Sử dụng phương pháp Markov Chain Monte Carlo ước lượng hàm mũ ma trận

Bài viết này trình bày về phương pháp ước lượng hàm phụ thuộc vào một hoặc nhiều phân phối mũ ma trận. Phương pháp được chúng tôi đề nghị sử dụng là Markov chain Monte Carlo nhằm xây dựng quá trình Markov dưới biến mũ ma trận kết hợp với mẫu Gibbs để thu được một dãy độ đo xác suất mũ ma trận dừng từ phân phối hậu nghiệm của quan trắc đã cho. Mời các bạn tham khảo!

Lê Văn Dũng, Trần Đơng Xn / Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 43 5(48) (2021) 43-51 Sử dụng phương pháp Markov Chain Monte Carlo ước lượng hàm mũ ma trận Using Markov chain Monte Carlo to estimate matrix- exponential distribution Lê Văn Dũnga, Trần Đông Xuânb,c* Le Van Dunga, Tran Dong Xuanb,c* a Faculty of Mathematics, the University of Da Nang - Da Nang University of Education and Science b Viện Nghiên cứu Khoa học Cơ Ứng dụng, Trường Đại học Duy Tân, TP HCM, Việt Nam b Institute of Fundamental and Applied Sciences, Duy Tan University, Ho Chi Minh City 700000, Vietnam c Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Duy Tân, Đà Nẵng, Việt Nam c Faculty of Natural Sciences, Duy Tan University, Da Nang, 550000, Vietnam (Ngày nhận bài: 12/5/2021, ngày phản biện xong: 17/5/2021, ngày chấp nhận đăng: 21/9/2021) Tóm tắt Bài viết trình bày phương pháp ước lượng hàm phụ thuộc vào nhiều phân phối mũ ma trận Phương pháp đề nghị sử dụng Markov chain Monte Carlo nhằm xây dựng trình Markov biến mũ ma trận kết hợp với mẫu Gibbs để thu dãy độ đo xác suất mũ ma trận dừng từ phân phối hậu nghiệm quan trắc cho Bên cạnh đó, chúng tơi dựa vào biến đổi Laplace-Stieltjes biến đổi Laplace-Stieltjes ngược phân phối mũ ma trận để đề cơng thức tính xác suất phá sản công ty bảo hiểm mơ hình rủi ro hai chiều Từ khóa: Markov chain Monte Carlo; phân phối mũ ma trận; xác suất phá sản Abstract In the article, we present a method of functional estimation to depend on one or a lot of matrix exponential distribution The Markov chain Monte Carlo is used to create Markov process with variable of matrix exponential distribution to combine with Gibbs sampling to obtain a series of the matrix exponential ergodic for probability measure from posterior distribution of given observational data Besides, the Laplace-Stieltjes and inverse Laplace-Stieltjes transform of the matrix exponential distribution are used to obtain a formula to calculate ruin probabilities based on two dimensional ruin model of insurance company Keywords: Markov chain Monte Carlo; matrix exponential distribution; ruin probabilities Mở đầu Trong báo này, phát triển phương pháp ước lượng hàm phân phối mũ ma trận từ phân phối bồi thường bảo hiểm chưa biết Phân phối áp dụng để tính xác suất phá sản cơng ty bảo hiểm với số khách hàng yêu cầu bồi thường tương ứng với q trình Poison Ý tưởng tạo dãy độ đo mũ ma trận ngẫu nhiên dừng từ phân phối thông tin quan sát sử dụng tính dừng dãy để ước lượng biến trung bình mơ *Corresponding Author: Tran Dong Xuan, Institute of Fundamental and Applied Sciences, Duy