1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Hội tụ theo muarơ smit

26 5 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 26
Dung lượng 410,88 KB

Nội dung

Tr-ờng Đại học Vinh khoa toán Nguyễn Thị An Hội tụ theo muarơ-smit Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành khoa học toán Chuyên ngành: Giải tích Vinh - 2008 Tr-ờng Đại học Vinh khoa toán Hội tụ theo muarơ-smit Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành khoa học toán chuyên ngành: giảI tích Ng-ời h-ớng dẫn khoa học : PGS TS Tạ Khắc CSinh viên thực : Nguyễn Thị An Lớp: Vinh - 2008 44E1 - tOáN Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Các khái niệm TËp cã h-íng vµ sù héi tơ cđa l-íi L-ới điểm giới hạn - líp héi tơ 15 Bµi tËp 21 KÕt luËn 22 Tài liệu tham khảo 23 Lời nói đầu Tôpô đại c-ơng sở hầu hết nghành toán học đại Nh-ng thân tôpô đại c-ơng đà chứa đựng nội dung phong phú trừu t-ợng Một số kết tôpô đại c-ơng tổng tất công trình nghiên cứu lớn nhà toán học có kết đà phát triển thành lý thuyết Việc nắm vững hiểu rõ kết đà trình bày tôpô đại c-ơng vấn đề quan trọng với sinh viên Vì để hiểu sâu nắm vững số kiến thức quan trọng tôpô đại c-ơng tạo sở cho b-ớc nghiên cứu, học tập b-ớc đầu tập d-ợc nghiên cứu khoa học, khoá luận tập trung nghiên cứu, tìm hiểu l-ới, l-ới sù héi tơ theo Muas¬ - smit Ta thÊy r»ng không gian tôpô mô tả theo thuật ngữ hội tụ khoá luận dành cho mô tả Do khoá luận tập trung giải ba vấn đề là: tính chÊt cđa tËp cã h-íng vµ l-íi, l-íi vµ điểm giới hạn, xét lớp hội tụ Với mục đích này, khoá luận đ-ợc viết thành ba phần: Các khái niệm Trong mục này, trình bày khái niệm làm sở nghiên cứu mục Tập có h-íng vµ sù héi tơ cđa l-íi Trong mơc nµy, trình bày định nghĩa tính chất cđa tËp cã h-íng vµ sù héi tơ cđa mét l-ới L-ới điểm giới hạn, lớp hội tụ Trong mục này, nghiên cứu l-ới điểm giới hạn l-ới, tìm hiểu nghiên cøu vỊ líp héi tơ Mét sè bµi tËp liên quan l-ới Khoá luận đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Tạ Khắc C- Nhân dịp cho phép em đ-ợc tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, xin cảm ơn thầy giáo cô giáo tổ Giải tích Khoa toán đà tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Mặc dù đà có nhiều cố gắng nh-ng lực hạn chế nên khoá luận tránh khỏi thiếu sót Kính mong bảo thầy cô giáo góp ý bạn đọc Vinh, tháng 04 năm 2008 Sinh viên: Nguyễn Thị An Các khái niệm mục này,chúng hệ thống số khái niệm tôpô làm sở nghiên cứu cho mục 1.1 Đĩnh nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng, họ tập X đ-ợc gọi tôpô X thoả mÃn điều kiện sau: (1) , X  ; (2) NÕu U1, U2   th× U1  U2   ; (3) NÕu {Ut}t T lµ họ tập hợp X Ut   víi mäi t  T th×  Ut   tT * CỈp ( X, ) gọi không gian tôpô * Mỗi phần tử thuộc tập mở, phần bù tập mở tập đóng 1.2 Định nghĩa Không gian tôpô X đ-ợc gọi T1- không gian với hai phần tử khác x1 x2 X tồn lân cận U1 x1 cho x2 U1 1.3 Định nghĩa Không gian tôpô X đ-ợc goi T2- không gian không gian Hausdorff với cặp điểm khác x1, x2 X, tồn lân cận U x1 lân cận V x2 cho U V = 1.4 Định nghĩa Không gian X đ-ợc gọi không gian rời rạc tập X tập mở 