Tài liệu Vài lời giải hay cho một bài toán đẹp pdf

hieuvghy@gmail.com http://mathisthinking.tk/ V y o I .Bài toán Đề bài: Cho ,, xyzR + ∈ và 1 xyz ++≤ .C/m: 222 222 111 82 Axyz xyz =+++++≥ (câu 5 đề thi đại học khối A năm 2003) Lý do chọn bài toán: • Có thể giải bởi hầu hết các BĐT quen thuộc tử cổ điển đến hiện đại. • Ẩn chứa nhiều điều khi tổng quát hóa. • Cần sử dụng các kĩ thuật hay như: điểm rơi, tách-nhóm-ghép-tạo, • Thể hiện rõ đặc tính của BĐT quen thuộc. Nhận xét: • Dấu bằng của BĐT xảy ra tại 1 3 xyz === • Gt là 1 xyz ++≤ nên xu hướng ta sẽ dùng BĐT cộng mẫu (xem mục IV) và tạo mẫu dạng ,(1), aaa xyzxyza++< II .Các li gii 1.AM-GM(côsi) Ta có: 2 22 82 222281281 828140 41 1111821 82 81818181.() 81 AMGM x xx xxxxx x − +=++++≥= C 1 : → 222 222 4141 82814040408281404040 4141 4141 11182111829 .(). 8181 Svac Axyz xyz xyzxyz − =+++++≥++≥ ++ Khi này ta đã bắt gặp dạng (1) aaa xyza ++< và sẽ xử lý như sau: 4040 41 41 41 1 40 11 3 41. 33 1 41. 3 x xxxxx + ++++≥→≤ → 41404040 41 41 414141 111 404040 333 111 41.41.41. 333 xyz xyz +++ ++≤++≤ Chắc các bạn đã ra ? C 2 : → 3 222222 3 3 222222 41 8281404040 41 41 11111182111 3.()()()3 81 AMGM Axyzxyz xyzxyz xyz − =+++++≥+++≥ Khi này ta đã bắt gặp dạng xyz và sẽ xử lý như sau: 3 1 13 27 xyzxyzxyz ≥++≥→≥ Chắc các bạn đã ra ? hieuvghy@gmail.com http://mathisthinking.tk/ B Cách gi i trên mang đậm tính AM-GM: ạ bậc ,điểm rơi ,tách. 2.B.C.S(Bunhiacopxki) Ta có 222 222 113193 ()(3)() 33823 BCS xx xx xxxx ++≥+→+≥+ → 222 222 1119333 () 82333 xyz Axyz xyzxyz =+++++≥+++++ Ta sẽ chỉ cần chú ý tới: 3331111 ()3() 3333 xyz Bxyz xyzxyz =+++++=+++++ Cũng gần giống như các cách giải với AM-GM. Ta có 2 lựa chọn: a/Mẫu xyz: 3 3 111111?? ()3().33.3? 33 AMGMAMGM xyzxyz xyzxyz xyz −− +++++≥+≥+ Chắc các bạn đã ra ? b/Mẫu xyz ++ .Đến đâu tiếp tục có 2 cách b 1 / 111119?? ()3()()3? 33 AMGM xyzxyz xyzxyzxyz − +++++≥+++≥+ ++++ Chắc các bạn đã ra ? b 2 / 111111180111?? ()3()()()()()? 332732732727 AMGM xyz xyz xyzxyzxyzxyz − +++++=++++++++≥+ ++ Chắc các bạn đã ra ? Bình: Vẻ đẹp đã phần nào lộ rõ: trái với AM-GM , BCS giúp tăng bậc 3.Mincopxki(pp tọa độ) Chọn 111 (,),(,),(,) axbycz xyz  .Ta có: abcabc ++≥++  ⇔ 22222 222 111111 ()() Axyzxyz xyzxyz =+++++≥+++++ Qua việc xử lý B của mục 2 chắc chúng ta cũng đã định hướng được cho mình cách giải: 222 22 11181?? ()()()? ()() xyzxyz xyzxyzxyz +++++≥+++≥+ ++++ Chắc các bạn đã ra ? Nếu tinh ý hơn 1 chút thì ta còn có 2222 111111 ()()(19)9() BCS xyzxyz xyzxyz   ++++++≥+++++    và dạng này y như B rồi. Chắc các bạn đã ra ? Bình: Bạn có thấy tuyệt diệu ? Hãy ghi nhớ Mincop khi có 22 + 4.Holder Dạng m=n=3: Với a,b,c,x,y,z là các số thực dương: 3333333333 ()()()(axm+byn+czp) abcxyzmnp++++++≥ 222222 3 222222 111111 3.()()() AMGM Axyzxyz xyzxyz − =+++++≥+++ Có: hieuvghy@gmail.com http://mathisthinking.tk/ 222222222 3 33 222222222222222 11111111111 ()()()()()() 22222288  +++=++++++≥++    = 222 3 3 222 222 3 1?? 2? 8 A − +≥+ ắ các bạn đã ra ? Bình: Lời giải này có vẻ hơi gượng ép nhưng hãy cứ ghi nhớ nó. III. M rng 1.Từ những gì đã có Sau khi thưởng thức 4 lời giải trên bạn có cảm nhận gì ? Nếu thấy nó rưa rứa như nhau thì ta hãy phân tích tính hiệu quả của các cách giải qua mở rộng nho nhỏ: • Thay đổi bậc: 3 → • Thay đổi tính đồng nhất 22 22 11 xx xy +→+ Ta sẽ có BĐT sau: 222 3 33 3 222 11182 3 9 Axyz yzx =+++++≥ Giờ ta quay lại thử Thay đổi bậc Thay đổi tính đồng nhất AM-GM không sao ch t ngay BCS ch bậc 2,4,16, thì đ c mặc bay Mincop ch t luôn không hề gì Holder vẫn hiên ngang vẫn hiên ngang **Holder nè : 222222 3 3 3 33 222222 111111 3()()() AMGM Axyzxyz yzxyzx − =+++++≥+++ 222222222 3 33 222222222222222 11111111111 ()()()()()() 22222288 xyzxyzxyz yzxyyzzxxxyzxyz  +++=++++++≥++    **Bạn nhìn vào bảng so sánh sẽ thấy nếu ”song ki m hợp bích” cho AM-GM & BCS thì thật tuyệt vời. Tính đồng nhất đã làm khó AM-GM khi xử lý từng căn mà ở đây Mincop cũng pó tay trong việc hợp căn. Do đó công việc hợp căn hoặc phá căn sẽ cần AM-GM & BCS cùng làm.Dựa vào lời bình ta thấy BCS giúp tăng bậc >< AM-GM: hạ bậc. Và thực tế thì BCS chỉ tăng lên bậc 2,4,16 còn AM-GM hạ từ cao xuống đâu cũng chơi. Để phá căn ta sẽ lên 4 xuống 3: 1.Lên 4 2 22 4 22 2 2 2 113 ()(3) 33 13.9 ()? 3.9 313.9 (9) 39 3.9 x x yx x x y x xx x x   ++≥+      →+≥+       ++≥+        hieuvghy@gmail.com http://mathisthinking.tk/ 2.Xuống 3 4443 4 3.93.93.9823.9 ()? 9 3.93.93.93.9 xxxx xxxx  ++++++≥+    Làm xong 2 quá trình trên là ta đã đưa được từ 2 3 2 1 x y + ra. Vấn đề cần giải quyết tại đây chỉ còn là 1111 ()3.9() 3.9 xyz xyz +++++ tôi xin dành cho bạn đọc. 2.Sử dụng hệ quả dạng trung bình nhân của AM-GM Với 123123 ,,, ,,,, 0 nn aaaabbbb > có 112233123123 ()()() () nnn nnnn ababababaaaabbbb ++++≥+ Sử dụng kết quả n=3 ta có : 