Tan University, Ho Chi Minh City, 700000, Vietnam; Faculty of Natural Sciences, Duy Tan University, Danang City 550000, Vietnam Email: trandongxuan@duytan.edu.vn 44 Lê Văn Dũng, Trần Đơng Xn / Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 hàm độ đo dãy Trọng tâm báo đề công thức tính xác suất phá sản mơ hình rủi ro hai chiều dựa vào công thức biến đổi Laplace-Stietjes mơ q trình Markov theo biến mũ ma trận Cụ thể hơn, quan trắc X  x từ phân phối mũ ma trận, thiết lập phương pháp mơ từ phân phối có điều kiện theo trình Markov với thời gian đạt đến X  x cho Mô thực thuật tốn Metropolis-Hastings (MH) Bên cạnh đó, mẫu Gibb (Gibbs sampler) sử dụng để suy luận bước lặp, chúng tơi sử dụng thuật tốn MH để khơi phục lại q trình Markov Bài báo trình bày sau: Phần phần mở đầu báo; số tính chất phân phối mũ ma trận, phân tích Bayes phương pháp Markov chain Monte Carlo đưa Phần Phần dành để xây dựng thuật toán mơ tả mục đích hỗn hợp tiên nghiệm (hyper-prior) trường hợp thơng tin tiên nghiệm (prior), cải thiện hỗn hợp xích Markov q trình Markov Mơ hình rủi ro hai chiều cơng thức tính xác suất phá sản công ty bảo hiểm trình bày Phần Cuối cùng, kết luận vài suy nghĩ thảo luận Phần Biến ngẫu nhiên Z gọi phân phối ME hàm mật độ hàm phân phối định nghĩa với z ≥ có dạng: f (z)  α exp( Az)a; (2.1) đó,  p ≥ ≤ 0 ≤ 1,   vector hàng × p,  A ma trận p × p,  a ma trận cột p × Rõ ràng F(z) phương trình (2.1) hàm phân phối với tham số α, A 0 liên tục phải với z = Đó là, lim (1  α exp( Az) A 1a)   z  0 tham số 0 biết điểm mass Chúng ta khơng xét trường hợp 0 = 0  dẫn đến hàm phân phối tầm thường (trivial distribution function) Khi đó, nói phân phối ME có biểu diễn (α, A, a) với cấp p Biến đổi Laplace-Stieltjes (LST) (2.1) cho bởi:  f * ()   ez dF(z)  α (I  A)1a   ,  Một vài kiến thức liên quan cho ()    với  2.1 Phân phối mũ ma trận exponential distributions) (matrix- Trong phần này, giới thiệu lớp phân phối mũ ma trận (ME), đọc giả tham khảo Lipsky [1, chương 3] Asmussen [5] để thấy nhiều tính chất quan trọng phân phối f * ( )  a1  a   b1  b2  z 0  , F(z)   1  α exp ( A z ) A a , z 0   a p  p1  bp  p1   p  (2.2) Đạo hàm (2.2) k lần theo  đặt   0, moment thứ k viết dạng: mk  (1)k 1 k!αA(k 1)a Asmussen Bladt [1] chứng minh tất phân phối lớp phân phối ME có biến đổi Laplace-Stieltjes hữu tỷ có dạng:  0 , a1, a , , a p , b1, b , , bp  Chúng ta xem a1  a 2   a p  p1 b1  b2   bp  p1   p tử số mẫu số LST Lê Văn Dũng, Trần Đơng Xn / Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 45 Ví dụ: a Hàm mật độ phân phối hyper-exponential (GH) n f (z)   i i ei z , với z ≥ 0, 1, 2 , i 1 , n  , n  i 1 i 1 1     n  Theo Botta, Harris Marchal [3], phân phối GH có biểu diễn ME(α, A, a) sau: α  (1,  , ,  n );  1   A     b Mỗi phân phối phase-type (PH) có biểu diễn ME(α, A, -Ae), α vector xác suất trạng thái ban đầu A cường độ chuyển trạng thái xích Markov thời gian liên tục với hữu hạn trạng thái 2.2 Phân tích Bayes Trong phần này, chúng tơi trình bày cách ngắn gọn khái niệm ước lượng Bayes Để hiểu chi tiết phần này, đọc giả tham khảo tài liệu [4] Chúng ta xét quan trắc X1  x1, X2  x , , Xn  x n biến ngẫu nhiên độc lập phân phối X i từ hàm phân phối với hàm mật độ f (.