Giao an ca nam

Qua các bài tập trên không những giúp cho giáo viên hình thành được các dạng bài tập khác nhau từ một bài toán để dạy bồi dưỡng các đối tượng học sinh từ đó cung cấp kiến thức và phương [r]

“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH HÌNH HỌC VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG

LỰC HỌC SINH TRONG VIỆC KHAI THÁC BÀI TOÁN ”

A.MỞ ĐẦU

I.1 Lí do chọn đề tài.

Qua những năm giảng dạy tôi được tiếp xúc với rất nhiều đối tượng học sinh vàthấy rằng đa số học sinh không nhớ những bài đã làm thậm chí có những bài chỉ khácnhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàn giống với bài toán cũ Đặc biệt là các bài toánđảo và bài toán tổng quát học sinh thường không có kỹ năng nhận ra,

Việc dạy học nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi nói riêng thì việc địnhhướng, liên kết, mở rộng và lật ngược bài toán là một vấn đề rất quan trọng, nó khôngchỉ giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán cơ bản mà còn nâng caotính khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó sẽ giúp cho học sinh hứng thú họctập, phát triển tư duy, năng lực học tập, nâng cao tính sáng tạo cho các em học sinh, phầnnào đáp ứng yêu cầu cấp bách của xã hội về con người trong thời kì khoa học và côngnghệ

Trong khi, hiện tại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu bàn sâu vào vấn đề này Bêncạnh đó, đồng nghiệp, nhà trường cũng chưa tham gia được nhiều trong vấn đề này đểgiải quyết, khắc phục tình trạng trên

Chính vì vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận ra các bài toán cũ, bài toán đảo, bàitoán tổng quát… đồng thời góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướngtích cực và bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh, rèn luyện khả năng sáng tạo tronghọc toán cho học sinh cũng như muốn góp phần vào công tác bồi dưỡng đội ngũ học sinhgiỏi Toán trường THCS Yên Lâm nói riêng và học sinh toàn huyện Yên Định nói chung.Tôi xin được trình bày đề tài:

“Rèn luyện kỹ năng chứng minh hình học và phát triển năng lực học sinh

trong việc khai thác bài toán ”

I.2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học môn Toán Giúp học sinh hứng thú trong học tập, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi, từ đó hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động , khơi dậy tính sáng tạo và giải toán của học sinh

Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở rộng các bài toán từ đó giúp các em hình thành phương pháp giải

I.3 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động và năng lực tự học của học sinh

I.4 Phương pháp nghiên cứu

Nêu và giải quyết vấn đề

I.5 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

Tất cả các học sinh lớp 9B ,9E trường THCS Hoa Hồng Bạch huyện Đông Hưng tỉnhThái Bình ( năm học 2017 - 2018)

I.6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

+ Điều tra, khảo sát, theo dõi, thực hành và vận dụng

+ Nghiên cứu tài liệu SGK, sách nâng cao thuộc môn toán 9

I.7.TÀI LIỆU THAM KHẢO

1- Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 9 Nhà xuất bản giáo dục

2- Nâng cao và phát triển Toán 8, 9 Tác giả: Vũ Hữu Bình

3- Tuyển tập các đề thi HSG Toán THCS.Nhà Xuất bản giáo dục

4- Tuyển tập các tập chí của Toán tuổi thơ các số Nhà Xuất bản giáo dục

5- 23 chuyên đề và 1001 bài toán sơ cấp Tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh

6 – Tài liệu trên mạng internet

I.8 THỜI GIAN NGHIÊN CỨU:

Hình học là môn học mang tính trực quan và trìu tượng phần lớn học sinh rất engại trong việc học hình học Học sinh ngại bởi các em đang yếu trong kĩ năng vẽ hình,

bế tắc trong việc tìm ra con đường để suy luận chứng minh một vấn đề hình học, các emchưa nắm bắt được để chứng minh vấn đề hình học đó phải xất phát từ đâu Để giúp các

em vượt qua được những khó khăn trở ngại trong việc học hình học như đã nêu ở trên thìngười thầy phải giúp các em tháo gỡ các khó khăn đó Sau đây tôi xin nêu ra cách để họcsinh lớp 9 tháo gỡ vướng mắc trong việc tìm ra con đường suy luận chứng minh bài toánbằngkhai thác cùng một bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau để giúp học sinh dễ dànghơn trong việc nắm bắt bài học đặc biệt giúp các em tìm ra con đường giải quyết vấn đề

