị đo lưu lượng sử dụng BRKT [9]
Sơ đồ nguyên lý hoạt động của thiết bị đo đo lưu lượng kiểu BRKT được trình bày trên hình 1.13 Thiết bị đo gồm hai BRKT (1) và (2) truyền động ăn khớp với nhau Dưới tác động của chất lỏng, bánh răng (2) quay và truyền chuyển động tới bánh răng (1) cho tới khi BRKT (2) ở vị trí thẳng đứng, BRKT
(2) ở vị trí nằm ngang Chất lỏng trong thể tích V 1 được đẩy sang cửa ra Sau đó bánh răng (1) quay và quá trình tương tự lặp lại, thể tích chất lỏng trong buồng
V 2 được đẩy sang cửa ra Trong một vòng quay của thiết bị đo, thể tích chất lỏng
7 qua thiết bị đo bằng bốn lần thể tích V 1 =V 2 Trục của một trong hai BRKT liên kết với cơ cấu đếm đặt ngoài công cơ
Hình 1.13 Sơ đồ nguyên lý hoạt động của thiết bị đo lưu lượng [10]
Thiết bị đo đo lưu lượng sử dụng BRKT được sử dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp dầu mỏ, hóa chất, thực phẩm, v.v với các ưu điểm nổi trội: độ chính xác cao, lưu lượng đo được lớn, kết cấu đơn giản, độ tin cậy cao, không nhạy với sự biến đổi độ nhớt của chất lỏng, phù hợp với việc đo chất lỏng có độ nhớt cao, thiết bị đo hoạt động trực tiếp, không cần nguồn điện bên ngoài
1.3.3 Ứng dụng bánh răng không tròn trong động cơ Stirling
Hình 1.14 Động cơ Stirling sử dụng BRKT [11]
8 Động cơ Stirling là một động cơ nhiệt đốt ngoài sử dụng pistol Đây là loại động cơ nhiệt có hiệu suất cao, có thể đạt tới 50% đến 80% hiệu suất lý tưởng của chu trình nhiệt động lực học thuận nghịch (như chu trình Carnot) trong việc chuyển hóa nhiệt năng thành công năng, chỉ bị mất mát do ma sát và giới hạn của vật liệu Động cơ này cũng hoạt động được trên nhiều nguồn nhiệt, từ năng lượng Mặt Trời, phản ứng hóa học đến phản ứng hạt nhân Động cơ Stirling cải tiến như hình 1.14 sử dụng BRKT để điều khiển chuyển động của các pistol giúp nâng cao hiệu suất đồng thời giới hạn của nhiệt độ và áp suất cũng được cải thiện
1.3.4 Ứng dụng bánh răng không tròn trong bơm bánh răng
Bơm thủy lực được sử dụng rộng rãi vì cấu tạo đơn giản, bảo trì thuận tiện và chi phí tương đối thấp Tuy nhiên, bơm thủy lực vẫn tồn tại một số nhược điểm như xung do nguồn cung cấp chất lỏng gây ra lớn, không thể điều chỉnh dòng chảy, v.v Một bơm thuỷ lực sử dụng BRKT được đề xuất trong hình 1.15 để khắc phục những nhược điểm trên
Hình 1.15 Các bộ phận chính trong bơm thủy lực [12]
Bơm bao gồm các thành phần chính như hình 1.15 bao gồm: BRKT trung tâm 1, BRKT hành tinh 2, BRKT 3 đóng vai trò vỏ động cơ Phần thể tích rỗng trong bơm được chia thành các phần khác nhau với thể tích khác nhau được giới hạn bởi các BRKT 1, 2, 3 Để thuận tiện, ta ký hiệu các bánh răng hành tinh là a,
9 b, c, d, e, f, g, h, i Khi bánh răng trung tâm quay theo chiều kim đồng hồ, thể tích hình thành bởi BRKT 1, a, b, 3 tăng dần, tạo ra hiệu ứng hút dầu được lưu trữ trong bể chảy vào khối thể tích qua cửa vào T Đồng thời, thể tích hình thành bởi BRKT 1, b, c, 3 giảm dần, tạo ra hiệu ứng đẩy dầu được lưu trữ trong khối thể tích vào hệ thống qua cửa xả P Khi bánh răng trung tâm quay hết một vòng, một chu trình làm việc kết thúc Quá trình thay đổi thể tích các khối chất lỏng trong bơm được gây nên bởi quá trình ăn khớp giữa các BRKT, không phải bằng cách hút, đẩy trực tiếp chất lỏng, vì vậy, bơm có xung nhỏ Mặt khác, do có nhiều cặp bánh răng ăn khớp cùng lúc nên sẽ giảm rung và tiếng ồn Bên cạnh đó, do tính đối xứng trong cấu trúc bơm nên giúp triệt tiêu bớt lực hướng tâm
Hình 1.16 trình bày một dạng khác của hệ thống bơm sử dụng BRKT với cùng nguyên lý hoạt động với hệ thống bơm ở trên
1.3.5 Ứng dụng bánh răng không tròn trong cơ cấu lái a) Ứng dụng bánh răng không tròn trong cơ cấu lái robot tự hành
Takashi Emura và Akira Arakawa đã đề xuất một cơ cấu lái mới, cơ cấu này sử dụng các BRKT (hình 1.17-1.18), cung cấp khả năng điều khiển robot quay một cung với bán kính nhỏ Cơ cấu này đã được áp dụng cho các robot tự hành vận chuyển Kết quả thu được trên hình 1.19 cho thấy cơ cấu lái sử dụng
BRKT có khả năng điều chỉnh robot quay quanh bất kỳ điểm nào, ngay cả khi điểm đó nằm trên robot
Hình 1.17 Cơ cấu lái xe hai bánh [14]
Hình 1.18 Cơ cấu lái xe bốn bánh [14]
Hình 1.19 Kết quả di chuyển của robot sử dụng cơ cấu lái BRKT [14]
11 b) Ứng dụng bánh răng không tròn trong cơ cấu lái tàu thủy
Hình 1.20 Cơ cấu lái tàu thủy sử dụng BRKT [15]
Hình 1.21 Vị trí ăn khớp của cặp BRKT [15]
Cơ cấu được thiết kế như trong hình 1.20 - 1.21 với mục đích cung cấp một cơ cấu lái phù hợp với tàu thủy Cơ cấu lái mới giúp giảm và tăng khả năng cơ động của tàu thủy tương ứng với trường hợp tàu di chuyển với tốc độ cao và tốc độ thấp Đây là chức năng rất quan trọng bảo đảm tàu không bị lật do chuyển hướng đột ngột lúc di chuyển nhanh
1.3.6 Ứng dụng bánh răng không tròn trong cơ cấu gạt nước ô tô
Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước
Cho đến nay có thể nói ở Việt Nam, BRKT vẫn là một vấn đề mới và khó mà nhiều người làm về bánh răng chưa quan tâm tới Hiện nay chưa có một công trình nghiên cứu nào đáng kể và những tri thức khoa học về BRKT mới chỉ được giới thiệu một cách sơ lược, chung chung trong các tài liệu chuyên ngành nhằm để chỉ ra rằng ngoài các loại bánh răng có tỷ số truyền không đổi truyền thống còn có một loại bánh răng khác có tỷ số truyền biến đổi là cơ cấu BRKT Mặc dù đã có một vài thiết bị sử dụng BRKT như thiết bị đo lưu lượng, máy bơm bánh răng nhưng như vậy là quá ít, chưa sử dụng hiệu quả ứng dụng phong phú của BRKT
Việc nghiên cứu BRKT trên thế giới đã diễn ra từ lâu, tuy nhiên thế giới cũng chưa đưa ra được lý thuyết thiết kế hoàn chỉnh như các loại bánh răng khác Các nghiên cứu trên thế giới về BRKT hầu hết tập trung vào thiết kế và phân tích đường lăn, biên dạng của BRKT với các tác giả tiêu biểu như Anonymous
Bên cạnh đó, việc nghiên cứu phương pháp chế tạo BRKT cũng được quan tâm với các tác giả như Hanson và Churchill (1962), Goetz (1970), Litvin (1989), Tsay và Hwang (1994), v.v
Việc nghiên cứu ứng dụng BRKT vào các lĩnh vực như công nghiệp, y tế, quân sự, v.v cũng được chú trọng Với việc xuất hiện các phương pháp gia công chế tạo mới giúp cho việc sản xuất BRKT trở nên dễ dàng và chính xác hơn, ngày càng nhiều nghiên cứu ứng dụng BRKT ra đời.
Kết luận chương 1
Trong chương này luận văn đã đạt được các kết quả sau: i) Trình bày tổng quan về BRKT ii) Phân loại BRKT căn cứ theo đặc trưng hình học và đặc điểm động học iii) Trình bày các ứng dụng của BRKT, thông qua các phát minh sáng chế đã ứng dụng trong nhiều lĩnh vực iv) Trên cơ sở đó lựa chọn đối tượng nghiên cứu của luận văn là thiết kế bộ truyền BRKT kiểu hành tinh hỗn hợp
THI Ế T K Ế ĐƯỜNG LĂN CỦ A H Ệ BÁNH RĂNG KHÔNG TRÒN
Đặt vấn đề
Để thiết kế hệ BRKT hỗn hợp biên dạng thân khai có hai công việc cần thực hiện là thiết kế đường lăn của hệ BRKT và thiết kế biên dạng thân khai của các bánh răng trong hệ Trong đó, thiết kế đường lăn của hệ BRKT là bước đầu tiên và là cơ sở cho việc thiết kế biên dạng răng thân khai BRKT Chương này trình bày về các vấn đề thiết kế đường lăn của hệ BRKT hỗn hợp bao gồm các vấn đề: i) Cơ sở lý thuyết ăn khớp của cặp BRKT Trên cơ sở đó đưa ra lý thuyết xác định đường lăn của bánh răng đối tiếp trong trường hợp tổng quát ii) Ứng dụng lý thuyết tổng quát đã trình bày để xác định đường lăn của hệ BRKT hỗn hợp.
Cơ sở thiết kế đường lăn
2.2.1 Thiết kế tâm tích thực hiện theo hàm tỷ số truyền cho trước trong trường hợp ăn khớp ngoài
Hình 2.1 Đường lăn cặp bánh răng ăn khớp ngoài
Nếu gọi: r 1 (ϕ 1 ),ϕ 1 lần lượt là bán kính cực, góc cực của tâm tích ∑ 1 thuộc bánh răng 1 và r 2 ( ϕ 2 ), ϕ 2 lần lượt là bán kính cực, góc cực của tâm tích ∑ 2 thuộc bánh răng 2 (hình 2.1) Trong trường hợp này, giả thiết cho biết trước hàm tỷ số truyền i 12 ( ϕ 1 ) = f ( ϕ 1 ) với ϕ 1 ∈ [ 0 ÷ 2 π] Bài toán đặt ra là cần xác định bộ tham số r 1 ( ϕ 1 ), ϕ 1 , r 2 ( ϕ 2 ), ϕ 2 theo hàm truyền i 12 ( ϕ 1 ) = f ( ϕ 1 )
E là khoảng cách trục hai bánh răng
Với hàm truyền i 12 ( ϕ 1 ) = f ( ϕ 1 ) đã cho ta có: y 2
Từ (2.3) ta có bán kính cực r 1 ( ϕ 1 ) của ∑ 1 theo hàm truyền i 12 ( ϕ 1 )
1 = + ϕ ϕ (2.4) Cũng từ hàm truyền và (2.4) ta có: r 2 (ϕ 2 )(i 12 (ϕ 1 )+1)=i 12 (ϕ 1 )E (2.5)
Từ (2.5) ta có bán kính cực r 2 ( ϕ 2 ) của ∑ 2 theo hàm truyền i 12 ( ϕ 1 ) :
Từ hàm truyền i 12 ( ϕ 1 ) = f ( ϕ 1 ) đã cho ta có :
Như vậy, từ (2.6), (2.8) ta có công thức xác định đường ∑ 2 :
2.2.2 Thiết kế tâm tích thực hiện theo hàm tỷ số truyền cho trước trong trường hợp ăn khớp trong
Nếu gọi: r 1 ( ϕ 1 ), ϕ 1 lần lượt là bán kính cực, góc cực của tâm tích ∑ 1 thuộc bánh răng 1 và r 2 ( ϕ 2 ), ϕ 2 lần lượt là bán kính cực, góc cực của tâm tích ∑ 2 thuộc bánh răng 2 (hình 2.2) Trong trường hợp này, giả thiết cho biết trước hàm tỷ số truyền i 12 ( ϕ 1 ) = f ( ϕ 1 ) với ϕ 1 ∈ [ 0 ÷ 2 π] Bài toán đặt ra là cần xác định bộ tham số r 1 ( ϕ 1 ), ϕ 1 , r 2 ( ϕ 2 ), ϕ 2 theo hàm truyền i 12 ( ϕ 1 ) = f ( ϕ 1 )
E là khoảng cách trục hai bánh răng
Với hàm truyền i 12 ( ϕ 1 ) = f ( ϕ 1 ) đã cho ta có:
Hình 2.2 Đường lăn cặp bánh răng ăn khớp trong
Từ (2.13) ta có bán kính cực r 1 ( ϕ 1 ) của ∑ 1 theo hàm truyền i 12 ( ϕ 1 )
1 = − ϕ ϕ (2.14) Cũng từ hàm truyền và (2.14) ta có: r 2 (ϕ 2 )(i 12 (ϕ 1 )−1)=i 12 (ϕ 1 )E (2.15)
Từ (2.15) ta có bán kính cực r 2 ( ϕ 2 ) của ∑ 2 theo hàm truyền i 12 ( ϕ 1 ) :
Từ hàm truyền i 12 ( ϕ 1 ) = f ( ϕ 1 ) đã cho ta có :
2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (2.18) Như vậy, từ (2.16), (2.18) ta có công thức xác định đường ∑ 2 :
2.2.3 Xác định khoảng cách trục x 2 x 0 y 0 ω 2 y 2 y 1 x 1 ϕ 1 ϕ 2 ω 1
23 Để tâm tích của bánh răng trụ không tròn là đường cong kín thì tỷ số truyền của cặp BRKT phải là một hàm tuần hoàn i 12 ( ϕ 1 ) với chu kỳ T thỏa mãn:
T là chu kỳ của hàm tuần hoàn r 1 ( ϕ 1 ) , r 2 (ϕ 2 )
1 ,n n là các số nguyên dương
Phương trình (2.21) có thể hiểu là khi bánh răng 1 quay được n 1 vòng thì bánh răng 2 quay được n 2 vòng tương ứng
Từ (2.10), (2.20), (2.21) ta có khoảng cách trục E được xác định bởi phương trình:
Dấu “+” , “ – ”lần lượt dùng trong trường hợp ăn khớp trong và ăn khớp ngoài.
Phương trình đường lăn của một số bánh răng không tròn tiêu biểu
Hình 2.3 Đường lăn elíp trong tọa độ cực Đường elíp ∑ 1 là quỹ tích của các điểm P i trên mặt phẳng thỏa mãn điều kiện có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm F 1 , F 2 cố định bằng hằng số (hình
Thông số kích thước elíp:
+ ϕ 1 ,θ 1 là góc quay quanh tâm F 1 ,O 1
Xét trường hợp elíp lệch tâm, gốc tọa độ cực nằm tại tiêu điểm F 1 elíp
F = − (2.26) Đặt tâm quay O 1 tại tiêu điểm F 1 , sau khi biến đổi ta có phương trình tọa độ cực của elíp:
= (2.27) Đặt , p a ( 1 e ) a e= c = − 2 , phương trình (2.27) trở thành: π ϕ ϕ ϕ ,0 2 cos e 1
Tọa độ điểm P i xác định theo hai trục tọa độ x , y :
P F P sin y i = ϕ (2.30) Xét trường hợp elíp chính tâm, gốc tọa độ cực nằm tại tâm O 1 elíp
Ta có công thức tính độ dài đường trung tuyến:
Tọa độ điểm P i xác định theo hai trục tọa độ x , y :
2.3.2 Phương trình đường biến thể elíp trong tọa độ cực Đường lăn biến thể elíp được hình thành dựa trên đường lăn elíp cơ bản, bao gồm hai thành phần 1 II
1 , σ σ Để tạo thành biến thể nhánh I đường lăn elíp
I σ 1 , ta giữ nguyên bán kính cực đường lăn elíp và thay đổi góc quay từ ϕ 1 thành
1 m ϕ , với m I là hệ số biến đổi của nhánh I elíp Tương tự đối với biến thể nhánh II ϕ 1
Biến thể đường lăn nhánh I elip σ 1 I
O 1 a) Biến thể đường lăn nhánh I elip σ 1 I trong tọa độ cực b) Biến thể đường lăn nhánh II elip σ 1 II tron g tọa độ cực
Biến thể đường lăn nhánh II elip σ 1 II
Biến thể đường lăn nhánh I elip I σ 1
Biến thể đường lăn nhánh II elip II σ 1
O 1 c) Biến thể đường lăn elip σ 1 trong tọa độ cực
Hình 2.5 Đường lăn biến thể elíp
26 đường lăn elíp σ 1 II , ta giữ nguyên bán kính cực đường lăn elíp và thay đổi góc quay từ 2 π −ϕ 1 thành
2 π −ϕ , với m II là hệ số biến đổi của nhánh II elíp Ta có mối quan hệ giữa các hệ số m I , m II :
II = − (2.40) Hai thành phần 1 II
Từ những phân tích trên, ta có phương trình đường biến thể elíp trong hệ tọa độ cực:
Tọa độ điểm P i xác định theo hai trục tọa độ x , y :
1 r ( )sin y = ϕ ϕ (2.44) Tọa độ điểm P i xác định theo hai trục tọa độ x , y :
2.3.3 Phương trình đường elíp bậc cao trong tọa độ cực
Hình 2.5 Đường lăn elíp bậc ba
Một ví dụ về BRKT với đường lăn elíp bậc 3 được cho ở hình 2.5 Theo
[23], ta có phương trình đường lăn elíp bậc cao như sau: π ϕ ϕ ϕ 0 2
( a p= − 2 m 1 là số bậc của đường lăn
Tọa độ điểm P i xác định theo hai trục tọa độ x , y :
Thiết kế đường lăn hệ bánh răng không tròn hỗn hợp
Do nhu cầu thực tế, ta không chỉ sử dụng một cặp bánh răng mà sử dụng nhiều cặp bánh răng nối với nhau, tạo thành một hệ thống và được gọi là hệ thống bánh răng hay hệ BRKT Không mất đi tính tổng quát, luận văn đề xuất thiết kế đường lăn cho hệ BRKT hõn hợp bao gồm một hệ bánh răng hành tinh kép ăn khớp trong có bánh răng 1 cố định liên kết với một hệ bánh răng hành tinh kép ăn khớp ngoài có bánh răng 6 cố định thông qua một xích động là một cặp
BRKT ăn khớp ngoài (hình 2.6)
Hình 2.6 Lược đồ hệ bánh răng không tròn hỗn hợp
Xét hệ BRKT kiểu hành tinh kép ăn khớp trong:
Trục vào (input) được nối với cần C 1 quay với vận tốc ω 1 ngược chiều kim đồng hồ Bánh răng 1 ăn khớp ngoài với bánh răng 2 nên bánh răng 2 quay với vận tôc ω 2 theo chiều ngược lại ω 1 Đồng thời bánh răng 2 có chuyển động quay
28 quanh bánh răng 1 nhờ cơ cấu cần C 1 Bánh răng 2 ăn khớp trong với bánh răng
3 và bánh răng 3 quay với vận tốc ω 3 và cùng chiều với bánh răng 1
Xét cặp BRKT ăn khớp ngoài 3’ – 4:
Bánh răng 3’ đồng trục với bánh răng 3 và quay vói vận tốc ω = 3 ' ω 3 và cùng chiều với bánh răng 3 Bánh răng 3’ ăn khớp ngoài với bánh răng 4 nên bánh răng 4 quay với vận tôc ω 4 theo chiều ngược lại ω 3 '
Xét hệ BRKT kiểu hành tinh kép ăn khớp ngoài:
Bánh răng 4’ đồng trục với bánh răng 4 và quay vói vận tốc ω = 4 ' ω 4 và cùng chiều với bánh răng 4 Sau đó bánh răng 4’ ăn khóp ngoài vói bánh răng 5, bánh răng 5 quay với vận tôc ω 5 theo chiều ngược lại ω 4 ' Đồng thời do cơ cầu cần C 2 , bánh răng 5 có chuyển động quay quanh bánh răng 4’ Bánh răng 5’ đồng trục với bánh răng 5 và quay với vận tốc ω = 5 ' ω 5 và cùng chiều với bánh răng 5 Sau đó bánh răng 5’ ăn khóp ngoài với bánh răng 6, bánh răng 6 quay với vận tôc ω 6 theo chiều ngược lại ω 5 ' Đồng thời do cơ cầu cần C 2 , bánh răng 5’ có chuyển động quay quanh bánh răng 6 Đầu ra của hệ là ω 6 quay cùng chiều với bánh răng 5’
2.4.1 Thiết kế đường lăn của hệ bánh răng hành tinh 1 – 2 – 3
Trong trường hợp này, đường lăn của bánh răng xây dựng bằng cách cho trước khoảng cách trục, hàm truyền i 12 ,i 23 với bánh răng 2 là bánh răng elíp bậc cao Bài toán đặt ra là ta phải đi tìm hai đường lăn của bánh răng 1 và 3 a) Thiết kế đường lăn của cặp bánh răng không tròn ăn khớp ngoài 1 – 2
Từ (2.47), ta có phương trình đường lăn elíp bậc cao của bánh răng viết trong tọa độ cực: π ϕ ϕ ϕ , 0 2
Hàm tỷ số truyền i 12 theo góc quay ϕ 2 được cho bởi:
Khoảng cách hai trục quay được xác định trong công thức:
Từ (2.21), khi bánh răng 1 quay được n 1 vòng thì bánh răng 2 quay được n 2 vòng tương ứng Đặt
(2.54) Ứng dụng (2.54) vào (2.53), ta có:
Giải phương trình (2.55) ta có điều kiện khoảng cách hai trục bánh răng ăn khớp ngoài:
E 12 = 2 + + 2 − − 2 2 (2.56) Đường lăn bánh răng 1 được xác định qua các phương trình:
Tọa độ điểm P i xác định theo hai trục tọa độ x , y :
1 r sin y = ϕ (2.60) b) Thiết kế đường lăn của cặp bánh răng không tròn ăn khớp trong 1 – 3
Từ (2.47), ta có phương trình đường lăn elíp bậc cao của bánh răng viết trong tọa độ cực: π ϕ ϕ ϕ ,0 2
Hàm tỷ số truyền i 32 theo góc quay ϕ 2 được cho bởi:
Khoảng cách hai trục quay được xác định trong công thức: ϕ π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
Từ (2.21), khi bánh răng 3 quay được n 3 vòng thì bánh răng 2 quay được n 2 vòng tương ứng Đặt
(2.65) Ứng dụng (2.65) vào (2.64), ta có:
E 23 2 − 2 2 − 23 2 + 2 2 − 2 = (2.66) Giải phương trình (2.66) ta có điều kiện khoảng cách hai trục bánh răng:
Ta thấy để bánh răng 1 đồng tâm bánh răng 3 thì:
Giải phương trình (2.68) ta được mối quan hệ giữa n , m , e để thỏa mãn bánh răng 1 đồng tâm với bánh răng 3 Đường lăn bánh răng 1 được xác định qua các phương trình:
Tọa độ điểm P i xác định theo hai trục tọa độ x , y :
3 r sin y = ϕ (2.72) c) Ví dụ áp dụng 1
Hình 2.7, 2.8, 2.9 minh họa đường lăn của hệ bánh răng hành tinh kép ăn khớp trong.
Hình 2.7 Đường lăn cặp BRKT ăn khớp ngoài, bánh răng 2 dạng elíp bậc ba có a = 29.870 mm, e = 0.05, n = 2
E 12 Đường lăn bánh răng 2 Đường lăn bánh răng 1
100 mm Đường lăn bánh răng 3 Đường lăn bánh răng 2
Hình 2.8 Đường lăn cặp BRKTăn khớp trong, bánh răng 2 dạng elíp bậc ba có a = 29.870 mm, e = 0.05, m = 4
Hình 2.9 Đường lăn hệ bánh răng hành tinh 1 – 2 – 3
E 23 Đường lăn bánh răng 2 Đường lăn bánh răng 3 Đường lăn bánh răng 1
2.4.2 Thiết kế đường lăn của cặp bánh răng 3’ – 4
Trong trường hợp này, đường lăn của bánh răng xây dựng bằng cách cho trước khoảng cách trục, hàm truyền i 3 ' 4 với bánh răng 3’ là bánh răng elíp chính tâm Bài toán đặt ra là ta phải đi tìm hai đường lăn của bánh răng 4 a) Thiết kế đường lăn của cặp bánh răng ăn khớp ngoài 3’ – 4
Từ (2.37), ta có phương trình đường lăn của bánh răng elíp chính tâm viết trong tọa độ cực: π ϕ ϕ ϕ ,0 2
Hàm tỷ số truyền i 43 ' theo góc quay ϕ 2 được cho bởi:
Khoảng cách hai trục quay được xác định trong công thức: ϕ π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
Từ (2.21), khi bánh răng 4 quay được một vòng thì bánh răng 3’ quay được
' n 3 vòng tương ứng Công thức (2.75) trở thành: π = 2 ∫ π ϕ ϕ
Thu gọn phương trình (2.76), ta có:
E 3 2 ' 4 − 3 ' 4 3 ' + 3 ' + 3 ' 3 ' − 3 2 ' = (2.77) Giải phương trình (2.77) ta có điều kiện khoảng cách hai trục bánh răng ăn khớp ngoài:
= + (2.78) Đường lăn bánh răng 4 được xác định qua các phương trình:
Tọa độ điểm P i xác định theo hai trục tọa độ x , y :
4 r sin y = ϕ (2.82) b) Ví dụ áp dụng 2
Hình 2.10 Đường lăn cặp BRKT ăn khớp ngoài, bánh răng 3’ dạng elíp chính tâm có a = 39.375 mm, e = 0.55, n 3 ' = 4 Hình 2.10 minh họa đường lăn của cặp BRKT ăn khớp ngoài.
2.4.3 Thiết kế đường lăn hệ bánh răng hành tinh 4’ – 5 – 5’ – 6 a) Thiết kế đường lăn của cặp bánh răng không tròn ăn khớp ngoài 4’ – 5
Trong trường hợp này, đường lăn của bánh răng xây dựng bằng cách cho trước khoảng cách trục, hàm truyền i 4 ' 5 với bánh răng 4’ là bánh răng elíp lệch tâm Bài toán đặt ra là ta phải đi tìm đường lăn của bánh răng 5
Từ (2.28), ta có phương trình đường lăn của bánh răng elíp lệch tâm viết trong tọa độ cực: π ϕ ϕ ϕ , 0 2 cos e 1
E 3 ' 4 = Đường lăn bánh răng 3’ Đường lăn bánh răng 4
Hàm tỷ số truyền i 54 ' theo góc quay ϕ 4 ' được cho bởi:
Khoảng cách hai trục quay được xác định trong công thức: ϕ π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
Từ (2.21), khi bánh răng 5 quay được một vòng thì bánh răng 4’ quay được
' n 4 vòng tương ứng Công thức (2.85) trở thành: π = 2 ∫ π − − ϕ ϕ
(2.87) Ứng dụng (2.87) vào (2.86), ta có:
E 4 2 ' 5 − 4 2 ' − 4 ' 5 4 ' + 4 2 ' − 4 ' 2 = (2.88) Giải phương trình (2.88) ta có điều kiện khoảng cách hai trục bánh răng ăn khớp ngoài:
E 4 ' 5 = 4 ' + + 4 2 ' − − 4 2 ' (2.89) Đường lăn bánh răng 5 được xác định qua các phương trình:
Tọa độ điểm P i xác định theo hai trục tọa độ x , y :
5 r sin y = ϕ (2.93) b) Thiết kế đường lăn của cặp BRKT ăn khớp ngoài 5’ – 6
Trong trường hợp này, đường lăn của bánh răng xây dựng bằng cách cho trước khoảng cách trục, hàm truyền i 5 ' 6 với bánh răng 5’ là bánh răng biến thể elíp Bài toán đặt ra là ta phải đi tìm đường lăn của bánh răng 6 Đường lăn bánh răng 5’ bao gồm hai thành phần 1 II
1 , σ σ , ta sẽ tìm đường lăn đối tiếp tương ứng với từng thành phần 1 II
Từ (2.41), ta có phương trình đường lăn của bánh răng biến thể elíp viết trong tọa độ cực:
Hàm tỷ số truyền i 65 ' theo góc quay ϕ 5 ' được cho bởi:
Khoảng cách hai trục quay được xác định trong công thức: ϕ π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
Từ (2.21), khi bánh răng 6 quay được một vòng thì bánh răng 5’ quay được
' n 5 vòng tương ứng Công thức (2.98) trở thành:
37 Ứng dụng (2.100) vào (2.99), ta có:
E 5 2 ' 6 − 5 2 ' − 5 ' 6 5 ' + 5 2 ' − 5 2 ' = (2.101) Giải phương trình (2.101) ta có điều kiện khoảng cách hai trục bánh răng ăn khớp ngoài:
Ta thấy để bánh răng 4’ đồng tâm bánh răng 6 thì:
Giải phương trình (2.103) ta thu được mối quan hệ giữa n 4 ' ,n 5 ' ,e 4 ' ,e 5 ' để thỏa mãn bánh răng 4’ đồng tâm với bánh răng 6 Đường lăn bánh răng 6 được xác định qua các phương trình:
Tọa độ điểm P i xác định theo hai trục tọa độ x , y :
1 r sin y = ϕ (2.109) c) Ví dụ áp dụng 3
Hình 2.11, 2.12, 2.13 minh họa đường lăn của hệ bánh răng hành tinh kép ăn khớp ngoài.
E 4 ' 5 = Đường lăn bánh răng 5 Đường lăn bánh răng 4’
Hình 2.11 Đường lăn cặp BRKT ăn khớp ngoài, bánh răng 4’ dạng elíp lệch tâm có a = 39.375 mm, e = 0.55, n 4 ' = 3
Hình 2.12 Đường lăn cặp BRKT ăn khớp ngoài, bánh răng 5’ dạng biến thể elíp có a = 32.660 mm, e = 0.465, n 5 ' = 3
E 5 ' 6 = Đường lăn bánh răng 6 Đường lăn bánh răng 5’
100 mm Đường lăn bánh răng 5 Đường lăn bánh răng 6
Hình 2.13 Đường lăn hệ bánh răng hành tinh 4’ – 5 – 5’ – 6
Quy trình thiết kế đường lăn của hệ bánh răng không tròn hỗn hợp
Ta đưa ra quy trình thiết kế đường lăn của hệ BRKT hỗn hợp như sau:
Bước 1: Phân tích yêu cầu truyền động của hệ BRKT, lựa chọn các cấu hình BRKT phù hợp với từng vị trí bánh chủ động và bánh bị động Xác định tỷ số truyền i 12 và khoảng cách trục E của từng cặp BRKT
Bước 2: Viết phương trình đường lăn các BRKT chủ động trong tọa độ cực theo góc quay ϕ 1 : π ϕ ϕ ),0 2 ( r 1 1 ≤ 1 ≤ (2.110)
Bước 3: Viết hàm tỷ số truyền của các cặp BRKT theo góc quay ϕ 1 của bánh răng chủ động:
Dấu “+” , “ – ” lần lượt dùng trong trường hợp ăn khớp ngoài và ăn khớp trong
Bước 4: Xác định mối quan hệ giữa số vòng quay n bánh răng chủ động quay được khi bánh răng bị động quay được một vòng với khoảng cách trục E :
E = (2.112) Trong trường hợp khoảng cách trục cố định, ta phải xác định các giá trị n
Trong trường hợp các giá trị a , e , n đã được cố định, ta phải xác định khoảng cách trục E thỏa mãn phương trình (2.112)
Bước 5: Viết phương trình đường lăn các BRKT bị động trong tọa độ cực theo góc quay ϕ 1 :
Kết luận chương 2
Trong chương này luận văn đã đạt được các kết quả sau: i) Ứng dụng lý thuyết ăn khớp của BRKT trong thiết kế hệ bánh răng hành tinh hỗn hợp ii) Xác định điều kiện đồng trục của hệ bánh răng không tròn kiểu hành tinh hỗn hợp iii) Đưa ra quy trình thiết kế đường lăn của hệ bánh răng không tròn kiểu hành tinh Kết quả này phục vụ cho bài toán thiết kế biên dạng ở chương 3
THI Ế T K Ế BIÊN D ẠNG RĂNG HỆ BÁNH RĂNG HỖ N H Ợ P
Đặt vấn đề
Các răng khác nhau của cùng một BRKT có biên dạng khác nhau Đây là sự khác biệt chính giữa bánh răng trụ tròn với BRKT Sự thay đổi biên dạng răng trên cùng một BRKT là kết quả của sự thay đổi độ cong của đường lăn BRKT
Hình 3.1 Biên dạng răng BRKT là các răng của một tập hợp bánh răng tròn
Litvin đã sử dụng phương pháp đường tròn tương đương để thiết kế bánh răng không tròn, ý tưởng của phương pháp là tại mỗi đường bán kính cong coi như một đường tròn Như vậy, tập hợp các răng của bánh răng không tròn là tập hợp các răng của bánh răng trụ tròn (răng có biên dạng là đường thân khai của đường tròn) Với cách tiếp cận như vậy đối với một bánh răng elip, ta thấy biên dạng răng 1 và 9 tương ứng với biên dạng răng của bánh răng tròn với bán kính ρ A và ρ B (hình 3.1) Trong đó, ρ A và ρ B là độ cong tại các điểm A và B của đường lăn elip, tương ứng với vị trí răng số 1 và 9 Việc phân chia thành từng đoạn nhỏ trên đường lăn BRKT sau đó thay thế đường tròn tương đương rất hữu ích khi nghiên cứu về hiện tượng cắt lẹm chân răng của BRKT
Như vậy, khi xây dựng biên dạng cho các BRKT thì mỗi cặp răng ăn khớp trong bộ truyền có thể được xem là một cặp răng ăn khớp của bộ tuyền bánh răng trụ răng thẳng ρ A ρ B
Hiện nay phương pháp bao hình là phương pháp chính để gia công các bánh trụ răng thẳng Nội dung của phương pháp bao hình là tạo một họ đường cong mà bao hình là một đường thân khai Đường cong thuộc họ này được gọi là biên dạng đối tiếp của biên dạng bánh răng Đường bị bao có thể là một đường thân khai hoặc đường thẳng Trong trường hợp thứ nhất người ta dùng dao cắt là là bánh răng thân khai, gọi là bánh răng sinh, trường hợp thứ hai là dao thanh răng, gọi là thanh răng sinh
Trong thực tế, người ta thường dùng các đường cong sau đây làm biên dạng răng: đường xycôlit, đường tròn, đường thân khai vòng tròn, trong đó đường thân khai của đường tròn được sử dụng rộng rãi hơn cả
Hai biên dạng đối tiếp trong quá trình ăn khớp b 1 ,b 2 là bao hình của nhau trong chuyển động tương đối giữa chúng, nên về nguyên tắc khi chọn trước đường cong b 1 làm biên dạng cho bánh 1 thì bằng phương pháp bao hình hoàn toàn có thể xác định được đường cong b 2làm biên dạng răng thứ hai
Mục đích chương này trình bày phương pháp thiết kế biên dạng răng khi biết trước đường lăn của bánh răng không tròn, và cụ thể hơn chính là với đường lăn của các bánh răng trong hệ hành tinh được thiết kế ở trên chương 2 Nội dung của chương này bao gồm các vấn đề: i) Cơ sở lý thuyết phương pháp bao hình trong tạo hình biên dạng bánh răng Trên cơ sở đo đưa ra thuật toán xác định biên dạng bánh răng ii) Ứng dụng lý thuyết đã trình bày để thiết kế biên dạng bánh răng.
Thanh răng sinh
Trong thực tế khi gia công bánh răng, để tăng năng suất gia công thì thanh răng sinh được thay thế bằng dao phay trục vít tương đương gọi là dao phay lăn răng
Hình 3.2 Xác định các thông số chuyển động của ∑ S
Biên dạng của thanh răng sinh có thể là đoạn thẳng, đường cong đơn giản hay đường cong phức tạp và phụ thuộc vào độ phức tạp của biên dạng răng được gia công Nhưng sử dụng phổ biến nhất là đoạn thẳng vì trong trường hợp này biên dạng của bánh răng được chế tạo bởi thanh răng sẽ là đường thân khai của một đường túc bế tương ứng
Xác định thông số chuyển động để gia công BRKT bằng thanh răng sinh Nếu gọi t S t S ' là đường trung bình của thanh răng sinh S , khi đó t S t S ' chính là tâm tích sinh ∑ S của thanh răng (hình 3.2) Bài toán đặt ra là xác định chuyển động của ∑ S sao cho ∑ S lăn không trượt với hai tâm tích ∑ 1 ,∑ 2 tại P
Từ những phân tích trên đây nhận thấy ∑ S gồm có hai chuyển động đó là:
1) Chuyển động tịnh tiến theo phương O 1 O 2 (vì trong BRKT điểm P di chuyển liên tục trên đoạn O 1 O 2 theo hàm tỷ số truyền i 12 ( ϕ 1 ) Nếu gọi vận tốc của P trên O 1 O 2 là
1 O v O thì ∑ S phải chuyển động tịnh tiến theo phương O 1 O 2 với vận tốc v O 1 O 2
2) Chuyển động tịnh tiến theo phương vuông góc với O 1 O 2 và vận tốc của ∑ S phải thỏa mãn v PS = v P 1 = v P 2 = v P để đảm bảo điều kiện
∑ 1 ,∑ 2 và ∑ S lăn không trượt trên nhau trong quá trình chuyển động
Từ hình 3.2 có thể phân tích chuyển động này của thanh răng sinh thành hai chuyển động: i) Chuyển động tịnh tiến theo phương tiếp tuyến chung của ∑ 1 ,∑ 2 với vận tốc v S và có giá trị: v S =v P sinà(ϕ 1 )=ω 1 r 1 (ϕ 1 )sinà(ϕ 1 ) (3.1) ii) Chuyển động tịnh tiến theo phương pháp tuyến chung của
∑ 1 ,∑ 2 với vận tốc v eS và có giá trị: v eS = v P cos à ( ϕ 1 ) =ω 1 r 1 ( ϕ 1 ) cos à ( ϕ 1 ) (3.2)
Trong đú: à ( ϕ 1 ) là gúc hợp bởi t t s s ' với O 1 O 2 , do t S t S ' thay đổi phương theo i 12 ( ϕ 1 ) nờn à(ϕ 1 ) luụn biến đổi và được cho bởi:
Với r 1 ( ϕ 1 ) được cho bởi phương trình (1.33) từ đó ta có:
Như vậy trong thực tế gia công:
+ Dao thanh răng (dao phay lăn răng tương đương) phải chuyển động tịnh tiến với vận tốc v S
+ Bàn máy (mang phôi bánh răng) vừa thực hiện chuyển động quay quanh tâm O với vận tốc góc ω vừa chuyển động tịnh tiến với
Như vậy, khi đã xác định được thanh răng sinh S, cho ∑ S lăn không trượt trên ∑ 1 thì tạo hình được bánh răng 1 hình 3.3
Hình 3.3 Tạo hình bánh răng 1 ăn khớp ngoài bằng cách cho ∑ S của thanh răng sinh lăn không trượt trên ∑ 1
Tạo hình biên dạng răng bánh bị động bằng bánh răng sinh
Đầu tiên giả thiết cho hai biên dạng đối tiếp b 1 ,b 2 tương ứng với hai tâm tích động ∑ 1 ,∑ 2 quay quanh hai tâm O 1 ,O 2 cố định Giả sử P là điểm tiếp xúc của ∑ 1 ,∑ 2 , xét thêm một khâu động S quay quanh O S cố định trên đoạn O 1 O 2 sao cho luôn đảm bảo
S ω điều đó có nghĩa là v PS =v P 1 =v P 2 hay P là tâm vận tốc tức thời trong chuyển động tương đối (1 với 2), (2 với S ), (1 với S ), do đó:
+ Nếu gọi ∑ S là tâm tích của khâu S thì hoàn toàn xác định được
∑ S theo ∑ 1 hoặc ∑ 2 như bài toán đã trình bày trong mục 1.2.3.3 + Nếu gọi b S là một biên dạng tương ứng với ∑ S trên khâu S thì khi đó hoàn toàn xác định được một biên dạng b S trên khâu S , đối tiếp với b 1
45 của ∑ 1 và đối tiếp với b 2 của ∑ 2 bằng cách thay ∑ 2 bằng ∑ S hoặc (∑ 1 bằng ∑ S ) trong bài toán xác định biên dạng đối tiếp
+ Với cách xác định như trên thì b S sẽ đối tiếp với b 1 ,b 2 Do đó, ba biên dạng b S , b 1 , b 2 sẽ tiếp xúc với nhau tại K ( điểm tiếp xúc của b 1 , b 2 ), dẫn đến PK 1 =PK 2 =PK S Vì vậy, khi ∑ 1 ,∑ 2 và ∑ S tiếp xúc với nhau tại P thì b S , b 1 , b 2 sẽ tiếp xúc với nhau tại K , điều đó chứng tỏ b S ,b 1 ,b 2 thỏa mãn định lý đối tiếp
+ Xét trong quá trình chuyển động của ba khâu 1, 2, S thì ba tâm tích luôn tiếp xúc với nhau tại P và lăn không trượt trên nhau ( P di chuyển trên đoạn O 1 O 2 ), đồng thời các biên dạng b S ,b 1 ,b 2 cũng luôn tiếp xúc với nhau tại điểm K trên đường ăn khớp ∑ K Vì vậy, khi
∑ S lăn không trượt với ∑ 1 và ∑ 2 thì b 1 , b 2 là bao hình của b S và ngược lại
Từ những phân tích trên đây ta có khái niệm tâm tích ∑ S được gọi là tâm tích sinh, biên dạng b S được gọi là biên dạng sinh, còn khâu S được gọi là khâu sinh hay còn gọi là bánh răng sinh
Như vậy, khi đã xác định được bánh răng sinh S, cho ∑ S lăn không trượt trên ∑ 1 thì tạo hình được bánh răng 1 hình 3.4
Hình 3.4 Tạo hình bánh răng 1 ăn khớp trong bằng cách cho ∑ S của bánh răng sinh lăn không trượt trên ∑ 1
Thiết kế biên dạng răng thân khai cho các bánh răng 2, 3, 4’, 5 bằng dao thanh răng
3.4.1 Thanh răng sinh a) Các thông số tạo hình của thanh răng sinh
Hình dạng và kích thước thanh răng sinh quyết định hình dạng và kích thước của dao dùng cắt bánh răng theo phương pháp bao hình, do đó thanh răng sinh được tiêu chuẩn hóa.
Thanh răng sinh có các răng hình thang cân, giống hệt nhau và bố trí cách đều nhau (hình 3.5)
Các thông số tạo hình của thanh răng sinh:
+ Bước răng của thanh răng p 0 (khoảng cách giữa hai biên dạng răng cùng phía của hai răng kề nhau đo trên một đường thẳng song song với đường đỉnh hoặc đường chân)
+ Mô đun m 0 được tiêu chuẩn hóa: π
+ Góc áp lực của thanh răng α 0 (nửa góc ở đỉnh của hình thang cân), được tiêu chuẩn hóa và là một thông số về hình dạng răng
+ Chiều dày răng s 0 và chiều rộng rãnh w 0 đo trên đường trung bình:
+ Chiều cao đỉnh răng h 0 ' và chiều cao chân răng h 0 '' (khoảng cách từ đường trung bình đến đường đỉnh và đường chân):
0 2,5m h = (3.8) + Chiều cao phần lượn tròn ở đỉnh răng và chân răng :
Trong thực tế, phần lượn tròn ở đỉnh răng không có ý nghĩa gì trong việc tạo hình biên dạng thân khai, do vậy người ta thường dùng chiều cao lý thuyết của đinh răng 0
0 m h = và chiều cao lý thuyết của răng h 0 = 2 , 25 m 0
Hình 3.5 Minh họa thanh răng sinh lí thuyết
Chọn m 0 = 2 , ta có thông số kích thước thanh răng sinh:
Bảng 3.1 Thông số kích thước thanh răng sinh b) Mô hình toán học của thanh răng sinh
Gắn hệ tọa độ O c ( x c , y c ) với thanh răng sinh, hệ tọa độ O 1 ( x 1 , y 1 ) với BRKT Một thanh răng sinh tiêu chuẩn với biên dạng hoàn chỉnh được thể hiện trong hình 3.6
Tên gọi Ký hiệu Giá trị Đơn vị
Hình 3.6 Mô hình toán học một răng thuộc thanh răng sinh
Biên dạng răng thanh răng sinh bao gồm hai đoạn thẳng hợp với trục y c một góc α 0 Đoạn thẳng 1 ( 0 )
M ( i = 3 4 tương ứng với vùng 3,4 của thanh răng) tạo ra mặt làm việc các răng BRKT Các cung tròn bán kính r với tâm tại
C tạo thành góc lượn của răng BRKT Trong quá trình tạo hình biên dạng răng BRKT, trục x c phải có có phương trùng với phương tiếp tuyến đường lăn BRKT, như hình 3.7
Hình 3.7 Vị trí ăn khớp giữa thanh răng sinh và BRKT
Bởi vì mỗi răng của BRKT có biên dạng khác nhau nên ta phải xét đến cả hai mặt cắt trái, phải của biên dạng răng thanh răng sinh Từ đó, có thể chia biên dạng răng của thanh răng thành sáu phần như hình Vùng 1 và 6 của biên dạng thanh răng tạo hình mặt đáy của biên dạng răng BRKT, vùng 2 và 5 tạo góc lượn giữa mặt đáy và bề mặt làm việc của biên dạng răng BRKT, vùng 3 và 4 của biên dạng răng thanh răng tham gia tạo hình bề mặt làm việc của biên dạng răng BRKT Như vậy, ta có mô hình toán học biên dạng của một răng thanh răng sinh, xét trong hệ tọa độ O c ( x c , y c ) gắn trên dao thanh răng y c y 1 x 1 x c
+ Vùng 1 và 6 của biên dạng răng thanh răng sinh
Theo quan hệ hình học, ta có phương trình vùng 1 và 6 của biên dạng răng thanh răng sinh:
) i ( = = là khoảng cách đo từ điểm bắt đầu M 0 ( i ) , dọc theo đoạn thẳng 2 ( i )
M 1 nằm trên vùng 1, 6 của biên dạng răng thanh răng Trong phương trình (3.10), chỉ số trên viết cho vùng 1, chỉ số dưới viết cho vùng 6 của biên dạng răng thanh răng sinh
Véc tơ pháp tuyến biên dạng răng thanh răng tại vùng 1, 6 được tính theo công thức:
Từ (3.10), (3.11) ta có véc tơ pháp tuyến biên dạng răng thanh răng tại vùng 1, 6:
+ Vùng 2 và 5 của biên dạng răng thanh răng sinh
Theo quan hệ hình học, ta có phương trình vùng 2 và 5 của biên dạng răng thanh răng sinh:
= θ α θ α π α cos r sin r h sin r cos r tan
5 , 2 i Trong công thức trên, góc θ là thông số kích thước xác định vị trí các điểm nằm trên vùng 2, 5 của biên dạng răng thanh răng Trong phương
50 trình (3.13), chỉ số trên viết cho vùng 2, chỉ số dưới viết cho vùng 5 của biên dạng răng thanh răng sinh
Véc tơ pháp tuyến biên dạng răng thanh răng tại vùng 2, 5 được cho bởi:
Từ (3.13), (3.14) ta có véc tơ pháp tuyến biên dạng răng thanh răng tại vùng 2, 5:
+ Vùng 3 và 4 của biên dạng răng thanh răng sinh
Theo quan hệ hình học, ta có phương trình vùng 3 và 4 của biên dạng răng thanh răng sinh:
) i ( = = là khoảng cách đo từ điểm bắt đầu M 0 ( i ) , dọc theo đoạn thẳng 2 ( i )
M 1 nằm trên vùng 3, 4 của biên dạng răng thanh răng Trong phương trình (3.16), chỉ số trên viết cho vùng 3, chỉ số dưới viết cho vùng 4 của biên dạng răng thanh răng sinh
Véc tơ pháp tuyến biên dạng răng thanh răng tại vùng 3, 4 được tính theo công thức:
Từ (3.16), (3.17) ta có véc tơ pháp tuyến biên dạng răng thanh răng tại vùng 3, 4:
Từ (3.10), (3.13), (3.16) ta có mô hình toán học của thanh răng như sau:
,i 2,5 cos r sin r h np sin r cos r tan
Trong đó: n là số răng của thanh răng sinh
3.4.2 Tạo hình bánh răng bằng thanh răng sinh a) Phân bố số răng trên các bánh răng
Số lượng răng Z của các BRKT được xác định theo chu vi đường lăn L và mô đun bánh răng m theo công thức: m
Ta có chu vi đường lăn BRKT được xác định theo:
( r ϕ là bán kính cực của đường lăn Áp dụng (3.23) cho các bánh răng 2 , 3 ' , 4 ' , 5 ' , ta có chu vi đường lăn các BRKT như sau:
+ Chu vi đường lăn bánh răng 2 :
+ Chu vi đường lăn bánh răng 3 ' :
+ Chu vi đường lăn bánh răng 4 ' :
+ Chu vi đường lăn bánh răng 5 ' :
Chọn sơ bộ thông số bán trục lớn, bán trục nhỏ, tâm sai ta tính được chu vi sơ bộ L sb
Từ (3.22) ta có số răng sơ bộ: π m
Vì số răng phải là số nguyên nên chọn số răng Z là số nguyên gần nhất với
Từ số răng Z vừa chọn ta tính chọn lại giá trị bán trục lớn, bán trục nhỏ, tâm sai
Kích thước và số răng của các bánh răng chủ động 2, 3’, 4’, 5’ được tính ở
Bảng 3.2 Thông số bánh răng chủ động
Tên gọi Kí hiệu Đơn vị Bánh răng 2 Bánh răng 3’ Bánh răng 4’ Bánh răng 5’ Bán trục lớn sơ bộ a sb mm 30 40 33 33
Chu vi sơ bộ L mm 189.317 222.122 192.994 207.225
Số răng sơ bộ Z sb răng 30.13 35.35 30.71 31.62
Số răng được chọn Z răng 30 35 31 31
Bán trục lớn a mm 29.87 39.375 33.305 32.660 b) Tạo hình bánh răng bằng thanh răng sinh
Ta có mô hình toán học của biên dạng răng BRKT được tạo hình bởi phương pháp bao hình nhờ giải quyết đồng thời hai phương trình sau:
+ Phương trình (3.29) là phương trình chuyển tọa độ từ hệ O c ( x c , y c ) sang hệ O 1 ( x 1 , y 1 )
+ Phương trình (3.30) là phương trình ăn khớp giữa tâm tích sinh thanh răng và đường lăn BRKT
Xét hệ tọa độ O(x,y), một véc tơ có hướng từ gốc hệ tọa độ O đến một điểm M trên đường cong có dạng: j ) ( y i ) ( x ) ( r ϕ = ϕ + ϕ (3.31) Trong đó: j
, i là các véc tơ đơn vị của hệ tọa độ
( x ϕ ϕ là hàm tọa độ vị trí theo góc ϕ
Véc tơ tiếp tuyến tại một điểm M trên đường cong được tính như sau: j y i x r
T = ϕ = ϕ + ϕ (3.32) Trong đó: ϕ ϕ d r = dr , ϕ ϕ d x = dx , ϕ ϕ d y = dy Đặt: x ϕ =T x ,y ϕ =T y , ta có công thức xác định véc tơ tiếp tuyến T: j T i T
Từ véc tơ tiếp tuyến ở trên ta có véc tơ pháp tuyến của đường cong:
Hình 3.8 thể hiện pháp tuyến nn ' của đường cong tại điểm M , D là một điểm nằm trên pháp tuyến nn ' Ta có véc tơ vị trí điểm D với gốc O :
Hình 3.8 Véc tơ pháp tuyến tại một điểm trên đường cong
Véc tơ OD được xác định:
MD=λ λ là đại lượng vô hướng
(3.37) Áp dụng kết quả (3.37) ta có phương trình ăn khớp giữa thanh răng sinh và BRKT:
X c ( i ) = c ( i ) =− là tọa độ tâm ăn khớp tức thời xét trong hệ O c s là khoảng dịch chuyển của thanh răng, được xác định qua phương trình ăn khớp
( c ,y x là tọa độ điểm ăn khớp xét trong hệ O c
( xc ,n n là các thành phần véc tơ pháp tuyến của biên dạng răng thanh răng
Mô hình toán học biên dạng bánh răng không tròn tạo hình bằng thanh răng sinh
Với thanh răng sinh được tạo thành từ 3.4.1, sử dụng phương pháp bao hình để tạo biên dạng răng BRKT
Quá trình tạo hình biên dạng của đường lăn BRKT là quá trình ăn khớp giữa thanh răng sinh và phôi bánh răng (hình 3.9)
Hình 3.9 Tâm tích sinh thanh răng ăn khớp với đường lăn BRKT
1) Tâm tích sinh thanh răng là đường thẳng nằm trên trục x c ,x f có chuyển động dọc theo trục x f một lượng x O f c à ϕ ϕ ) r ( ) cos ( s x O f c = 1 + 1 (3.39)
2) M 1 là điểm ăn khớp tức thời của đường lăn elip và tâm tích sinh thanh răng Do đường lăn elip và tâm tích sinh thanh răng lăn không trượt trên nhau nên độ dài cung M 0 M 1 bằng khoảng cách O c M 1
) ( s ϕ 1 là khoảng dịch chuyển của thanh răng, được xác định qua phương trình ăn khớp (3.38)
3) Phương trình đường lăn của BRKT viết trong hệ tọa độ cực, trong trường hợp này ta sử dụng đường lăn của bánh răng elip:
= − Đường lăn elip trong quá trình ăn khớp với tâm tích sinh của thanh răng thực hiện đồng thời hai chuyển động, quay quanh tâm O 1 (tiêu cự của elip) và chuyển động tịnh tiến trên trục y n một lượng y O f 1 à ϕ ) sin ( r y O f 1 = 1 (3.41)
4) Tham số ψ 1 xác định góc quay của hệ O 1 ( x 1 , y 1 ) so với hệ
5) Tham số à xỏc định hướng tiếp tuyến của đường lăn elip tại điểm M 1
Hình 3.10 Véc tơ tiếp tuyến của đường cong tại điểm bất kì
Gọi β là góc giữa véc tơ tiếp tuyến τ 1 và trục O 1 x 1
1 1 tan tan tan ) tan tan( tan β ϕ ϕ ϕ β β à +
Phương trình đường lăn viết dưới dạng tham số trong tọa độ cực như sau:
Từ phương trình trên, ta có hệ số góc:
' ' x r cos rsin cos r sin r x tan y y
Từ các tham số tìm được ở trên, ta có các ma trận biến đổi tọa độ
Ma trận biểu diễn vị trí hiện tại của thanh răng so với vị trí ban đầu như sau:
Ma trận biểu diễn vị trí hiện tại của gốc so với vị trí ban đầu như sau:
Ma trận quay hệ tọa độ O 1 ( x 1 , y 1 ) về hệ tọa độ O n ( x n , y n ) như sau:
Từ (3.47), (3.48), (3.49) ta có ma trận biến đổi tọa độ từ hệ O c ( x c , y c ) về hệ
0 0 cos y sin x 0 cos sin sin y cos x 0 sin cos
Do sử dụng phương pháp bao hình nên với mỗi điểm thuộc biên dạng răng thanh răng sinh sẽ tương ứng với một điểm thuộc biên dạng răng BRKT Như vậy phương trình biên dạng răng có dạng như sau: r 1 (l ( i ) ,θ,ϕ 1 )=M 1 c (ϕ 1 )r c (l ( i ) ,θ)
0 0 cos y sin x 0 cos sin sin y cos x 0 sin cos
Từ (3.19), (3.20), (3.21), (3.51) ta có mô hình toán học biên dạng răng
+ Bề mặt đáy biên dạng răng BRKT
Bề mặt đáy biên dạng răng BRKT là vùng được tạo hình bởi vùng 1, 6 của biên dạng răng thanh răng sinh Theo quan hệ hình học, ta có phương trình bề mặt đáy biên dạng răng BRKT:
+ Bề mặt góc lượn biên dạng răng BRKT
Bề mặt bo góc biên dạng răng BRKT là vùng được tạo hình bởi vùng
1, 6 của biên dạng răng thanh răng sinh Theo quan hệ hình học, ta có phương trình bề mặt bo góc biên dạng răng BRKT:
( m sin cos y sin x ) cos r sin r h ( cos
( m cos sin y cos x ) cos r sin r h ( sin y r x
+ Bề mặt làm việc biên dạng răng BRKT
Bề mặt làm việc biên dạng răng BRKT là vùng được tạo hình bởi vùng
3, 4 của biên dạng răng thanh răng sinh Theo quan hệ hình học, ta có phương trình bề mặt làm việc biên dạng răng BRKT:
1 cos y sin x sin ) sin l tan
) cos l h ( sin y cos x cos ) sin l tan
Từ (3.52), (3.53), (3.54) ta có mô hình toán học biên dạng BRKT tạo hình bằng thanh răng sinh Điều kiện cắt lẹm
Hiện tượng cắt chân răng là hiện tượng phần biên dạng ở chân răng bánh răng bị cắt lẹm bởi đỉnh dao thanh răng trong quá trình tạo hình biên dạng răng bằng phương pháp bao hình (hình 3.11) Cắt lẹm chân răng là một hiện tượng có hại cần phải tránh vì một phần biên dạng thân khai của răng bị cắt lẹm làm giảm độ dài vùng làm việc của răng, điều kiện ăn khớp có thể bị vi phạm Ngay cả khi chân răng bị cắt lẹm không vào vùng làm việc của biên dạng răng, nhưng vẫn làm giảm sức bền uốn của răng do giảm tiết diện đáy răng Việc tìm điều kiện để không xảy ra hiện tượng cắt lẹm là rất cần thiết để đảm bảo khả năng truyền động ổn định của bánh răng
Trong mô hình toán, để tránh hiện tượng cắt lẹm chân răng ta cần hạn chế sự xuất hiện các điểm kỳ dị trên biên dạng răng Ta xét trường hơp điểm kỳ dị xuất hiên trên vùng làm việc của răng BRKT được tạo hình bởi vùng 3, 4 của răng thanh răng sinh Litvin đã đề xuất một phương pháp để giải quyết hiện tượng cắt lẹm chân răng, trong đó, sử dụng phương trình ăn khớp và vận tốc giữa thanh răng sinh, BRKT để tìm ra điều kiện cắt lẹm chân răng
Ta có thể chia chuyển động của điểm ăn khớp giữa thanh răng sinh và BRKT thành hai thành phần: chuyển động tương đối trên bề mặt răng với vận tốc v r và chuyển động quay quanh trục bánh răng gắn với BRKT với vận tốc v tr
(hình 3.12) Tại điểm ăn khớp, vận tốc tuyệt đối của thanh răng sinh và BRKT bằng nhau và bằng:
( v tr là vận tốc trượt giữa thanh răng sinh và BRKT
Phần chân răng bị cắt lẹm
Hình 3.11 Bánh răng bị cắt lẹm
Hình 3.12 Các thành phần vận tốc tại điểm ăn khớp
Hình 3.13 Thanh răng sinh ăn khớp với bánh răng tròn Để tìm v tr ( c 1 ) quá trình tạo hình biên dạng răng, ta sử dụng phương pháp đường tròn tương đương như đã trình bày ở phần 3.1 Xét trường hợp ăn khớp giữa thanh răng sinh và bánh răng tròn (hình 3.13)
Ta có vận tốc trượt giữa thanh răng sinh và bánh răng trụ tròn trong quá trình tạo hình biên dạng răng:
( tr v v = = là vận tốc của thanh răng sinh trong hệ tọa độ O c ( x c , y c )
