Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số

Nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm “Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số” để nghiên cứu nhằm tìm ra những sai lầm cơ bản, tìm hiểu nguyên nhân và hướng khắc phục, giúp học sinh tự tin hơn, chính xác hơn khi giải dạng toán này.

Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài: Tốn học là một mơn khoa học tự nhiên, nó ra đời và phát triển gắn liền   với sự  phát triển của xã hội lồi người. Từ  xa xưa con người đã biết đến   Tốn học và khoa học đã khẳng định rằng Tốn học là nền tảng của nhiều  mơn khoa học khác, các ứng dụng của tốn học đưa lại hiệu quả to lớn trong   đời sống xã hội và là nền tảng tư duy tri thức rèn luyện kỹ năng, kỷ xảo, phát  triển trí tuệ, phẩm chất đạo đức cho mỗi con người. Do đó việc dạy và học    mơn Tốn khơng chỉ dừng lại  ở việc học thuộc bài tốn mà phải phát huy  năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, trang bị cho học sinh các kỹ năng cần  thiết để  học sinh có thể  vận dụng một cách linh hoạt vào thực tiễn cuộc  sống. Hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ  thơng phải   hướng đến đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng u cầu của  xã hội trong thời kỳ hội nhập quốc tế. Nó địi hỏi mỗi người giáo viên phải   chú trọng đến việc thiết kế  và hướng dẫn học sinh thực hiện các dạng bài  tập phát triển tư  duy và rèn luyện kỹ  năng, động viên khuyến khích, tạo cơ  hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo   vào q trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học, chú ý khai thác vốn kiến  thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu   cầu hành động và thái độ  tự  tin trong học tập của học sinh, góp phần phát   triển tối đa tiềm năng của bản thân Tốn học mang tính chính xác rất cao, một bài tốn có thể có nhiều cách   giải song nó chỉ  có một đáp số  duy nhất. Do đó trong q trình dạy học tốn,  giáo viên cần phân tích, tìm tịi và giúp học sinh phát hiện bài tập đã cho thuộc   dạng tốn nào để  vận dụng phương pháp giải cho phù hợp. Trong q trình  giải tốn, học sinh thường mắc phải những sai lầm mà chính học sinh cũng  khơng phát hiện được   nên vẫn cứ  nghĩ rằng cách giải của mình là đúng.  Trong nhiều năm tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn, bản  thân tơi nhận thấy dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (gọi là bài tốn cực  trị  đại số) thì học sinh thường mắc phải nhiều sai lầm. Từ lý do đó nên tơi   chọn sáng kiến kinh nghiệm “Một số  sai lầm và phương pháp khắc phục   khi giải bài tốn cực trị đại số”  để nghiên cứu nhằm tìm ra những sai lầm  cơ bản, tìm hiểu ngun nhân và hướng khắc phục, giúp học sinh tự tin hơn,  chính xác hơn khi giải dạng tốn này  Đổi mới phương pháp dạy học đã và đang diễn ra một cách mạnh mẽ   tất cả  các trường và với mỗi một người giáo viên. Đã có nhiều nhà khoa   học, nhiều nhà quản lý giáo dục và nhiều giáo viên nghiên cứu, đưa ra những  sáng kiến hay trong việc đổi mới phương pháp dạy học để nâng cao hiệu quả  giáo dục. Điểm mới của đề tài này tơi muốn đề cập đến đó là nghiên cứu tìm  ra những sai lầm cơ bản trong việc trình bày bài giải của một bài tốn cực trị,  Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số từ đó tìm ra ngun nhân và phương pháp khắc phục cụ thể cho từng sai lầm   Giúp học sinh nắm chắc hơn và tự  sửa chữa cho mình trong q trình giải   tốn, nhằm gây hứng thú học tập, tạo ra niềm say mê mơn học trong mỗi một  học sinh. Đồng thời giúp tất cả  các đối tượng học sinh nắm được phương   pháp học tập để  nắm thật chắc chắn kiến thức mơn học, đặc biệt là bồi   dưỡng, đào tạo nên những học sinh giỏi thực sự, tạo nguồn nhân lực tương   lai cho đất nước II. Phạm vi áp dụng: Sáng kiến này được áp dụng trong việc dạy học phân môn Đại số  cấp  THCS, trong việc ôn luyện cho học sinh dự thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT   Đặc biệt áp dụng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất   lượng đội tuyển dự thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp tỉnh PHẦN NỘI DUNG I. Thực trạng nội dung cần nghiên cứu: Thực tế  cho thấy Tốn học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là   chiếc chìa khố vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành  khoa học, kinh tế, qn sự    trong cuộc sống. Chính vì vậy việc dạy và học   mơn tốn trong nhà trường đóng vai trị vơ cùng quan trọng. Dạy tốn  chiếm vị trí số một trong các mơn học của nhà trường, đối với giáo viên, dạy   tốn là niềm tự hào song đó cũng là thử thách vơ cùng lớn. Để dạy tốn và học   tốn tốt thì thầy và trị khơng ngừng rèn luyện và đầu tư trí và lực vào nghiên  cứu học hỏi. Học và dạy tốn với chương trình cơ  bản đã rất khó, xong dạy   và học tốn trong đào tạo mũi nhọn lại vơ cùng gian trn, việc học và dạy   khơng dừng  ở việc người học và người dạy phải có trí tuệ  nhất định mà cả  thầy và trị phải dày cơng đầu tư  vào nghiên cứu các dạng tốn, thuật tốn  vận dụng hợp lý các tính chất tốn học do các nhà tốn học đã nghiên cứu vào  giải tốn, ngồi ra người dạy và học tốn phải tự rèn luyện và nghiên cứu để  có những cơng trình tốn của riêng mình cùng góp sức để  đưa bộ  mơn tốn  ngày càng phát triển Qua q trình giảng dạy nhiều năm bản thân tơi thấy việc hình thành   cho học sinh cách suy nghĩ để  tìm lời giải cho bài tốn hoặc mỗi dạng tốn  nào đó là cơng việc rất khó. Đứng trước một bài tốn nếu người thầy chưa  hiểu, chưa có hướng giải thì ta hướng dẫn học sinh như  thế  nào, thật khó  trong những tình huống như thế người thầy sẽ mất vai trị chủ đạo trong việc   dạy học sinh, cịn học sinh đã khơng giải được tốn nhưng lại mất niềm tin ở  Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số thầy và cảm thấy việc học tốn là cực hình, là khó vơ cùng khơng thể  học  được.  Tốn học là bộ  mơn khoa học của nhân loại, một bộ  mơn khoa học đa  dạng về thể loại. Khơng phải cứ  dạy tốn và học tốn là biết hết, là đã đến  đỉnh cao của trí tuệ  nhân loại. Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi tơi tự  thấy kiến thức tốn của bản thân cịn rất hạn chế, nhất là những bài tốn về  cực trị trong đại số. Đây là dạng tốn lớn, có nhiều cách thức để giải thường  hay xuất hiện nhiều trong các đề  thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10  THPT. Tuy nhiên, nhiều học sinh khơng biết giải như  thế  nào? Có những  phương pháp nào? Trong khi các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc  chưa hệ  thống thành các phương pháp nhất định, gây nhiều khó khăn trong   việc học tập của học sinh, dẫn đến học sinh dễ mắc phải các sai lầm.  Vì  vậy việc nghiên cứu các sai lầm của học sinh khi giải các bài tốn cực trị đại  số  là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được   phương pháp giảng dạy phần này  đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất  lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các  trường THCS. Tơi đã tiến hành khảo sát về chất lượng làm bài thi của các em  thuộc đội tuyển bồi dưỡng HSG lớp 9 cấp tỉnh, kết quả thu được như sau: Bảng 1: Kết quả học sinh làm bài tập về cực trị đại số  trong đề thi HSG cấp  tỉnh Năm học Số HS  tham gia Chưa  làm  2014­2015 20 05 06 05 04 2015­2016 20 06 06 04 03 Đã làm  Làm được  nhưng định  Làm được  nhưng  hướng cách  cả bài chưa xong giải sai Bước vào đầu năm học tôi tiến hành khảo sát trên 20 học sinh đang  tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi mà tôi đang trực tiếp giảng dạy, với bài  tốn có kiến thức trên mức độ  đề