Tài liệu Chương 9: Hoạch định bằng chương trình tự động pptx

CHƯƠNG 9: Hoạch định bàng chuong trinh động Trong chương này chúng ta quan tâm đến trường hợp đặc biệt: toàn bộ số sản phẩm tập hợp trong chỉ một họ. Trong trường hợp này, có thể ước tính trực tiếp giá thành sản xuất hoặc tồn kho cua 1 sô x, san phâm dua vào trung bình sản xuất cần thiết. Cac ràng buộc truoc dây như số giờ bổ sung, sự thầu lại vv duoc ngâm tinh chung trong gia. 9.1 Thuật toán cho trường hợp tông quat 9.1.1 Ví dụ: Xí nghiệp AKL là một công ty con của một nhà xây dựng hàng không lớn. Nó lap rap và kiểm tra những modun điện tử sử dụng trong thiêt bi diêu khiên máy bay. Vì những lý do gắn với giá thành, sản xuất có thể từ 10 đến 16 thiết bị. Cũng vậy, vi phai co 1 luong hàng tồn kho an toàn và do kích cỡ cua kho, sô luong này nằm trong khoảng tù 3 dên 6. Không được phép thiếu hụt. Yêu cầu trong 6 tháng tới là: 9 17 14 18 11 17 thiết bị. Nêu tính số giờ bổ sung và có thể goi thêm 1 công ty gia công, thi chi phí sản xuất CF(x) của x thiết bị (ngoài trù gia nguyên vât liêu và linh kiên) là: x 10 11 12 13 14 15 16 CF(x) 20 22 25 30 33 37 40 Chi phí tồn kho hàng tháng là x 3 4 5 6 CS(x) 2 3 5 7 Số hàng tồn kho ban đầu là 3 đơn vị và người ta dinh se dat số hàng tồn kho cuối kỳ thứ 6 là 4. Chung ta phai xac dinh sô luong Xi thiết bị cân sản xuất trong tháng thứ i và voi muc tiêu là tối thiểu hoa tổng số chi phí sản xuất và chi phí tồn kho. Ở đây, nhận thấy sự quan trọng của việc sản xuất, không thể xấp xỉ kết quả bằng một số thực mà chúng ta phái làm việc bằng những số nguyên. Như trong chương trước, chúng ta thêm các biến Si là mức tồn kho vào cuối tháng i. Ta thấy dễ dàng: Min 6 1 [CF(Xi) + CS(Si)] i= ∑ Với những ràng buộc: 10 ≤ Xi ≤ 16 3 ≤ Si ≤ 6 S 0 = 3 S 6 = 4 X 1 + S 0 = S 1 + 9 X 2 + S 1 = S 2 + 17 X 3 + S 2 = S 3 + 14 X 4 + S 3 = S 4 + 18 X 5 + S 4 = S 5 + 11 X 6 + S 5 = S 6 + 17 9.1.2 Mô hình hoá CF(x) và CS(x) là chi phí sản xuất và tồn kho cua x sản phẩm. Chi phí tồn kho được tính toán dựa trên số hàng tồn kho vào cuối kỳ, như trong các chương trước (cac mô hinh se rất ít khác nhau nêu ta giả thiết rằng chi phí được tính dựa trên số tồn kho đầu tháng). Số luong sản phẩm sản xuất có thể chấp nhận là ở giữa XMin và XMax và thêm cac ràng buôc vê sô luong hàng tồn kho an toàn hay vê diên tich mặt bằng kho nên mức hàng tồn kho nằm giữa SMin và SMax. Người ta biết được số hàng yêu cầu của p thoi kỳ tiếp theo và. d i là yêu cầu của thoi kỳ thứ i. Mức hàng tồn kho đầu tiên là SInit và người ta du định đat số hàng tồn kho SFin ở cuối kỳ thứ p. Không được phép thiếu hụt. Muc đích là xác định được số hàng sản xuất Xi ở kỳ thứ i để cực tiểu tổng chi phí của sản xuất và tồn kho. Chúng ta đưa vào các biến Si như trước, là số thành phẩm tồn kho ở cuối tháng. Người ta thu được mô hình sau: Min ∑ i =1→p [CF(Xi) + CS(Si)] Và những ràng buộc: XMin ≤ Xi ≤ XMax SMin ≤ Si ≤ SMax S 0 = SInit Sp = SFin Xi + Si- 