Một khối gạch hình lập phương không thấm nước có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một cái phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước [r]
ATRẮC NGHIỆM BÀI TỐN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC A Nội dung kiến thức Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính tốn để đường ngắn nhất, tính tốn để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật… Ta ý số kiến thức sau: Cơng thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình * Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a = BC, b = CA, c = AB, h = AH Chu vi tam giác : P = a + b + c Diện tích tam giác : 1 S ah ab.sin C p( p a )( p b)( p c ) 2 ( với p P ) * Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm (tính theo radian) Chu vi hình quạt : P 2 R P R 2 Diện tích hình quạt : S 2 R S R 2 * Hình nón, khối nón: Trang Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường trịn đáy r có độ dài đường sinh l là: S xq rl Diện tích tồn phần hình nón trịn xoay diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích đáy hình nón: Stp rl r V r h Thể tích khối nón trịn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: *Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq 2 rl Diện tích tồn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ: Stp 2 rl 2 r Thể tích khối trụ có chiều cao h có bán kính đáy r là: V r h Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) h = l *Mặt cầu, khối cầu: Trang 2 Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S 4 R S R3 Khối cầu bán kính R tích là: Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng Có lẽ tốn quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau: Cho hàm số y ax bx c, a > hàm số cho đạt giá trị nhỏ x Cho hàm số y ax bx c, a < hàm số cho đạt giá trị lớn x b 2a b 2a Với a , b số thực dương ta có: ab AM GM a b (a b) ab Đẳng thức xảy a = b Vớia , b, c số thực dương ta có: abc AM GM a b c ( a b c) abc 27 Đẳng thức xảy a = b = c Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay Trang Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a;b] diện tích S hình phẳng giới hạn b đường : y f ( x), y 0, x a, x b S f ( x) dx a Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x ) g ( x) liên tục b đoạn [ a; b] hai đường thẳng x = a, x = b S f ( x) g ( x) dx a Cho hàm số y = f(x) liên tục [a , b] Thể tích V khối trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường y f ( x), y 0, x a, x b, : quay xung quanh trục b hồnh tính theo cơng thức : V f ( x) dx a Thể tích V khối trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường y f ( x), y g ( x ), (0 f ( x) g ( x); f ; g liên tục đoạn [a;b]), x = a, x = b , quay xung b quanh trục Ox tính theo công thức : V g ( x) f ( x) dx a B Ví dụ minh hoạ Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C hịn đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A km để chi phí mắc đường dây điện A 3,25 km B km C km D 1,5 km Lời giải Trang Giả sử AS x, x BS 4 x Tổng chi phí mắc đường dây điện : f ( x) 300 x 500 (4 x) Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn f ( x) (0;4) Cách 1: Ta có: 13 x (4 x) F '( x) 0 300 500 0 (4 x) 5(4 x) ( x 4) 16 (4 x) x 19 13 x 3, 25 So sánh với điều kiện ta có Đáp án A Cách 2: Ta có: Ta có: f (3,25) =1600; f (1) =1881,13883; f (2) =1718,033989; f (1,5) =1796,291202 Như ta tìm A đáp án Bình luận: Khơng bạn đọc cho cách giải thứ hai không khoa học làm vẻ đẹp toán học Quan điểm tác giả Cách Cách sau: Cả hai cách phải tìm giá trị lớn f (x) (0;4) Cách 1: Chúng ta giải cách khảo sát hàm số f (x) khoảng (0;4) để tìm giá trị x mà f (x) đạt giá trị lớn nhất; tiếp theo, so sánh kết tìm với đáp án A, B, C, D để tìm câu trả lời cho câu hỏi Cách 2: Sau lập hàm số f (x) Cách 1, tính f (3,25), f (1), f (2), f (1,5); số lớn bốn số tính giá trị lớn f (x) Từ đó, hiển nhiên, dễ dàng tìm câu trả lời cho câu hỏi Có thể thấy, rõ ràng Cách giúp ta tìm đáp án nhanh cách Sự khác biệt Cách Cách nêu nằm quan niệm tình đặt Với Cách 1, ta coi phương án A, B, C, D liệu đưa để đối