tuyển sinh nhưng chưa đến mức độ  đề  thi  học sinh giỏi cấp tỉnh, thang điểm 1,5. Kết quả thu được như sau: Bảng 2: Kết quả khảo sát 20 học sinh đang tham gia bồi dưỡng  Chưa làm  Đã làm nhưng định  hướng cách giải sai Làm được nhưng  chưa xong Làm được cả  SL % SL % SL % SL % 10 50,0% 03 15,0% 25,0% 10,0% Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số Qua cơng tác chấm chữa và tìm hiểu học sinh tơi nhận thấy có một số  ngun nhân như sau: số ­ Học sinh chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài tốn tìm cực trị  Đại  ­ Học sinh chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức vì bài tốn   cực trị liên quan rất chặt chẽ với bài tốn chứng minh bất đẳng thức ­ Chưa hệ thống, phân loại được các dạng bài tập và phương pháp giải ­ Khơng đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài tốn đã đã vội đi ngay vào giải   tốn ­ Khơng biết đề cập bài tốn theo nhiều cách giải khác nhau, khơng chịu  nghiên cứu  kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài tốn, khơng  sử dụng hết giả thiết bài tốn, khơng biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có ­ Khơng tự  tư  duy lại bài tốn mình làm sau khi đã giải xong xem đã  đúng chưa Qua đó tơi rút ra được một số  vấn đề  cần được khắc phục trong việc   đổi mới phương pháp dạy học như sau: ­ Phải trang bị cho học sinh nắm chắc chắn các kiến thức cơ bản về bài  tốn tìm cực trị Đại số và các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức ­ Phải phân loại được các dạng tốn và xây dựng phương pháp giải phù   hợp cho từng dạng tốn cực trị ­ Tìm ra các sai lầm cơ bản và hướng khắc phục cho từng sai lầm đó giải ­ u cầu học sinh thực hành tư  duy tìm hướng giải và trình bày bài  Với đặc trưng của cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi tơi nhận thấy có  nhiều thuận lợi để  triển khai nghiên cứu, áp dụng sáng kiến:  “Một số  sai   lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị  đại số”  Sau đây  tơi xin đưa ra một số giải pháp: II. Các giải pháp: 1, Giải pháp 1: Trang bị  cho học sinh các kiến thức cơ  bản về  cực trị  Đại số cũng như các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức: 1.1, Kiến thức cơ bản về cực trị đại số: 1.1.1, Định nghĩa a, Định nghĩa GTNN (Min): Cho biểu thức một biến A(x) được xác định trên  tập D. Nếu mọi giá trị  của x   D mà A(x)   m (với m   R) (1), dấu đẳng  thức xảy ra tại x = x0 và x0   D (2) ta nói A(x) có giá trị nhỏ nhất là k, tại x =   x0 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số Ký hiệu: Min A(x) = m, tại x = x0 b, Định nghĩa GTLN (Max): Cho biểu thức một biến A(x) được xác định trên  tập D. Nếu mọi giá trị  của x   D mà A(x)  ≤  n ( với n   R) (1), dấu đẳng  thức xảy ra tại x = x 0 và  x0   D (2) ta nói A(x) có giá trị lớn nhất là n, tại x =   x0 Ký hiệu: MaxA(x) = n, tại x = x0 c, Chú ý: ­ Hai định nghĩa trên vẫn đúng với biểu thức hai biến A(x; y) trở lên      ­ Để tồn tại cực trị thì điều kiện (1) và (2) đồng thời thỏa mãn Ví dụ  minh họa: Ta xét biểu thức A = (x ­ 1) 2 + (x ­ 3)2. Rõ ràng A  0, dấu  �x ­ 1 = 0 �x ­ 3 = 0 �x = 1  (điều này vô lý).  � �x = 3 bằng xảy ra khi:  � Nên ta khơng thể kết luận MinA = 0 được * Cách giải đúng:  A = (x ­ 1)2 + (x ­ 3)2 = 2x2 ­ 8x + 10 = 2(x ­ 2)2 + 2   2 Dấu bằng xảy ra khi x = 2. Vậy  MinA = 2, khi x = 2 1.1.2, Một số  tính chất của giá trị  lớn nhất và giá trị  nhỏ  nhất của hàm   số: Tính chất 1:    Giả sử  A f ( x) a,  Max x A B khi đó ta có: x B Tính chất 2:  Nếu  f ( x, y ) f ( x) a,  Max x D Tính chất 3: f ( x) b,  Min x A max f ( x) f ( x) x B với mọi  x thuộc  D , ta có: max f ( x)             b,  Min f ( x) x D x D f ( x) x D f ( x ) + Max f ( x )     (1) ( f ( x) + g ( x) ) Max a,  Max x�D x�D x�D f ( x) + Min f ( x)      (2) ( f ( x) + g ( x) ) Min b,  Min x�D x�D x�D Dấu bằng trong  (1)  xẩy ra khi có ít nhất một điểm  x0  mà tại đó  f (x) g (x)  cùng đạt giá trị lớn nhất. Tương tự nếu tồn tại  x0 thuộc  D  mà tại đó  f , g cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì  (2)  có dấu bằng Tính chất 4: f(x) = ­ (­f(x))    Max x D x D Tính chất 5:  Nếu đặt  M Max f (x) ,  m Tính chất 6:   Giả sử  D1 x x D f ( x) thì   Min x D D; f ( x) Min f ( x)  thì   Max f ( x) x D  và D2 x D x D; f ( x) Max M , m x D max f ( x); f ( x) x D1 x D2 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Chú ý:   Khi nói đến giá trị  lớn nhất hay nhỏ  nhất của một hàm số, bao giờ  cũng phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số  f (x)  nhưng xét trên hai TXĐ khác nhau  thì nói  chung giá trị  lớn nhất tương  ứng khác nhau.  Để  cho phù hợp với  chương trình các lớp phổ thơng cơ sở, ta giả thiết là các bài tốn đang xét đều  tồn tại giá trị cực trị trên một tập hợp nào đó 1.2, Kiến thức cơ bản về bất đẳng thức: 1.2.1, Định nghĩa:  Hệ thức có dạng a > b (hoặc a  b   b > a ­ Tính chất bắc cầu: a > b và b > c   a > c ­ Cộng hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số: a > b   a + c > b + c  ­ Nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số: + Nếu a > b và c > 0 thì a.c > b.c + Nếu a > b và c  d   a + c > b + d Chú ý: Khơng được trừ vế theo vế của hai bất đẳng thức cùng chiều ­ Trừ  vế  theo vế  của hai bất đẳng thức ngược chiều ta được một bất   đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b và c  b  – d  ­ Nhân vế  theo vế  của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế  không  âm a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0   a.c > b.d ­ Nâng lên lũy thừa bậc n nguyên dương hai vế của bất đẳng thức a > b > 0   an > bn (n   N) a > b   an > bn với mọi n lẻ;    a  >  b    an > bn với n chẵn ­ So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương Nếu m > n > 0 thì: a > 1   am  >  an a = 1   am =  an  0 Min A =   khi x=y = 2 Lưu ý: Khi giải bài tốn mà khơng sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần   kiểm tra lại giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài tốn mới đúng 2.5, Sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức với các biểu thức bị hạn chế: Ví dụ 7: Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2 + y2 = 1.  Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức  C =  1 + x  + y ? 11 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số Lời   giải   sai:  ( ) Với   hai   số   thực   a,   b   bất   kỳ   ta   có:  a + b  =  ( a + b ) +  ( a ­ b ) 2 ( a + b ) ( Áp dụng với  a =  1 + x ;  b = y  ta có  C2 =  1 + x + y ) ( ) 1 + x + y  = 4 Do đó  C2 = 4 � ­2 C  Vậy MinC = ­2 và MaxC = 2 Phân tích sai lầm:      Ta thấy  1 + x 2  0  nên C  = 4 khi và chỉ khi  1 + x = y 1 + x = y với y ≥ 0 Mà theo giả thiết x2 + y2 = 1 nên x = 0, y = 1, khi đó C = 2,  do đó MinC = ­2 là khơng thỏa mãn. Vậy sai lầm xảy ra ở đâu?   Ta ( a + b ) (   �� a + b ) thấy (   ­ a + b ) ( a + b )   ( bất a + b )   đẳng   thức     thì dấu bằng thứ nhất xảy ra khi và chỉ  khi a = b ≤ 0; cịn dấu “=” thứ hai   xảy ra khi và chỉ  khi a = b ≥ 0. Nếu a, b có giá trị  bị  hạn chế  thì dấu bằng  trong các bất đẳng thức trên có thể khơng xảy ra Lời giải đúng:  Vì x2 + y2 = 1 nên y ≥ ­1, mặt khác  1 + x    1  nên  C =  1 + x  + y Do đó MinC = 0 khi x = 1 và y = ­1 2.6, Sai lầm khi sử dụng tính chất của dấu giá trị tuyệt đối: Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  D =  x ­ 1  +  x ­ 2  +  x ­ 3  +  x ­ 4 ? Lời giải sai: Áp dụng  a  +  b     a + b   Dấu ‘‘=’’ xảy ra   ab ≥ 0 ta có x ­ 1  +  x ­ 2  =  x ­ 1  +  2 ­ x x ­ 1 + 2 ­ x  = 1 , Dấu “=” xảy ra   1 x x ­ 3  +  x ­ 4  =  x ­ 3  +  4 ­ x x ­ 3 + 4 ­ x  = 1 , Dấu “=” xảy ra   3 x Do đó  D =  x ­ 1  +  x ­ 2  +  x ­ 3  +  x ­ 4 1 + 1 = 2 Phân tích sai lầm:  Ta thấy khơng có giá trị của x để MinD = 2 Lưu ý rằng: Nếu a ≤ b thì  x ­ a  +  x ­ b   b ­ a , Dấu “=” xảy ra     a x b Lời giải đúng: Áp dụng  a  +  b     a + b   Dấu ‘‘=’’ xảy ra   ab ≥ 0 ta có x ­ 1  +  x ­ 4  =  x ­ 1  +  4 ­ x x ­ 1 + 4 ­ x  = 3 , Dấu “=” xảy ra   1 x x ­ 2  +  x ­ 3  =  x ­ 2  +  3 ­ x x ­ 2 + 3 ­ x  = 1 , Dấu “=” xảy ra   2 x 12 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số Do đó  D =  x ­ 1  +  x ­ 2  +  x ­ 3  +  x ­ 4 3 + 1 = 4 , Dấu “=” xảy ra  x 2.7, Sai lầm khi sử dụng các bất đẳng thức ngược chiều nhau: Ví dụ 9: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1.  x y  +  ? 1 ­ x 1 ­ y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  E =  Lời giải sai: Từ giả thiết ta suy ra 0  0, y > 0 và x + y ≤ 1 14 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  Q = xy +  ? xy Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ta có:   Q = xy +  xy xy  = 2.3 = 6 xy Dấu “=” xảy ra  � xy =  � ( xy )  = 32 � xy = 3  ( x > 0, y > 0 ) xy Phân tích sai lầm:  Trong lời giải trên đã khơng sử dụng giả thiết x + y ≤ 1 nên   để dấu “=” xảy ra thì xy = 3 và x + y ≤ 1. Ta thấy với x > 0, y > 0 thì khơng có   giá trị nào của x, y để thỏa mãn xy = 3 và x + y ≤ 1 x + y xy Lời giải đúng: Ta có 1 �� 1  . Do đó  xy = 4 0  0, y > 0 và x + y ≤    x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  M = x + y +   +  ? Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ta có: M = x + y +  1 � 1� � 1� 1  +   =  � x +  � +  � y +  �   x  + 2 y  = 4 x y � x� � y� x y Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 Phân tích sai lầm:  Ta thấy trong lời giải trên dấu “=” xảy ra   x = y = 1  khi đó x + y = 2 khơng thỏa mãn điều kiện x + y ≤  x Lời giải đúng: Sử dụng kỹ thuật tách số   =  4 5  +  ;   =   +  ta có: 9x 9x y 9x 9x     � � � �1 1� 4 � M =  � x +  � +  �y +  �  +  �  +  � x  + 2 y  +  y� 9x 9y x + y � 9x � � 9y � �x x (áp dụng bất đẳng thức   +  y và  x + y x + y � x + y 4 x + y 12  = 3 ) 15 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số Do đó  M x 4  + 2 y  +  9x 9y x + y 4 13  +   +  3 =  3 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  x = y =  Ví dụ 14: Cho x, y là các số thực dương.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  Lời giải sai: Đặt  ( x + y + 1) t =  Do đó  N = t  +  ( x + y + 1) N =  xy + x + y  +  xy + x + y ( x + y + 1) ? xy + x + y  =  t  ( x + y + 1) xy + x + y 1 t  = 2  Dấu “=” xảy ra  �  t  =  � t = 1  ( t > 0 ) t  t t  ( x + y + 1) Phân tích sai lầm:  Ta thấy khi t = 1 thì  xy + x + y ( x + y + 1)  = 1 xy + x + y  = 1 � x + y2 + 1 + 2xy + 2x + 2y = xy + x + y � x + y + 1 + xy + x + y = 0 Coi phương trình ẩn x, tham số y ta có:  x +  ( y + 1) x + y + y + 1 = 0  ( 1) 1� Ta có  ∆  =  ( y + 1) ­ 4 ( y + y + 1)  = ­3y ­ 2y ­ 3 = ­3 � �y +  �­  < � 3� 2 Nên phương trình (1) vơ nghiệm nên khơng thể tồn tại giá trị của x, y để  N đạt giá trị nhỏ nhất ( x + y + 1)   ta sẽ chứng minh t ≥ 3  Lời giải đúng: Đặt  t =  xy + x + y Thậy vậy với t ≥ 3 thì  ( x + y + 1) xy + x + y �۳۳ ( x + y + 1) ( xy + x + y ) 2x + 2y + 2 + 4xy + 4x + 4y �۳ 6xy + 6x + 6y ( x + y + 1) ( x ­ y ) 2 ( xy + x + y ) +  ( x ­ 1) +  ( y ­ 1) 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 Do đó  N =  8t + t 8t � 8.3 t 10 �t  +   =   +  �  +  �  + 2  =  t  t  � 9 t �9 Vậy giá trị nhỏ nhất của N bằng   10  khi và chỉ khi x = y = 1 16 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số Ví dụ 15: Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6.  