1 = Si +d i Công thức trên hầu như là công thức đạt được trong chương trước. Nhưng ở đây, nếu những rằng buộc là tuyến tính, hàm mục tiêu không còn nữa. Bài toán này không thể giai bàng quy hoạch tuyến tính. 9.1.3 Mô hình hoá dưới dạng đồ thị Để giải quyết bài toán này, trước tiên người ta sẽ mô hình hoá no dưới dạng đồ thị, mà chúng ta sẽ định nghĩa những đỉnh và cung. 1. Đỉnh Một đỉnh V i,l biểu thị số luong tồn kho ở mức l o cuối kỳ thứ i. 2. Cung Người ta tạo ra một cung từ V i-1,k đến V i,l nêu co thê di tù tinh trang « số tồn kho ở cuối kỳ thứ i-1 o mức k » dên tinh trang « số tồn kho ở cuối kỳ thứ i o mức l ». Yêu câu ở kỳ thứ i đã biết là d i , ta suy ra số sản phẩm cần sản xuất trong kỳ thứ i là X i = l + d i – k. Với giá trị số tồn kho l da duoc biet ở cuối kỳ thứ i, cac giới hạn cua Xi sẽ dan dên nhung giới hạn vê số tồn kho k ở kỳ thứ i -1. 1. Voi số luong tôn kho nhỏ nhất là Xmin.thi giá trị lớn nhất của k đạt được trong thoi ky i-1 là l + d i – XMin. 2. Voi số luong sản xuât lớn nhất là Xmax.thi giá trị nhỏ nhất của k đạt được là l + d i – XMax. Mặt khác, số tồn kho nằm trong khoảng từ SMin đến SMax, suy ra k nằm trong khoảng kmin và kmax với kmin = Max (l + d i – XMax , SMin) kmax = Min (l + d i – XMax, SMax) Đồ thị là một đường không khep kin. Chúng ta sẽ tìm một con đường ngắn nhất từ V 0,Sinit đến V p,SFin . Đồ thị co cac dinh cua tùng thoi ky và voi thoi ky i duoc dinh boi luong tôn kho tang. Thuật toán chung: Voi i thay doi từ 1 đến p Voi l thay doi từ SMin đến SMax Chiphí(V i,l ) = ∞ Kỳ thứ nhất Voi l thay doi từ SMin đến SMax kmin = Max (l + d i – XMax , SInit) kmax = Min (l + d i – XMin, SInit) Nếu kmin = kmax thì Chiphí(V 1,l ) = CS(l) + CF(l+d i - SInit) kết thúc. Kỳ thứ 2 đến kỳ thứ p Voi i thay doi từ 2 đến p Voi l thay doi từ SMin đến SMax kmin = Max (l + d i – XMax , SMin) kmax = Min (l + d i – XMin, SMax) Voi k thay doi từ kmin đến kmax C= CS(l) + Chiphí(V i-1,k ) + CF(l + d i – k) Nếu Chiphí(Vi ,l ) > C thì Chiphí(Vi ,l ) =C Kết thúc Kết thúc Dây là trường hợp đặc biệt của chuong trinh động. 9.1.4 Dap an V i,l KMin KMax Xi Chiphí V i-1,k ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) 3 3 3 3 2 3 3 3 10 11 12 ∞ 22 24 27 ( 0, 3 ) ( 0, 3 ) ( 0, 3 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 ) 4 5 6 7 6 6 6 6 16 16 16 65 69 74 ∞ ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) 3 3 3 4 6 6 6 6 14 15 16 16 100 104 107 112 ( 2, 3 ) ( 2, 3 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 ) 5 6 7 8 6 6 6 6 16 16 152 159 ∞ ∞ ( 3, 5 ) ( 3, 6 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) 3 3 3 3 4 5 6 6 11 12 13 14 176 179 184 187 ( 4, 3 ) ( 4, 3 ) ( 4, 3 ) ( 4, 3 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 ) 4 5 6 7 6 6 6 6 16 16 16 222 229 234 ∞ ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 ) Bảng 9.1 - Bảng kết quả Bảng 9.1 đưa ra kết quả của thuật toán áp dụng cho ví dụ trên . Dê có 4 sản phẩm tồn kho ở cuối kỳ 6, chi phí tối ưu là 229. Do trên bang 9.1 ta duoc lô trinh tôi uu cho boi các dinh: ( 6, 4 ), ( 5, 5 ), ( 4, 3 ), ( 3, 5 ), ( 2, 3 ), ( 1, 4 ) Kế hoạch sản xuất trên 6 kỳ se là : ( 10, 16, 16, 16, 13, 16 ) 9.2 Thuật toán trong trường hợp lõm 9.2.1 Định nghĩa Thuật toán tông quat có thể được đơn giản hoá khi cac chi phí CF và CS đều là lõm. Voi F(x) là một hàm không liên tục (rời rạc) và đặt f(x) = F(x) – F(x-1). Hàm f(x) biểu diễn lượng tăng của F, khi người ta đi từ x-1 đến x Khi F(x) biểu thị một hàm chi phí, f(x) được hiểu như là chi phí giới hạn dê sản xuất sản phẩm thứ x. Nếu f(x) ≤ f(x-1), hàm F(x) được gọi là lõm. Ở đây chi phí giới hạn giảm dần. Người ta goi là kinh tê do quy mô. Đó là trường hợp cac nên sản xuất có chi phi cô dinh rât cao hoac dôc lâp voi sô luong sản xuất. Nếu f(x) ≥ f(x+1), hàm F(x) được gọi là lôi. Chi phí giới hạn tăng lên. Trường hợp này xảy ra khi người ta phai, vượt qua 1 ngưỡng sản xuất nào do, cần đến những phuong tiên bổ sung, như những giờ bổ sung hoặc qua gia công. 9.2.2 Mô hình hoá Nhu trong truong hop trước, và thêm vào một số gia thiêt bổ sung sau: 1. Các hàm chi phí CF và CS là lõm. 2. Không có giới hạn về khả năng sản xuất cũng như khả năng tồn kho. Dựa trên những điều kiện đó, chúng ta có định lý của Wagner và Within dưới đây: Trong những giải pháp tối ưu, luôn tồn tại một 1 giai phap mà viêc sản xuất Xi (số lượng sản phẩm sản xuất ra trong kỳ thứ i) thoả: ● hoặc bằng 0, ● hoặc bằng tổng số sản phẩm được yêu cầu trong kỳ thứ i và k kỳ tiếp theo: Xi = d i + + d i+k , voi k ≥ 0. Chứng minh: Xét một giải pháp tối ưu S ở kỳ thứ i mà số sản phẩm sản xuất là Xi bằng tổng các giá trị d i , d i+1 , , d i+k-1 , và một phần của d i+k . C(S) là chi phí của giải pháp đó. Xét hai giải pháp co thê thực hiện sau dây: 1. + S : Người ta sản xuất nhiều hơn một sản phẩm trong kỳ i và ít hơn một sản phẩm trong kỳ thứ k. Chi phí sản xuất trong kỳ thứ i tăng lên là + a = f(X i + 1), chi phí tồn kho tăng lên là + b , và chi phí sản xuất trong kỳ i + k giảm đi một lượng + c = f(X i +k ) 2. S‾ : Người ta sản xuất ít hơn một sản phẩm trong kỳ thứ i và nhiều hơn một sản phẩm trong kỳ thứ k. Chi phí sản xuất trong kỳ thứ i giảm đi là a‾ = f(X i ), chi phí tồn kho giảm đi là b‾ , và chi phí sản xuất trong kỳ i + k tăng lên một lượng c‾ = f(X i +k + 1). Giả định + S không phải là tối ưu; do S là tối ưu ta có: C(S) < C( + S ) = C(S) + + a + + b – + c C(S) ≤ C(S‾ ) = C(S) – a‾ – b‾ + c‾ Hay 0 < + a + + b – + c a‾ + b‾ – c‾ ≤ 0 Suy ra : + a + + b – + c > a‾ + b‾ – c‾ Do các hàm là lõm, nên + a ≤ a‾ + b ≤ b‾ – + c ≤ – c‾ Và như vậy + a + + b – + c ≤ a‾ + b‾ – c‾ Phản chứng lại phương trình trước 9.2.3 Mô hình hoá dưới dạng đồ thị Vây chi cân han chê việc tìm kiếm giải pháp cho giả thiết nói trên. Giả thiết này có thể được mô hình hoá dưới dạng sơ đồ mà trong đó các đỉnh và các cung định nghĩa như sau: 1. Đỉnh: Một đỉnh V i biểu thị việc bố trí sản xuất trong kỳ thứ i. Dỉnh V p+1 duoc thêm vào dê giới hạn phạm vi lâp kê hoạch. 