Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính bỏ túi.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..[r]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (Đề thi có 01 trang, gồm có 06 câu) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/3/2012 Câu (4,0 điểm) Tìm hai số x, y nguyên thỏa mãn: x − xy = 7x − 2y − 15 Câu (3,0 điểm) Giải hệ phương trình: Câu (5,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD) Trên đáy lớn AB lấy điểm M không trùng với đỉnh Qua M kẻ đường thẳng song song với AC BD, đường thẳng cắt hai cạnh BC AD E F Đoạn EF cắt AC BD I J Gọi H trung điểm IJ a Chứng minh rằng: FH = HE b Cho AB = 2CD Chứng minh rằng: EJ = JI = IF Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O dây cung AB (O AB) Các tiếp tuyến A B đường tròn cắt C Kẻ dây cung CD đường trịn đường kính OC (D khác A B) Dây cung CD cắt cung AB đường tròn (O) E (E nằm C D) a Chứng minh: = b Chứng minh: DE = DA.DB Câu (2,0 điểm) Cho S = + +…+ +…+ , (kN, 1≤ k ≤ 2012) So sánh S Câu (3,0 điểm) Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn xyz = Chứng minh + + ≥ Hết - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính bỏ túi Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………… Chữ kí giám thị số 1:………………… Số báo danh:………………………… Chữ kí giám thị số 2:………………… HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN Câu * Cách 1: Ta có: x − xy = 7x − 2y − 15 xy − 2y = x − 7x + 15 y(x − 2) = x − 7x + 15 y = = = + Vì x, y Z Z x − Ư(5) - Nếu x − = x = y = 3−5 + = - Nếu x − = -1 x = y = 1−5+ = -9 - Nếu x − = x = y = 7−5+ = - Nếu x − = -5 x = -3 y = -3−5+ = -9 Vậy cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình (x ; y) = (3 ; 3) , (-1 ; -9) , (7 ; 3) , (-3 ; -9) * Cách 2:Ta thấy phương trình cho tương đương: ⇔ x − xy − 7x + 2y + 15 = (2y − xy) − (2x − x) + (10 − 5x) = -5 ⇔ (2 − x)(y − x + 5) = -5 y(2 − x) − x(2 − x) + 5(2 − x) = -5 (x − 2)(y − x + 5) = Vì x, y số nguyên nên x − y − x + số nguyên x − y − x + ước Xét trường hợp ta (x ; y) = (3 ; 3) , (-1 ; -9) , (7 ; 3) , (-3 ; -9) Câu 2.Ta có: (x + y)1+ = x + + y + = + = Đặt = a , = b (a, b ≥ 2)Hệ phương trình cho tương đương: Từ suy ab = Áp dụng hệ thức Viet ta có a, b nghiệm phương trình: X − 6X + = Phương trình có nghiệm X = X = Do a = b = (t/m a, b > 2) Từ rút = = Quy phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm ta thu được: (x ; y) = ; , ; , ; , ; Câu D C O F E I H J N P A M a) Gọi giao điểm MF AC N; ME BD P; AC BD O Theo hệ định lí Ta-lét ta có:MF // BD = = = (1) ME // AC = = = (2) Mà AB // CD = = (3) Do đó: = NP // EF (định lí Ta-lét đảo) Các tứ giác NPEI NPIF hình bình hành cho ta NP = IE NP = FJ IE = FJ FJ − JH = IE − IH FH = HE (đccm) b) Từ CD // AB = mà AB = 2CD nên = = (4) Kết hợp (2) (4) ta suy = = = IE = FJ = NP = EF Từ ta có EJ = JI = IF = EF Câu D O A B E C a) Ta có: = + = sđ + sđ góc ngồi BEC nên = + = sđ + sđ Từ ta có = b) Ta có: = sđ ( = sđ ) , = sđ ( = sđ ) Mà AC = BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) = = ADE ∽ EDB (g.g) = DE = DA.DB Câu 5.S = + + … + + … + (gồm 2012 hạng tử) Các hạng tử S có dạng Xét = > = (bất đẳng thức Cô-si) Dấu “=” xảy k = 2012 − k + k = N Do > Suy S > 2012 ∙ = Câu 6.Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: + > = ∙ = x (1) B Tương tự + > y (2) , + > z (3) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta + + + + + >x+y+z + + > (4) Mặt khác, theo bất đẳng thức Cơ-si ta có:x + y + z > = = Từ (4) (5) suy + + > = Dấu “=” xảy x = y = z = (5)