x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S = 3x + 2y +   +  ? � 8� � � Lời giải sai: Ta có  S =  �3x +  � +  �2y +  � 3x  + 2 2y  = 6  + 8 x� � y� x y � 6 � � 3x +   = 0 3x =  � � x x � � �x =  �� �� Dấu “= xảy ra khi và chỉ khi  � y = 2 �2y +   = 0 � 2y =  y y � � Phân tích sai lầm:  Ta thấy ở cách giải trên dấu đẳng thức xảy ra khi  x =  2;  y = 2 nên x + y  y và xy = 1.  Tìm GTNN của biểu thức  B =  x + y ? x ­ y x + y ( x ­ y ) + 2xy Lời giải sai: Ta có  B =   Do x > y và xy = 1  =  x ­ y x ­ y ( x ­ y ) nên  B =  x ­ y  +  2xy x ­ y x ­ y  = x ­ y +   =   +   +  x ­ y x ­ y 2 x ­ y Vậy A có GTNN khi   2 +  x ­ y x ­ y  =    x ­ y  Giải phương trình được x – y = 2 mà xy = 1 nên (x; y) là ( + 2; −1 + ) và  (1 − 2; −1 − 2) Do đó MinA =  x ­ y  + 2 = 3   Phân tích sai lầm: Sai lầm của bài tốn trên là biến đổi đến (*) thì  2 +  khơng phải là hằng số mà cịn phụ thuộc vào biến x, y x ­ y   Lời giải đúng:   19 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số B = x ­ y +  �x ­ y 2 �  =  �  +  �2 � x ­ y x ­ y � � � �2+ − 2+ 6� �2− − 2− 6� ; ; � � � và  � � � 2 � � � Vậy MinA =  2  khi (x, y) =  � � � Ví   dụ   19:  Tìm   giá   trị   lớn       biểu   thức  D = ­5x ­ 2xy ­ 2y + 14x + 10y ­ 1 Lời giải sai:  Ta có  D = ­5x ­ 2xy ­ 2y + 14x + 10y ­ 1 ( ) ( ) ( ) D = ­ x + 2xy + y2  ­  4x ­ 14x  ­  y ­ 10y  ­1 2 � 7� 145     = ­ ( x + y ) ­  �2x ­  �­  ( y ­ 5) +  2� � x + y = 0 � 145 Suy ra  D  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  �2x ­   = 0 � �y ­ 5 = 0 x = ­y � �x =  � �y = 5 Phân tích sai lầm: Hệ trên vơ nghiệm nên D khơng tồn tại giá trị lớn nhất 145 , cịn việc kết luận giá trị lớn nhất của D  khơng tồn tại là chưa chính xác, khơng có căn cứ xác đáng Từ biến đổi mới chỉ suy ra  D Lời giải đúng: Cách 1: Ta có  ( ) ( ) ( ) D = ­ x + y ­ 6x ­ 6y + 2xy + 9  ­  4x ­ 8x + 4  ­  y2 ­ 4y + 4  + 16     = ­ ( x + y ­ 3) ­ 4 ( x ­ 1) ­  ( y ­ 2 ) + 16 2 x + y ­ 3 = 0 Suy ra  D 16  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  �x ­ 1 = 0 �y ­ 2 = 0 x = 1 � �y = 2 Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2 Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên”, cách 2 sau đây sẽ mang   tính thuyết phục hơn Cách 2: Ta có  D = ­5x ­ 2xy ­ 2y + 14x + 10y ­ 1 20 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số 2 � x ­ 5) � x ­ 5) ( ( � � D = ­2 y +  ( x ­ 5) y +   +   ­ 5x + 14x ­ 1 � � � � � x ­ 5 � ( x ­ 1)     = ­2 �y +  ­   + 16 16 � � � 2 x ­ 5  = 0 �y +  Suy ra  D 16  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  � �x ­ 1 = 0 �x = 1 � �y = 2 Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2 Ví dụ 20: Cho a, b, c là các số dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức � 1 +                                            P =  � � a �� b �� c � 1 +  �� 1 +  � � 5b � � � 5a � � 5c � Lời giải sai: Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:        1 +  a 5b a b   ( 1)              1 +  5b 5c b c   ( )             1 +  5c 5a c   ( 3) 5a Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều dương ta   � 1 +  được  P =  � � a �� b �� c � a b c 1 +  �� 1 +  �  =  � � 5b �� 5c �� 5a � 5b 5c 5a 25 Do đó P nhỏ nhất bằng  25  Đây là sai lầm  25 thường mắc khi dùng bất đẳng thức để  tìm giá trị  lớn nhất, giá trị  nhỏ  nhất   Phân tích sai lầm:  Để  ý khơng tồn tại a, b, c để   P =  của một biểu thức. Một ngun nhân sâu xa hơn nhiều là bạn đọc khơng hiểu  đúng nghĩa của dấu “≥” và dấu “≤”. Khơng phải khi nào viết “≥” cũng có thể  xảy ra dấu “=”. Ví dụ ta viết 10 ≥ 2 là đúng nhưng khơng thể có 10 = 2 Lời giải đúng: Biến đổi   � P =  � 1 +  � a �� b �� c � �a b c � �a b c � 1 +  �� 1 +  � = 1 +  � + + � +  � + + � +  (1) � � 5b �� 5c �� 5a � �b c a � 25 �c a b � 125 Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có 21 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số a b c a b c  +   +   = 3 b c a b c a a b c a b c (2) ;           +   +   = 3 c a b c a b (3) 1 216  =  Từ (1), (2), (3) ta có  P 1 +  3 +  3 +  25 125 125 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ  khi các dấu đẳng thức  ở (2) và (3) đồng  thời xảy ra, tức là a = b = c Vậy Min P =  216 , giá trị này đạt được khi và chỉ khi a = b = c > 0 125 PHẦN KẾT LUẬN I. Ý nghĩa của đề tài: Trong thực tiễn dạy học, muốn đạt được chất lượng cao thì mỗi một  người giáo viên phải khơng ngừng đổi mới phương pháp dạy học. Việc đổi  mới phải được thực hiện một cách đồng bộ ở tất cả các hoạt động dạy học,  từ việc nghiên cứu, chuẩn bị bài, thực hiện các hoạt động dạy học trên lớp và   giao nhiệm vụ  về  nhà. Đồng thời người giáo viên cũng phải đánh giá, nắm  bắt được mức độ  hiểu, áp dụng của học sinh đối với kiến thức vừa học   Trong năm học vừa qua, tôi đã thực hiện áp dụng các giải pháp nêu trên đối   với việc dạy học, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh. Sau khi   áp dụng đề  tài, tơi tiến hành khảo sát trên 20 học sinh tham gia bồi dưỡng   mơn Tốn với đề bài là hai bài tìm cực trị (lớn nhất và nhỏ nhất) có kiến thức  ngang tầm với đề  thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp tỉnh, thang điểm 2,5/bài   Kết quả thu được như sau: Bảng 3: Kết quả khảo sát 20 học sinh đang tham gia bồi dưỡng  Chưa làm  Đã làm nhưng định  hướng cách giải sai Làm được nhưng  chưa xong Làm được cả  SL % SL % SL % SL % 10 50,0% 03 15,0% 25,0% 10,0% Qua việc chấm chữa, sửa lỗi cho học sinh và kết quả khảo sát như trên,   tơi nhận thấy rằng, học sinh đã có sự  tiến bộ  trong việc giải bài tập về  cực  trị   Đại   số   Đặc   biệt     kỳ   thi   học   sinh   giỏi   lớp     cấp   tỉnh   vào   ngày  23/3/2017 vừa qua, đề  thi có một bài tìm cự  trị  (giá trị  nhỏ  nhất) chiếm 1,5  22 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số điểm. Trong tổng số 20 học sinh dự thi thì cả  20 em đều đạt được điểm, cụ  thể:   Bảng 4: Kết quả làm bài tập Hình học trong kỳ thi HSG tỉnh lớp 9 Năm học Số HS  tham gia Chưa  làm  2016­2017 20 03 Đã làm  Làm được  nhưng định  Làm được  nhưng  hướng cách  cả bài chưa xong giải sai 02 02 13 Kết quả  này cho thấy những giải pháp mà tơi áp dụng giảng dạy đối  với đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh là rất tích cực, giúp cho học sinh  phát triển được tư duy tìm tịi, sáng tạo tìm ra cách giải, phát hiện các sai lầm  và hướng khắc phục cho sai lầm đó. Qua q trình áp dụng các giải pháp nêu  trên và với những kết quả đạt được tơi rút ra một số bài học như sau: ­ Trong q trình dạy học, mỗi một người giáo viên cần phải khơng  ngừng học hỏi, trau dồi chun mơn nghiệp vụ, nâng cao tay nghề, nâng cao  chất lượng bài dạy và ln có ý thức đổi mới phương pháp dạy học ­ Khơi dậy và tạo được nguồn cảm hứng, u thích mơn học trong mỗi  một học sinh, tạo cho học sinh niềm đam mê, hứng thú đối với từng tiết học,  từng bài dạy. Nắm chắc từng đối tượng học sinh để  có phương pháp phù   hợp, giúp các em khơng bị chống ngợp trước những bài tốn khó ­ Phải cung cấp, trang bị cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản liên  quan đến mơn học. Để  học sinh thực sự  nắm chắc kiến thức cơ  bản thì  người giáo viên phải có phương pháp truyền đạt phù hợp, đi từ  dễ  đến khó,   từ  đơn giản đến phức tạp. Cần giúp học sinh nắm chắc được nội dung bản  chất của từng định nghĩa, tính chất, các hằng bất đẳng thức có thể  áp dụng   được thì học sinh mới nhớ lâu. Đồng thời phải phân tích, mổ xẻ các kiến thức  theo nhiều hướng phát triển khác nhau để học sinh có được cái nhìn bao qt,  rèn luyện tư duy khái qt, trừu tượng II. Kiến nghị, đề xuất:  Để áp dụng các giải pháp nêu trên có tính hiệu quả cao, tơi xin có  một số kiến nghị, đề xuất sau: ­ Đối với người giáo viên: Phải khơng ngừng học tập nâng cao