1.5 Định nghĩa Không gian X đ-ợc gọi không gian tôpô thô tập mở X có tập X 1.6 Định nghĩa Tập U không gian tôpô X đ-ợc gọi lân cận điểm x U có tập mở chứa x 1.7 Định nghĩa Tập A không gian tôpô X đ-ợc gọi đóng X \ A mở 1.8 Định nghĩa Cho A X, bao đóng A tập đóng nhỏ chứa A Kí hiệu A 1.9 Định nghĩa Họ tập đ-ợc gọi sở tôpô đ-ợc chứa với điểm x không gian Và với lân cận U tuỳ ý nó, tồn phần tử V  , cho x  V  U 1.10 Định nghĩa Họ tập đ-ợc gọi tiền sở tôpô giao hữu hạn phần tử thuộc lập thành sở tôpô * Mỗi tôpô hoàn toàn xác định biết đ-ợc sở tiền sở 1.11 Định nghĩa Không gian tôpô gọi thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ hệ lân cận điểm có sở đếm đ-ợc 1.12 Định nghĩa loại điểm Cho kh«ng gian t«p« (X,   X, x  X Ta gọi x 1, Điểm E E lân cận x Lúc tập tất điểm E gọi phần E, ký hiệu IntE 2, Điểm biên E x không điểm E nh- X\E Tập tất điểm biên E gọi biên E, ký hiệu E 3, Điểm giới hạn E với lân cận V x có V (E \ {x})   4, §iĨm dÝnh cđa E với lân cận V x có V E 5, Điểm cô lập E tồn lân cận V x cho: V E = {x} 1.13 Định lý Giả sử X không gian tôpô, E tập X Khi 1, E đóng E = E 2, x điểm dÝnh cđa E vµ chØ x  E 3, E đóng E chứa điểm dính E 1.14 Định nghĩa ánh xạ liên tục Giả sử X, Y hai không gian tôpô, a điểm thuộc X ánh xạ f: X y đ-ợc gọi liên tục điểm a với lân cận V điểm f(a) y tồn lân cận U a cho f(U) V 1.15 Định nghĩa không gian véctơ tôpô Không gian véctơ X đ-ợc gọi không gian véctơ tôpô X đà trang bị tôpô cho phép toán cộng nhân vô h-ớng không gian véctơ X liên tục tôpô Lúc tôpô đựơc gọi tôpô véctơ Phép toán cộng liên tục, nghĩa ánh xạ + : X X X cho bëi (x, y)  x+y liªn tơc, tøc với lân cận V ( x+y ) tồn lân cận Vx x Vy cña y cho Vx + Vy  V PhÐp toán nhân vô h-ớng liên tục, nghĩa ánh xạ  :   X  X cho bëi ( , x) x liên tục, tức víi l©n cËn V bÊt kú cđa (  x), tồn lân cận Vx x sè r > o cho  Vx V víi giá trị cho < r 1.16 Định nghĩa tập lồi tập bị chặn Tập A không gian véctơ E đ-ợc gọi lồi véctơ x, y A mäi sè thùc   [0,1] ta cã  x + (1-  )y  A TËp A cña E đ-ợc gọi tập bị chặn lân cận điểm E tồn số tự nhiên n cho A nU 1.17 Định nghĩa Toán tử bao đóng X - toán tử cho t-ơng ứng tập A tập X tập Ac X cho thoả mÃn bốn điều kiện sau đây: (1) Nếu tập trống c = ; (2) Víi mäi A, A  Ac ; (3) Víi mäi A, Acc = Ac; (4) Víi A, B tuú ý, (A  B)c = Ac  Bc 1.18 Định nghĩa Tích Đềcác tập Xa , ký hiÖu  {X a : a  A  ={x :x hàm xác định A, cho xa Xa với a A} tËp cã h-íng vµ sù héi tơ cđa l-íi Trong mục này, trình bày định nghĩa tÝnh chÊt cđa tËp cã h-íng, xÐt sù héi tơ l-ới 2.1.Định nghĩa tập định h-ớng Quan hệ nhị nguyên cho tập D gọi định h-ớng D không trống (a) Nếu m, n, p phần tử D cho m  n , n  p th× m  p; (b) NÕu m  D th× m  m ; (c) NÕu m, n  D tìm đ-ợc p D cho p m, p  n Khi ®ã ta nãi tËp D đ-ợc định h-ớng quan hệ ký hiệu ( D, ) viết tắt D 2.2.Ví dụ Cho X không gian tôpô, U họ lân cận điểm x X Lúc U đ-ợc định h-ớng quan hệ  ” ThËt vËy, râ rµng U   , 1, U, V, W U : U  V, V  W suy U  W 2,  U U th× U  U 3,  U, V  U suy (U  V)  U, nh- vËy tån t¹i W = (U  V)  U: W  U, W  V VËy (U, ) tập định h-ớng 2.3 Mệnh ®Ị Cho I lµ tËp chØ sè bÊt kú kÝ hiƯu: J(I) = {J  I, J lµ tËp gåm hữu hạn phần tử từ I} Trên J(I) ta xác định quan hệ bao hàm " nh- sau:  J, J’  J(I), J > J’  J  J’ Khi ®ã J(I) víi quan hƯ bao hàm tập có h-ớng 2.4 Định nghĩa Giả sử D tập định h-ớng quan hệ Khi hàm S xác định D nhận giá trị tập X đ-ợc gọi l-ới (hay dÃy suy rỗng) X Ký hiÖu (Sn, n  D,  ) (S, D, ) viết tắt S Nếu miền giá trị l-ới không gian tôpô X S đ-ợc gọi l-ới không gian tôpô X 2.5 Định nghĩa L-ới {Sn, n D, } đ-ợc gọi l-ới nằm tập A vµ chØ Sn  A, víi mäi n N 2.6 Định nghĩa L-ới {Sn, n D, } th-ờng xuyên gặp A với m D, tồn n D cho n m Sn A 2.7 Định nghĩa NÕu l-íi {Sn, n  D,  } th-êng xuyªn gặp A tập E = {n D: Sn A} có tính chất sau: với m E, tồn p E để p m Các tập D có tính chất gọi tập đuôi 2.8 Ví dụ Cho tập có h-ớng (D, ) Khi tập đuôi E đ-ợc định h-ớng theo quan hệ Chứng minh Điều kiên (a), (b) hiển nhiên Ta cần chứng minh (c) Thật vậy, giả sử m, n E Khi tồn l D cho l m, l n Mặt khác, ta lại tìm đ-ợc p E cho p l Vì ta có p E mà p m, p n 2.9 Định nghĩa Giả sử D tập đ-ợc định h-ớng quan hệ , (X, ) không gian tôpô Khi đó, l-ới {Sn, D, } gọi hội tụ không gian tôpô X đến điểm s tôpô với lân cận U s tồn no D cho:  n  D : n > no th× Sn U Ký hiÖu lim Sn = s hay Sn  s 2.10 Nhận xét Nếu X không gian rời rạc l-ới {Sn, D, } hội tụ đến s tồn n0 với n D : n > no th× Sn  {s} 2.11 Ví dụ Cho X không gian tôpô thô, (S, ) l-ới X Xét không gian X ta có: x X lân cËn cđa nã lµ X ( nÕu A  X, A mở A = X A =  ) VËy l-íi ( S ,  ) héi tụ đến điểm thuộc *.Nhận xét Trong không gian tôpô thô l-ới đồng thời hội tụ đến nhiều điểm khác 2.12 Định lý Giả sử X không gian tôpô Khi 11 Giả sử (D, ) tập định h-ớng, (S, D,  ) vµ (T, D,  ) lµ hai l-ới không gian véctơ tôpô X Khi 1, ( S + T, D,  ): (S + T)i = S(i) + T(i) , i D đ-ợc gäi lµ l-íi tỉng cđa l-íi (S, D,  ) (T, D, ) không gian véctơ tôpô X 2, (  S, D,  ): (  S)(i) = S(i) , i D đ-ợc gọi lµ tÝch cđa l-íi (S, D,  ) víi sè thuộc tr-ờng sở X 2.14 Mệnh đề Giả sử (D, ) tập định h-ớng, l-ới (S, D,  ) vµ l-íi (T, D ,  ) hai l-ới hội tụ không gian véctơ tôpô X Khi l-ới (S + T, D, ) vµ (  S, D,  ) cịng héi tụ S s, T t S + T  s + t;  S   s Chøng minh Theo gi¶ thiÕt S  s suy víi mäi l©n cËn Us cđa s,  n1  D:  n  n1 th× Sn  Us t-ơng tự T t suy víi mäi l©n cËn Ut cđa t,  n2  D: n n2 Tn Ut Giả sử W lân cận (s+t) theo định nghĩa 1.15 suy tồn lân cận Vs s lân cận Vt t cho: Vs+Vt W Khi đó, chọn n0 D: n0 n1 n0 n2 (chọn đ-ợc n0 tập D định h-ớng) n n0 Sn Vsvà Tn  Vt, ®ã (S+T)n  Vs+Vt  W VËy (S+T , D,  ) héi tơ ®Õn s+t Cũng theo đinh nghĩa 1.15 lân cận W ( s ) tồn lân cận Vs cđa s vµ mét sè r > cho Vs W với giá trị cho    < r Chän  =  , ®ã    = ®Ĩ Sn  U n > no V× l-íi S hội tụ đến t nên V S suy tồn no > o: n > no Sn  V.Chän n* = max{n0,n0’ } th×  n>n*( mµ U  V =  ).Ta cã Sn võa thuộc U vừa thuộc V, vô lý Vậy s = t Điều kiện đủ Giả sử l-ới X hội tụ đến hai điểm khác ta chứng tỏ X T2- không gian Giả sử X không không gian Hausdorff, điểm s, t, thuộc X, gọi U lân cận tuỳ ý s , V lân cận tuỳ ý cña t cho U  V =  KÝ hiƯu Hä Us = {U : U lµ lân cận s, s X} , họ Ut = { V : V lân cận t , t  X} Khi ®ã Us , Ut tập có h-ớng bao hàm Ta thứ tự tích đề tập này, cách xem (T,U) (V,W) vµ chØ T  V , U  W Do biến tích xét thành tập có h-ớng Đối với phần tử (T , U)  Us  Ut , U  T  , tồn điểm S(T,U) T  U NÕu (V, W)  (T, U) th× V  T vµ W  U, V  W   cã ®iĨm S(V,W) cho S(V,W)  V W T V l-ới {S(T,U) , (T, U  Us  Ut ,  } hội tụ đến s {S(T,U) , (T, U  Us  Ut ,  } héi tơ ®Õn t Ta đến mâu thuẫn Vậy X không gian Hausdorff Định lý đ-ợc chứng minh 2.16 Đinh lý Giả sử X không gian tôpô Điểm s X điểm dính tập E X vµ chØ E cã l-íi héi tơ đến s Chứng minh Điều kiện đủ Giả sử D tập định h-ớng quan hệ tồn l-ới (S, D, ) E cho S  s Chøng minh s lµ ®iĨm dÝnh cđa E ThËt vËy, S  s nên với lân cận U s, n0 D:  n  no th× Sn U, chøng tá U  E   , nghÜa lµ s lµ điểm dính E 13 Điều kiện cần Giả sử s điểm dính E, ta chứng minh E tồn l-ới hội tụ đến s Ký hiệu U sở lân cận điểm s Khi đó, (U, ) tập định h-ớng Từ giả thiết s điểm dính E suy  U U ®Ịu cã U  E   Lóc ®ã, chän Su  U  E, ta cã l-íi (Su, U ,  )  E Lấy V lân cận s, U hệ sở lân cận nên W U: s W  U Do ®ã mäi U U mà U W U V Mặt khác SU U nªn SU  V,  U  W Theo định nghĩa l-ới hội tụ (SU, U, ) s 2.17 Định lý Giả sử X không gian tôpô Điểm s X điểm biên cđa tËp A  X vµ chØ tồn l-ới A CA hội tụ s Chứng minh.Điều kiện đủ Giả sử tồn t¹i l-íi (S, D,  )  A, S  s vµ l-íi (T,D,  )  CA,T  s Cần chứng minh s điểm biên tập A ThËt vËy, tõ gi¶ thiÕt S  s suy mäi l©n cËn U cđa s,  n1 D:  n n1 Sn U, nghĩa U A   Còng tõ T  s suy mäi l©n cËn V cđa s,  n2  D:  n  n2 th× Sn  V, nghÜa lµ V  CA   Chän n0  D: no  n1, no  n2 lóc ®ã  n no Sn U A Sn V  CA,  U, V  U VËy s điểm biên A Điều kiện cần Giả sử s điểm biên A Cần chứng minh tồn l-ới A CA hội tụ vỊ s ThËt vËy, ký hiƯu U hƯ c¬ së lân cận s, U A , với U U ta đà biết(U, ) tập định h-ớng U A ,suy chọn đ-ợc SU U Avà ta cã l-íi (SU, U,  )  A Tõ V CE suy chọn đ-ợc SV (V  CA), lóc ®ã cã l-íi (SV, U,  )  CA CÇn chøng minh (SU, U,  ) (SV, U, ) hội tụ s LÊy l©n cËn W bÊt kú cđa s, U hệ sở lân cận s nên 14  WO  U: s  W0  W.Do ®ã U U mà U W0 U  W0  W Tõ SU U suy SU  W,  U  W0, ®ã l-íi (SU, U, ) hội tụ s Hoàn toàn t-ơng tù l-íi (SV, U,  ) cịng héi tơ vỊ s 2.18 Định lý Giả sử X không gian tôpô, điểm s điểm tập A X l-ới X mà hội tụ s từ lúc ®ã l-íi ®ã n»m A Chøng minh ViƯc chøng minh định lý đ-ợc suy từ định lý 2.17 vµ nhËn xÐt sau víi mäi s  A s điểm A s điểm biên A 2.19 Định lý Giả sử X không gian tôpô Khi ®ã tËp A  X lµ më vµ l-ới hội tụ đến điểm thc A sÏ n»m A kĨ tõ mét lóc Chứng minh Giả sử A mở, S l-íi bÊt k× A, S  s A Ta ph¶i chøng minh S n»m A tõ mét lóc Do A mở, s A nên A lân cận s Khi S s nên no D: n no Sn  A, nghÜa lµ S n»m A tõ lúc Điều kiện đủ Giả sử S  s  A th× S n»m A tõ lúc Ta phải chứng tỏ A mở, t-ơng đ-ơng chứng minh X\A đóng Giả sử l-ới S X \ A S s Ta giả sử s X\A Vì S s mà s  A, theo gi¶ thiÕt S n»m A từ lúc đó, điều mâu thuẫn với S  X\A Do ®ã s  X\A, Suy X\A đóng, nghĩa có A mở 2.20 Định lý Giả sử X Y hai không gian tôpô, a điểm thuộc X ánh xạ s: X Y liên tục a mäi l-íi {Sn, n D,  } X mµ Sn  a th× l-íi {f(Sn)} héi tơ vỊ f(a) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử ánh xạ f: X Y liên tục a, suy với lân cận V f(a), tồn lân cận U a cho f(U) V Mặt khác Sn  a nªn  no D:  n  no Sn U Do f(Sn) f(U) V Vậy với lân cận V f(a) no D cho:  n  no th× f(Sn) V Do l-ới f(Sn) f(a) 15 Điều kiện ®đ Gi¶ sư {Sn, n D,  }  X, Sn  a th× f(Sn) héi tơ vỊ f(a) Ta chứng tỏ s liên tục a Giả sử s không liên tục a, tức tồn lân cËn V cđa f(a) cho víi mäi l©n cËn U cña a ta cã f(U)  V, suy tån t¹i SU U cho f(SU) V Gäi U sở lân cận a Khi (U, ) tập định h-ớng Với U  U th×  SU  U: f(SU) V Luc ®ã lÊy l-íi (SU, U,  ) th× SU  a nh-ng f(SU)  V,  U  U, nghÜa l-ới f(SU) f(a), mâu thuẫn với giả thiết Vậy f liên tục a 2.21 Mệnh đề Giả sử f g hai ánh xạ liên tục không gian tôpô X vào không gian Hausdorff Y Khi ®ã tËp E = {s  X: f(s) = g(s)} tập đóng Chứng minh Giả sử (D, ) tập định h-ớng, (Sn, D, ) l-ới E, Sn s Theo câu (c)định lý 2.12, ta có E đóng s E Mặt khác, Sn E nên f(Sn) = g(Sn), n D f, g liên tục nên f(Sn) f(s) g(Sn) g(s) Mặt khác Y T2 - không gian, nên f(s) = g(s), suy s  E VËy E đóng Sự t-ơng quan khái niệm l-ới d·y th«ng th-êng thĨ hiƯn qua nhËn xÐt sau 2.22 Nhận xét Nếu không gian tôpô X thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ (tức điểm tồn sở lân cận đếm đ-ợc) dÃy suy rộng X dÃy thông th-ờng Thật vậy, X thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ nên x X, tồn sở lân cận đếm đ-ợc U = {Un: Un lân cận x, n = 1,2,3,} Đặt ={Vk}k=1,2… ; Vk = k U n 1 n Rõ ràng V1 V2 Trên ta xác định quan hệ : Vk Vl nÕu Vk  Vl vµ chØ k l Khi thay D tất kết không thay đổi, cho ứng Vk k N* 16 23 Định nghĩa Nếu (D, ) (E, ) tập có h-ớng tích Đềcác D E biến thành tập có h-ớng quan hệ >>, ( d, e ) >> ( f, g) vµ chØ d  f, e  g TËp cã h-ớng (D E, >>) đ-ợc gọi tích có h-ớng tập có h-ớng (D, ) ( E, ) 2.24 Định nghĩa Giả sử với a A Cho tập có h-ớng (Da , >a) Tích đềcác {Da: a A} = {d: d hàm xác định A cho da Da với a A} 2.25 Định nghĩa Tích có h-ớng cặp { {Da : a A}, >a}, d e phần tử tích d e chØ da >a ea 2.26 NhËn xÐt Khi mäi tập toạ độ Da trùng định huớng >a chúng trùng tích {Da : a A} = DA tập tất ánh xạ từ A vào D: A D, định h-ớng cách quy -ớc d sau e d(a) sau e(a), với a A 2.27 Định lý giới hạn lặp Giả sử D tập có h-ớng m thuộc D t-ơng ứng tập có h-ớng Em Ký hiệu F tích D {Em: m D} đặt R(m, f(m)) ®èi víi ( m,f) t ý thc F Nếu với cặp m D n Em, S (m,n) phần tử không gian tôpô cố định l-ới So R hội tụ đến lim lim S(m,n), cần giới hạn lặp tồn m n lim S(m,n) = s U lân cËn më cđa s Ta Chøng minh Gi¶ sư r»ng lim m n phải tìm phần tử (m, f)  F cho nÕu (p, g)  (m,f) th× SoR (f,g)  U Chän m D cho lim S(p, n) U với p sau m, với p ta lÊy phÇn tư n f(p)  Ep cho: S(p, n) vào U với n sau f(p)  EP, cho (p, g)  (m, f) th× p  m, tøc lim S(p, n)  U, vµ SoR(p,g) = S(p, g(p))  U n * Chú ý Sự tồn lân cận mở điểm s quan trọng chứng minh định lý giới hạn lặp Họ lân cận mở điểm lập thành sở điểm đó, tiên ®Ị bao ®ãng ( A = A ) liªn quan mật thiết với Sự hội tụ đà đ-ợc nghiên cứu không gian với cấu trúc hạn chế so với cấu trúc tôpô 17 l-ới điểm giới hạn- lớp hội tụ mục này, mở