II THỰC TRẠNG VIỆC DẠY HÌNH HỌC 9 Ở TRƯỜNG THCS HIỆN NAY :

* Hiện nay đã thực hiện nhiều năm giảng dạy theo phương pháp mới, nhưng vẫncòn không ít giáo viên dạy học một cách thụ động, truyền đạt kiến thức cho học sinh cònmang nặng phương pháp cũ dẫn tới không ít học sinh lớp 9 không biết cách giải quyếtmột bài toán hình học Trong khi môn hình học lại trìu tượng khó hiểu vì vậy học sinhkhông hiểu bài và không có được một phương pháp giải quyết bài toán hình học Một sốgiáo viên ngại dạy hình, một số giờ dạy của giáo viên tôi đi dự giáo viên chưa địnhhướng được học sinh cách chứng minh được định lí một cách có hệ thống làm cho họcsinh không hiểu được chứng minh đinh lí đó phải bắt đầu từ đâu và đi theo con đườngnào

* Hiện nay việc dạy hình học đã có sự hỗ trợ của công nghệ thông tin vào các tiếtdạy nhằm phát huy tính trực quan Song để cung cấp đầy đủ kiến thức cho học sinh đặcbiệt là phát triển khả năng tự học, tư duy sáng tạo của các em trong học tập đòi hỏi ngườigiáo viên phải tìm ra các phương pháp giúp các em tự học tự tìm tòi giải quyết vấn đềmột cách độc lập

* Kết quả khảo sát chất lượng môn hình học khi chưa áp dụng sáng kiến trên v oà

d y h cạ ọ

Và phải biết tổng hợp các bài toán liên quan.

- Tính chủ động của học sinh còn thể hiện ở chổ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn

đề Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã biết

II.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua nhiều năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh và ôn thi cho học sinh vào THPT

và tham khảo học hỏi các đồng nghiệp trong và ngoài huyện tôi nhận ra rằn

- Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duytrong quá trình học tập

- Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích cực, độc lập,sáng tạo của bản thân

- Các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thukiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết Không ít học sinh thực

sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếmlĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.Nhiều học sinh hài lòng với lời giải củamình, mà không tìm lời giải khác, không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toánnên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân

- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toántrong các các giờ luyện tập, tự chọn

- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển mộtbài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn là nâng cao được

tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học toán

II.3 Các biện pháp và các giải pháp giải quyết vấn đề.

Trong quá trình dạy toán, chắc rằng các thầy cô giáo đã có không ít lần gặp cácbài toán cũ mà cách phát biểu có thể hoàn toàn khác, hoặc khác chút ít Những bài toántương tự, mở rộng, đặc biệt hóa hay lật ngược bài toán mà các bài toán này có cùngphương pháp giải Nếu giáo viên định hướng cho học sinh kỷ năng thường xuyên liên hệmột bài toán mới với những bài toán đã biết như bài toán đảo, bài toán tổng quát, bàitoán đặc biệt thì sẽ làm cho học sinh phát hiện ra rằng bài toán đó không mới đối vớimình nữa hoặc nhanh chóng xếp loại được bài toán từ đó định hướng được phương phápgiải quyết một cách tích cực và chủ động Sau đây tôi sẽ đưa ra một số ví dụ để giảiquyết thực trạng trên và để thể hiện nội dung của đề tài

Xét bài toán: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và

By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là

y x

O

D M

C

B A

y x

O

D M

C

B A

AB) Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửađường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D

Chứng minh rằng: a COD = 90o

b CD = AC + BD

1 Hướng dẫn:

a -Vì CA và CM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại C

⇒ OC là tia phân giác của AOM (1) và CM = CA

+DM và DB là hai tiếp tuyến của

đường tròn (O) cắt nhau tại D

⇒ OD là tia phân giác của MOB (2) và DM = DB

- Từ (1) và (2) ⇒ CO  OD (đpcm)

b Ta có CD = CM + MD mà CM = CA và DM = DB (theo a)

Nên CD = AC + BD (đpcm)

Nhận xét: Đây là bài toán khá đơn giản đối với học sinh khá giỏi, thậm chí những em

trung bình cũng có thể làm được Nhưng nếu ta thêm các câu hỏi khác thì không những học sinh trung bình mà còn những em khá giỏi củng có thể gặp nhiều khó khăn Sau đây

là một số bài toán xuất phát từ bài tập này.