chun  mơn nghiệp vụ, đổi mới phương pháp dạy học. Nghiên cứu tìm ra những giải   pháp, sáng kiến hay, mới để áp dụng vào trong thực tiễn dạy học nhằm nâng   cao chất lượng giáo dục   ­ Đối với học sinh: Phải tạo cho mình động cơ, thái độ học tập nghiêm  túc, khơng ngại khó, ngại khổ, có tính kiên trì, nhẫn nại trong việc học tập   23 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số Phải bắt đầu từ nhỏ đến lớn, từ dễ đến khó. Với mỗi kiến thức mới cần tìm  hiểu bản chất của nó nhằm giúp chúng ta nhớ lâu và xem xét các khả năng áp  dụng của nó vào trong việc giải bài tập. Với mỗi bài tập cần tìm được càng   nhiều cách giải càng tốt, đồng thời cần phân tích, tổng hợp, khái qt bài tốn  và tạo ra bài tốn mới nếu có thể ­ Đối với nhà trường: Cần phân cơng phần hành hợp lý, tạo mọi điều   kiện tốt nhất để  mỗi một người giáo viên phát huy tối đa năng lực của mình  trong q trình giảng dạy.  Trên đây là những giải pháp mà tơi đã rút ra trong thực tiễn của q  trình dạy học và đã áp dụng vào thực tế giảng dạy có hiệu quả cao. Hy vọng  nó sẽ  được áp dụng một cách rộng rãi nhằm nâng cao chất lượng học sinh,   phát triến tư duy tìm tịi, sáng tạo cho học sinh trong việc giải bài tập. Những   sai lầm trong khi giải tốn là khó tránh khỏi, vấn đề là chúng ta phải biết nhìn  nhận, phát hiện các sai lầm đó, để  rồi tìm hướng khắc phục một cách phù   hợp. Với chủ quan của bản thân chắc chắn khơng tránh khỏi những thiếu sót,  kính mong các bạn đồng nghiệp, q thầy cơ giáo đóng góp những ý kiến hay,  những giải pháp tốt nhằm hồn thiện hơn trong đổi mới phương pháp dạy  học, nâng cao chất lượng giáo dục. Tơi xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC Nội dung  Trang Phần mở đầu:  .1 I. Lý do chọn đề tài:  II. Phạm vi áp dụng:   2 Phần nội dung:  I. Thực trạng nội dung cần nghiên cứu:  II. Các giải pháp: 1. Giải pháp 1: Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản về cực trị  Đại số  cũng như  các kiến thức cơ  bản về  bất đẳng thức:  .    4  2. Giải pháp 2: Phân tích những sai lầm và nêu hướng khắc phục:   7 24 Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài tốn cực trị Đại số 2.1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện (1)  .  7 2.2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện (2)  .  8 2.3. Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau .  9 2.4. Sai lầm khi khơng sử dụng hết điều kiện của bài tốn   10 2.5. Sai lầm khi khi sử dụng bất đt với điều kiện bị hạn chế .  11 2.6. Sai lầm khi sử dụng tính chất của dấu giá trị tuyệt đối .    11 2.7. Sai lầm khi sử dụng các bất đẳng thức ngược chiều nhau .  12 2.8. Sai lầm khi sử dụng các biểu thức quy về tam thức bậc hai   13 2.9. Sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức Côsi và khắc phục bằng  kỹ thuật tách số .  13 2.10. Một số sai lầm khác   17 Phần kết luận:    21 I. Ý nghĩa của đề tài:   21 II. Kiến nghị đề xuất:    22 25 ...  triển khai nghiên cứu, áp dụng? ?sáng? ?kiến:  ? ?Một? ?số ? ?sai   lầm? ?và? ?phương? ?pháp? ?khắc? ?phục? ?khi? ?giải? ?bài? ?tốn? ?cực? ?trị ? ?đại? ?số? ??  Sau đây  tơi xin đưa ra? ?một? ?số? ?giải? ?pháp: II. Các? ?giải? ?pháp: 1,? ?Giải? ?pháp? ?1: Trang bị... 2.? ?Giải? ?pháp? ?2: Phân tích những? ?sai? ?lầm? ?và? ?nêu hướng? ?khắc? ?phục:   7 24 Một? ?số? ?sai? ?lầm? ?và? ?phương? ?pháp? ?khắc? ?phục? ?khi? ?giải? ?bài? ?toán? ?cực? ?trị? ?Đại? ?số 2.1.? ?Sai? ?lầm? ?trong chứng minh điều kiện (1)  .  7 2.2.? ?Sai? ?lầm? ?trong chứng minh điều kiện (2) .. .Một? ?số? ?sai? ?lầm? ?và? ?phương? ?pháp? ?khắc? ?phục? ?khi? ?giải? ?bài? ?tốn? ?cực? ?trị? ?Đại? ?số từ đó tìm ra ngun nhân? ?và? ?phương? ?pháp? ?khắc? ?phục? ?cụ thể cho từng? ?sai? ?lầm   Giúp học sinh nắm chắc hơn? ?và? ?tự  sửa chữa cho mình trong q trình giải