rộng khái niệm dÃy chứng minh số định lý, tìm hiểu nghiên cứu lớp hội tụ I L-ới điểm giới hạn 3.1 Định nghĩa L-ới {Tm , m D} đ-ợc gọi l-ới cđa l-íi {Sn, n  E} vµ chØ tồn hàm N D với giá trị E cho (a) T = SoN, hay mét c¸ch t-ơng đ-ơng Ti = SN i với i D (b) Với m E tìm đ-ợc n  D cho nÕu p  n th× Np m 3.2 Bổ đề Giả sử S l-ới U họ tập mà S th-ờng xuyên gặp chúng, cho giao cđa hai phÇn tư t ý thc U chøa phÇn tử thuộc U Khi tồn l-ới l-ới S, nằm phần tử họ U kể từ lúc Chứng minh Giao cđa hai phÇn tư t ý thc U chøa phÇn tử họ; nghĩa U đ-ợc định h-íng bëi quan hƯ  Gi¶ sư {Sn, n D} l-ới th-ờng xuyên gặp phần tử u U E tập cặp (m, A) cho m  D, A U, Sm  A Khi E đ-ợc định h-ớng thứ tù trªn tÝch D  U Thùc vËy, víi hai phần tử tuỳ ý (m, A) ( n, B) thuéc E, tån t¹i C  U cho C A B p D sau m, n Sp C Khi (p, C) E, đồng thời phần tử (p,C) sau (m, A) (n, B) Đối với (m, A) tuỳ ý, ta đặt N(m, A) = m ánh xạ N rõ ràng đồng điệu miền giá trị đuôi D (vì l-ới {Sn, n D} th-ờng xuyên gặp phần tử họ U) Do SoN l-ới S Cuối cùng, Nếu A phần tử họ U m phần tử tuý ý D, Sm A (n, B) phần tử tập có h-ớng E, sau (m, A) SoN(n,B)=Sn B A Nghĩa l-ới SoN A Bổ đề đ-ợc chứng minh 18 Bây ta sử dụng bổ đề 3.2 để nghiên cøu sù héi tơ kh«ng gian t«p«, ta cã định nghĩa sau: 3.3 Định nghĩa Điểm s không gian tôpô X gọi điểm giới hạn l-ới S l-ới S th-ờng xuyên gặp lân cận s 3.4 Nhận xét (1) Một l-ới có điểm giới hạn (2) Một l-ới có nhiều điểm giới hạn (3) Một l-ới điểm giới hạn 3.4.1 VÝ dô (1) NÕu  = {n, n  N} = {n, n N} l-ới điểm giới hạn tôpô thông th-ờng sè thùc Chøng minh V× lim n = +  , ®ã l-íi  = {n, n  N} điểm giới hạn (2) DÃy S = {r : r Q}, số thực ®iĨm giíi h¹n cđa d·y Chøng minh LÊy bÊt kú số hữu tỉ xo, khoảng mở (xo-  , xo+  ) víi  = 1 rn x0 tồn số hữu tû rn  ( x0- , x0+ ).Tõ ®ã ta có lim n n n n Ví dụ đ-ợc chøng minh (3) D·y -1, 1, -1, 2, -1, 3, -1, ta thấy -1 điểm giới hạn dÃy, nh-ng dÃy không hội tụ đến -1 Chøng minh D·y -1, -1, -1 cã giíi h¹n -1 DÃy 1, 2, 3, 4, điểm giới hạn 3.5 Định lý Điểm s không gian tôpô điểm giới hạn l-ới S có l-ới hội tụ đến s Chứng minh Điều kiện cần Nếu s điểm giới hạn l-ới S S có l-ới hội tụ đến s Giả sử s điểm giới hạn l-ới S U họ lận cận s Giả sử A, B hai phần tử tuỳ ý thuéc U, V  A  B  U vµ S  A   ; S  B   Do ®ã theo 19 bỉ ®Ị 3.2 ta có l-ới S, giả sử l-ới ký hiƯu S oN, mµ  n  D, n > SoN A SoN B, tức l-ới SoN S hội tụ đến s Điều kiện đủ Giả sử ng-ợc lại, điểm s điểm giới hạn l-ới S Khi tồn lân cận U s cho: U  S =  Suy S  X\U Gäi SoN lµ l-íi bÊt kú cđa l-íi S, SoN X\U Do SoN U = Từ suy SoN không hội tụ đến s Vậy s điểm giới hạn l-ới S Định lý đ-ợc chứng minh Định lý sau đặc tr-ng điểm giới hạn theo thuật ngữ bao đóng 3.6 Định lý Giả sử {Sn, n D} l-ới không gian tôpô X Đối với n D, ký hiệu An ={Sm: m n} Khi điểm s điểm giới hạn l-ới {Sn,n D) s An , với n D Chứng minh Điều kiện cần Giả sử s điểm giới hạn l-ới {Sn, n D} ta cần chứng minh s An , với n D Gọi U lân cận tuỳ ý điểm s, ®ã mäi n  D th× An  U   ( v× l-íi {Sn, n  D}  U ) Do s An Điều kiên đủ Giả sử s An , với n D ta cần chứng minh s điểm giới hạn l-ới {Sn, n D} Gọi U