Toán cơ bản lớp 9

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 TOÁN CƠ BẢN LỚP Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 Website: tailieumontoan.com CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI CĂN BẬC HAI I, LÍ THUYẾT 1, – Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a – Số gọi bậc hai số học Chú ý: x ≥ Với a ≥ Ta có: x = a  x = a 2, – Với hai số không âm a b: a < b a < b II, BÀI TẬP Bài 1: Tìm bậc hai số học số sau: 64; 81; 1,21; 0,01; 0,04; 0,49; 0,64; 49 Bài 2: So sánh: b, với + 26 c, với a, với 63 b, với + 15 c, với a, với 39 b, với 26 + c, 18 với 15 17 a, với 24 b, 65 với b, 25 − 16 với a, với a, − với −2 + 24 25 − 16 20 c, −30 với −5 35 c, −12 với 15 Bài 3: So sánh: a, + với 2 + b, + với + 10 HD: 14 + (3 + ) = 14 + (2 + ) = ( + 4) =28 + 16 28 12 (3 + 10 ) =+ a, 2 b, Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Bài 4: So sánh: + 11 a, + với a, + 11 < + 25 HD: Bài 5: So sánh: a, HD: ( ( với ) 3= 5) 5= 5 3) (= 75 5) (= 45 2 Bài 6: Tìm x khơng âm biết: a, x c, x +1 > a, 2x < b, 2x ≥ c, 4− x ≥ a, 4x ≤ b, 3x ≥ c, 2x +1 ≥ a, x< b, x ≥ 35 c, x + > 11 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com BÀI CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A I, LÝ THUYẾT 1, – Với A biểu thức đại số A thức bậc hai A – Khi đó: A gọi biểu thức lấy biểu thức dấu – A xác định hay có nghĩa A lấy giá trị không âm hay A ≥ 2, – Với số a ta ln có:  a, ( a ≥ ) a 2= a=  a a − < , ( )  II, BÀI TẬP Bài 1: Tìm điều kiện xác định: a, 4x b, 3x + c, x2 + a, −3 x b, 6x − c, − x2 a, −7 x b, − 2x c, + 3a a, ( −x ) b, 9x − c, 4x2 −1 a, −6 ( −x ) b, −3a − c, x − 16 a, − x ( −2 ) b, −3 x + c, 4x + Bài 2: Tìm điều kiện xác định: a, x2 − x + b, −2 x +1 c, a, x + x +1 b, −1 + a c, a, x − 2x − b, − 2x c, a, x − 5x + b, 2x + c, a, x2 − x + b, x − x2 ( x − 2) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 c, x − 5x + x2 − x + x − x + 15 − 12x + 4x TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Bài 3: Tìm điều kiện xác định: a, x − 3x + b, x+3 5− x c, x −1 a, x2 + 4x + b, x −3 x+3 c, 4− x a, 9x − 6x + b, x −3 2− x c, − x−4 a, − x + 2x − b, x+2 2− x c, − x+5 a, 2x2 + 4x + b, 2x +1 x−4 c, x −1 − a, −9 x + x − b, 2x − x+3 c, x −3 −4 Bài 4: Tìm điều kiện xác định: x + x−2 a, x−2 b, 5− x a, x + x−2 x+2 b, − x −1 a, x + x−2 x −4 b, x+ x 2x − x b, (2 − 3) b, ( b, (4 − ) b, (4 − ) b, (3 − 11 ) Bài 5: Rút gọn a, 32 + 52 a, 42 + ( −2 ) a, 22 + ( −7 ) a, ( −6 ) + 62 a, ( −3) − a, ( −11) a, ( −11) 2 ( −1) − ( −9 ) + ( −13) b, (2 −2 ) ) c, a với a ≥ c, c, a − 5a với a < c, 2 2 (10 − Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 c, 10 ) ( a − 2) với a < c, −9 a + a với a < −3 b, 9a + 3a − a 25a + 4a với a ≥ c, 4a − 3a với a < TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Bài 6: Rút gọn: a, (2 − 3) a, (3 + ) a, ( a, (5 − ) a, (3 − 2 ) a, ( ) 2 b, ( b, (1 + ) −5 b, ( b, (3 − ) b, b, + (1 − ) − (1 − ) ( 2 +1 − 2 ) 2 − (5 + ) + (3 + 2 ) + ( 2 ) c, ( x − 3) c, (1 − 3x ) 2 −1 ) c, ( x − 3) c, (3 − 4x ) ( −3 c, ( x − 5) ( 3−2 −3 ) 2 5− ) 5+ ) ) c, (5 − 5x ) Bài 7: Rút gọn: a, x2 − 6x + b, 3− 2 c, A = − + − a, x + x + 16 b, 7+4 c, A = + − − a, x−4 x +4 b, 9−4 c, A = − + + 2 a, 4x2 + 4x + b, 4−2 c, A = 13 − + − a, x − x + 16 b, 14 − c, A = 14 + − − 15 a, x − 10 x + 25 b, 30 − 10 c, A = 15 − 6 + 33 − 12 Bài 8: Rút gọn: a, − +1 b, A = + − − a, − +1 b, A = − + + a, − 2 + b, A = 24 + + − a, 4−4 +5 b, A = − 10 − + 10 a, 4+4 +3 b, A = a, 5−6 +9 b, A = − + 22 − 12 a, 7−4 +4 b, A = 10 + 21 − 10 − 21 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 17 − 12 + + TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Bài 9: Rút gọn: ( ) a, A = − + + b, A= −3 + 4−2 a, A = + − − b, A = − + (2 + ) a, A = + − − b, A = + 2 + ( a, A = − 11 + + 11 b, A = 33 − 12 − a, A = − 15 − + 15 b, A = (4 − ) 2 −2 ) (1 − ) − 19 + Bài 10: Rút gọn: a, A = − − − b, A = + − − − a, A = + 2 + − 2 b, A = − − + + a, A = + − − b, A = − 15 − + 15 + a, A = − + + b, A = + 15 − − 15 + a, A = − + + b, A = 3− 2 − 3+ 2 + a, A = b, A = 6,5 + 12 + 6,5 − 12 + 13 − + + ( −2 ) Bài 1: Rút gọn: a, A = − 28 − 11 + 112 b, A =+ 17 − + a, A = b, A = 28 + 10 + 19 − − − 29 − 12 a, A = 15 − 216 + 33 − 12 b, A = + − 13 + 48 a, A = b, A = + − 13 + 22 − 12 − 23 − 10 a, A = 74 + 40 − 77 + 30 b, A = 17 − + + a, A = 73 − 12 35 − 52 − 35 b, A = 13 + 30 + + a, A = 13 − 40 − 53 + 360 b, A = 13 + 30 + + Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Bài 11: Rút gọn: a, A = + 2 + − b, A = 4− 9+4 a, A = + + − b, A = − + a, A = − − + b, A = 17 − + Bài 12: Rút gọn: a, A = − + + b, − + 20 a, A = − − + b, − + 16 a, A = 11 + − 11 − b, 25 − 10 + Bài 13: Rút gọn: ( )( 19 + 3) b, A = (10 − 11 )(3 11 + 10) b, A =(1 + + )(1 + − ) b, A = ( + + )( − + ) a, A = 18 + + 18 − b, A = 19 − a, A = − 15 − 23 − 15 a, A = 21 − 12 + 28 − 16 a, A = 10 − 21 − 10 + 21 Bài 14: Rút gọn: a, A= + ( −1 + ( +3 −3 + ( −2 ( 3−2 ( ) a, A = − a, A= ( ) ) a, A = + ( ) ( ) a, A = − 2 2 ) ) − ( − (2 b, A = − − − ) 2 −5 ) 2 −4 − − 29 − 12 b, A = + + 18 − b, A = + 2 − + ) b, A= Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A b, = + 10 − 25 + − TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com GIẢI PHƯƠNG TRÌNH: Dạng 1: k ≥ f ( x ) = k   f ( x ) = k Dạng 2: ax + b x + c = Đặt = x t, (t ≥ 0) Bài 1: Giải phương trình: a, x −2= b, x = −2 c, ( x − 3) = a, x−2 = b, x2 + = c, ( x − 3) = a, 2x +1 = b, x2 + = c, ( x − 3) a, 6x − = b, x + =−3 c, ( x + 2) = a, − 5x = 12 b, 2x2 − = c, (1 − x ) a, x+5 −2 = b, x2 = ( −4 ) c, ( x − 1) − = a, ( x − 1) = 21 b, x − − 20 = ( ) c, (3 − 2x ) = 2 = 52 2 = ( −1) Bài 2: Giải phương trình: a, x2 + 2x + = b, x − x = c, x − x − = a, x2 + x + = b, x − x − =0 c, x + x + = a, x2 − x + = b, x − x − 15 = c, x + 4= x − a, x2 + x + = b, x − x − = c, x − − x + =0 a, x − x + 16 = b, x − x − = c, x − x − − 12 = a, 4x2 + 4x + = b, x − x + = c, x − x − + 10 = a, x + x + 20 = b, x − 10 x + 25 = Bài 3: Giải phương trình: a, x + 10 x + 25 = b, − + x = x a, − 12 x + x = b, x − x − = a, x − 24 x + 16 = b, x + x − = a, − 12x + 36x = b, x + 27 − = x x − 20 x + 25 = b, 2x +1 − x +1 = a, Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com a, x − x 11 + 11 = 10 Dạng 2:  g ( x ) ≥ f ( x ) = g ( x )  f x g x = ) ( ) (  Dạng 3:  f ( x ) ≥ 0, g ( x ) ≥ f ( x ) = g ( x )   f ( x ) = g ( x ) Bài 1: Giải phương trình: b, x2 − x + = x a, − x =x − b, x2 + x + = x + a, − 2x =− x b, x2 − 8x + = x −1 a, x2 + x = x a, x − x =2 − x b, 5x2 − x + = x + a, x2 − − x + = b, 4x2 − x + − 2x = Bài 2: Giải phương trình: a, x2 − x + = x + b, x + =2 x a, x + 12 x + = 4x b, 2x − 1= x −1 a, x − x + 16 =4 − x b, 2x + = 1− x a, x2 − x + − 5x = b, x2 − x = 3− x a, 25 − 10 x + x − x = b, 3x + = 4x − a, 25 x − 30 x + = x − b, x − x= a, x2 − 6x + − x − = b, 2x − 3= a, x − x − x + =−5 b, x2 − x − = 3x − 4x − x −3 Bài 3: Giải phương trình: a, − 4x2 = − 2x b, x −1 = x +1 a, 4x −= 2x + b, x +1 = x −5 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 Website: tailieumontoan.com Bài 20: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ) AH đường cao ∆ABC Gọi M, N hình chiếu H AB, AC a, Chứng minh tứ giác AMHN tứ giác nội tiếp b, Chứng minh  ABC =  ANM c, Chứng minh OA ⊥ MN d, Cho biết AH = R Chứng minh M, O, N thẳng hàng Bài 21: Cho nửa đường trịn ( O; R ) đường kính AB điểm C nửa đường trịn cho AC < BC , H điểm dây BC không trùng với B C, AH cắt nửa đường tròn ( O ) điểm thứ hai D, AC cắt đường thẳng BD E a, Chứng minh tứ giác CHDE nội tiếp b, Vẽ tiếp tuyến Bx đường tròn ( O ) , Tia CD cắt Bx M Chứng minh MB = MC.MD  = BAC  c, Chứng minh CHE E x A x C N M B D O H M H C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A O B TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 Website: tailieumontoan.com Bài 22: Cho nửa đường trịn ( O ) đường kính AB điểm M nửa đường trịn ( M khác A B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax, Tia BM cắt Ax I, tia phân giác  cắt nửa đường tròn E, cắt tia BM F Tia BE cắt Ax H, cắt AM K IAM a, Chứng minh AEMB nội tiếp AI = IM IB b, Chứng minh BAF tam giác cân c, Chứng minh AKFH hình thoi Bài 23: Cho ∆ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường trịn ( O; R ) vẽ đường kính AD, tiếp tuyến với đường tròn ( O; R ) D cắt BC E Vẽ OH ⊥ BC a, Chứng minh OHDE nội tiếp b, Chứng minh ED = EC.EB c, Từ C vẽ đường thẳng song song với EO cắt AD I Chứng minh HI // AB x I A F M H O I E K A B O Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 B C H E D TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49 Website: tailieumontoan.com Bài 24: Cho ( O; R ) , Từ K bên ngồi đường trịn kẻ tiếp tuyến KB, KD ( B, D hai tiếp điểm) Cắt tuyến KAC ( A nằm K C) Gọi I trung điểm BD Biết I, O không thuộc AC a, Chứng minh ∆KAB∆KBC AB.CD = AD.BC b, Chứng minh AIOC nội tiếp c, Kẻ dây CN ( O; R ) cho CN // BD Chứng minh A, I, N thẳng hàng Bài 25: Cho nửa đường tròn ( O ) đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường trịn, điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q, AM cắt CP E, BM cắt CQ F a, Chứng minh APMC nội tiếp  = 900 b, Chứng minh PCQ c, Chứng minh AB // EF K B x y A P C M Q I E F O D A C O B N Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 50 Website: tailieumontoan.com Bài 26: Từ điểm A bên ngồi đường trịn ( O ) kẻ hai tiếp tuyến AB AC ( B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC Kẻ MI ⊥ AB, MH ⊥ BC , MK ⊥ AC a, Chứng minh tứ giác BIMH nội tiếp b, Chứng minh MH = MI MK c, Gọi P giao điểm IH MB Q giao điểm KH MC Chứng minh tứ giác MPHQ nội tiếp B I P A O M H Q K C Bài 27: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn ( O; R ) vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M bất kì, vẽ MI ⊥ AB , MK ⊥ AC a, Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn  = MBC  b, Vẽ MP ⊥ BC , ( P ∈ BC ) Chứng minh MPK c, Chứng minh MI MK = MP d, Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích $MI.MK.MP$ đạt giá trị lớn B I P M A O K C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 51 Website: tailieumontoan.com Bài 28: Cho đường trịn ( O; R ) điểm A nằm đường tròn, Kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, Gọi