∣ ),  tham số chưa biết (có thể có số chiều lớn chí vơ hạn) Chúng ta đặt (x1, x ,, x n ) cho f (x ∣ )  f (x1 ∣ )f (x ∣ ) g* ()  f (x n ∣ )    ;    n   1     a       n  Trường hợp xét báo này,  có biểu diễn (α, A, a) phân phối ME Cụ thể, phương pháp đề dùng để ước lượng tham số  chưa biết Trước tiên, phân tích Bayes phân phối tiên nghiệm G không gian  , ý tưởng biểu diễn thông tin ban đầu (không chắn)  Tuy nhiên, quay lại toán xác định phân phối tiên nghiệm sau Bây giờ, mật độ f (.∣ ) hiểu phân phối có điều kiện  cho trước, cho f G liên kết với định nghĩa phân phối liên hợp (joint distribution) P không gian X   , X khơng gian trạng thái X  (X1, X2 ,, Xn ) Khi đó, kết luận đưa thơng qua phân phối hậu nghiêm (posterior distrubution), G* đạt từ P với điều kiện liệu x cho dG* dP(.∣ x) ()  ()  L( ∣ x)  f (x ∣ )  f (x1 ∣ ) dG dG Vì vậy, hàm mật độ hậu nghiệm tương ứng với hàm mật độ tiên nghiệm tỉ lệ với hàm Likelihood L Khi đó, phân phối hậu nghiệm G* biểu diễn suy luận đầy đủ  , kết hợp với thông tin tiên nghiệm G thơng tin liệu L Trong ví dụ cụ thể, người ta quan tâm đến nhiều hàm đặc biệt h  h() tham số Trong trường hợp chúng ta, h phân phối ME biểu diễn thông qua hàm phân phối (cdf) chẳng hạn f (x n ∣ ) Suy luận h biểu diễn phân phối hậu nghiệm h tham số cụ thể phân phối này, ví dụ trung bình h*  E[h(∣ x)]   h()G* (d) ,  (3.1) hay phân vị phân phối hậu nghiệm h h phân phối chiều Trung bình hậu nghiệm h* (3.1) thường xem ước lượng Bayes h đơi điều khơng xác Bởi vì, có nhiều tham số khác 46 Lê Văn Dũng, Trần Đơng Xn / Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 phân phối hậu nghiệm thú vị trung bình Một khoảng [u.025 , u.975 ] với u  phân vị phân phối hậu nghiệm  , khoảng tin cậy (credibility interval) 95%  Chú ý thể khoảng tin cậy khác hồn tồn với khoảng tin cậy truyền thống có khởi đầu (genesis) phức tạp Vấn đề khó khăn cịn lại suy luận (Bayesian inference) liên quan đến việc rõ xác suất tiên nghiệm G, biểu diễn hậu nghiệm G* tính tích phân tương ứng với G* phương trình (3.1) Để cho đơn giản, người ta thường sử dụng họ phân phối tiên nghiệm liên hợp Một họ phân phối nói liên hợp toán suy luận Bayes, đóng phân tích tiên nghiệm đến hậu nghiệm (prior-toposterior), i.e G  G*  với liệu x Họ liên hợp đơi thuận lợi việc số hóa tốn thân hỗn hợp tham số (hyper-parameter)  , i.e  {G ,  H} Khi đó, phân tích tiên nghiệm đến hậu nghiệm tóm tắt cách hỗn hợp tham số hậu nghiệm * phụ thuộc với hỗn hợp tham số tiên nghiệm  liệu x 2.3 Phương pháp Markov Chain Monte Carlo Phương pháp Markov chain Monte Carlo (MCMC) có ứng dụng vật lý thống kê (Metropolis et al., 1953) Phương pháp sử dụng để mô tả hoạt động hệ thống hat nguyên tử phân tử phức tạp Ứng dụng MCMC mơ hình thống kê tính tích phân phân phối hậu nghiệm Bayes toán phức tạp (Gelfand and Smith, 1990; Gilks et al., 1996) Bên cạnh đó, MCMC sử dụng để phân tích Likehood truyền