c Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.. Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD..[r]
PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN TRƯỜNG THCS NGA THẮNG NĂM HỌC 2017-2018 MÔN TOÁN LỚP Ngày 23/3/2018 Thời gian làm 150 phút, không kể giao đề Câu 1: (4 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x +2018 x 2+2017 x +2018 A x y y z z x xyz b) Cho đa thức: Chứng minh x, y, z số nguyên x + y + z chia hết cho A - 3xyz chia hết cho Câu 2: (4 điểm): x 1 x2 x x2 x P : x3 x x3 x x x 1 Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P P 1 b) Tìm giá trị x để Đa thức P(x) bậc có hệ số bậc cao Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= Hãy tính giá trị biểu thức: Q= P(-2)+7P(6) Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh rằng: a2 b2 c c b a + + ≥ + + b2 c a2 b a c b) Cho số a, b, c khác thỏa mãn điều kiện: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 a2 b2 c2 1 Chứng minh rằng: a 2bc b 2ca c 2ab Câu 4: (6 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P a) Tứ giác AMDB hình gì? b) Gọi E F hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P PD d) Giả sử CP BD CP = 2,4 cm, PB 16 Tính cạnh hình chữ nhật ABCD Câu 5: (2 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: a b c a b b c c a Với a b c -HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN LẦN Câu 1: 4đ a) 2đ x + 2018x2 + 2017x + 2018 = x4 + x2 + 2017x2 + 2017x + 2017 +1 = x4 + x2 + 1+ 2017(x2 + x + 1) = (x2 + 1)2 - x2 + 2017(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( (x2 - x + 1) + 2017(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( x2 – x + 2018) A x y 0,5 0,5 0,5 0,5 y z z x xyz b) 2đ Ta có: = (x + y + z)(xy + yz + zx 0,75 Vì x, y, z số nguyên x + y + z nên A Mặt khác: x + y + z nên ba số x, y, z phải có số chẵn, suy ra: xyz 2 0,5 => 3xyz 0,25 => A - 3xyz chia hết cho 0,5 Câu 2: 4đ 2đ a) 1đ Điều kiện: x 0; x 1; x 0,25 x 1 x x x2 x P : x3 x x3 x x x x x x x 1 x x x3 x x 2 x x x x x x x x( x 1) x3 x( x 1) x 1 x3 x x3 x x2 1 x 1 b) đ Vì P 1 0,5 0,25 nên P = P = -1 x2 1 1 x x x x 1 0 x 0; x 1 + Nếu: P = x hai giá trị không thỏa mãn điều kiện + Nếu: P = -1 x +1 =−1 x+ ⇒ x + = - x - ⇔ x2 + x + = 0,5 Mà x2 + x + = (x + )2 + > với x P 1 Vậy khơng có giá trị x để 0,5 2đ Ta có P(x) đa thức bậc có hệ số bậc cao P(x) (x-1), P(x) (x-3), P(x) (x-5) Nên P(x) có dạng P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a) Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a) = -105.(-2+a) +105.(6+a) = 105.( –a +6 +a) = 840 Câu 4đ a) p dụng bất đẳng thức: x2+y2 a2 b2 a b a + ≥ =2 ; b c c b c Ta có: 0,5 2xy DÊu b»ng x=y a2 c a c c + ≥ =2 ; b a b b a c b2 c b b + ≥ =2 a c a a c 0,75 Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 2( a2 b c a c b + + )≥2( + + ) c b a b c a ⇒ a2 b2 c a c b + + ≥ + + b2 c a2 c b a b) 2đ Từ: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 => ab + bc + ca = 0,75 0,25 => a2 + 2bc = a2 + bc – ab – ca = ( a – b)( a – c) Tương tự: b2 + 2ca = ( b – c)( b – a) ; c2 + 2ab = ( c – a)( c - b) P 0,5 a b c a 2bc b 2ca c 2ab Đặt: Thay vào ta được: P = a (b c ) b (c a ) c (a b) (a b)(b c)(c a ) (a b)(b c)(c a ) (a b)(b c)(c a ) 1 2 a b c 1 Vậy: a 2bc b 2ca c 2ab 0,25 Câu 6đ Vẽ hình, ghi GT, KL 0,5 D C P M F I E A O B a) 1,5 đ Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD PO đường trung bình tsm giác CAM AM//PO tứ giác AMDB hình thang 1,5 b) 1,5 đ Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB 0,5 Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 0,5 Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 0,5 c) 1đ MAF DBA g g MF AD nên FA AB không đổi PD PB PD k PD 9k , PB 16k 16 d) 1,5đ Nếu PB 16 CBD DCP g g Nếu CP BD CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 BC = (cm) CD = (cm) Câu 2đ Gọi vế trái A, ta có: a 1 b 1 c 1 a b b c c a a b b c c a 2(a b) 2(b c) 2(c a ) a b (b a) (a c) c a 2(a b) 2(b c) 2(c a ) CP PB PD CP 0,5 0,25 0,75 A 0,5 a b 1 a c 1 a b b c b c c a a b c a a c a b ( a b)(b c) (b c)(c a) (a b)(a c) 1 2(b c) a b c a (a b)(a c)(b c) 0 ( Do a b c 0) 2(b c)(b c)(c a) Vậy A 0,5