De thi chon HSG

b Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ... ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM.[r]

TRƯỜNG THCS BẠCH SAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - ĐỢT II Mơn: Tốn (Thời gian làm bài: 120 phút)  x  1 2x    :   Bài (2 điểm): Cho biểu thức: C =   x x 1  x  x  a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B số nguyên Bài (2 điểm): a) Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x  3x  ax  b chia hết cho đa thức B( x)  x  3x  b) Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z + + y+z z+x x+ y Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm x, y ,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z   0   1   1 b) Cho a b c x y z Chứng minh : a b c Câu 4(3 điểm): Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vng AHKE Gọi P giao điểm AC KE a) Chứng minh ABP vuông cân? b) Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh H, I, E thẳng hàng? c) Tứ giác HEKQ hình gì? Câu (1 điểm): Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm,  A = 450;  B = 600, chiều cao hình thang 18m? …………………………… @ @ @ ………………………… ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM Bài (2 điểm) ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a) Ñkxñ: x   1; x   x  1 2x    :     x x 1  x  x    x  2(1  x)   x  ( x  1)( x  1)   1 2x (1  x)(1  x)   C=  0,25 đ 0,5 đ 2 2x  0,25 đ b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B số nguyên? 2 B có giá trị nguyên x số nguyên x  có giá trị nguyên 0,25 đ  x 1(loai )  x 0(TM )  x  1   x      x  (TM )  x  2    x   (TM )  x     2x – Ư(2)  Đối chiếu Đkxđ có x = x = x = thoả mãn 0,5 đ 0,25 đ tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x  3x  ax  b chia a) ( 2điểm) heát cho đa thức B( x ) x  3x  Ta coù: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + A( x )B ( x )  Để b) Cho x, y, z > a  30 b  0   0,5 đ 0,5 đ a 3 b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z + + y+z z+x x+ y Đặt y + z = a ; z + x = b ; x + y = c ⇒ x+y+z= − a+b +c ;y= a+b − c ⇒ x= a− b+ c ;z= a+b+ c 0,5 đ − a+b +c a − b+c a+ b −c + + 2a 2b 2c P= b a c a b c = (− 3+( a + b )+( a + c )+( c + b )) b c a c a b = (− 1+ a + a − 1+ b + b −1+ c + c ) 0,25 đ 0,25 đ 3 ( 2điểm) Min P = Khi a = b = c ⇔ x = y = z a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = BL.a/ 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 =  (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) =  9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) 2 Do : ( x  1) 0;( y  3) 0;( z  1) 0 Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ a b c x y z   0   1 x y z a b c b)Cho Chứng minh : x2 y z   1 a2 b2 c2 Từ : 0,25 đ a b c ayz+bxz+cxy   0  0 x y z xyz  ayz + bxz + cxy = x y z x y z   1  (   ) 1 a b c a b c Ta có : x2 y2 z xy xz yz    2(   ) 1 a b c ab ac bc 2 x y z cxy  bxz  ayz    2 1 a b c abc   0,5 đ 0,25 đ x2 y2 z2   1(dfcm) a2 b2 c2 a/ CM BHA PEA (g.c.g) ( 3điểm)  AB = AP mà = 900 (gt) A E  BPA Vậy vng cân b/Ta có : HA = HK P  H nằm đường trung trực AK I B C H Ta có : AE = KE K  E nằm đường trung trực KA Q PBK vng có IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP)  IK IP IB (*) Ta có ABQP hbh(gt), có BA= AP ( BPA vng cân A)  APQB hình thoi, mà = 900 (gt)  APQB hình vng nên PI = IA(**) Từ (*) và(**) suy IK = IA nên I nằm đường trung trực 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 AK Vậy H, I, E thẳng hàng c/ Ta có APQB hình vng (cmt) nên AP = BQ 0.25 0.25 PB AQ  IK  mà IK = AKQ có AI = IQ(t/c đ/c hv) 0.5 AQ (cmt)  AKQ vuông K Mà  AK  KQ mà AK  HE (EAHK hv)  QK // HE IK  Vậy HEKQ hình thang Qua A B kẻ AA’ BB’ vng góc với CD ( 1điểm) Tứ giác ABB’A’là hcn A’A = BB’ = 18m;  A’AB = 900  DAB = 450 =>  A’AD = 450 C D B' Do A’AD vng cân A'  A’D = A’A = 18m A B 0.25  B’BA = 900;  CBA = 600 =>  B’BC = 300 tam giác vng B’BC 0.25 BC ta có B’C = Theo định lí Pi ta go, ta có: B’C2 = BC2 – B’B2  B’C2 = 4B’C2 – B’B2  3B’C2 = B’B2 B ' B 18  (cm)  B’C = Suy : 18 18 24  (cm) CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 - 1 18   AB  CD  A ' A   42  24   18 498, 2 3 Vậy SABCD = (cm2) 0.25