lân cận điểm s Giả sử s không ®iĨm giíi h¹n cđa l-íi {S n, n  D} Khi ®ã {Sn, n  D}  U =   n  D, m  n suy Sm  U, ®ã U  An=  , s An Vậy s điểm giới hạn l-ới {Sn, n D} Định lý đ-ợc chứng minh II Lớp hội tụ 20 3.7 Định nghĩa Tlà họ hàm xác định X với giá trị không gian tôpô Y ta nói l-ới {fn, n D} hội tụ đến hàm g {fn(x), n D} hội tụ đến g(x) với x X Câu hỏi đặt tồn hay không tôpô tập cho hội tụ vừa xác định hội tụ tôpô này? Một cách hình thức toán nh- sau: Giả sử c lớp lập nên cặp (S, s), S l-ới X s điểm Trong tr-ờng hợp tồn tôpô  trªn X cho (S, s)  c l-ới S hội tụ đến s đối víi t«p« ? Tõ lý ln tr-íc vỊ héi tơ,ta biết , họ c phải có loạt tính chất định, tôpô nh- tồn 3.8 Mệnh đề Ta gọi họ c lớp hội tụ X thoả mÃn điều kiện d-ới (Để thuận tiện ta nói S hội tơ (c) ®Õn ®iĨm s hay lim Sn  s(c n ) vµ chØ (S, s)  (c) (a) NÕu S lµ l-íi cho Sn = s với n S hội tụ (c) đến s (b) Nếu l-ới S hội tụ (c) đến s mäi l-íi t ý cđa nã cịng héi tơ ®Õn s (c) NÕu s kh«ng héi tơ (c) ®Õn s tồn l-ới cho không l-ới hội tụ (c) đến s (d) (Định lý giới hạn lặp) Giả sử D tập có h-ớng với n D cho tập có h-ớng Em Ký hiệu F =D {Em: m D} đặt R(m, f)  F tuú lim S(m, n) = s(c) th× SoR héi tơ (c) ®Õn s ý NÕu lim m n Chứng minh Ta đà chứng minh đ-ợc điều kiện (a), (b), (d) B©y giê ta chøng minh (c) cịng thoả mÃn Gọi U lân cận tuỳ ý s, giả sử l-ới {S n, n D} không hội tụ đến s, {Sn, n D} X\U Do với tập đuôi E D, {Sn, n E} X\U Do {Sn, n E} l-ới cđa l-íi {Sn, n  D} héi tơ ®Õn s Bây ta chứng tỏ l-ới hội tụ thực đ-ợc suy từ tôpô 21 3.9 Định lý Giả sử (c ) lớp hội tụ tập X Đối với tập A X, ký hiệu Ac tập điểm s X cho A cã tån t¹i mét l-íi S hội tụ (c) đến s Khi c toán tử bao đóng (S, s) (c ) l-ới S hội tụ đến s tôpô kết hợp với toán tử c Chứng minh Tr-ớc tiên ta cần c toán tử bao đóng Vì l-ới hàm tập có h-ớng không trống nên tập ( ) c trống Do điều kiện (a) l-ới không đổi, với điểm s tập A tuỳ ý, A tån t¹i mét l-íi , héi tơ (c) ®Õn s Do ®ã A  Ac NÕu s Ac định nghĩa toán tử c ta có s  ( A  B) c vµ cã nghÜa Ac ( A B) c với tËp B V× thÕ Ac  Bc  ( A B) c Ta chứng minh bao hàm thức ng-ợc lại Giả sử {Sn, n D} l-ới A B, hội tụ (c ) đến s Đặt DA = { n: n D vµ Sn A} vµ DB = {n: n D Sn B} Khi DA DB=D Nghĩa là, DA DB đuôi với D {Sn, n DA} {Sn, n DB} lập thành l-ới l-ới {Sn, n  D} héi tơ ®Õn s ®iỊu kiƯn (b) Do ®ã s  Ac  Bc §iỊu ®ã chøng tá (A  B)c  Ac  Bc Bây cần chứng minh Acc = Ac Ta sử dụng điều kiện (d) để chứng minh Giả sư l-íi {Tm, m D}  Ac héi tơ (c) đến điểm t Đối với m D, tồn tập có h-ớng Em l-ới {S(m, n), n  Em} héi tơ (c) ®Õn Tm Theo ®iỊu kiƯn 22 (d) mƯnh ®Ị 3.9 ta cã, A tồn l-ới hội tụ (c) đến t;do t Ac, nghÜa lµ Acc = Ac VËy Acc = Ac B©y giê ta chøng minh sơ héi tơ (c) trùng với hội tụ kết hợp với toán tử c Giả sử rằng, l-ới {Sn, n D} hội tụ (c) đến s không hội tụ đến s theo Khi tồn lân cận mở U cđa s cho {Sn, n D} kh«ng n»m U từ bất lúc Khi với tập đuôi E D, Ta có Sn  X\U,  n E V× l-íi {Sn, n  E} l-ới l-ới {Sn, n D} nên {Sn, n E} héi tơ (c) ®Õn s (Do (b) mệnh đề 3.9) Tức X\U ( X\U)c = Và U không mở điều mâu thuẫn Cuối cùng, Giả sử l-ới P hội tụ đến điểm