) R ( ) r ( v ( tr 1 ) = ω c × c + ×ω c là vận tốc của bánh răng trụ tròn tại điểm M trong hệ quy chiếu O c ( x c , y c ) c 1 c ω k ω c c c c c x i y j r = + c c 1 1 c O i j
Như vậy, vận tốc trượt giữa thanh răng sinh và bánh răng trụ tròn trong quá trình tạo hình biên dạng răng bằng:
Ta có vận tốc trượt giữa thanh răng sinh và BRKT trong quá trình tạo hình biên dạng răng:
Tại điểm bất kỳ thuộc biên dạng răng, luôn tồn tại một véctơ tiếp tuyến
T ≠ của biên dạng răng Khi hiện tượng cắt lẹm xảy ra, tại điểm cắt lẹm T = 0 , do đó:
0 v v ( r c ) + ( tr c 1 ) = (3.60) Vận tốc trượt v tr ( c 1 ) trong (3.59) có thể được chia thành hai thành phần theo hai trục x c , y c như sau:
Từ phương trình (3.38), ta có phương trình ăn khớp giữa thanh răng sinh và BRKT tại vùng làm việc của răng BRKT như sau:
Một dạng khác của phương trình ăn khớp (3.63): dt f d dt dl l f 1
Các phương trình (3.61), (3.62), (3.63) tạo thành hệ ba phương trình giải được khi và chỉ khi các định thức Jacobi sau thỏa mãn:
Thay (3.59), (3.63) vào (3.65) hoặc (3.66) ta có phương trình điều kiện cắt lẹm chân răng:
1 s là bán kính cong đường lăn BRKT
0 ( 1 x ) m h = − x là hệ số dịch dao
0 l ( 3 ) = tại điểm cuối vùng làm việc của răng
2 (1 x)m sin α = − ρ (3.68) Đối với BRKT, bán kính ρthay đổi theo ϕ 1 , ta có thể xác định được ρ min bằng các phương trình sau:
Thay giá trị ρ min vừa tìm được vào phương trình (3.68) ta có:
Từ (3.71), với các giá trị ρ min , α 0 cố định, để tránh cắt lẹm chân răng ta có hai hướng sau:
+ Khi biết trước hệ số dịch dao x , mô đun tối đa của bánh răng: x 1 m sin 0
+ Khi biết trước mô đun m , hệ số dịch dao tối thiểu của bánh răng (hình
Hình 3.14 Mô hình toán học răng thanh răng sinh sau dịch chỉnh
Hình 3.15 Vận tốc trượt tại điểm ăn khớp
Tạo hình biên dạng bánh răng không tròn bằng bánh răng sinh
3.5.1 Mô hình toán học của biên dạng bánh răng không tròn tạo hình bằng bánh răng sinh y f x 1 y 1
Hình 3.16 Tạo hình biên dạng BRKT ăn khớp ngoài bằng bánh răng sinh
Hình 3.17 Tạo hình biên dạng BRKT ăn khớp trong bằng bánh răng sinh
Sử dụng BRKT với biên dạng tìm được ở 3.4, lúc này đóng vai trò là bánh răng sinh trong phương pháp bao hình để tìm biên dạng BRKT đối tiếp Gắn hệ tọa độ O 1 (x 1 ,y 1 ),O 2 (x 2 ,y 2 ) vào bánh răng sinh, BRKT đối tiếp Hệ tọa độ
O f f f là hệ tọa độ cố định
Quá trình tạo hình biên dạng BRKT ăn khớp ngoài được thể hiện như hình
3.16, quá trình tạo hình biên dạng BRKT ăn khớp trong được thể hiện như hình 3.17 Quá trình tạo hình diễn ra như sau: cố định BRKT 2 cần tạo biên dạng, cho bánh răng sinh 1 lăn không trượt trên BRKT 2 Bánh răng sinh 1 thực hiện hai chuyển động quay đồng thời, đó là: chuyển động quay quanh tâm O 1 của chính nó và chuyển động quay quanh tâm O 2 Khi bánh răng sinh quay được một góc i ϕ 1 , BRKT 2 sẽ quay được một góc ϕ 2 i tương ứng Với mỗi điểm K 1 i thuộc biên dạng bánh răng sinh 1, ta xác định được một điểm K 2 i tương ứng thuộc biên dạng BRKT 2 thông qua phương trình sau: x 2 y 2 x 1 y 1 x f y f
M 21 ϕ 1 là ma trận chuyển từ hệ tọa độ O 1 ( x 1 , y 1 ) về hệ tọa độ O 2 ( x 2 , y 2 )
+ Đối với trường hợp ăn khớp ngoài, do hai bánh răng quay ngược chiều nhau nên ta chuyển tọa độ điểm từ hệ O 1 ( x 1 , y 1 ) về hệ O 2 ( x 2 , y 2 ) bằng cách quay hệ O 1 ( x 1 , y 1 ) một góc −ϕ 1 quanh gốc O 1 , sau đó quay tiếp hệ O 1 (x 1 ,y 1 ) một góc ϕ 2 quanh gốc O 2 , cuối cùng tịnh tiến hệ
O 1 1 1 theo phương x f một khoảng x O f 1 , theo phương y f một khoảng y O f 1
Ma trận M 21 ( ϕ 1 ) được xác định như sau:
Ma trận M 1 (ϕ 1 ) biểu diễn phép quay hệ tọa độ O 1 ( x 1 , y 1 ) một góc ϕ 1
Ma trận M 2 ( ϕ 1 ) biểu diễn phép quay hệ tọa độ O 1 ( x 1 , y 1 ) một góc ϕ 2 quanh gốc O 2
Ma trận M 3 (ϕ 1 ) biểu diễn phép tịnh tiến hệ tọa độ O 1 (x 1 ,y 1 ) theo phương x f một khoảng x O f 1 , theo phương y f một khoảng y O f 1
Từ (3.80), (3.81), (3.82) ta có ma trận biến đổi tọa độ từ hệ O 1 ( x 1 , y 1 ) về hệ O 2 (x 2 ,y 2 ):
+ Tương tự đối với trường hợp ăn khớp ngoài, do hai bánh răng quay cùng chiều nhau nên ta chuyển tọa độ điểm từ hệ O 1 ( x 1 , y 1 ) về hệ
O 2 2 2 bằng cách quay hệ O 1 (x 1 ,y 1 ) một góc −ϕ 1 quanh gốc O 1 , sau đó quay tiếp hệ O 1 ( x 1 , y 1 ) một góc ϕ 2 quanh gốc O 2 , cuối cùng tịnh tiến hệ O 1 (x 1 ,y 1 ) theo phương x f một khoảng x O f 1 , theo phương y f một khoảng y O f 1
Ma trận M 21 (ϕ 1 ) được xác định như sau:
Ma trận M 1 ( ϕ 1 ) biểu diễn phép quay hệ tọa độ O 1 ( x 1 , y 1 ) một góc ϕ 1
Ma trận M 2 ( ϕ 1 ) biểu diễn phép quay hệ tọa độ O 1 (x 1 ,y 1 ) một góc ϕ 2 quanh gốc O 2
Ma trận M 3 (ϕ 1 ) biểu diễn phép tịnh tiến hệ tọa độ O 1 ( x 1 , y 1 ) theo phương x f một khoảng x O f 1 , theo phương y f một khoảng y O f 1
Từ (3.85), (3.86), (3.87) ta có ma trận biến đổi tọa độ từ hệ O 1 ( x 1 , y 1 ) về hệ O 2 ( x 2 , y 2 ) :
Từ (3.78), (3.83) ta có mô hình toán học biên dạng BRKT tạo hình bởi bánh răng sinh trong trường hợp ăn khớp ngoài:
Từ (3.78), (3.88) ta có mô hình toán học biên dạng BRKT tạo hình bởi bánh răng sinh trong trường hợp ăn khớp trong:
Như vậy, từ (3.89), (3.90) ta có mô hình toán học biên dạng BRKT tạo hình bởi bánh răng sinh trong trường hợp ăn khớp ngoài và ăn khớp trong
3.5.2 Thuật toán tạo hình biên dạng bánh răng không tròn bằng phương pháp bao hình
Từ những mô hình toán học đã thành lập ở trên, ta xây dựng thuật toán tự động tạo hình biên dạng BRKT bằng phương pháp bao hình trên phần mềm MATLAB
MATLAB là phần mềm cung cấp môi trường tính toán số và lập trình, do công ty MathWorks thiết kế MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện các thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác Với mục đích xây dựng thuật toán tạo hình biên dạng BRKT bằng phương pháp bao hình, yêu cầu cần có một công cụ cung cấp khả năng vẽ đồ thị mạnh Vẽ đồ thị là một tính năng được trau chuốt trong MATLAB, với rất nhiều kiểu đồ thị khác nhau như biểu đồ dạng đường, biểu đồ chấm điểm, v.v Ngoài ra MATLAB còn cung cấp giao diện để người dùng trực tiếp biên tập hình vẽ, điền vào các ghi chú theo ý muốn
Hình 3.18 là thuật toán xác định biên dạng của hệ BRKT hỗn hợp
Nhập thông số thanh răng sinh và đường lăn bánh răng bị động.
Thực hiện tính toán, xuất tọa độ biên dạng thanh răng sinh và BRKT.
