Tài liệu Ôn tập dãy số pdf

Trường THPT chun Lương Văn Chánh Giáo viên : Văn Thế Huy Số hạng tổng quát của dãy số Chuyên đề1: p dụng sai phân để tìm số hạng tổng quát. 1. Đònh nghóa : Cho y = f(x) xác đònh trên tập X , h > 0 hằng số . Gia số       xfhxfxf  gọi là sai phân cấp 1 của f(x) tại điểm x .           xfhxfxfxf 2   được gọi là sai phân cấp2 của f(x) tại x Tương tự,   f 1kk   được gọi là sai phân cấp k của f tại x. * Đònh nghóa : Phương trình sai phân la mộtø hệ thức giữa sai phân các cấp :   0yyyyF k2 , , ,,,  (1) ( y được xem là sai phân cấp 0 )  Chú ý : (1) có thể viết : y n+k = a n+k-1 + a 2 y n+k-2 + … + a k y n + f(n) Nếu f(n) = 0 thì (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất Nếu f(n) 0 thì (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất . 2. Tính chất : T/c1: Nếu '' n xvà ' n x đều là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất : y n+k = a 1 y n+k-1 + …+ a k y n (2) Thì constxx nn  ,, ''' cũng là nghiệm của phương trình (2). * Bây giờ ta xét phương trình (2) với các hệ số hằng a 1 , a 2 ,…, a k . Khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất (2) được tìm dưới dạng y n = n c   số là hằng c0,c0,  . Thay biểu y n = n c vào (2) và sau khi ước lược cho n c , ta được phương trình k 2k 2 1k 1 k aaa   (3) Phương trình (3) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (2) . Nghiệm của phương trình (1) và (2) phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng (3). T/c2: Nếu phương trình đặc trưng (3) có k nghiệm thực phân biệt k21  , ,, thì y n kk n 22 n 11n ccc  , là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (2). T/c3: Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm thực  bội s thì thay cho s nghiệm ứng với các  đó ta lấy : (c 1 + c 2 n + c 3 n 2 + …+ c s n s-1 )  n trong đó các c 1 , c 2 , …, c s là các hằng số .Nghóa là nếu (3) có các nghiệm bội s và các nghiệm còn lại đều thực và đơn thì :   n kk n 1s1s n1s s 2 321n ccncncnccy    ' T/c4: Nếu ptđt (3) có nghiệm phức    sincos ir đơn thì    sincos ' bary n n T/c5: Nếu ptđt (3) có nghiệm phức    sincos ir bội s thì         sin cos , 1s s21 1s s21 n n nbnbbnanaary Trường THPT chun Lương Văn Chánh Giáo viên : Văn Thế Huy Đònh lý : Nếu ' n y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và y là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất thì nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất đó có dạng : ycyy ii  ' . Bảng một số dạng nghiệm riêng. f(n) Nghiệm  của PT đặc trưng Dạng nghiệm riêng + Nghiệm i  1 1   nQy mn  ' f(n) =   nP m + Nghiệm  = 1 bội s .   