Đang tải... (xem toàn văn)
Biết f0 và f1 là các số lẻ, chứng minh rằng đa thức fx không có nghiệm nguyên.. a Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân.[r]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2017 - 2018 Mơn: Tốn Ngày thi: 18 - 01 - 2018 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ THI CHÍNH Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức: x + x x +1 - x2 P= : + + x - 2x +1 x x -1 x - x (Với x ≠ x ≠ ±1) a) Rút gọn P; b) Tìm x để P = Bài 2(2,0 điểm) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Cho f(x) đa thức có hệ số nguyên Biết f(0) f(1) số lẻ, chứng minh đa thức f(x) khơng có nghiệm ngun Bài (1,5 điểm) 15 x 12 x 3x x 3x a) Giải phương trình sau: 2 b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x x y 0 Bài 4: ( 3,5 điểm ) Cho hình thang ABCD có A D = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H hình chiếu D lên AC; M, P, Q trung điểm CD, HC HD a) Chứng minh tứ giác ABMD hình vng tam giác BCD tam giác vng cân b) Chứng minh tứ giác DMPQ hình bình hành c) Chứng minh AQ vng góc với DP d) Chứng minh S ABCD 6S ABC Bài : (1 điểm) x y 2 y x a) Chứng minh bất đẳng thức sau : ( với x,y dấu ) b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x x2 y 3 y x y y 5 x với x ≠ 0; y ≠ PHÒNG GD & ĐT LƯƠNG TÀI TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn- Lớp Bài (2,0 điểm) a) P P P (2,0) x x 1 ( x 1)( x 1) x x2 : x( x 1) x( x 1) x 1 x( x 1) Với x ≠ x ≠ ±1 x x 1 x x x : x ( x 1) x 1 x x 1 x 1 : x x 1 x ( x 1) x 1 x2 x( x 1) x 1 x x 1 x2 1 x 2 x x x x 0 x x x 0 x 1 x 1 0 b) P 0,25 0,5 0.5 0.25 0.25 x=1/2 ( thỏa mãn ĐKXĐ), x = -1 ( không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy với x 1 P 2 0.25 Bài (2,0 điểm) a) x3 – 5x2 + 8x – = = (x3 - x2 ) - (4x2 - 4x) + (4x - 4) = x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2 (2 đ) b) Giả sử x = a nghiệm nguyên f(x) Khi f(x) = (x - a) Q(x), Q(x) đa thức có hệ số ngun Vì f(0) = (- a).Q(0) (*); f(1) = (1 - a).Q(1) (**) Vì f(0) số lẻ nên từ (*) suy a số lẻ Vì f(1) số lẻ nên từ (**) suy 1- a số lẻ Nghĩa a 1- a hai số lẻ, mâu thuẫn Tức điều giả sử sai Vậy f(x) khơng có nghiệm ngun 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (1,5 điểm) a) ĐK: x≠1;x≠−4 PT ⇔15 x−x 2−3 x +4=4 ( x−3+x+4 ) ⇔ x +4 x=0 ⇔ x=0 (tm); x=−4 (loai ) Vậy phương trình có nghiệm x = a) Ta có 0,25 0,25 0,25 (1,5) x x y 0 x x y 0 x 1 y 1 0,25 x y 1 x y 1 1 * x y 1 x y 1 x y Vì x, y nguyên nên từ (*) x y x; y 0;0 ; 1; x 0 y 0 x y 0 0,5 Vậy x x 1 y HS đưa biên luận theo tích số nguyên liên tiếp SCP Bài 5: (3,5 điểm) Phần Nội dung đáp án Vẽ hình ghi đầy đủ GT-KL Điểm 0,5đ a) 1đ +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có cạnh lại có A =900 nên ABMD hình vng +/ BMD có BM đường trung tuyến ứng với cạnh DC BM = DC BMD vuông B 0,5 0,25 lại có BDM = 450 BMD vuông cân B 0,25 0,5đ 0,25 0,25 0,5đ 0,25 0,25 1đ 0,25 b) Tứ giác DMPQ có PQ // DM PQ = DM tứ giác DMPQ hình bình hành c) Chứng minh Q trực tâm tam giác ADP AQ DP d) Chứng minh ABC = AMC (c.c.c) S ABC S AMC 1 SAMC AD.MC AD 2 mà Lại có S ABCD S ABMD S BCM AD 0,25 AD AD 2 0,25 S ABCD S ABC AD 2 6 S ABCD 6 S ABC AD 0,25 Bài (1 điểm Ý a) b) Nội dung đáp án x y 2 y x Chứng minh với x,y dấu x y t y x Đặt Điểm 0,5 đ 0,25 Đưa t – 3t + = (t-2) (t-1) + Với x, y khác dấu t < => t-2 t-1 số âm (t-2) (t-1) > => (t-2)(t-1) + > Với x, y dấu t ≥ 2; => t-2 ≥ 0; t-1 >0 (t-2)(t-1) ≥ (t-2) (t-1) + ≥ (t-2) ( t-1) đạt giá trị nhỏ t = hay x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức x = y P x y x2 y 3 y x y x 0,25 Chú ý : Các cách giải khác cho điểm tối đa ...PHÒNG GD & ĐT LƯƠNG TÀI TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn- Lớp Bài (2,0 điểm) a) P P P (2,0) x x 1 ( x 1)( x 1) x x2 :