2 Khai thác bài toán

Bài toán1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By

với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ làAB) Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửađường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.Chứng minh rằng tích AC.BDkhông đổi khi M di chuyển trên nữa đường tròn

Hướng dẫn:

y x

N

O

D M

C

B A

y x

N

O

D M

C

B A

Theo câu a: Tam giác COD vuông tại O

mà OM là đường cao nên OM2 = CM.MD

Theo câu b: CM = CA, BD = MD

Do đó OM2 = CA.BD mà OM = R (không đổi)

Nên CA.BD không đổi

Bài toán 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By

với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ làAB) Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửađường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.Chứng minh rằng đường thẳng

AB tiếp xúc với đường ngoại tiếp COD

- Từ (1) và (2) Suy ra AB tiếp xúc với đường ngoại tiếp tam giác COD

Bài toán 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By

với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ làAB) Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửađường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D Gọi r là bán kính đường tròn nội

y x

y x

O

D M

C

B A

tiếp tam giác COD

Chứng minh: < <

Hướng dẫn: SCDO = p.r = r.( a+b+c)

Mặt khác SCDO = OM.CD = R.a

Do đó: r.( a+b+c) = R.a ⇒ R.a = r.( a+b+c) hay =

Xét tam giác CDO ta có:

+ b + c > a ⇒ a+b+c > 2a ⇒ < = (1)

+ a > b, a > c (vì  CDO vuông tại O) ⇒ a+b+c < 3a hay > = (2)

Từ (1) và (2) ta có: < < (ĐPCM)

Bài toán 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By

với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ làAB) Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa

đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D Xác định vị trí của M để chu vi

và diện tích của tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo R

Hướng dẫn:

- Ta có PACDB = CA + AB + BD + DC = AB + 2CD

Mà CD  AB

Suy ra: PACDB  3AB hay PACDB  6R

Dấu “ = ” xẩy ra khi và chỉ khi CD = AB

Vậy GTNN của PACDB = 6R

- SACDB = AB =  Hay SACDB  2R2

Dấu “ = ” xẩy ra khi và chỉ khi CD = AB

Vậy giá trị nhỏ nhất SACDB = 2R2 Khi đó M nằm chính giữa cung AB

Bài toán 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By

với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ làAB) Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửađường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diệntích hai tam giác ACM và BDM

Hướng dẫn:

Ta có: + SACBD = ( AC + BD) AB = CD.AB

Mà CD  AB do đó SACBD  AB2 = 2R2 (1)

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi điểm M nằm chính giữa cung AB

+ SAMB = MH.ABMà MH  R do đó SAMB  R.2R = R2(2)

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi điểm M nằm chính giữa cung AB

+ SAMC + S BMD = SACBD - SAMB (3).Từ (1), (2) và (3) suy ra

Để SAMC + S BMD nhỏ nhất thì SACDB nhỏ nhất và SAMB lớn nhất

Mà SACDB nhỏ nhất = 2R2 và SAMB lớn nhất = R2

Vậy SAMC + S BMD nhỏ nhất = R2

Nhận xét: Từ bài toán 1 đến 5 chúng ta mới chỉ thêm câu hỏi mà chưa thêm các giao

điểm và lật ngược lại vấn đề của bài toán Nhưng nếu chúng ta đảo lại bài toán ở bài toán 2 hoặc thêm giao điểm thì sẽ được các câu hỏi mới khó hơn nhiều giúp các em liên

hệ được các hình vẽ với nhau, hiểu sâu bài toán, nắm bắt được kiến thức một cách chủ động, đồng thời tạo hứng thú cho các em trong học tập Xuất phát từ ý tưởng này ta lại

có một số bài tập thú vị hơn.