nQny m s n  ' + Nếu  không là nghiệm của ptđt n n cy  ' f(n) = n  + Nếu  là nghiệm bội s của ptđt ns n cny  ' + Nếu  không là nghiệm của ptđt   nQy n n  ' f(n) = P m (n)  n + Nếu  là nghiệm bội s của ptđt   n mn nnQy  ' + Nếu i e không là nghiệm của ptđt . ndncx n  sin.cos. * f(n) = a.cos n + . b. nsin + Nếu i e là nghiệm bội s của ptđt ndnncnx ss n  sincos * f(n) = p m (n) ncos + Nếu i e không là nghiệm    nnTx kn cos * +   nnQ l sin của ptđt     lmknnR k ,max;sin  + Nếu i e là nghiệm bội s    nnnTx kn cos * của ptđt     lmknnnR k ,max;sin  f(n) =    nnp m n  cos     nnTx k n n cos * +    nnQ l sin + Nếu   i e không là nghiệm      lmknnR k ,max;sin  của ptđt + Nếu   i e là nghiệm bội s     nnTnx k sn n cos * của ptđt      lmknnRn k s ,max;sin  3. Các ví dụ : Ví dụ 1: Dãy số (u n ) được xác đònh như sau : Trường THPT chun Lương Văn Chánh Giáo viên : Văn Thế Huy       n n1n2n 21 527u8u2u 45u9u . , (1) Hãy tìm u n . Giải: Trước hết tìm nghiệm tổng quát của pt sai phân thuần nhất: u n+2 +2u n+1 – 8u n = 0 (2) và có pt đặc trưng là : 082 2  hay    42042 21  , Nghiệm tổng quát pt (2) là : u n = c 1 2 n + c 2 (-4) n Ta gọi u * = a.5 n nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (1) . Khi đó ta có : a.5 n+2 + 2a.5 n+1 – 8a.5 n = 27.5 n 1a27a275275a85a105a25 nnnn  Theo đònh lý nghiệm tổng quát của ph (1) là : u n = c 1 2 n + c 2 (-4) n + 5 n Ứng với n = 1 , n =2 , ta được :      4525c16c4 95c4c2 21 21 hay c 1 = -3, c 2 = 2. Vậy u n = 5 n + 2(-4) n – 3.2 n . Ví dụ 2: Cho dãy (u n ) thoả mãn         Nn2u6uu 10u4u n1n2n 21 , , Chứng minh rằng : ( u n + 4 ) n với mọi số n là số nguyên tố : Giải : Đặt x n = u n + 3 , ta được : x 1 = -1 , x 2 = 13 , x n+2 = -x n+1 + 6x n Xét phương trình đặc trưng : 2306 21 2  , Ta được : x n =     Nn với n n 23 . . Trong đó 1 1394 132 13x 1x 2 1             Do đó x n = (-3) n + 2 n     Nn234u n n n , Với n là số nguyên tố       n) (mod (modn) modn 0132 22 33 n n n n          n4u n  . ( Ucbt). Ví dụ 3 : Cho dãy số (u n ) xác đònh như sau :       3.n 2n1n1n 321 u6u7u 18u14u0u ,, Chứng minh rằng nếu P là số nguyên tố thì Pu p  . Giải: Từ hệ thức u n+1 = 7u n-1 – 6u n-2 Ta có phương trình đặc trưng : x 3 – 7x + 6 = 0 có các nghiệm x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = -3 Nên ta có nghiệm tổng quát u n = a(1) n + b(2) n + c(-3) n (1). Trường THPT chun Lương Văn Chánh Giáo viên : Văn Thế Huy Từ giả thiết u 1 = 1 , u 2 =14 , u 3 = -18, thay vào (1) ta có hệ phương trình sau đây xác đònh a , b , c 1cba 18c27b8a 14c9b4a 0c3b2a          Vậy dãy số (u n ) được xác đònh như sau : u n = 1 + 2 n + (-3) n , n = 1 , 2 ,…, Vì p là số nguyên tố , nên theo đònh lý nhỏ Fecma , ta có :     p)(mod 3- hay p)(mod 3- p)(mod 2 hay) p(mod p 31 212 p1p 1p     Vậy suy ra u p = 1 + 2 p + (-3) p   p321  p u p)(mod 0  . Ví dụ 4 : Tìm dãy số (u n ) , biết rằng :       3n2n1nn 210 u2u5u4u 1u0uu , Giải : Phương trình đặc trưng của dãy có dạng : x 3 - 4x 2 + 5x – 2 =0 hay (x – 1) 2 (x – 2) = 0 . Từ đó x 1,2 = 1 bội 2 , x 3 = 2 Bởi vậy u n = c 1 + c 2 n + c 3 2 n khi n = 0 , 1 , 2 ta có hệ .11cc 0c4c2c 0c2cc 0cc 21 321 321 21          3 cvà Vậy u n = -1 – n + 2 n . Ví dụ 5 : Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất sau : x n+7 – x n+6 + x n+5 - x n+4 – x n+3 + x n+2 –x n+1 + x n = 0 Giải: Phương trình sai phân đã cho có ptđt là :      011101 2 2 2 1234567  (1) Phương trình (1) có nghiệm là : (kép) 2 cos-i ; (kép) 2 cosi ; (kép) 1 ; (đơn) 2 i 2 i 1          sin.sin. Do đó ta có :                   2 nncc 2 nncc11ncc1cy 7654 nn 32 n 1n sincos ,         2 nncc 2 nnccncc1cy 765432 n 1n     sincos ' Nếu ta biết 7 giá trò ban đầu thì ta sẽ tìm được c 1 , c 2 , …, c 7 bằng cách giải hệ phương trình gồm 7 phưong trình và 7 ẩn . Ví dụ 6: Giải phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất sau đây : Trường THPT chun Lương Văn Chánh Giáo viên : Văn Thế Huy                   3x 8 13 x 2 n22n 2 n1n22x4x 21 1nnn n2n , sincos (1) Giải : Phương trình (1) tương đương với                2 n2n 2 n1n22x4x n n2n sincos (2) Phương trình đặc trưng có dạng : 2  + 4 = 0 Do           2 i 2 2 sincos là nghiệm của phương trình đặc trưng. Theo bảng , nghiệm riêng có thể viết dưới dạng :               2 ndcn 2 nban2nx n n sincos " Thay " n x vào phương trình (2) ta được :                       2 2nd2nc22n 2 2nb2na22n 2n2n sin.cos 4n.2 n                       2 n2n 2 n1n22 2 ndcn2n4 2 nban nn sincossin.cos Khai triển và cân bằng hệ số ta được : 8 1 d 16 1 c 8 1 b 8 1 a  ;;; Do vậy :                       2 n 8 1 n 16 1 2 n 8 1 n 8 1 2nx n n sincos. * (*) Do Ptđt chỉ có hai nghiệm phức liên hợp , nên theo tính chất 5 ta có :           2 nb 2 na2x n n sincos " (**) Do *" nnn xxx  nên từ (*) và (**) ta có :                                 2 n 8 1 n 16 1 2 n 8 1 n 2 1 2n 2 nb 2 na2x nn n sincos.sincos (***) Do 3x 8 13 x 21  , nên thay vào (***) ta được a = b = 1 suy ra x n . Bài tập : Tìm số hạng tổng quát của các dãy sau . 1. u 1 = 1, u n+1 = u n +2n 2 . 2. u o = 0 ; u 1 = 5 ; u n-2 = 2u n-1 – u n + 6n + 4. 3. u 0 = 0 ; u 1 = 5 ; u n-2 = 3u n-1 – 2u n + 4.3 n . 4. u 0 = -1 ; u 1 = 2 ; u n-2 = 5u n-1 –6u n + (8n + 11).2 n-1 Trường THPT chun Lương Văn Chánh Giáo viên : Văn Thế Huy 5. u 0 = 1 ; u 1 = 0 ; u n-2 = 2u n+1 – u n + sin n 2  . Chuyên đề 2 : Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát Vấn đề1 : Dãy qui nạp tuyến tính bậc nhất . Bài toán dạng a.u n+1 + b.u n = f(n) , trong đó f(n) là hàm theo n Bài toán 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy R c b, , a        cu bauu nn 1 1 Ví dụ 1: Cho dãy (u n ) xác đònh bởi       R c , b , a , cu bauu nn 1 1 Tìm số hạng tổng quát của dãy. Giải : Xét a = 1 . Ta có       cu buu 1 n1n là cấp số cộng d = b Vậy u n = c + (n –1)b Xét 1a  . Ta có thể đưa dãy về CSN công sai a Thật vậy , đặt v n = u n + h ( h hằng số ) Và v n+1 = av n   bahbauhuhuahu n1nn1n   1a b h     1a  Ta có v 1 = c + h = 1a b c   1n n a 1a b cv          Vậy 1a b a 1a b cu 1n n            Chú ý a = 0 thì u n = b Trường THPT chun Lương Văn Chánh Giáo viên : Văn Thế Huy Ví dụ 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy :            0 c , R c , ba, với , c 1 u abu u u 1 n n 1n Giải : Ta có nn n 1nn n 1n u 1 ab u abu u 1 abu u u        Đặt n n u 1 v  . Dãy đã cho đưa về dạng       cv bavv 1 n1n Xét a = 1 . Ta có v n = c + (n -1) b   b1nc 1 u n   Xét a 1a b a 1a b c1 1n            n v có Ta . ( theo ví dụ 1) Vậy 1a b a 1a b c 1 u 1n n             