I, H, K hình chiếu M BC, AC AB a, Chứng minh tứ giác BIMK CIMH tứ giác nội tiếp b, Gọi P giao điểm BM IK, Q giao điểm CM IH Chứng minh tứ giác PMQI tứ giác nội tiếp PQ ⊥ MI c, Chứng minh MI = MH MK 1 + đạt giá trị nhỏ d, Xác định vị trí điểm M để MH MK B K O P I M Q A H C Bài 29: Cho đường trịn ( O ) điểm A ngồi đường tròn Các tiếp tuyến với đường tròn ( O ) kẻ từ A tiếp xúc với ( O ) B C Trên đường tròn ( O ) lấy điểm M ( M khác B C) cho M A nằm hai phía đường thẳng BC Từ M kẻ MH ⊥ BC , MK ⊥ AC MI ⊥ AB a, Chứng minh tứ giác MIBH tứ giác nội tiếp b, Đường thẳng AM cắt đường tròn điểm thứ hai N Chứng minh ∆ABN ∆AMB , từ suy AB = AM AN  = MHK  c, Chứng minh MIH B d, Chứng minh MI + MK ≥ 2.MH N I M H A O K C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 52 Website: tailieumontoan.com Bài 30: Từ điểm M bên ngồi đường trịn ( O ) , Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( O ) , A B tiếp điểm Gọi E trung điểm đoạn MB C giao điểm AE với ( O ) ( C khác A), H giao điểm AB MO a, Chứng minh điểm M, A, O, B thuộc đường tròn b, Chứng minh EB = EC.EA c, Chứng minh tứ giác HCEB tứ giác nội tiếp d, Gọi D giao điểm MC ( O ) ( D khác C) Chứng minh ∆ABD tam giác cân A C O M H E B Bài 31: Cho ( O; R ) từ điểm A nằm ngồi đường trịn ( O ) vẽ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( O ) , B C tiếp điểm a, Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp b, Gọi D trung điểm AC, BD cắt đường tròn E, đường thẳng AE cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai F Chứng minh AB = AE AF c, Chứng minh BC = CF B F E A O D C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 53 Website: tailieumontoan.com Bài 32: Qua điểm A nằm ngồi đường trịn ( O ) vẽ tiếp tuyến AB AC đường tròn ( B, C hai tiếp điểm) Gọi E trung điểm AC, F giao điểm thứ hai EB với ( O ) a, Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b, Gọi K giao điểm thứ hai AF với đường tròn ( O ) Chứng minh BF CK = BK CF c, Chứng minh AE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ABF B K F A O E C Bài 33: Cho đường tròn ( O ) dây BC cố định Trên cung lớn BC ( O ) Lấy điểm A ( A ≠ B, C ) cho AB < AC Hai tiếp tuyến qua B C ( O ) cắt E a, Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp b, AE cắt ( O ) điểm thứ D ( D ≠ A ) Chứng minh EB = ED.EA c, Gọi F trung điểm AD Đường thẳng qua D song song với EC cắt BC G Chứng minh GF // AC d, Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho AH = AC Chứng minh A thay đổi cung lớn BC H di động đường tròn cố định A F O B G C D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 E TÀI LIỆU TOÁN HỌC 54 Website: tailieumontoan.com Bài 34: Cho điểm A nằm đường tròn ( O; R ) Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB, AC với B, C tiếp điểm cát tuyến AMN với đường tròn ( O ) ( MN không qua tâm O AM < AN ) a, Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b, Chứng minh AM AN = AB c, Tiếp tuyến N đường tròn ( O; R ) cắt đường thẳng BC điểm F Chứng minh đường thẳng FM tiếp tuyến ( O; R ) d, Gọi P giao điểm dây BC dây MN, E giao điểm đường tròn ngoại tiếp ∆MON đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC ( E khác O) Chứng minh P, E, O thẳng hàng Bài 35: Cho đường trịn ( O ) đường kính AB = R Từ A vẽ tiếp tuyến Ax với ( O ) ( A tiếp điểm) Trên tia Ax lấy điểm C cho AC = R Qua C vẽ đường thẳng cắt đường tròn ( O ) hai điểm D E ( D nằm C