b Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.[r]
DẠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI+HỆ THỨC VI-ÉT A- TĨM TẮT LÍ THUYẾT: = b2 - 4ac I-Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a 0) -b - -b + 2a 2a * Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = -b * Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a * Nếu < phương trình vơ nghiệm II-Chú ý : Trong trường hợp hệ số b số chẵn giải phương trình cơng thức nghiêm thu gọn ' = b'2 - ac -b' - ' -b' + ' a a * Nếu ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = -b' * Nếu ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a * Nếu ' < phương trình vơ nghiệm III- Hệ thức Vi - Et ứng dụng : b x1 x a x x c 2 a Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình ax bx c 0(a 0) : 2 Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x Sx P 0 (Điều kiện để có u v S 4P 0 ) Nếu a + b + c = phương trình ax bx c 0(a 0) có hai nghiệm : x1 1; x c a c x1 1; x ax bx c 0(a 0) a Nếu a - b + c = phương trình có hai nghiệm : IV: Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a 0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm) Vơ nghiệm < Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > Hai nghiệm dấu P > Hai nghiệm trái dấu > P < a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0) 0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) 0; S < P > Hai nghiệm đối S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo P = 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S > Tính giá trị biểu thức nghiệm Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức 2 2 x1 x2 ( x1 x1 x2 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 x14 x24 ( x12 )2 ( x22 )2 x12 x22 x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 x12 x22 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 x1 x2 =…….) 3 x1 x2 x x1 x2 x x1 x2 x1 x2 x1 x2 x x (= =…… ) 2 2 4 x x2 x1 x2 =…… ) x1 x2 (= 6 ( x )3 ( x22 )3 x12 x22 x14 x12 x22 x24 x1 x2 (= = …… ) Dạng 5: Tìm giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung Tổng quát: Giả sử x0 nghiệm chung hai phương trình Thay x = x0 vào phương trình ta hệ với ẩn tham số Giải hệ tìm tham số m Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không? 2 2 Bài Cho hai phương trình: x x m 0 x mx 0 Xác định m để hai phương trình có nghiệm chung ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung x = ) Giải: Giả sử x0 nghiệm chung phương trình ta có Bài Xác định m để phương trình sau có nghiệm chung x mx 0 x x m 0 ( Đáp số: m = - nghiệm chung x = 1) B- BÀI TẬP I-CÁC BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài Giải phương trình sau : a / 2x 0 e / x 3x 2x 0 b / 3x 5x 0 c / 2x 3x 0 d / x 3x 0 f/ x 2 3 x 2 x Bài 2: Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x x 15 0 Không giải phương trình, tính 2 x x 1 x x2 x1 x2 x x1 x x 2 1 x x 72 x 64 b) Cho phương trình : Khơng giải phương trình, tính: 1 x2 1 c) Cho phương trình : x 14 x 29 0 Khơng giải phương trình, tính: x1 x2 , 2 x1 x2 2 x1 x2 d) Cho phương trình : x x 0 Khơng giải phương trình, tính: 1 x 1 x2 x1 x2 x x2 e) Cho phương trình Q 2 x x x1 x x2 x1 x x 0 có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính x12 10 x1 x2 x22 x1 x23 x13 x2 Bài 3: Cho phương trình x 2mx m 0 (x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình 24 2 Tìm m để biểu thức M = x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m tham số 1) Giải phương trình m = x1 x2 2) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác thỏa điều kiện x2 x1 Bài (1,5 đ) Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 1) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m x x 22 2) Tìm giá trị m để biểu thức A = đạt giá trị nhỏ 2 Bài 4) Cho phương trình: x – (4m – 1)x + 3m – 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, 2 x thỏa mãn điều kiện : x1 x 7 Câu (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + = Giải phơng trình m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Câu 6: (1,5 điểm) x x m 0 * Cho phương trình (ẩn số x): Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2 x1 Câu 7: điểm: Cho phơng trình: x2 2(m-1)x + m2 – =0 ( m lµ tham số) a) GiảI phơng trình m = 2 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 tháa m·n x1 x2 16 Câu 8:(1,5 điểm) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x −5 x − 3=0 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: a, x1 + x2 b, c, x 21+ x 22 x1 + x2 Câu (2đ) Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Câu I0: (1,5 điểm) Giải phương trình x – 7x – = Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x 1; x2 thỏa mãn điều kiện Câu 11 (1,5 điểm) x13 x x1x 32 Cho phương trình x 2(m 1)x m 0 , với x ẩn số, m R a Giải phương trình cho m – b Giả sử phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 x Tìm hệ thức liên hệ x1 x mà không phụ thuộc vào m II-CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 14: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d)Tìm hệ thức hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài tập 15: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt f) Khi phương trình có nghiệm x = -1 tìm giá trị m tìm nghiệm cịn lại Bài tập 16:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn: x12 + x22 = e) Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x22 Bài tập 17: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm d) Tìm hệ thức liên hệ x1và x2 khơng phụ thuộc m Bài tập 18: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - = a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào a c) Tìm giá trị nhỏ nhật biểu thức A = x12 + x22 Bài tập 19: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 x2 - x12 - x22 Bài tập 20: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2 Bài tập 21: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1 d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài tập 22: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện ¿ x 21+ x 22=1 ¿ Bài tập 23:Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phương trình có nghiệm x 1, x2 phân biệt thoả mãn 1 x1 + x2 + = x1 x2 Bài tập 24:Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số) a) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = b) Tìm hệ thức x1; x2 mà khơng phụ thuộc vào m Bài tập 25: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 Bài tập 26: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = d) Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m Bài tập 27: a) Với giá trị m hai phương trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + = (1) x2 - (m + 2)x + m + = (2) b) Tìm giá trị m để nghiệm phương trình (1) nghiệm phương trình (2) ngược lại Bài tập 28: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – = Tìm m để x 21+ x 22 có giá trị nhỏ Bài tập 29: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Bài tập 30: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + = Tìm m để ¿ x + x 22 có giá trị nhỏ ¿ Bài tập 31: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài tập 32: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) Tìm m cho nghiệm x 1; x2 ¿ 2 phương trình thoả mãn 10x1x2 + x 1+ x đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị ¿ III-CÁC BÀI TẬP ĐÃ THI Câu I2 (2,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – = (*) Giải phương trình (*) với a = Chứng minh phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với giá trị a Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (*) Tìm giá trị a để biểu thức: 2 N= x1 ( x1 2)( x2 2) x2 có giá trị nhỏ Câu 13 (4,0 điểm) Cho phương trình x2 – 3x + m – = (m tham số) (1) a) Giải phương trính (1) m = b) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép c) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 độ dài cạnh hình chữ nhật có diện tích (đơn vị diện tích) Câu14 (2,0 điểm) Cho phương trình: x 2(m 1) x 2m 0 (1) (với ẩn x ) 1) Giải phương trình (1) m =1 2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m 3) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Tìm giá trị m để x1 ; x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh huyền 12 Câu 15 (3,0 điểm): 2 Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = (1), m tham số a) Chứng minh với m phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt: 2 b) Gọi x , x hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x1 + x 20 2 Cho hàm số: y = mx + (1), m tham số a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A (1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến R? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + = Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình x m 1 x m 0 (với m tham số ) a) Giải phương trình cho m b) Chứng tỏ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m x12 x 22 3x1x 0 c) Tìm m để phương trình cho có nghiệm x1, x2 thõa mãn hệ thức :