Ví dụ 3 . Tìm u n của dãy sau :       0 , với 1 a n1n u uu Giải. Ta có u n+1 = a n u Lấy logarit cơ số e cả hai vế ta được lnu n+1 = alnu n + ln Đặt v n = lnu n , b =  lnln 1 lnuc , Dãy đã cho trở thành       cv bavv 1 n1n Xét a =1 . Ta có : v n = c + (n – 1)b = ln    ln1n Suy ra     lnln 1n v n eeu n Xét 1a  . Ta có v n = 1a b a 1a b c 1n            1a a 1a v n 1n n 1n n eeu 1a a 1a v                            lnln ln lnln ln Bài toán 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy         bu nfauu 1 n1n Với f(n) là đa thức theo n . *Phương pháp : Ta có thể đưa về bài toán 1 bằng cách đặt v n = u n + g(n) trong đó v n+1 = av n và g(n) là đa thức thoả : Nếu a = 1 thì g(n) = n g ’ (n) trong g ’ (n) đa thức cùng bậc f(n). Nếu a 1 thì g(n) cùng bậc với f(n) . Bằng cách đồng nhất thức suy ra g(n). Trường THPT chun Lương Văn Chánh Giáo viên : Văn Thế Huy Ví dụ 1. Tìm số hạng tổng quát u n biết       2u n2uu 1 n1n Giải. Ta có a = 1 , nên ta chọn g(n) = n(bn + c) Đặt v n = u n + g(n) và thoả v n+1 = av n ( a = 1) Từ đó suy ra u n+1 + g(n+1) = u n + g(n)     n2ngn2u1ngu n1n                     1c 1b n2cbnnc1nb1nn2ng1ng do đó g(n) = -n(n – 1). Ta có v n+1 = v n suy ra v n = C ( hằng số) Suy ra u n = C - g(n) = C + n(n – 1) . Từ u 1 = 2 suy ra C = 2. Vậy u n = n 2 – n + 2 . Ví dụ 2. Tìm số hạng tổng quát u n biết       5u 1nu3u 1 2 n1n Giải . Ta có A = 3 , nên ta chọn g(n) = an 2 + bn + c. Đặt v n = u n + g(n) và thoả v n+1 = 3v n. Tương tự như ví dụ 1 , đồng nhất thức suy ra        1c 2 1 ba Nên   1n 2 1 n 2 1 ng 2  . Từ đó suy ra u n Vậy .1n 2 1 n 2 1 3u 21n n   Ví dụ 3. Tìm số hạng tổng quát của dãy biết :          0a , 5 1 3 n 1n 1n au uau 2 . Giải . Ta có 3 n 1n 1n uau 2    Lấy logarit cơ số a hai vế ta được 1nu3u 2 na1na   loglog log a u 1 = 5 Đặt v n = log a u n suy ra v n+1 = 3v n + n 2 +1, v 1 = 5 Theo ví dụ hai ta được v n = 3 n-1 + 1n 2 1 n 2 1 2  Vậy u n = 1n 2 1 n 2 1 3 21n a   . Bài toán 3 Tìm số hạng tổng quát của dãy       R b, a , bu auu 1 n n1n Phương pháp : Ta có thể đưa bài toán về dạng bài toán 1 bằng cách : Đặt v n = u n + g(n) với v n+1 = av n , đồng thời g(n) thoả : Nếu   n Aa  .ng thì Nếu a =   n An  ng thì Trường THPT chun Lương Văn Chánh Giáo viên : Văn Thế Huy Thế vào biểu thức (v n ) rồi đồng nhất thức hệ số , suy ra g(n) . Từ đó ta có u n . Ví dụ 1 Cho dãy (u n ) được xác đònh như sau :         0) a ( , au uau 1 3 n 2 1n n . Tìm số hạng tổng quát u n của dãy . Giải . Ta có 3 n 2 1n uau n .  Lấy logarit cơ số a hai vế ta được log a u n+1 = 3log a u n + 2 n (1) Nếu đặt v n = log a u n ta sẽ được :       1v 2v3v 1 n n1n Đặt w n = v n + A.2 n .Thế vào w n+1 = 3w n ta được A = 1 W n = b 3 n-1 suy ra v n = b.3 n-1 – 2 n mà v 1 = b – 2 = 1 nên b = 3 Tức là v n = 3 n – 2 n . Vì v n = log a u n nên n v n au  Vậy nn 23 n au   . Ví dụ 2. Cho dãy (u n ) đựơc xác đònh như sau :         3 11 u 43u4u 1 n n1n . Tìm số hạng tổng quát của dãy . Giải . Ta thấy a = .4 Nên ta đặt g(n) = A.n.4 n Đặt v n+1 = u n + g(n) với v n+1 = 4.v n Do đó ta có : u n+1 + g(n+1) = 4 (u n + g(n) )     n 4n 4 3 4 3 A3An41nA4 . ng nên Từ v n+1 = 4v n n4 4 3 4u4v n1n n 1n n   (1) Do u 1 = n1n 4n 4 3 4 3 2 3 2 3 11 3   n u (1)Từ . Ví dụ 3. Tìm số hạng tổng quát u n của dãy xác đònh bởi :       4u 3uu 1 n n1n Giải . Từ n n1n n n1n 3uu3uu   Do đó   3 2 13 u1 2 13 3uu n n n 1n 1i i 1n 1i i1i            Vậy 2 53 u n n   Bài tập. 1) Tìm số hạng tổng quát u n của dãy        R b, a , bu auu 1 n n1n Trường THPT chun Lương Văn Chánh Giáo viên : Văn Thế Huy 2) Cho dãy (u n ) được xác đònh như sau :         bu nfauu 1 n 1n1n . Tìm số hạng tổng quát của dãy . 3) Tìm số hạng tổng quát u n của dãy           cu 1u u u 1 n n 1n 4) Tìm số hạng tổng quát của dãy        0au uu 1 n1n 5) Tìm số hạng tổng quát của dãy        0 b, a . bu nuu 1 n1n 6) Tìm số hạng tổng quát của dãy       0 b, a . bu auu 1 n n1n sin Vấn đề 2 : Một số bài toán về phương trình dãy với cặp chỉ số tự do Khi gặp phương trình dãy với cặp chỉ số tự do với các thay thế chỉ số ta đưa về phương trình sai phân quen biết . Việc thay thế này có thể đưa về phương trình dãy không tương đương . Do đó khi giải xong đáp số cần phải thử lại trong một trường hợp. Ví dụ 1. Xác đònh số hạng tổng quát của dãy (x n ) thoả mãn :       (1) nm, nmxxx ax nmnm 1 . Giải : Từ Pt (1) , ta suy ra : x n+1 = x 1 + x n +n hay x n-1 – x n = a + n (2) đây là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1 ; phương trình đặc trưng có nghiệm 1 (đơn) Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng là :   dbnnc1cx n n  * n xvà . ' Thay * n x ở đây vào (2) ta được        2 1 an 2 1 x n * (3) Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của (1) là : *' nnn xxx  0cc 2 1 a 2 1 1aac 2 1 a 2 1 nx n                1 x do Thay c = 0 vào (3) ta được :          a1n 2 1 nx n Thử lại ta thấy kết quả này thoả mãn điều kiện ban đầu . [...]... Lương Văn Chánh Bài tập : 1 2 3 4 5 6 7 Xác đònh số hạng tổng quát của dãy (xn) nếu biết : x n m  x n x m m,n  N  x 1   Đs : xn =  n Xác số không âm x0 , x1 , x2 , … thoả mãn 1 x mn  x mn  x 2m  x 2n  2 m , n mà  n Tính x 2004 b iếta1  1 m Đs : xn = n2 Xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (xn) nếu biết x x nm  n , đ/k : x n  0, n xm Đs : xn= (-1)n Tìm dãy số (xn) sao cho : x... dãy Để xác đònh số hạng tổng quát của dãy số ta thường đưa phương trình của dãy về phương trình sai phân đã biết cách giải hoặc đưa đến nhưng phương trình dãy dễ giải hơn bằng cách đặc dãy số phụ còn gọi là phương pháp đổi dãy Để tìm những cách đặc dãy số phụ ta thường nghòch đảo , logarit hoá , mũ hoá, ….các biểu thức ban đầu Sau đây là một vài ví dụ và bài tập minh hoạ Ví dụ 1: Hãy tìm tất cả các... : x 12  ) nhưng do u1 = 2 là số hữu tỷ nên từ cách 2 2  un xác đònh : u n 1  ta suy ra mọi số hạng của dãy là số hữu tỷ Vậy đi 1  2u n đến đều vô lý Như thế giả thiết phản chứng là sai  u n  0 n (ĐPCM) b) - Ta chứng minh một điều mạnh hơn , không dãy số đã cho không tuần hoàn mà nó chỉ nhận giá trò nào đó đúng một lần Thật