2 Do EK là đường phân giác của góc nên K là điểm chính giữa của cung AB suy ra Mà OK = OE nên cân tại O 3 Mặt khác: I là giao điểm của đường trung trực EF và OE nên IF = IE vậy tại... su[r]
Đề khO ST Học sinh giỏi Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài I ( điểm ): 1) Cho phng trình x 16 x 32 0 ( với x R ) Chứng minh x nghiệm phương trình cho 2) Cho a, b R tháa m·n: ( a+ √ a2 +3 )( b+ √ b2+ ) =3 Tính a+ b Bài II( 1,5 điểm ): 1) Giải phương trình: x x (2 x ) x ¿ x xy=1 2) Cho hệ phơng trình: x +4 xy − y 2=m ¿{ ¿ (1) (víi x, y ẩn số) a) Giải hệ phơng tr×nh (1) víi m = b) T×m m cho hệ (1) có nghiệm Bài III ( điểm ): 1) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC Giả sử phơng trình: (x- a)(x- b) + (x- b)x- c) + (x- c)(x- a) = có nghiệm kép Tính số đo góc tam giác ABC 2) Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc abc=n2 cho cba=( n −2 )2 ¿{ ¿ Bµi IV ( ®iĨm ): 1) Chứng minh rằng: 2) Cho biÓu thøc: 1 1 88 + + + .+ < √2 √ 2012 √ 2011 45 ¿ P=x √ − x + ( − x ) √ 2+ x Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn nhÊt cđa P 0≤ x ≤ Bµi V ( 2,5 điểm ): Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R E điểm nằm đờng tròn (E khác A B) Đờng phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai K a) Chứng minh KAF đồng dạng KEA b) Gọi I giao điểm đờng trung trực đoạn EF với OE Chứng minh đờng tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đờng tròn (O) E tiếp xúc với đờng thẳng AB F c) Chứng minh MN // AB , M N lần lợt giao điểm thứ hai AE , BE với đờng tròn (I) d) Tính giá trị nhỏ nhÊt chu vi cña KPQ theo R E di chuyển đờng tròn (O), với P giao điểm NE AK, Q giao điểm MF vµ BK HÕt Họ tên thí sinh: .Sè b¸o danh: Bà i I HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điểm 2 Phương trình cho : x 16 x 32 0 ( với x R ) ó ( x 8) 32 0 (1) Với x ó x 0,25 0,25 => x 8 2 Thế x vào vế phải (1) ta có: ( x 8) 32 (8 2 8) 32 4(2 3) 12(2 3)0,25 32 = 24 12 32 0 ( vế phải vế trái) Vậy x nghiệm phương trình cho ( đpcm) 0,25 tõ a a2 b b2 3 a2 a2 b b2 3 3 a a a2 b b2 3 2 a a b b 3 vËy a a2 b b2 3 a2 b b2 0,5 2 2 ab + a b + + b a + + a + b + = 2 2 ab - a b + - b a + + a + b + = 2a b2 + + 2b a + = 0,25 a b2 + + b a + = v × a + > 0, b2 + > nª n a = b = a+b=0 Đặt x=t ; √ x=v §K v, t ≥ t +2 v =(2+ v) t (t − v )(t −2)=0 t=v hc t=2 NÕu t= th× √ 7− x=2 x = (TM) NÕu t = v th× √ 7− x=√ x x = 3,5 0,25 0,25 0,25 2 x xy 1 2 4 x xy y m +) xÐt x = kh«ng tháa m·n hệ phơng trình +) xét x khác Ta có: II x2 y x 2 x xy 1 2 4 x xy y m 4 x x x x x2 y x 2x2 8 x mx 0 m x a) Khi m = 7, ta cã: x2 y x x2 y x 1 x 8 x x 0 x2 III 0,25 x2 y x x 1 x x 1 y 1 x y 0,5 KL b) Hệ pt đà cho có nghiệm pt x mx 0 (2) cã nghiệm x khác Đặt x2 = t Ta có pt: 8t2 – mt – = Pt nµy có ac = -8 < nên có hai nghiệm trái dấu Do pt có nghiệm t > Suy pt (2) lu«n cã nghiƯm x khác Vậy với giá trị m hệ PT (1) có nghiệm 0,25 x a x b x b x c x c x a 0 Ta cã: 3x a b c x ab ac bc 0 0,25 PT cã 0,25 ' a b c 3(ab ac bc) 2 a b c ab ac bc a b b c c a PT cã nghiƯm kÐp nªn ' a b c Do tam giác đà cho tam giác Vậy góc tam giác có số đo 600 0,25 0,25 Ta cã : 100 abc 999 nªn 100 n 999 11 n 31 0,25 abc n cba abc 5 4n 99c 99a 5 4n 99 c a 5 4n cba n 4n 99 Mặt khác 11 n 31 119 4n 39 Do ®ã 5-4n=-99 Suy n=26 0,5 0,25 Vậy số cần tìm 675 Bđt k 1 k (k 1) k k k 0,5 2k k(k 1) ( k 1 k )2 Luôn với k nguyên dương 1 2( ) (k 1) k k k 1 Áp dụng kết câu a ta có: 0,25 VT 2010 2009 2 2 2 3 2009 88 21 VP 45 45 (đpcm) IV 2 2010 2010 0,25 Ta cã : P x x x x P x x x 18 x x x x 18 x x 3 x x x x 2 x 2x x x x x x x x x x 1 18 Víi x 3 ,ta cã x 0;3 x 0 ¸p dơng BĐT Cô si ta có : 0,25 x 3 x x x 2 x x 5 x x 0,25 x x 7 x x 1 18 63 (1) Mặt khác : x x x x x x 0,25 2 10 x x 2 10 x x x x 1 18 18(2) Tõ (1) vµ (2) suy 18 P 63 14 P mà P >0 nên x 0 ) P 3 x 3 ) P KL V 14 x 1,5 1) Xét hai Góc chung (1) 0,25 có: 0,75 ( góc nội tiếp ) (2) Từ (1) (2) suy ra: (g.g) 2) Do EK đường phân giác góc nên K điểm cung AB suy Mà OK = OE nên cân O (3) Mặt khác: I giao điểm đường trung trực EF OE nên IF = IE cân (4) Từ (3) (4) suy Vậy IF // OK ( Do ) Vậy đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với AB +) Ta có: E, I, O thẳng hàng OI = OE – IE = R – IE nên đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với (O; R) 0,25 0,25 0,25 AE cắt (I) M, BE cắt (I) N Mà suy MN đường kính đường trịn ( I ) nên MN qua I 0,5 Hơn EF phân giác góc Theo chứng minh tương tự câu a ta suy Vậy MN // AB Theo đề ta có NF cắt AK P, MF cắt BK Q Suy ( hai góc đối đỉnh) Mà góc ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( O ) ) Vậy tứ giác PKQF tứ giác nội tiếp đường trịn Suy Mà ( chắn cung KQ ) ( đối đỉnh) Mặt khác Hơn Suy ( chắn cung ME MN // AB ) ( chắn cung AE ) Vậy Mặt khác: Suy AP = PF = KQ Suy ra: PK + KQ = AK Mà vuông cân K Vậy chu vi tam giác KPQ là: Vậy (chắn cung FQ) suy PKQF hình chữ nhật vuông cân P ( PQ = KF) trùng với O hay E điểm cung AB 0,5 ... 100 abc ? ?99 9 nªn 100 n ? ?99 9 11 n 31 0,25 abc n cba abc 5 4n 99 c 99 a 5 4n 99 c a 5 4n cba n 4n 99 Mặt khác 11 n 31 1 19 5 4n 39 Do ®ã... c a 5 4n cba n 4n 99 Mặt khác 11 n 31 1 19 5 4n 39 Do ®ã 5-4n= -99 Suy n=26 0,5 0,25 Vậy số cần tìm 675 Bđt k 1 k (k 1) k k k 0,5 2k k(k 1) ... (k 1) k k k 1 Áp dụng kết câu a ta có: 0,25 VT 2010 20 09 2 2 2 3 20 09 88 21 VP 45 45 (đpcm) IV 2 2010