Bài toán 6 ( Bài toán đảo của bài toán 2) Cho đoạn thẳng AB, kẻ hai tia Ax và By cùng

vuông góc với AB và cùng nằm trên cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB.Trên tia Ax và tia Ay lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho

AC + BD = CD Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

Huớng dẫn: Ở bài này chúng ta có nhiều cách làm:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa và định lý về tiếp tuyến.

-Trên CD lấy điểm M sao cho CM = CA

- Mà ACM + BDM = 1800 ( vì tứ giác ABDC là hình thang vuông)

Nên AMC + BMD = 900 ⇒ AMB = 900 ⇒ M thuộc đường tròn đường kính AB(1)

- Trên AB lấy điểm O sao cho OA = OB Nối O với M ta có MO = OA = OB hay tam

giác AOM cân tại O ⇒ OMA+AMC= OAM +CAM = 900 ⇒ OM  CD (2)

- Từ (1) và (2) suy ra CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

Cách 2: Lấy trên đoạn CD một điểm M sao cho CM = CA

Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AM và MB

Nối C với E và nối D với F cắt nhau tại O’

- Xét cân CAM có CE là đường trung tuyến

Nên CE cũng là đường cao và là đường phân giác (1)

- Xét cân MDB có DF là đường trung tuyến

Nên DF cũng là đường cao và là đường phân giác (2)

- Từ (1) và (2) suy ra O CD ' +CDO '= 900 (vì ACD+CBD = 1800) ⇒ CO D ' = 900

y

x

O

F E

O' M

D

C

B A

Do đó O’EMF là hình chữ nhật ⇒ AMB = 900 v MO’ = à EF

- Trên AB lấy điểm O sao cho OA = OB

Vì  AMB là  vuông nên MO = OA = OB = AB (3)

- Xét AMB có: EA = EM và MF = FB

nên FE là đường trung bình của AMB ⇒ FE = AB (4)

- Từ (3) và (4) suy ra MO = MO’ hay O  O’

- Xét ACO và MCO có: CO chung; CA = CM; MCO = ACO

⇒ ACO = MCO (c.g.c) ⇒ CMO = CAO = 900 hay CM  MO

nên CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

Cách 3: - Từ O kẻ đường thẳng  AB cắt CD tại N => NC = ND

Xét hình thang vuông ACDB có:

ON là đường trung bình

nên ON = = = CN = ND

⇒ NCO cân ⇒ NCO = CON

mà ACO = CON (CA // ON) ⇒ ACO = NCO

- Từ O kẻ OM  CD (M  CD)

- Xét ACO và MCO có: A = M = 900 ; CO chung; ACO = NCO

nên ACO = MCO

Do đó AO = OB = OM hay M thuộc đường tròn đường kính AB mà CD  OM tại Mnên CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

Nhận xét: Qua bài toán này chúng ta sẽ rèn cho các em thành thạo kỷ năng chứng minh

một bài toán hình học không những có một cách mà có thể có nhiều các khác nhau và nắm vững nội dung của bài toán một cách tích cực, chủ động và tự giác Từ đó giúp các

N

L

y x

em tự tin hơn và thấy say mê Toán học nhiều hơn Cũng từ cách làm thứ 3 của bài toán

6 ta có bài toán 7 và một số bài toán khác bằng cách cho thêm các giao điểm.

Bài toán 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By

với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ làAB) Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửađường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.Gọi N là trung điểm của CD Tìmquỹ tích điểm N khi M chạy trên nửa đường tròn

Hướng dẩn:

- Nối N với O cắt đường tròn tâm O tại K

Vì NO là đường trung bình của hình thang ACDB

Suy ra ON // CA // BD (1)

- Vì tia Ax, By và điểm O cố định nên tia Oz cố định

Vậy khi M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O thì I di chuyển trên tia Kz

Nhận xét: Cái khó của bài này khác so với các bài trên là ta phải vẽ thêm đường phụ.

Chính vì điều này tạo cho học sinh một thói quen suy nghỉ khác Không phải lúc nào củng theo lối mòn của tư duy mà phải có óc hoài nghi Tại sao người ta lại cho trung điểm và điểm này có mối liên hệ gì với trung điểm còn lại Và từ đây giúp cho học sinh

tự tin hơn trong giải toán.

Bài toán 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By

với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ làAB) Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửađường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D Nối M với B cắt Ax tại N Chứngminh

a C là trung điểm của AN

b ON  AD

K z