r tôpô không hội tơ (c ) ®Õn nã Khi ®ã, theo ®iỊu kiƯn (c) ( mệnh đề 3.9 ) tồn l-ới {T m, m  D}  P cho kh«ng l-ới hội tụ (c) đến r Sẽ có mâu thuẫn ta tìm đ-ợc {Tm, m D} mét l-íi héi tơ (c) ®Õn r Đối với m D, đặt Bm = {n: n  D, n  m} vµ qua Am ký hiệu tập điểm Tn mà n Bm Vì l-ới {Tm,m D} hội tụ đến r, nên phần tử r phải thuộc bao đóng tập Am Do đó, với m D, tồn tËp cã h-íng Em vµ l-íi {U(m, n), n  Em}  Bm cho {ToU(m, n), n Em} héi tụ (c) đến r Đặt R(m, f) = (m, f(m)), với (m, f) D {Em, m  D} L-íi ToUoR héi tơ (c) ®Õn r (Theo (d) mệnh đề 3.9) Mặt khác, p m th× UoR(p, f) = U(p, f(p)) Bm Nh- vËy, UoR(p, f)  m Suy ToUoR lµ l-íi l-ới T Định lý đ-ợc chứng minh 23 Bài tập L-ới đơn điệu Giả sử X tËp s¾p thø tù tun tÝnh bëi quan hƯ lín cho tập không trống có cận có cận bế Ta xem X đ-ợc gắn tôpô thứ tự Ta nói l-ới (S, >) đơn điệu tăng (giảm) X nÕu tõ m >n suy Sm>Sn (Sn  Sm) Bài tập Giả sử X tập thứ tù tun tÝnh bëi quan hƯ  Khi ®ã l-ới đơn điệu tăng X mà miền giá trị bị chặn hội tụ đến cận bé miền giá trị Chứng minh Giả sử miền giá trị l-ới {Sn, n D, } có cận bé s*, ta cần chứng tỏ l-íi {Sn, n D,  } n»m l©n cËn U tuỳ ý từ lúc Thật vậy, giả sử U lân cận tuỳ ý s*, s* cận bé Sn nên tồn S n U o Mặt khác, l-ới {Sn, n D, } đơn điệu tăng nên Sn+1 Sn với n D Do ®ã Sn  U víi  n  no VËy l-íi {Sn, n D,  } tõ mét lóc nµo ®ã n»m U, hay l-íi {Sn, n  D, } hội tụ đến cận bé s* Bài tập Mỗi l-ới đơn điệu giảm X mà miền giá trị bị chặn hội tụ đến cận d-ới lớn miền giá trị Chứng minh Chứng minh t-ơng tự tập1 Bài tập Giả sử X tập số thực với thứ tự thông th-ờng tập tự số nhỏ tự số không đếm đ-ợc Khi l-ới đơn điệu tăng (giảm) mà miền giá trị bị chặn (d-ới) hội tụ đến cận bé (cận d-ới lớn nhất) miền giá trị 24 Chứng minh Giả sử X tập số thực với thứ tự thông th-ờng Khi X tập thø tù tuyÕn tÝnh Theo bµi vµ bµi ta có điều phải chứng minh Kết luận Khoá luận đà đạt đ-ợc số kết sau đây: 1.Hệ thống đ-ợc khái niệm tập có h-ớng, định h-ớng, nghiên cứu đọc hiểu Nghiên cứu, đọc hiểu chứng minh chi tiết đinh lý l-ới điểm giới hạn l-ới, tìm hiểu nghiên cứu lớp hội tụ Làm số tập liên quan l-ới 25 Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp (1992), Giáo trình giải tích hàm, ĐHSP Vinh [2] Tạ Khắc C-, Lý thuyết co rút, Nxb ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (1995), Không gian tuyến tính tôpô Banach-Hinbert, Nxb ĐH & THCN [4] J.Kelly(1973), Tôpô đại c-ơng, Nxb §H & THCN Hµ Néi ... giới hạn A Theo câu (a) điểm giới hạn s A  X, tån t¹i l-íi {SU, U  U, } A hội tụ đến s Đối với s A, l-ới nhận giá trị s phần tử miền xác định, hội tụ đến s Do A tồn l-ới hội tụ đến Điều... Cuối cùng, Giả sử l-ới P hội tụ đến điểm r tôpô không hội tụ (c ) ®Õn nã Khi ®ã, theo ®iỊu kiƯn (c) ( mệnh đề 3.9 ) tồn l-ới {T m, m  D}  P cho kh«ng mét l-ới hội tụ (c) đến r Sẽ có mâu thuẫn... Định lý đ-ợc chứng minh II Lớp hội tụ 20 3.7 Định nghĩa Tlà họ hàm xác định X với giá trị không gian tôpô Y ta nói l-ới {fn, n D} hội tụ đến hàm g {fn(x), n D} hội tụ đến g(x) với x X Câu hỏi

Ngày đăng: 02/12/2021, 23:27

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN