CHUYÊN ĐỀ II: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử Các cách phân tích đa thức thành nhân tử Cách 1: Đặt nhân tử chung Cách 2: Dùng hằng đẳng thức Cách [r]
Trang 1CHUYEN DE 1: PHEP NHAN DA THUC & CAC HANG DANG THUC DANG NHO Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
Bài 1: Rút gọn bằng cách thay số bằng chữ
1 3 316 1 4
1 272 2 4
317 111 317 111 317.111
1 3 1 650 4 3
315 651 105 651 315.651 105
3 999994.999999.999992 — 999996.99999 1.999998
4 444443 444448 44444] — 444445 444440 444447
5 4 3 2011) 2015 2013 2013.2015 1 2 6033
2015 2013
Gial:
1 Đặt "¬
317 111
1
pat =a: =p
* 315 651
Dat 999994 =a
Dat 44443=a
2013 2015
Bai 2: Tinh gia tri cua cac biểu thức:
l A=6+5 +5 +5 '+ +59+ 597
2 B=10+92+9'+91+ ,+9s +07
5997 5“ + 2)-10.5” —]
_ 4
4 D=x”-2016x”+2016x—2016x'” + +2016x? -2016x+2016 với x=2015
5 E= x”- 2000x” +2006x° - 2000x° + + 2000x” - 2000x+ 2000 với x=1999
6 F=x°—50x° +50x* —50x° +50x”? —50x+50 véi x =49
7 A=127? +146.127 +737
8 A=98,23 -(# -1)(18# +1)
Trang 2Q, A=-1?4+2°-3° +4 —5° 4+ —997 +1007
10 A= 20? +187 +167 + 4.4° +2? ~(19° 417° + 43°+1)
11 A=(3+1)(3* +1)(3* +1)(3° +1)(3'° +1)
12.A=1?-2? +32 - 4? + — 2004? + 20057
13 A=(2+1)(2? +1)(2* +1) (2% +1)
14 A=(5+1)(5° +1) (9°™ +1)-5°
Bài 3: Cho x- y=7 Tính giá trị của biểu thức A=x?—2xy+ y°—5x+5y+6
Bài 4: Cho x+ y=1 Tính giá trị của biểu thức A= 3(x° + y?)-2(2° + y°)
Bài 5: Cho x+ y =101 Tính giá trị của biểu thức
A=x#x`-3x)+3xˆy+3xy”+ y`—3y”—6xy+3x+3y+ 2017
Bai 6: Cho x+ y=1 Tinh gia tri cua biéu thie A=x°+y°? + 3xy(x° + y’)+6x7y? (x+y)
Bài 7:Cho x+y=2;x?+ y? =10 Tính giá trị cia biéu thite x +y°
Bài §:Cho x+y=z;x?+ y? =b Tính giá trị của biểu thức x + y`
Bài 9: Cho x+ y=1 Tính giá trị của biểu thức x` + y`+3xy
Bài 10: Cho x- y=1 Tính giá trị của biêu thức x°~ y`—3xy
Bai 11: Cho x+ y=z:xy=b Tính giá trị của biểu thức sau theo a và b
Bai 12: Cho a+b+c=9;a° +b? +c’ =53 Tinh ab+bc+ca
Bài 13: Tính giá tri cua at +b* +c* Biét atb+c=0 va
a at+b+c =1
b a’ +b’ +c? =2
Bài 14: Cho x- y=7 Tính giá trị của biểu thức
a x(x+2)+y(y-=2)-2w+17
b x'(x+])-y (y-1)+xy-3(x- y+I)—§?7
Bài 15: Tính nhanh
Trang 31 A=123(123+154)+77°
2 B=3%—(27'+1)(9° -1)
3 C=85° +75° + 65° +55? — 45° — 35° — 25? — 15°
135° +130.135+65°
D= 135ˆ-65 2 2
4
Bài 16: Rút gọn:
a A=2"'42.2" 8.2" —16.2"
b B=(3""—2,2")(3""!+2.2")—3"? +(8.2"° Ỷ
(a +b? +e) -(@ _p? -e}
d (a+b+c) —(a—b—c) —4ac
œ (atb+c) —(a+b) -(b+e} -(c+a)y
rh (a+b+c) +(a—b+c) +(at+b-c) +(-a+b+c)
Bai 17: Rut gon (x+a)(x+b)(x+c) Biét a+b+c =6;ab+ be + ca =—6; abc = -60
Dang 2: So sanh
Bai 18: So sénh A va B
A= 24(5° +1)(5* +1) (5'° +1) và B=5”
\ A =999994.999999,999992 — 999996.99999 1.999998 va
B= 444443.444448 444441- 444445.444440.444447
597 5” + 2) —10.5”% _—1
4
A=6+5 +3+ +5””+5””“ va B=
A= 2003.2005 và 8 = 20047
A=123456787.123456789 và B =123456788?
A= (341)(3° +1)(3* +1)(3° +1)(3" +1) và ø=5 5-1
A=12(5°+1)(5° +1) (5””+1) và 8=5”5~—I
2
> VỚI X>y>0
A=2011.2013+ 2012.2014 và B = 20127 +2013” —2
x -y A —~ va B= 5
Dạng 3: Chứng mình đăng thức
Bài 19: Chứng minh rằng
Trang 4a (xe 42° y+ay? + y’)(x-y)=x*-y"
b (xt y+z) =e 4+y 42? +2xyt 2yzt2xz
C (x+y+z) =x)+y)+z2+3(x+y)(y+z)(2++)
d x+y`+z`—3yz =(x+ y+z)(# + y) + z —xy— yz— xe}
Bai 22:
a Cho P=(x+y) +(y+z) +(z+x) va O=(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y) Chung
minh rang néu P=Q thi x=y=z
b Chứng minh rằng néu a+b+c=Othi a+b? +c =3abe
c Cho z+b+c=2p Chứng minh rang 2be+b? +c? -a? =4p(p—a)
Bai 23: Chimg minh rang
a (z —b° ) +(2ab) = (a +b° )
b (a? +b*)(c? +d) =(ac+bd) +(ad —be)’
c 10007 +1003ˆ +10057 +1006ˆ = 1001” +1002 + 1004” +10077
Bài 24: Chứng minh rằng
a (a? —b’)(c? —d*) =(ac+bd) —(ad +be)’
b 2(a’ +b’ +c’ -3abe) =(a+b+e)| (a—b)’ +(b-c) +(c-a) |
C (a+b)(b+ec)(c+a)+4abe=c(a+b} +b(a+e} +a(c+b}
Bài 25:
1 Cho x “+ yÏ+z” =xy+ yz++xz Chứng minh rằng X=y=Z
2 Cho (a—b} +(b-c) +(c-a) +4(ab+be+ca)=4(a? +b* +c’) Chung minh a=b=c
3 Cho a+b+c+d=0 Ching minh a’ +b’ +c’ +d* =3(ab-cd)(c+d)
4 Cho a+b+c=0 Ching minh a*+b° +c? = 3abe
Bài 26: Cho z+ø+c=0 Chứng minh rang a‘ +b* +c* Bang mdi biéu thir sau:
Trang 5a 2(ab’ +b°c? + ca’)
b 2(ab+be+ca)y
(a? +b? +¢? )
2
C
Bài 27: Chứng minh rằng z=»=c Nếu có một trong các điều kiện sau:
a a°+b ˆ+c °=ab+bc+ca
b (a+b+c) =3(a? +b’ +c’)
Cc (a+b+c} =3(ab+bc + ca)
Bài 28: Cho z+ø+c=0 Chứng minh rằng M=N=P với
a M =a(a+b)(a+c)
b N=b(b+c)(b+a)
on P=c(ct+a)(c+b)
Bai 29: Cho x+ y+z=0;xy+ yz+xz=0 Chung minh rang x=y=z
Bài 30: Cho x+ y=a+b;x°+y° =a’ +b° Chung minh x°+ y =a°+b°
x+y=ứa
Bài 31: Cho 4 x? + y?=ø» chứng minh rằng z—3ab+2c y 8 8
x'+ y° =C Bai 32: Chimg minh rang
a a+b’ =(a+b) —3ab(a+b)
b a+b +c =3abe =(a+b+c)(a’ +b +c? - ab—be-ca)
Từ đó suy ra kết quả
a Nếu a`+b°+c` =3abe thì at+b+c=0 hoặc a=b=ec
c Cho a? +b +c? =3abe Tinh z=[+z [r2 l+Š] với abc #0
Bài 33: Chứng minh rang 3599 viết dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1
Trang 6Dang 4: Tim x
Bai 34: Viét cdc biéu thtrc sau dudi dang tong cia hai binh phuong:
Bai 35: Tim x, y, z biét rang
— x +4y°—2x+4y+2=0
xˆ+2y°+2xy-2x+2=0
x*+y +zÏ =xy+yz+xz
2x2+2y “+z”+2xy+2xz+2yz+2x+4y+5=0
2x2+2yÏ+zˆ+2xy+2xz+2yz+10x+6y+34=0
Dạng 5: Chứng mình chia hết
Bài 36: Chứng minh răng :
oe 352% _ 352% chịa hết cho 17 43? + 43” chia hét cho 11
27° +9° chia hét cho 4
24949! chia hết cho 7
(2m—3)(3n—2)—(3m—2)(2n—3) chia hết cho 5
Bài 37: Cho A=5x+2y;B=9x+7y
a Tính 7A-2B
b Chứng minh rằng nếu x, y thỏa mãn A chia hết cho 17 thì B cũng chia hết cho 17 Dựng 6: Đa thức dong nhất
Bài 38: Cho đa thức x° —2x° +3x-4
2 x +xy+y =0
4 x -4x+5+y +2y=0
Ó xˆ+2y +2xy-2y+I=0
8 5x +3y +z”`-4x+6xy+4z+6
a Viết đa thức dưới dạng đa thức của biến y với y=x-l
b Viết đa thức dưới dạng đa thức của bién z voi z= a
Bai 39: Tim hé sé a, b, c
x+1
Trang 7a 2x? (ax? +2bx+ 4c) = 6x* —20x° -8x° với mọi x
b (ax+b)(x —Cx+ 2)= x`++x”—2 VỚI mỌI x
Dạng 7: Các bài toán GTLN, GTNN
Bài 40: Chứng minh răng các biêu thức sau có giá trị dương với mọi giá tri cua x:
Bài 41: Chứng minh răng các biêu thức sau có gia tri 4m voi moi x:
3
Bài 42: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
17 A=2x+12y+6z-x —4y? —z°-18
Bai 43: Tìm giá trị nhỏ nhất:
3 A=(x-l)(x+2)(x+3)(x+6) Ó A=x -4x+y -Ñy+6
Trang 811 A=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) 12.A=x* —2x° +3x° —4x+2016
13 A=2x° +4y* +4xy4+2x+4y+9 14 A=x* -6x° +10
17 A=m’? —4mp +5 p* +10m—22p+28 18 A=(x+1) +(x-3)
Dạng 6: Các dạng toán khác
Bài 44: Chứng minh răng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng của hai bình phương
x°+2(x+1ÿ +3(x+2} +4(x+3)
Bài 45:
a Cho ba số tự nhiên liên tiếp Tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 62 Tìm
ba sô đó
b Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết răng tổng các tích từng cặp của hai trong ba số đó bằng
191
Bài 46: Chứng minh rằng các biêu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
A= (x" + 1)(x" — 2)-x"” (4 -*}+ 2017
CHUYEN DE II: PHAN TICH DA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Dang 1: Phan tich da thitc thanh nhân tử
Các cách phân tích đa thức thành nhân tử
Cách 1: Đặt nhân tử chung
Cách 2: Dùng hằng đẳng thức
Cách 3: Nhóm hạng tử
Cách 4: Tách hạng tử
Cách 5: Thêm bớt hạng tử
Cách 6: Đặt ân phụ
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
1 10x?+y?—1lxy
2 2x `+3x”+3x+I
Trang 93 x +x +IH
4 3x -8x+4
5 x -x -4
Ó 3xÌ-7x7+l17x-5
7 x’ +2015x* + 2014x + 2015
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Phối hợp nhiều phương pháp)
5 x'z+xX yz—xX z”—xyzŸ 6 x°+(a+b)xy+aby’
7 ab(x? + y’)+xy(a° +0") 8 (xy +ab) +(ay—bx)
9 a’ (b-c)+b’ (c—a)+c’ (a—-b) 10.15x* —10x* y+ y?