E) cắt đoạn OB Gọi H trung điểm đoạn DE a, Chứng minh AOHC tứ giác nội tiếp b, Chứng minh CA2 = CD.CE c, Đoạn thẳng CB cắt đường tròn ( O ) K Tính số đo gióc  AOK diện tích hình quạt AOK theo R d, Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE M N Chứng minh O trung điểm MN x C F B D K N M H A O A B O E C Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 55 Website: tailieumontoan.com   Bài 36: Cho ∆ABC nội tiếp ( O ) D điểm thuộc cung nhỏ AC cho AD < CD Tiếp tuyến ( O ) B cắt đường thẳng DA M Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD N a, Chứng minh  ADN =  ABC suy số đo  ADN b, Chứng minh  ABM = 600 tứ giác BMND nội tiếp 1 DB Chứng minh = + c, Gọi E giao điểm BD AC, Cho DA + DC = DE DA DC Bài 37: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) Vẽ đường kính AD đường trịn ( O ) Gọi E K giao điểm hai đường thẳng AC BO, AC BD Tiếp tuyến ( O ) B cắt đường thẳng CD F a, Chứng minh điểm B, E, C, F thuộc đường tròn b, Chứng minh EF // AB DE ⊥ FK A N M A E D O O B C B D C K F Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 56 Website: tailieumontoan.com BÀI GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG, BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN 1, GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN A – Cho đường trịn ( O ) , hai dây AB CD cắt I n  hay góc  Góc BID AIC gọi góc có đỉnh bên đường trịn  C   chắn hai cung cung BmD cung AnC Góc BID I O B m D – Sơ đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn    = sd BmD + sd AnC BID 2, GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN – Cho đường trịn ( O ) , góc đỉnh A nằm bên ngồi đường trịn hai cạnh góc cắt ( O ) hình bên: A A B B n n D D O O C m m E E Góc Aˆ gọi góc có đỉnh bên ngồi đường trịn – Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn     sd EmB − sd DnB sd EmC − sd DnB Aˆ = Aˆ = 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 57 Website: tailieumontoan.com 3, BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho ( O ) với dây BC cố định điểm A thay đổi cung lớn BC cho AC > AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến ( O ) D C cắt E Gọi P Q giao điểm AB với CD AD với CE a, Chứng minh DE // BC b, Chứng minh PACQ nội tiếp 1 c, Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh = + CE CQ CF Bài 2: Cho ∆ABC có đường cao BD CE Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC hai điểm M, N a, Chứng minh BEDC nội tiếp = b, Chứng minh DEA ACB c, Chứng minh DE song song với tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ∆ABC  d, Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh AO phân giác MAN e, Chứng minh AM = AE AB A A N D O E M B O C F B E D P C Q Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 58 Website: tailieumontoan.com Bài 3: Cho ( O; R ) đường kính AB, điểm H nằm hai điểm A O Kẻ dây CD ⊥ AB H Lấy F thuộc cung nhỏ AC, BF cắt CD E, AF cắt DC I a, Chứng minh AHEF nội tiếp  = EAB  từ suy BE.BF = BH BA b, Chứng minh BFH c, Đường tròn ngoại tiếp ∆IEF cắt AE M Chứng minh ∆HBE ∆ΗΙΑ điểm M ∈ ( O ) d, Tìm vị trí H AO để ∆OHD có chu vi lớn Bài 4: Cho ( O; R ) , Dây MN không qua tâm C, D hai điểm thuộc dây MN ( C, D không trùng với M, N) A điểm cung nhỏ MN Các đường thẳng AC AD cắt ( O ) điểm thứ hai E, F a, Chứng minh  ACD =  AFE tứ giác CDFE nội tiếp b, Chứng minh AM = AC AE c, Kẻ đường kính