chiếu; với Cách 2, ta coi phương án A, B, C, D giả thiết tình đặt Có lẽ tập trắc nghiệm làm theo Cách đơi phần hạn chế việc kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm, nhiên trình làm thi câu hỏi người đề ngầm ấn định khoảng thời gian làm bài, theo tác giả gặp câu hỏi phòng thi học sinh nên làm theo Cách Trang Ví dụ Một sổ có dạng hình vẽ, bao gồm: hình chữ nhật ghép với nửa hình trịn có tâm nằm cạnh hình chữ nhật Biết chu vi cho phép của sổ m Hỏi diện tích lớn cửa sổ m A m B C 2m m2 D 3 Lời giải Gọi độ dài IA AB a b ( < a, b < 4) Vì chu vi cửa sổ 4m nên ta có: a (2a 2b) 4 b a 2a (1) Diện tích cửa sổ là: a2 a 2a a2 S (a ) a S (a) 4a 2a a 4a 2 2 Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn S(a) (0;4) Cách 1: Ta có: S '(a) 0 4a a 0 a 4 max S (a ) S Suy : 0 x 4 Đáp án B Cách 2: Do S(a) hàm số bậc hai có hệ số a2 âm nên đạt giá trị lớn khi: a a max S (a ) S 0 x4 Đáp án B Trang Bình luận: Vì (1) khơng biểu diễn a theo b mà lại biểu diễn b theo a? Đâu có bạn đọc nghĩ việc biểu diễn a theo b hay biểu diễn b theo a bước làm không ảnh hưởng đến q trình làm Liệu điều có đúng? Câu trả lời không? Chúng ta biết cửa gồm hai phận (bộ phận hình chữ nhật phận có dạng nửa đường trịn), hai phận tính diện tích phải tính theo a Như biểu diễn a theo b việc tính tốn phức tạp biểu diễn b theo a Công việc tưởng chừng đơn giản giúp ích nhiều cho bạn đọc tính tốn Ví dụ Có hai cột dựng mặt đất cao m m, đỉnh hai cột cách m Người ta cần chọn vị trí mặt đất (nằm hai chân cột) giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí mơ hình bên Tính độ dài dây ngắn A 41m B 37 m C 29m D 5m Lời giải Trang 2 Kẻ AF BE DE AF= 4 Đặt DC x, (0 x 4) CE 4 x Độ dài đoạn dây cần giăng : f ( x) x 16 (4 x) f ( x ) x x x 32 Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ f(x) (0;4) f '( x) 0 Ta có: x x2 x x x 32 0 Dùng MTCT sử dụng tính nhẩm nghiệm ta tính được: f '( x ) 0 x 0,8 f ( x) f (0,8) 41 Đáp án A Ví dụ Một hình ti vi hình chữ nhật cao 1,4 m đặt độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn ( góc nhìn) Hãy xác định độ dài AO để nhìn rõ BOC Trang A AO = 2,4 m B AO = m C AO = 2,6 m D AO = m Lời giải 2 Đặt : AO x,( x 0) OB x 3, 24, OC x 10, 24 Ta có: cosBOC OB OC BC x 3, 24 x 10, 24 1,96 x 5, 76 2OB.OC x 3, 24 x 10, 24 x 3, 24 x 10, 24 Góc nhìn BOC lớn bé cosBOC Cách 1: Đặt: t x , t Xét: f (t ) t 5, 76 t 5, 76 t 3, 24 t 10, 24 t 13, 48t 33,1776 t 13, 48t 33,1776 t 13, 48t 33,1776 t 13, 48t 33,1776 f '(t ) Ta có: f '(t ) 0,98t 5, 6448 t 6, 74 t 13, 48t 33,1776 (t 5, 76) f '(t ) 0 t 5, 76 Suy cos BOC lớn x 5, 76 2, Đáp án A Cách 2: Ta thử xem đáp án cho đáp án làm nhỏ đáp án cần tìm cosBOC f ( x) Đặt: f (2, 4) x 5, 76 x 3, 24 x 10, 24 Ta có: 24 0,96; f (2) 0,9612260675; f (2, 6) 0,960240166; f (3) 0,960240166 25 Từ suy A đáp án Trang Ví dụ Mỗi trang giấy sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2 Lề lề 3cm, lề trái lề phải cm Hãy cho biết kích thước tối ưu trang giấy A Dài 24 cm; rộng 16 cm B Dài 23,5 cm; rộng 17 cm C Dài 25 cm; rộng 15,36 cm D Dài 25,6 cm; rộng 15 cm Lời giải Trang giấy có kích thước tối ưu diện tích phần trình bày nội dung lớn 384 x , ( x 6), Gọi chiều dài trang giấy suy chiều rộng x 384 f ( x) ( x 6) x Diện tích để trình bày nội dung là: 2304 x 408 x Ta cần tìm giá trị lớn f ( x) với x Ta có : f '( x) 2304 f '( x) 0 x 24 x2 Đáp án A Ví dụ (Đề minh hoạ lần kỳ thi THPTQG năm 2017) Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn Trang 10 ... xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: *Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq 2 rl Diện tích tồn phần hình trụ diện tích xung quanh hình. .. tích xuang quanh hình nón có bán kính đường trịn đáy r có độ dài đường sinh l là: S xq rl Diện tích tồn phần hình nón trịn xoay diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích đáy hình nón:... thời gian làm bài, theo tác giả gặp câu hỏi phòng thi học sinh nên làm theo Cách Trang Ví dụ Một sổ có dạng hình vẽ, bao gồm: hình chữ nhật ghép với nửa hình trịn có tâm nằm cạnh hình chữ nhật