2 3 852 562 208 272 148 344 576 1 4 5 466 216 322 Hình 9.1 – Sơ đồ 2. Cung: một cung từ i đến k ( k > i ) biểu thị tinh trang: Người ta bố trí sản xuất ở kỳ thứ i và sản xuất tiếp theo duoc bố trí vào kỳ thứ k. Nói cách khác, sự sản xuất ở kỳ thứ i cho phép thoả mãn tất cảc kỳ từ i, i +1, , k – 1 . Co nghia là người ta bố trí ở kỳ i sản xuất số luong sản phẩm Xi = d i + d i+1 + + d k-1 và chi phí tồn kho là CS(X i ). Ở cuối kỳ thứ i , người ta có số tồn kho là : S i = X i – d i = d i+1 + + d k-1 . Trong kỳ thứ i + 1, số tồn kho giảm đi d i +1 và ta có : S i +1 = S i – d i +1 = d i+2 + + d k-1 , cứ tiếp tục như vậy. Giá trị của cung (i, k) là tổng : V(i, k) = CS( k-1 i j=i d ∑ ) + CF( k-1 j j=i+1 d ∑ ) + + CF( k-1 j j=k-2 d ∑ ) + CF(d k-1 ) Đồ thị gồm một đường không khep kin, trong do người ta tìm đường ngắn nhất. Có hai thuật toán có thể được sử dụng, hoặc làm những phép tính từ trái sang phải, từ kỳ thứ nhất đến kỳ thứ p +1, hoặc tính toán ngược từ kỳ thứ p+1 về kỳ thứ 1. Trong trường hợp đặc biệt chi phí tồn kho là một số không đổi C p trên mỗi sản phẩm và ở mỗi kỳ , ta có: CF(S) = C p .S và V(i, k) = CS( k-1 i j=i d ∑ ) + C p (d i +1 + 2d i + 2 + 3d i + 3 + ) 9.2.4 Ví dụ Don hàng đối với một bộ phận trong 4 tuần kế tiếp là 54, 86, 24, 58. Chi phí tồn kho của một bộ phận trên mỗi tuần là 1. Chi phí sản xuất, tính đến cả chi phí phát hành cao, cho x bộ phận là: CF(x) = 100 + 2x. Số tồn kho hiên tai bằng 0 và người ta du dinh số tồn kho bằng 0 ở cuối tuần thứ 4. Dô thị của bài toán được đưa ra trong hình 9.1. Bảng tiếp theo cho ta ở mỗi cung mức sản xuất X i và các chi phí phat sinh: i k X i CF(X i ) CS(S i ) V(i, k) 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 54 54 + 86 54 + 86 + 24 54 + 86 + 24 + 58 86 86 + 24 86 + 24 + 58 24 24 + 58 58 208 380 428 544 272 320 436 148 264 216 0 86 86 + 2*24 86 + 2*24 + 3 *58 0 24 24 + 2*58 0 58 0 208 466 562 852 272 344 576 148 322 216 Cho f i là chi phí cực tiểu di từ 1 đến i . Người ta đưa ra kết quả duoi dây voi cach tính toán từ trái sang phải: f 1 = 0 f 2 = V(1 ,2) = 208 f 3 = Min 1 2 f + V(1, 3) = 466 f + V(2, 3) = 208 + 272    = Min 466 480    = 466 f 4 = Min 1 2 3 f + V(1, 4) = 562 f + V(2, 4) = 208 + 344 f + V(3, 4) = 466 + 148      = Min 562 552 614      = 552 f 5 = Min 1 2 3 4 f + V(1, 5) = 852 f + V(2, 5) = 208 + 576 f + V(3, 5) = 466 + 322 f + V(4, 5) = 552 + 216        = Min 852 784 788 768        = 768 Giải pháp tối ưu của chi phí là 768, ta thu được khi đi ngược bảng từ dưới lên, số bộ phận sản xuất được ở các kỳ lần lượt là X = ( 54, 110, 0, 58). . CHƯƠNG 9: Hoạch định bàng chuong trinh động Trong chương này chúng ta quan tâm đến trường hợp đặc biệt:. việc sản xuất, không thể xấp xỉ kết quả bằng một số thực mà chúng ta phái làm việc bằng những số nguyên. Như trong chương trước, chúng ta thêm các biến Si