AB Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp ∆MCE Chứng minh M, I, B thẳng hàng B I E M C F I O F E M A H O C D N B A D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 59 Website: tailieumontoan.com Bài 5: Cho đường tròn ( O; R ) , Dây MN cố định ( MN < R ) Kẻ đường kính AB vng góc với dây MN E Lấy điểm C thuộc dây MN ( C khác M, N, E) BC cắt đường tròn ( O ) điểm K ( K khác B) a, Chứng minh AKCE tứ giác nội tiếp b, Chứng minh BM = BK BC c, Gọi I giao điểm AK MN, D giao điểm AC BI 1, Chứng minh D thuộc ( O; R ) 2, Chứng minh điểm C cách ba cạnh ∆DEK d, Xác định vị trí điểm C dây MN để khoảng cách từ E đến tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MCK nhỏ Bài 6: Cho ∆ABC nhọn khơng cân nội tiếp đường trịn ( O ) M N điểm cung nhỏ AB, BC ( O ) Đường thẳng MN cắt cạnh AB, BC D E Hai đường thẳng CM AN cắt I, OM cắt AB H, ON cắt BC K a, Chứng minh tứ giác BHOK nội tiếp = NC = NI b, Chứng minh NB c, Chứng minh tứ giác MAID nội tiếp đường thẳng DI // BC d, Gọi P tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MBE , BP cắt NO Q Chứng minh Q thuộc ( O ) A A M H K O O I M C E D I N B E K C D B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 N TÀI LIỆU TOÁN HỌC 60 Website: tailieumontoan.com Bài 7: Cho đường tròn ( O ) với đáy AB cố định khơng phải đường kính Gọi C điểm thuộc cung lớn AB cho ∆ABC nhọn M, N điểm cung nhỏ AB AC Gọi I giao điểm BN CM Dây MN cắt AB AC H K a, Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp b, Chứng minh MK MN = MI MC c, Chứng minh ∆AKI cân K Bài 8: Cho đường trịn ( O; R ) , Kẻ đường kính AB Điểm M ( O ) cho MA < MB , M khác A B Kẻ MH ⊥ AB H Vẽ đường tròn ( I ) đường kính MH cắt MA, MB E F a, Chứng minh MH = MF MB ba điểm E, I, F thẳng hàng b, Kẻ đường kính MD đường trịn ( O ) , MD cắt đường tròn ( I ) điểm thứ hai N Chứng minh BONF nội tiếp  = MDH  c, MD cắt EF K Chứng minh MK ⊥ EF MHK d, Đường tròn ( I ) cắt đường tròn ( O ) điểm thứ ( P ) Chứng minh ba đường thẳng MP, FE BA đồng quy A M K M N H I K F E N I B A O H B O C D Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 61 Website: tailieumontoan.com Bài 9: Cho nửa đường trịn ( O ) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn ( O ) Gọi C điểm nửa đường tròn cho cung CB cung CA, D điểm tùy ý cung CB ( D khác C B) Các tia AC, AD cắt Bx E F a, Chứng minh ∆ABE vuông cân b, Chứng minh FB = FD.FA c, Chứng minh CDFE nội tiếp Bài 10: Cho ∆ABC vng A Đường trịn đường kính AB cắt cạnh BC M Trên cung nhỏ AM lấy điểm E ( E khác A M) Kéo dài BE cắt AC F = a, Chứng minh BEM ACB , từ suy tứ giác MEFC tứ giác nội tiếp b, Gọi K giao điểm ME AC Chứng minh AK = KE.KM x A E K F C E F D B A O C M B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Bài 6: Tính: a, a, 99 28 + − 11 81 144 225 − 36 + 16 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 0 39. 373.2038 b, 12 − − 12 + TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 Website: tailieumontoan.com 49 − 16 + 25 10 225... a, 5−6 +9 b, A = − + 22 − 12 a, 7−4 +4 b, A = 10 + 21 − 10 − 21 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 0 39. 373.2038 17 − 12 + + TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Bài 9: Rút gọn:... ( ? ?9 ) + ( −13) b, (2 −2 ) ) c, a với a ≥ c, c, a − 5a với a < c, 2 2 (10 − Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 0 39. 373.2038 c, 10 ) ( a − 2) với a < c, ? ?9 a + a với a < −3 b, 9a