Nhập thông số đường lăn BRKT cần tạo hình
Sử dụng BRKT vừa được tạo hình làm bánh răng sinh
Thực hiện tính toán, xuất tọa độ biên dạng BRKT
Hình 3.18 Lưu đồ thuật toán xác định biên dạng bánh răng hành tinh ăn khớp ngoài
Động học hệ bánh răng
Hình 3.19 Lược đồ hệ BRKT hỗn hợp
Ta xác định mối quan hệ động học của hệ BRKT hỗn hợp có đường lăn được xây dựng ở chương 2 (Hình 3.19)
3.6.1 Xét hệ bánh răng hành tinh 1
Hệ bánh răng hành tinh 1 (hình 3.20) có bánh răng 1 và bánh răng 3 có đường trục cố định, bánh răng 2 có đường trục di động gọi là bánh răng vệ tinh Khâu động mang trục của bánh vệ tinh gọi là cần, khi cố định cần hệ vi sai trở thành hệ thường
Xét hệ hành tinh ở hình 2.5, bánh răng trung tâm 1 cố định, cần C 1 quay quanh trục cố định O 1 , bánh răng vệ tinh 2 mang trên cần C 1 có chuyển động quay kép với vận tốc góc ω 2
Ta tìm quan hệ giữa ω 1 ,ω 2 ,ω 3 ,ω C 1 bằn cách đổi giá cơ cấu, xem cần C 1 là giá cố định hay nói cách khác là xét hệ hành tinh trong chuyển động tương đối với cần C 1 Lúc này các bánh răng 1,2,3 đều có đường trục cố định và hệ trở thành hệ thường Trong hệ này, các bánh răng 1,2,3 sẽ có vận tốc góc là:
12 ,i ,i i là tỷ số truyền của cặp bánh răng 1 và 2, 1 và 3, 2 và 3 trong chuyển động tương đối với cần C 1 Ta có:
Hình 3.20Lược đồ hệ bánh răng hành tinh 1
Vì bánh răng 1 cố định nên ω 1 = 0 , từ (3.94) chia cho ω 3 ta có:
Phương trình (3.96) cho ta biết mối quan hệ giữa khâu dẫn C 1 và trục ra của hệ hành tinh 1
Mặt khác, ta lại có:
Phương trình (3.99) cho biết mối quan hệ giữa vận tốc góc của trục BRKT 3 với vận tốc góc của trục vào
Hình 3.21 Lược đồ cặp bánh răng 3’ – 4
Xét cặp bánh răng 3’ – 4 (hình 3.21), do đây là cặp BRKT ăn khớp ngoài
Vì vậy, gọi i 3'4 là hàm truyền của cặp bánh răng 3’ và 4, ta có:
Do bánh răng 3 và 3’ tạo thành khối bánh răng nên ω3' =ω3 Vì vậy, công thức (3.101) được viết lại:
Phương trình (3.103) cho biết mối quan hệ giữa vận tốc góc của trục BRKT
3 với vận tốc góc của BRKT 4
3.6.3 Xét hệ bánh răng hành tinh 2 (4’ – 5 – 5’ – 6 – C 2 ) trong trường hợp bánh răng 6 cố định
Xét hệ bánh răng hành tinh cơ bản gồm các bánh răng (4’ – 5 – 5’ – 6 – C 2 ) (hình 3.22) Trong đó: khối bánh răng 5 – 5’ là khối bánh răng vệ tinh còn bánh răng 4’ và 6 là bánh răng trung tâm, C 2 là cần mang khối bánh răng 5 – 5’ quay quanh bánh răng trung tâm 4 và 6 Như vậy, xét hệ bánh răng (4’ – 5 – 5’ – 6 -
C 2 ), coi cần C 2 là giá trong hệ quy chiếu này thì:
Hình 3.22 Lược đồ hệ bánh răng hành tinh 2 (4’ – 5 – 5’ – 6 – C 2 )
Do bánh răng 4 và 4’, 5 và 5’ tạo thành khối bánh răng nên ω4'=ω ω4, 5'=ω5, ta có:
Vì bánh răng 6 cố định nên ω 6 = 0 , từ (3.107) chia cho ω 6 ta có:
4 1 i i i i 2 = − (3.110) Mặt khác, ta lại có:
(3.113) Phương trình (3.113) cho biết mối quan hệ giữa vận tốc góc của trục ra với vận tốc góc của trục 4
3.6.5 Xét hệ bánh răng hỗn hợp
Tỷ số truyền của hệ bánh răng hỗn hợp trong trường hệ gồm các bánh răng
(1 – 2 – 3 – 3’ – 4 – 4’ – 5 – 5’ – 6 – C 2 ), trong đó bánh răng 1 và bánh răng 6 cố định: i C 1 C 2 =i C 1 3 i 33 ' i 3 ' 4 i 44 ' i 4 ' C 2 (3.114) i i i (1 i i i )
Mặt khác, ta lại có:
Phương trình (3.117) cho biết mối quan hệ giữa vận tốc góc của trục ra với vận tốc góc của trục vào.
Ví dụ áp dụng 4
Sử dụng thuật toán ở mục 3.5.2 tạo hình biên dạng và giải bài toán động học cho hệ bánh răng đã xây dựng ở chương 2
Hình 3.23 Biên dạng bánh răng 2, Z 2 = 30
Biên dạng bánh răng 1 mm
Hình 3.24 Biên dạng cặp bánh răng 1 – 2, Z 1 = 60
Hình 3.25 Biên dạng cặp bánh răng 2 – 3, Z 3 = 120
Hình 3.26 Biên dạng hệ bánh răng 1 – 2 – 3
Hình 3.27 Tỉ số truyền hệ bánh răng 1 – 2 – 3
Biên dạng bánh răng 1 mm mm
Hình 3.28 Biên dạng bánh răng 3’, Z 3 ' = 35
Hình 3.29 Biên dạng cặp bánh răng 3’ – 4, Z 4 = 70
Hình 3.30 Tỉ số truyền hệ bánh răng 3’ – 4
Hình 3.31 Biên dạng bánh răng 4’, Z 4 ' = 31
Hình 3.32 Biên dạng cặp bánh răng 4’ – 5, Z 5 =93
Hình 3.33 Tỉ số truyền hệ bánh răng 4’ – 5
Hình 3.34 Biên dạng bánh răng 5’, Z 5 ' = 31
Hình 3.35 Biên dạng cặp bánh răng 5’ – 6, Z 6 = 93
Hình 3.36 Tỉ số truyền hệ bánh răng 5’ – 6
Kết luận chương 3
Chương 3 đã giải quyết được một số vấn đề như sau: i) Trình bày lý thuyết thiết kế biên dạng răng cho các BRKT bất kỳ, từ đó ứng dụng để tạo biên dạng răng cho hệ bánh răng hành tinh cới các BRKT đã thiết kế ở chương 2 ii) Xây dựng thuật toán tạo hình biên dạng thân khai BRKT trên phần mềm MATLAB iii) Đưa ra điều kiện tránh cắt lẹm chân răng đối với biên dạng thân khai của BRKT iv) Giải bài toán động học hệ bánh răng
Kết quả luận văn đạt được như sau: i) Ứng dụng lý thuyết ăn khớp của BRKT trong thiết kế hệ bánh răng hành tinh hỗn hợp, xác định điều kiện đồng trục của hệ bánh răng hành tinh Từ đó đưa ra quy trình thiết kế đường lăn của hệ BRKT kiểu hành tinh ii) Ứng dụng lý thuyết thiết kế biên dạng răng để tạo hình biên dạng răng cho các BRKT Từ đó xây dựng thuật toán tạo hình biên dạng thân khai BRKT trên phần mềm MATLAB Đồng thời đưa ra điều kiện tránh cắt lẹm chân răng đối với BRKT Giải bài toán động học hệ BRKT được xây dựng
II Về mặt thực tiễn Ứng dụng hệ BRKT được tính toán thiết kế để chế tạo bộ biến mô có bản vẽ ở phần Phụ lục
III Các vấn đề còn hạn chế
Luận văn đã trình bày quy trình thiết kế BRKT tuy nhiên chưa tính toán, kiểm nghiệm độ bền của răng Đây là vấn đề hạn chế cần được nghiên cứu giải quyết nhằm hoàn thiện hơn về mặt lí thuyết thiết kế cho các bánh răng không tròn nói chung cũng như cho hệ bánh răng hành tinh được hình thành từ các bánh răng không tròn nói riêng
Luận văn sử dụng hệ bánh răng hành tinh ăn khớp trong đã được trình bày ở mục 3.7 để thiết kế một bộ biến mô với mục đích giảm biến thiên mô men và vận tốc không mong muốn tồn tại trên trục động cơ Mô men phụ do bộ biến mô tạo ra kết hợp với mô men ban đầu của động cơ giúp triệt tiêu các dao động không mong muốn, tạo ra mô men và tốc độ đầu ra không đổi Thiết kế này đặc biệt hữu ích trong các trường hợp yêu cầu tối ưu kích thước và trọng lượng
[1] http://www.universalleonardo.org (ngày truy cập 24/12/2018).
[2] M Addomine, G Figliolini, E Pennestr, A Landmark in the History of Non-Circular Gears Design: The Mechanical Masterpiece of Dondi's Astrarium Mechanism and Machine Theory, 4.2018
[3] http://www.robotpark.com (ngày truy cập 24/12/2018)
[4] https://www.snotr.com (ngày truy cập 26/12/2018)
[5] https://www.pinterest.com (ngày truy cập 26/12/2018)
[6] https://www.jurawatches.co.uk (ngày truy cập 26/12/2018)
[7] https://www.ablogtowatch.com (ngày truy cập 20/12/2018)
[8] http://www.woodenclocks.co.uk (ngày 20/12/2018)
[9] http://www.theolivecentre.com (ngày 20/12/2018)
[10] http://voer.edu.vn (ngày 27/12/2018)
[11] Thomas David McWaters, Kinematic stirling engine United States Patent, 7.1997
[12] Zhenhui Luan, Ming Ding, Research on Non-circular Planetary Gear Pump Advanced Materials Research Vol 339 (2011) pp 140-143
[13] Akira Takami, Rotary pump having alternating pistons controlled by non – circular gears United States Patent, 7.1997, 10/1989
[14] Takashi Emura, Arika Arakawa, A New Steering Mechanism Using Noncircular Gears
[15] Arthur W Infanger, Alan W Brownlie, Steering system United States Patent, 7.1974
[16]Harry C Buchanan, William R Mack, Jagmohan K Maihotra, Windshield wiper transmission United States Patent, 10.1985
[17]Takahiro Yamada, Kazuyoshi Kurahashi, Shyuji Watanabe, Vehicle window regulator United States Patent, 3.1991
[18] Stelian Coros, Bernhard Thomaszewski, Gioacchino Noris, Shinjiro Sueda, Moira Forberg, Robert W Sumner, Wojciech Matusik, Bernd Bickel Disney Research Zurich
[19] David E Russ, Intermittent motion transmitting and timing system United States Patent, 8.1988
[20] Ferdinand Freudenstein, Intermittent motion mechanism employing non- circular gears 1.1969
[21] Yasuhiko Matsuda, Intermittent drive mechanism United States Patent, 7.1988
[22] Toshiyuki Takahara, Akira Takami, Non-circular gear pair United States Patent, 10.1993
[23] F.L.Litvin, Alfonso Fuentes, Aznar, Ignacio Gonzalez, Perez, Kenichi Hayasaka, Noncircular gears Design and Generation
[24] F.L.Litvin, Alfonso Fuentes, Gear Geometric and Applied Theory.