thống (Geyer and Thompson, 1992) Trong thời gian gần đây, phương pháp ứng dụng nhiều ngành khác Thống kê, Kinh tế, (xem Green (2001)) MCMC sử dụng nhiều nhánh Toán Kinh tế thuật toán MCMC khác Trong phần này, giải thích khai thác mẫu Gibb (Geman (1984) thuật toán Metropolis-Hastings (MH) (Hastings, 1970) Cơ mẫu Gibb chọn hữu hạn biến ngẫu nhiên Y  (Yv )vV với phân phối mục tiêu (target distribution) liên hợp  Khi đó, mẫu Gibb dẫn đến bước sau: Trước tiên, chọn phần tử ban đầu y0  (y0v ) vV tùy ý Sau đó, số phần tử V V  {1, 2,,∣ V ∣} tạo biến ngẫu nhiên từ điều kiên đầy đủ (Yv ∣ YV {v} ) cách:  Lấy y11 từ (Y1 ∣ y0V {1} ) ;  Lấy y12 từ (Y2 ∣ y0V {1,2} , y1) ;  Lấy y13 từ (Y3 ∣ y0V 1 {1,2,3}, y1, y2 ) ;  Tiếp tục lấy y∣1V∣ từ (Y∣V∣ ∣ y0V , y1, y1 , , y1 ) {V} ∣ ∣ ∣ V∣ 1 Mỗi bước xem bước q trình Khi tất vị trí trình qua, bước chuyển từ y0  (y0v ) vV đến y1  (y1v ) vV chọn Quá trình lặp lại tạo thành công giá trị y0 , y1,, yn , Các điểm y0 , y1,, yn , tạo nhờ mối liên hệ Markov chain, đó,  đóng vai trị phân phối tương đương Do tính dừng (ergodicity), tích phân hàm h tương ứng với  xấp xỉ trung bình mẫu Gibbs  h(y)(dy)  n  h(yv ) n v1 (3.2) Trong suy luận Bayes, mục tiêu thường phân phối có điều kiện Y cho tập quan trắc biến ngẫu * nhiên Y  y ,   A  V Điều chỉnh cần phải đạt mẫu từ phân phối có điều kiện này, nghĩa trạng thái bắt đầu phải thỏa Lê Văn Dũng, Trần Đơng Xn / Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 y0  y* ,   A trạng thái A khơng cập nhật Thuật tốn Metropolis–Hastings không cần thiết gắn liền với trạng thái cụ thể Chúng ta khử nhiễu vị trí viết bước lặp lại kí hiệu thay viết lên Thuật tốn MH cấu trúc xích Markov {Yn } cách lấy Z = z với n từ phân phối đề nghị  yn để đạt xích di chuyển đến Yn 1  z chấp nhận đề nghị với xác suất thích hợp a(z, yn ) Nhìn chung, phân phối đề nghị tùy ý, kết thuật toán phụ thuộc vào xác suất chấp nhận Vì vậy, thuật tốn Metropolis–Hastings  Lấy điểm Y0  y0 bất kỳ;  Trong n bước, lấy Z = z từ (.∣ yn ) , đặt Yn 1  z với xác suất a  yn , z  Yn 1 = yn với xác suất 1-a  yn , z  , xác suất nhận a  yn , z  xác định sau:    a(yn , z)  1,   d chấp  (z)    (y n )   yn d d dz Nếu  y   nói mẫu phụ thuộc Trong báo này, tất thuật tốn MH mẫu phụ thuộc Nhìn chung, hai thuật toán Gibbs MH loại bỏ tiên nghiệm thử nghiệm ban đầu giữ lại trung bình (3.2) cho tất giá trị đạt sau bước thử nghiệm Bài toán với phương pháp MCMC hội tụ chậm xích Markov tạo khơng tốt khó để đánh giá hội tụ tình thực tế Một biến thể thuật tốn biết "Metropolis-trong-Gibbs'', đó, bước MH sử dụng để thay bước cập nhật Gibbs (Gibbs updating) trạng thái đơn Thực vậy, thuật toán cuối trình bày báo biến thể trên, 47 quan sát từ chu kỳ thử nghiệm (burn-in period) mẫu MH bỏ trước mẫu Gibbs cập nhật Trong phần này, mẫu Gibbs sử dụng trường hợp V  phân phối mục tiêu phân phối có điều kiện (, Y) với liệu x cho,   (α, A) biểu diễn ME Y tập đầy đủ trạng thái q trình Markov Khi đó, sử dụng phân phối liên hợp đơn giản để lấy mẫu  với y (và x) cho sử dụng thuật toán MH để lấy mẫu Y với (, x) cho Lấy mẫu phân phối mũ ma trận 3.1 Lấy mẫu từ trình Markov liên hợp với biến mũ ma trận Đặt X biến ngẫu nhiên với phân phối ME J trình Markov liên hợp Chúng ta mơ q trình Markov J từ phân phối có điều kiện J với điều kiện X = x cho, X thời gian đạt đến trình Markov với ma trận cường độ chuyển A phân phối xác suất ban đầu (α,0) Ý tưởng sử dụng trình Markov để thu trạng thái đạt đến thời điểm x Với trình Markov khác, trạng thái đạt đến cách xa thời điểm x sử dụng thay đề nghị thuật toán Metropolis–Hastings Đặt J t trình Markov với ma trận cường độ A phân phối ban đầu π  (α,0) Khi đó, phân phối Js π exp(As) , qi (s) : P (Js  i)  π exp(As) ei , xác suất trình Markov trạng thái i thời điểm s, ei vector cột với phần tử thứ i 1, tất phần tử khác Vì t   t i ei , mật độ x biểu i diễn đơn giản hàm q sau: f X (x)   qi t i i Phân phối tiên nghiệm xích Markov trạng thái đạt đến xác 48 Lê Văn Dũng, Trần Đơng Xn / Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 i : P{J x  i ∣ X  x}  qi (x)t i , f X (x) qi (x)t i dx  P{J điều suy từ (5.1) x  i ∣ X  [x, x  dx)}  P{J Đặt Px  P(.∣ X  x) phân phối cần tìm  P(.∣ X  x) phân phối J  ,  t  x với t điều kiện X  x Do đó, Px phân phối mục tiêu Px* phân phối đề nghị Sau cùng, mô trình ban đầu loại bỏ t t x  i ∣ X  x}f X (x)dx trạng thái đạt đến xảy trước thời điểm x Khi đó, trường hợp khác chấp nhận Px* Px ({J  }t x  {j  }t x ∣ J x Tính Markov mạnh J t suy J  ,  t  x X độc lập có điều kiện với J  t t cho Do đó, )  Px* ({J  }t x  {j  }t x ∣ J t t x ) Phân phối Px* thời điểm x  cho *i : P{J x  i ∣ X  x}  qi (x)  q j (x) j n n j1 j1 P(X  x)   P{J x  j}   q j (x) Vì vậy, có dPx dPx* {J t , t  x}    Px ({J t : t  x}  {jt : t  x}) Px* ({J t : t  x}  {jt : t  x}) Px ({J t : t  x}  {jt : t  x}∣ J Px* ({J t : t  x}  {jt : t  x}∣ J Px (J x * Px (J  x  j ) x  j )  x Trong phần chính, phân số sử dụng trọng số trình mẫu quan trọng dựa vào mẫu từ Px* thay Px Tuy nhiên, tính trọng số quan trọng thường khó, tính phân số mũ ma trận Để thực điều này, xây dựng xích Markov dừng với Px giữ vai trò phân phối tương đương nhờ vào thuật toán MH với Px* phân phối đề nghị Điều lặp lại việc thay mẫu tiềm mẫu cho j  ( jt , t  x) mẫu j  ( jt , t  x), đạt cách lấy mẫu từ Px* Xác suất chấp nhận MH a( j, j) tỉ số a( j, j)  *j  x j x *  j   j x x  phân số dễ dàng tính tj x t j  x , x  j  )Px (J x  j  )Px (J x x x  j ) x  j ) x x  jx  *   jx Phân phối dừng xích Markov cấu trúc q trình Markov xây dựng theo cách tính Px Vì vậy, thuật toán trở thành: Lấy mẫu từ Px  P(.∣ X  x) hồn thành sau: Sinh {jt , t  x} từ Px*  P(.∣ X  x) cách loại bỏ mẫu; Sinh {jt , t  x} từ Px*  P(.