vậy giả sử tồn tại hai số hạng của dãy cùng nhận một giá trò điều... 60  Hãy xác đònh số hạng tổng quát của xn 1 Chứng minh rằng số x 2n  8 có thể biểu diễn thành tổng bình 2 phương của 3 số nguyên tiếp n  1 Xác đònh dãy số (xn) nếu biết : x 0   , x 1   1  Đs : x n     1 n  * 2 x n  1  n  1  x t , n  N t 1  Xác đònh dãy số (xn) nếu biết : x 1   ,   R * n  n Đs : x n   xn * 2 n  N , x n 1   k k 1  Cho dãy số (xn) được xác đònh... sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng có phương trình đặc trưng là t 2    t  0 đã biết cách giải Do đó ra U n  U n 1  U n  2   U 2 U n  suy Bài tập : 1 Xác đònh dãy số (xn) nếu biết : các số x 1   , b  0 , a , b , c là hằng  2 2 (*) a x n 1  x n  c  x n1  bx n  ( Hd: đưa phương trình (*) về phương trình bxn = a(xn+1 + xn-1) ) Cho dãy số (xn) xác đònh bởi x 0  2  ... xác đònh dãy số (xn) Cho dãy số (xn) là dãy thực xác đònh bởi : x 1  x 2  x 3  1  1  x n 1 x n  2  (*) , n  N * x n  3  xn  Chứng minh rằng : n  N* , x n  N* ( Hd : Đưa pt (*) về dạng xn+4 = 4xn+2 – xn Vì (x1,x2,x3,x4)  Z 4 nên hệ thức trên chỉ ra rằng ( bằng qui nạp theo * * n) n  N , x n  Z , cuối cùng n  N , x n  N )  Vấn đề 4 : Phương pháp đổi dãy Để xác đònh số hạng tổng... (xn) sao cho : x 1   , x 2   mn  , N x  xmxn  2  m2 n  Xác đònh dãy số (xn) thoả mãn : 1 1  x 1   , x 2     x m n  2x m x n , m  n  N  2 xm  xn 2  Đs : xn =  2n  n1 Đs : xn = Xác đònh dãy số (xn) thoả mãn : x 1   , x 2    2 2 Đs : xn =  xm  xn mn , N x m  n  2 2  2 Xác đònh dãy số (xn) thoả mãn : 5  x 0  0, x 1  2  x m x n  x m  n  x m  n  Giáo... coth y 1  thxthy 1 1 coth 2 x  1  2 ; th 2 x  1  2 sh x ch x Ví dụ 1 a) Cho dãy số (un) được xác đònh như sau : 2  un u1 = 2 ; un+1 = , n = 1 , 2 , 3 ,… 1  2u n Chứng minh rằng u n  0 n b) Chứng minh rằng dãy đã cho không tuần hoàn Giải Đặt A = arctg2 ( tức là tgA = 2) Bằng qui nạp ta sẽ chứng minh rằng dãy số un = tg(nA) (1) Thật vậy khi n = 1, thì một hiển nhiên đúng ( vì theo giả thiết... x4 = x3 + x1 + 4 = 3a + 5 + a + 4 (2) x4 = x 2 + x2 + 4 = 2(2a + 2) + 4 = 4a + 8 (3) Do 4a + 9  4a  8 a nên từ (2) và (3) ta có x4  x 4 vô lý Vậy không tôn tại dãy (xn) thoả mãn điều kiện của bài toán Ví dụ 3: Xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (xn) nếu biết : x 1   , x 2   mn   N : m, n  N  x m  x n (1) với  x mn  2  2  2 Giải : Hiển nhiên ta có : x n  x n 1n 1 (2) 2... 6 Tìm số hạng tổng quát của dãy : u 1  a  0  2 a)  1  un  1 u n 1  un  u 1  a  0  2 b)  1  1  un u n 1  un  Giải a) Đặt u1 = a = tg 1 1 1  tg 2  1 cos   u2    tg tg tg 2  Qui nạp  u n  tg n 1 , n  1 2 1  1  th 2  b) Đặt u1 = a = th  u 2  th   Qui nạp ta được un = th n 1 2 1 ch  th  th  2 1 Bài Tập: 1) Tìm số hạng tổng quát của các dãy số u 1 . x 4 4 x vô lý . Vậy không tôn tại dãy (x n ) thoả mãn điều kiện của bài toán . Ví dụ 3: Xác đònh số hạng tổng quát của dãy số (x n ) nếu biết : . đưa đến nhưng phương trình dãy dễ giải hơn bằng cách đặc dãy số phụ còn gọi là phương pháp đổi dãy. Để tìm những cách đặc dãy số phụ ta thường nghòch đảo