11.-16a*b® — 24a°b° —9a°b* 12 4bp°?c? -(P? +c -a’)
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Tách hạng tử )
4 4p”-36p+56 5 0x +6x-8 Ó x -7xy+y”
7 x -5x ` -l4x 8 x yz+5xyz —l4yz 9 a’ +4a’?-5
13.3x° + 22xy+4x4+8y4+7y? +1 14 °° +6x? +11x+6
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử băng cách thêm bớt hạng tử:
13 x7 — 4x7 +4x-1 14.a° +a +1 15.a“+aŸb+b°
Bài 5: Phân tích thành nhân tử băng cách thêm bớt hạng tử:
l xy(x-y)+yz(y—z)+xz(£—*)
2 ab(a+b)—bc(b+c)+ac(a—c)
3
4
5 (b—c) +(c-a) +(a—b}
a(b+c)(b? -)+b(c+a)(e? a’)
(a+b)(a° -b’)+(b+c)(b° =c?)+(c+a)(c? -đ?)
15.12x* +5x—12y* —12y+10xy—3
Trang 106 a(b’-c’)+b(c? -a’)+c(a@ -b’)
7 a’ (b’ —c?)+b* (c? -a*)+c° (a’ -b’)
8 z(b?—c?)+b(c°—a?)+ec(a°—b°)
9 (a+b+c)(ab+be+ca)—abe
10 a(a+ 2b)’ —b(b+2a)
ll.a@ +b? +c —3abc
12.(a+b+c) -a* —b* -c’
13.(x-y)} +(y-z} +Œ@-x}
14.a`—b`+c`+3abc
15.a°—b°—c°—3abe
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử (Đặt biến phụ)
— .- (x'+x} +4#)+4x—-12
2 (x)+4x+8) +3x(x?+4x+8)+23
3 (x-y} +4(x-y)-12
4 (x? +x) +3(2+x)+2
5 (x? +x4I1)(x° +.x4+2)-12
6 6x4 -11x? +3
Bai 8: Phan tich thanh nhan tu ( Phuong phap doan nghiém )
10 x° +.2x° +3x4+2 11.3x° —3x* +3x-1 12.3x°—14x”+4x+3
13 x* —2x° +3x° —2x4+1 14 x* +.6x° +17x° -—6x+4+1
Bài 9: Phân tích thành nhân tử:
3 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-20 (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)—-20
Trang 11
s [ 4abed +(a? +b?) +(c? +4) -4[ cd (a? +b) +.ab(c’ +4)
Dạng 2: Chứng mình dăng thức
Bài 10: Cho (x+ y+z)(xy+ yz +xz) = xyz Chứng minh rằng x yor +z =(x+y+z}
Dạng 3: Chứng mình chia hết
Bai 11:
I Chứng minh rằng nếu x+y+z:6 thì A=(x+y)(y+z)(x+z)-2ayz:6
2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì ta có (4n+ 3)" — 25:8
Dạng 4: Một số dạng toán khác
Bài 12: Chứng minh răng với mọi x,yeZ thì ta có (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+ y° là số chính
phương
Bài 13: Cho 7 =(z—1)(z—3)(?—4)(£—6)+9
a Chứng minh 7 >0 với mỌọi f
b T là số chính phương với mọi t
Bài 14: Tìm bộ ba số nguyên (x;y;z) thỏa mãn : x` + y`+3xyz=z” =(2x+2y)
Bài 15: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A =m`+2n?—3
a Là hợp số
b Băng 2013
Bài 16: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức ø =n*—n”—6n?+7nm—21 là số nguyên tô
Bài 17: Chứng minh rằng tổng của tích bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp với số 16 là số chính
phương
Bài 18: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho (x+z)(x—2)—7=(x+b)(x+e)
Bài 19: Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn điều kiện zø°+bÌ+c°Ằ =3abc và a+b+c+0 Tính giá
Bài 20: Tìm sô tu nhién n dé gia tri cua biêu thức sau là một sô nguyên tô
Trang 12a A=nằ-4n +4n—]
b B=n’?—-6n’? +9n-2
Bai 21: Cho a, b, c thoa man dang thức :
4+1 2b +i ;c +1 2
Tính giá trị của biểu thức Q=ø
+b“ “+c
Bài 22: Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn
3x-l3= y(x-3)
x+y=xy
xy—x+2(y—1)=13
y(x-2)+3x+6=2
xy+3x-2y-7=0
xy-x+5y—-7=0
Trang 13CHUYEN DE 3: CHIA DA THUC
Bài 1: Cho da thitc B=6x"*y°-19x"* y°z và đơn thức C =4x*y"! Hay xac dinh gid tri của số tự
nhién n dé B chia hét cho C
Bài 2: Xác định các số hữu tỉ p va q dé da thitc x° + px+q chia hét cho x? -2x-3
Bài 3: Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biêu thức 2w`—7n? +13n+2 chia hết cho các giá
trị của biểu thức 2ø—1
Bài 4: Đa thức f(x) nếu chia cho x—2 được số dư bằng 3, nếu chia cho x-3 thì được số dư băng
4 Tìm dư của phép chia f(x) cho (x—2)(x-3)
Bài 5: Xác định hệ số a để
a 18x?+a chia hết cho 2x—3
b x*+ax* +1 chia hét cho x7 -2x+4+1
c 2x°+ax+5 chia cho x+3 du 41
Bài 6: Xác định a, b để
2x°—3x?+ax+b chia hết cho x?+x+2
2x*+ax?+b chia hết cho x?—x+3
ax’ +bx+12 chia hét cho (x-1)(x+2)
x +ax+b chia cho x-2 thi du 12 va chia cho x+1 thi du -6
Bài 7: Tìm a, b, ¢ dé ax’ +bx’ +c chia hết cho x-2 và chia cho +? —1 thì dư là 2x+5
Bài 8: Tìm số dư của phép chia đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2015 chia cho đa thức
+“ +8x+10
Bài 9: tìm các số a, b, c, d để x'+ax°+øx?+cx+d chia cho (x—2):(x—1);(x+1):(x+2) đều có số
dư là 2012
Bài 10: Chứng minh rằng x° + y°—z°+3xyz chia hết cho x+ y—z Tìm thương của phép chia
Bài 11: Cho đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 Biết P(1)=0; P(3)=0; P(5)=0 Chứng
minh răng đa thức Q=P(-2) + 7 P(6) chia hết cho 28
Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x+2 dư 10, f(x) chia cho x—2du 24, f(x) chia
cho x?-4 được thương là -5+x và còn dư
Bài 13: Cho đa thức f(x) các phần dư trong các phép chia f{x) cho x và x-1 lần lượt là 1 và 2
Hãy tìm phân dư của f(x) chia cho x(x-1)
Trang 14Bai 14: Tim sé du phép chia (x+2)(x+4)(x+5)(x+7)+2017 chia cho x7 +9x+10
Bai 15: Tim tap hop s6 nguyén x dé gid tri cla da thttc x°+3x-5 chia hét cho giá trị của đa thức
x +2
Bai 16: Da thurc P(x) khi chia cho x-1 thì dư 3 khi chia cho x-2 thì dư 7, còn khi chia cho
(x-1)(x-2) được thương là x”-3 và còn dư Xác định đa thức P(x)
Bài 17: Tìm các hăng s6 a, b, c sao cho ax? +bx? +c chia hết cho x+2 và chia cho x2-1 thi du la x+5
Bai 18: Chimg minh rang
x? +x'°+1 chia hét cho x°+x'° +1
_x =x -x"® chia hét cho x -—x+1
]
2
3 x°~10x+9 chia hết cho (x-1)
4
2
8x"~9x*+1 chia hết cho (x-1ÿ
Bài 19: Chứng minh rằng f(x) chia hết cho g(x) với
f (x) = xe ea tt tl 4]
g(x) =x +x+x + +x+I
Bài 20: Chứng minh răng đa thức (x+y)”+(x- y)” chia hết cho x°+ y’
Bài 21: chứng minh răng với mọi số tự nhiên n ta có :
a (x+1)”—x?””—2x—1 chia hết cho x(x+1)(2x+1)
b +x2+2x?””° +1 chia hết cho (x+ ly
C (x+ iy” + (x-1)"” chia hét cho x? +1
Bai 22: Ching minh rang với mọi s6 ty nhién n thi (x"-1)(x"*"'-1) chia hét cho (x+1)(x-1)’
Bai 23: Chimg minh rang
a x"”+x'“+1 chia hệt cho x””+x" +1
b f(x)= (x7 +x+1)- +(x —x+l)- chia hết cho x? — x