∣ X  x) cách loại bỏ mẫu; Lấy U ~ U[0,1] ; Nếu U  min{1, t j  / t j  } thay {jt }t  x x x {jt }t  x ; Trở bước (2) 3.2 Mẫu Gibbs (Gibbs ampler) Mẫu Gibbs sử dụng việc thay phiên suy luận mẫu từ phân phối có điều Lê Văn Dũng, Trần Đơng Xn / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 kiện  trình Markov J với (α, A), x1 , x ,, x n cho phân phối có điều kiện (α, A) với liệu y cho đầy đủ Đối với bước đầu tiên, sử dụng thuật toán MH trình bày phần trước Bước tiếp theo, sử dụng tính chất liên hợp phân phối tiên nghiệm liệu đầy đủ Tóm lại, có thuật tốn sau: Mẫu Gibbs đầy đủ: Xác định i , i  1, 2,, p đặt   {i , i  1, 2,, p} i , ij , Tạo α, Aij , i  j t i , i  1, 2,, p từ phân phối tiên nghiệm; Tạo J = (J1 , J ,…, J N ) , với J i trình Markov có trạng thái đạt đến thời điểm x i đạt nhờ sử dụng số bước cố định thuật tốn MH; Tính thống b  {Bi , i  1, 2,, p}, z  {Zi , i  1, 2,, p} kê N  {Nij , i  1, 2,, p} từ liệu J ; Lấy α, Aij , i  j kiện đầy đủ: t i , i  1, 2,, p từ điều α ~ Dir(β  b) t i ~ Gamma(1/ (i  zi ), Ni0  i0 ), i  1, 2, , p t ij ~ Gamma(1/ (i  zi ), Nij  ij ), i  j 49 x i vốn ban đầu cơng ty i;  ci phí bảo hiểm công ty i; N(t)  S(t)   z k , N(t) trình đếm Poison k 1 với bước nhảy không âm, z k biến ngẫu nhiên độc lập phân phối [2] Chúng ta kí hiệu F(x) hàm phân phối bồi thường zk ;  trung bình thời gian đến N(t)  trung bình z k Chúng ta giả sử công ty thứ hai gọi bảo hiểm lại nhận lượng phí lượng trả cơng ty thứ nhất, p1  c1 c2   p2 1 2 (7.1) Thời điểm τ có công ty phá sản (x1 , x ): inf t  :X1 (t)  hay X2 (t)  0 Xác suất phá sản thời gian hữu hạn (x1 , x )  Pr((x1, x )  t) Đặt pi  Ui (t)  Xi (t)  u i  pi t  S(t) với i ui  xi i ci i Trở bước (2) Theo cách này, sau chu kỳ thử nghiệm chắn, đưa dãy trạng thái xấp xỉ phân phối (độ đo) lấy từ lớp phân phối ME cho Dãy sử dụng theo nhiều cách để thu thông tin hàm độ đo ME chưa biết 3.3 Quá trình rủi ro hai chiều (twodimensional risk process) Trong phần này, xét mơ hình rủi ro hai chiều (hai công ty bảo hiểm hai nhánh công ty bảo hiểm) chia lượng bồi thường cho khách hàng theo tỉ lệ 1 2 với 1  2 1 nhận phí tương ứng c1 ,c2 Đặt X i trình rủi ro công ty i Xi (t)  x i  ci t iS(t), i 1, Hình two-dimensional risk process Nếu vốn ban đầu u  u1 , hai đường thẳng không giao Trường hợp này, suy trực tiếp từ lý thuyết phá sản chiều; xem Rolski et all [6], không thảo luận phần Tiếp theo, xét trường hợp u1  u Nếu Ui (t) trình rủi ro, biến đổi Laplace (Laplace transform) hàm phá sản Lê Văn Dũng, Trần Đơng Xn / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 50 * (s)  0 exp(su i )d (u i )  0 exp( su i )(u i )du i , Chứng minh (7.2) (u)   (u i ) Nếu hàm  có ba biến u i độc lập (t, ui , y), đó, y hiểu số tiền thâm hụt công ty thời điểm phá sản Khi đó, định nghĩa biến đổi Laplace tương ứng với biến Chúng ta sử dụng LST bậc ba hàm phá [1]  (s)  (b) (s m )  (b)  *** (z,s, b)  (z  (s)) 1    bs b  sm   (7.6) (s)  cs  (f * (s) 1)  cs  (α(sI  A)1a  1) * (z, u i , y)  0 e zt (t, u i , y)dt * (t,s, y)  0 esui (t, u i , y)du i * (t, u i , b)  0 e by (t, u i , y)dy Chúng ta thấy (s)  (b)  c  α (sI  A)1 (bI  A) 1 a bs Định nghĩa biến đổi Laplace bậc hai ** (z, u i , b)  0 0 exp( zt  by)(t, u i , y)dtdy Thế vào phương trình LST bậc ba (7.5), ta Định nghĩa biến đổi Laplace bậc ba *** (z,s, b)  0 0 0 exp( at  by  su i )(t, u i , y)dtdydu i Khi hàm mật độ số tiền bồi thường (claims) có phân phối ME f (t)  α exp( At)a, biến đổi Laplace hàm mật độ phá sản tính theo