22 22 33 3333 2222 2 3 111811181 ()(9)(9)()() 998181 1 (9) 9 xx xx yyyy +++≥+→+≥+ + → 222 222 333 33 33 33 222222 2 3 1111818181 () 818181 1 (9) 9 xyz Axyz yzxxyz =+++++≥+++++ + Chắc các bạn đã ra ? IV.  lc Phần này sẽ trình bày cho các bạn các BĐT được nói tới trong bài viết và một vài cách chứng minh 1.AM-GM(côsi) • Cho 123 ,,, 0 n aaaa ≥ có 123123 n nn aaaaaaaa ++++≥ • Dấu bằng xảy ra 123 n aaaa ⇔==== • CM với n=3. Có 4 3333 ()()22.4.3 abcabcabcabcabcabcabcabc +++≥+≥→++≥ →đpcm 2.B.C.S(Bunhiacopxki) • Cho 123123 ,,, ,,,, 0 nn aaaabbbb > có 2222222 12121122 ( )( )( ) nnnn aaabbbababab ++++++≥+++ • Dấu bằng xảy ra 12 12 n n a aa bbb ⇔=== 3.Mincopxki Thực ra BĐT này có rất nhiều dạng. Ở đây tôi chỉ lấy tới căn bậc 2 để cách chứng minh dễ dàng • Cho 123123 ,,, ,,,, nn aaaabbbb có 22222222 1212123123 ( )( ) nnnn aaabbbaaaabbbb +++++++≥+++++++++ • Dấu bằng xảy ra 12 12 n n a aa bbb ⇔=== • CM:tương tự như cách làm ở mục I hieuvghy@gmail.com http://mathisthinking.tk/ 4.Holder BĐT này rất mạnh nhưng ta hãy chỉ quan tâm tới m=n=3 • Với a,b,c,x,y,z là các số thực dương: 3333333333 ()()()(axm+byn+czp) ++++++≥ • Dấu bằng xảy ra  ==   ⇔   ==   • CM: Dùng AM-GM có: 333 333333333 333333333 3 3 ()()() ++≥ ++++++ ++++++ Làm tương tự cho (b,y,n) và (c,z,p) rồi cộng lại-khử-nhân chéo là được đpcm 5.Hệ quả dạng trung bình nhân của AM-GM • Với 123123 ,,, ,,,, 0 > có 112233123123 ()()() () ++++≥+ • Dấu bằng xảy ra 12 12 ⇔=== • CM: Có 123123 12 1122331122331122 12 112233123 1122 ()()() ()()()() () 1()()() () A − +≤+++ +++++++++++ +++=⇔++++≥+ +++ 123 → 6. BĐT cộng mẫu Đây chỉ là cách gọi quen thuộc của tôi cho BĐT S-vac: • Cho 123 ,,, và 123 ,,, 0 > có 22 22 1212 1212 ( ) +++ +++≥ +++ • Dấu bằng xảy ra 12 12 ⇔=== • CM: Dùng BCS có 222 2222 12 1212 12 ()() () ( )   ++++++≥+++→      • Hệ quả: 2 1212 111 +++≥ +++ với x i >0 V.  thúc Để tổng hợp lại bài viết tôi muốn đưa ra 1 vài lới khuyên khi học toán: • Hãy nhìn bài toán dưới nhiều góc độ • Hãy phân tích và đánh giá sức mạnh của từng cách giải • Phải tổng quát hóa hay mở rộng đề hiểu sâu hơn . .Bài toán Đề bài: Cho ,, xyzR + ∈ và 1 xyz ++≤ .C/m: 222 222 111 82 Axyz xyz =+++++≥ (câu 5 đề thi đại học khối A năm 2003) Lý do chọn bài toán: . lại bài viết tôi muốn đưa ra 1 vài lới khuyên khi học toán: • Hãy nhìn bài toán dưới nhiều góc độ • Hãy phân tích và đánh giá sức mạnh của từng cách giải