định lý sau: Định lý Nếu Ui (t) trình rủi ro với số tiền bồi thường có phân phối ME (α, A) m số dương bất kì, LST hàm phá sản *i (z, ui , y)  π exp(Qui )exp(Ay)a, ** i 1 (z, ui , b)  π exp(Qui )(bI  A) a, *** i (z,s, b) 1 1  π(sI  Q) (bI  A) a, (7.3)   sm  s )α(sI  A) 1 (s m I  A) 1 (bI  A) 1 a (s m )  (s) α(sI  A)1 (s m I  A)1 (bI  A) 1 a c  α(sI  A)1 (s m I  A)1 a π(sI  A)1 (bI  A) 1 a  π(sI  A)1 a  π[sI  ( A  aπ)]1 (bI  A)1 a Sử dụng LST ngược, thu (7.4) (7.3) ■ Khi z = (sm  ) y = 0, xác suất phá sản miền thời gian hữu hạn tìm thấy từ định lý sau: * (z, u i , y)  0 (t, u i , 0)dt  (t, u i , 0)  π exp(Qu i )a (7.4) (7.5) với Q  A  aπ, π  *** (z,s, b)  (Qu i )k  α(s z I  A)1 , exp(Qu i )  c k! , sm nghiệm khơng âm phương trình Lundberg (sm )  cs  (f * (s) 1)  m, * f (s) LST hàm mật độ bồi thường f(t) Kết luận Trong báo này, sử dụng phương Markov chain Monte Carlo để ước lượng tham số phân phối mũ ma trận từ số liệu bồi thường bảo hiểm khách hàng Sau đó, chúng tơi dụng biến đổi LaplaceSteiject biến đổi Laplace-Steiject ngược phân phối mũ ma trận để đưa cơng thức tính xác suất phá sản miền thời gian hữu hạn cơng ty bảo hiểm mơ hình rủi ro hai chiều Bên cạnh đó, phân phối mũ ma trận cịn Lê Văn Dũng, Trần Đơng Xn / Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 có ứng dụng lý thuyết xếp hàng (queueing theory), lý thuyết đổi (renewal theory)…[7] Tài liệu tham khảo [1] Asmussen, Søren, and Mogens Bladt "Renewal theory and queueing algorithms for matrixexponential distributions." Matrix-analytic methods in stochastic models Marcel Dekker Incorporated, 1996, 313-341 [2] Avram, F., Palmowski, Z., & Pistorius, M R Exit problem of a two-dimensional risk process from the quadrant: exact and asymptotic results The Annals of Applied Probability (2008), 2421-2449 [3] Botta, R F., Harris, C M., & Marchal, W G Characterizations of generalized hyperexponential 51 distribution functions Stochastic Models, (1987), 115-148 [4] Jose, M Bernardo, Adrian F M Smith Bayesian Theory, John Wiley & Sons, Chichester and New York, 1994, pp 611 [5] Lipsky, L Queueing Theory: A linear algebraic approach Springer Science & Business Media, 2008, pp 548 [6] Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., & Teugels, J Stochastic processes for insurance and finance (Vol 505) John Wiley & Sons, 2009, pp 662 [7] Bladt, M., & Nielsen, B F Matrix-exponential distributions in applied probability (Vol 81) New York: Springer, 2017  ... nghiệm  liệu x 2.3 Phương pháp Markov Chain Monte Carlo Phương pháp Markov chain Monte Carlo (MCMC) có ứng dụng vật lý thống kê (Metropolis et al., 1953) Phương pháp sử dụng để mô tả hoạt động... âm phương trình Lundberg (sm )  cs  (f * (s) 1)  m, * f (s) LST hàm mật độ bồi thường f(t) Kết luận Trong báo này, sử dụng phương Markov chain Monte Carlo để ước lượng tham số phân phối mũ. .. cho sử dụng thuật toán MH để lấy mẫu Y với (, x) cho Lấy mẫu phân phối mũ ma trận 3.1 Lấy mẫu từ trình Markov liên hợp với biến mũ ma trận Đặt X biến ngẫu nhiên với phân phối ME J trình Markov