Tài liệu Thử sức trước kỳ thi đại học 2008-2009 - Môn Toán khối A & B docx

SỞ GD-ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA _____________________________________ THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI ĐH-CĐ NĂM 2008-2009 Đề thi môn : TOÁN . Khối : A - B Thời gian làm bài : 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I . (2,0 điểm ) Cho hàm số : 32 31yx x mx=+ + + ( m là tham số ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2. Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D và E đồng thời các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau. Câu II . (2,0 điểm ) 1. Giải hệ phương trình : 725 220538 xy xy xy x y ⎧ ++ += ⎪ ⎨ ++ + = ⎪ ⎩ 2. Giải bất phương trình : ( ) 2 lg 6 g( 2) 4ox x xlox − −+≤ ++ Câu III . (1,0 điểm ) Tính tích phân : 22 3 22 4 sin 3 os 3 sin os xc x Idx xcx π π ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ Câu IV. (1,0 điểm ) Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a . Gọi B’, D’ là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’ . Tính thể tích hình chóp SAB’C’D’. Câu V . (1,0 điểm ) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện : x+y+z=1 Chứng minh bất đẳng thức : 3 2 xy yz xz xy z yz x xz y + +≤ +++ II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a (2,0 điểm ) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 3). Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ Ox, Oy ở A và B sao cho ABM là tam giác vuông cân tại A. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (C): ()() 22 2 1111xyz − ++ += và hai đường thẳng : () () 12 11 1 :;: 11 2 121 x yz xyz dd +− + = ===. Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua tâm của (C) đồng thời cắt (d 1 ) và (d 2 ) . Câu VII.a (1,0 điểm) Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng : 01 12 1 1 23 2 22 1 2 kn nn n n kn nn nk n CC C C CC C C ++ ++ ++ + +++ ++ = 2. Theo chương trình Nâng cao . Câu VI.b ( 2,0 điểm ) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 3). Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ Ox, Oy ở A và B sao cho ABM là tam giác vuông cân tại B. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (C): ()() 22 2 1111xyz − ++ += và hai đường thẳng : () () 12 11 1 :;: 11 2 121 x yz xyz dd + −+ = ===. Hãy viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với (C) đồng thời song song với (d 1 ) và (d 2 ) . Câu VII.b (1,0 điểm )Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng : 01 12 1 1 23 2 22 1 2 kn nn n n kn nn nk n CC C C CC C C ++ ++ ++ + +++ ++ = ___________________________________Hết___________________________________ Chú ý : Thí sinh dự thi có thể download đáp án và thang điểm tại : http://k2pi.tk Phạm Kim Chung 0984.333.030 copyright by : http://k2pi.violet.vn 1 TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM KỲ THI THỬ ĐH-CĐ LẦN I I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH. Câu Nội dung Điểm I.1 Khi m = 3, hàm số đã cho trở thành : 32 331 y xxx = +++ • Tập xác định : R • Sự biến thiên : Đạo hàm : y’ = 3x 2 +6x+3=3(x+1) 2 ≥ 0, ∀ R ∈ Hàm số đã cho đồng biến trên R Giới hạn : lim;lim; xx yy →+∞ →−∞ =+∞ =−∞ , hàm số đã cho không có tiệm cận. Bảng biến thiên : x - ∞ -1 +∞ y’ + 0 + y - ∞ +∞ • Đồ thị : Giao với Ox : A(-1;0) Giao với Oy : B(0;1) Đồ thị nhận điểm uốn U(-1;0) làm tâm đối xứng. 0,25 0,25 0,25 0,25 I.2 Xét phương trình : ( ) 32 2 13 1 3 0(*)xxmx xxxm=+ + +⇔ ++ = 0,25 32 331yx x x = +++ y x O Phạm Kim Chung 0984.333.030 copyright by : http://k2pi.violet.vn 2 Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=1 tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt . Hay phương trình : ++= 2 x3xm0 có 2nghiệm phân biệt khác 0 ≠ ⎧ ≠ ⎧ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ −> < ⎩ ⎪ ⎩ m0 m0 (a ) 9 94m 0 m 4 Giả sử ()() DD EE Dx; y ;E x ; y , theo yêu cầu bài toán ta cần có : ()() () ( ) =− ⇔ + + + + =− 22 DE DD EE f' x .f' x 1 3x 6x m 3x 6x m 1 Do x E , x D là nghiệm của phương trình : + += 2 x3xm0 , nên ta có : ()() 2 DE 965 3x 2m 3x 2m 1 4m 9m 1 0 m ( tho¶ m·n (a) ) 8 ± ++=−⇔−+=⇔= 0,25 0,25 0,25 II.1 Đặt : 7,2 (,0)xya xybab+= += ≥ Lúc đó : 22 23205ab xy+= + Hệ đã cho trở thành : 22 2 3 2 55 4 (2 3 ) 38 5 19 12 0 5 21 5 b a ab a b b bab b b a ⎡ = ⎧ ⎨ ⎢ = ⎩ ⎢ += =− ⎧⎧ ⎢ ⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ = ⎢ ⎪ ++= −+= ⎩⎩⎪ ⎢ ⎨ ⎢ ⎪ = ⎢ ⎪ ⎩ ⎣ • Với 3 2 b a = ⎧ ⎨ = ⎩ , thay trở lại ta có : 74 1 29 11 += =− ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ += = ⎩⎩ xy x xy y Với 4 5 21 5 b a ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ , thay trở lại ta có : 441 17 7 25 5 16 154 2 25 25 ⎧⎧ += = ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ += =− ⎪⎪ ⎩⎩ xy x xy y 0,25 0,25 0,25 0,25 II.2 Điều kiện xác định : 2 60 3 20 xx x x ⎧ −−> ⇔ > ⎨ +> ⎩ Với điều kiện đó ta có : () 2 log( 6) log 2 4xx x x−− +≤ + + log( 3) 4 0xx ⇔ −+−≤ Xét hàm số : ( ) log( 3) 4fx x x=−+−, ta có : 0,25 0,25 Phạm Kim Chung 0984.333.030 copyright by : http://k2pi.violet.vn 3 () 1 '( ) 1 0, 3 3ln10 fx x x =+>∀> − Suy ra : ( ) log( 3) 4 0 3 4fx x x x=−+−≤⇔<≤ ( Do x = 4 là nghiệm của phương trình : f(x) = 0 ) 0,25 0,25 III Ta có : () ( ) 22 22 22 2 sin3 .cos sinx. os3 sin3 .cos sinx. os3 sin 3 os 3 4.sin2 .sin4 8os2 sin os sin . os sin 2 xx cx xx cx xc x x x cx xcx xcx x −+ −= = = Do đó : 22 33 22 44 sin 3 os 3 3 8os2. 4.sin2 234 sin os 4 xc x Idxcxdxx xcx ππ ππ π π ⎛⎞ =− = = =− ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫ 0,5 0,5 IV Ta có : ' ' ' AB SB AB SC AB CB ⊥ ⎫ ⇒⊥ ⎬ ⊥ ⎭ , tương tự : ( ) '''''AD SC SC AB C D SC AC⊥⇒⊥ ⇒⊥ Do tính đối xứng ( tự CM ) ta có : ''' '' 2 SAB C D SAB C VV = Áp dụng tính chất tỉ số thể tích cho 3tia SA,SB,SC ta có : 22 22 '' 222222 ' ' '. '. 4 4 8 56 15 SAB C SABC V SB SC SB SB SC SC SA SA a a VSBSCSBSCSBSCaa == = == 23 33 '' 188 2 . 32 3 153 45 SABC SAB C aa aa VaV==⇒== 3 ''' 16 45 SAB C D a V⇒= (học sinh nêu và chứng minh tính chất tỉ số thể tích ) 0,25 0,25 0,25 0,25 V Cách 1 : Ta có : Phạm Kim Chung 0984.333.030 copyright by : http://k2pi.violet.vn 4 II. PHẦN RIÊNG 1. Theo chương trình Chuẩn. 1 xy xz xy yz xz yz xyz zy zx zx ++= + + = Suy ra luôn tồn tại tam giác ABC sao cho : tan ; tan ; tan 222 Ayz Bxz Cxy zyz === Lúc đó : 33 22 111 xz yz xy xy yz xz y x z xy yz xz xy z yz x xz y zxy ++≤⇔++≤ +++ +++ Hay bài toán đã cho trở thành, chứng minh BĐT : ++ ≤ +++ ⇔++≤ 222 222 CBA tan tan tan 3 222 CBA 2 tan 1 tan 1 tan 1 222 ABC3 sin sin sin (dÔCM) 2222 Cách 2 : Ta có : ()()() x yzxyzxyz xzyz+= + ++ = + + Do đó : 1 (1) ()()2 xy xy x y xy z x z y z x z y z ⎛⎞ =≤+ ⎜⎟ +++ ++ ⎝⎠ Hoàn toàn tương tự ta có : 1 (2) ()()2 zy zy y z zy x x y x z x y x z ⎛⎞ =≤+ ⎜⎟ +++ ++ ⎝⎠ 1 (3) ()()2 zx zx z x zx y z y x y z y x y ⎛⎞ =≤+ ⎜⎟ +++ ++ ⎝⎠ Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có ĐPCM. 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm VI.a.1 Giả sử : ()() ,0 ; 0,Aa B b, ta có : ()() () 2 22 2,3; ;; 2 9;AM a AB a b AM a AB a b=− − = − + = + JJJJG JJJG Theo bài ra ta có : () () ( ) () () 2 22 2 22 2 32 0 .0 3 29 2929 9 aa b ba a AM AB AM AB aab a aa ⎧− = ⎪ ⎧− −= ⎧ = ⎪⎪ ⎪ ⇒⇒ ⎨⎨ ⎨ = −+=+ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ ⎡ ⎤ − += − + ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ JJJJG JJJG 3 1 3 5 a b a b ⎡= ⎧ ⎨ ⎢ =− ⎩ ⎢ ⇒ ⎢ =− ⎧ ⎢ ⎨ =− ⎢ ⎩ ⎣ Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán : x3 y 30 − −= và 5x 3 y 15 0++= 0,25 0,5 0,25 Phạm Kim Chung 0984.333.030 copyright by : http://k2pi.violet.vn 5 2. Theo chương trình nâng cao . Câu Nội dung Điểm VI.b.1 Giả sử : ()() ,0 ; 0,Aa B b, ta có : ()() () 2 22 2;3 ; ; ; 4 3 ; B M b BA a b BM b BA a b=− − =+− =+ JJJJGJJJG Theo bài ra ta có : 0,25 VI.a.2 Mặt cầu (C) có tâm : () 1; 1; 0I − Lấy điểm A thuộc (d 1 ) : A(0; -1; 1) ( ) 1; 0;1AI⇒= J JG Mặt phẳng () β chứa (d 1 ) và I có véctơ pháp tuyến là : () 1 ;1;3;1nuAI β ⎡⎤ ==−− ⎣⎦ JJG JG JJG ( Trong đó ( ) 1 1;1; 2u J G là véctơ chỉ phương của (d 1 ) ) Phương trình mặt phẳng () β là : ( ) ( ) ( ) 1131100xyz − −+ +− − = hay : 3 4 0xyz−+ −+ = Toạ độ giao điểm B của () β và (d 2 ) là nghiệm của hệ : 9 4 340 10 1 4 121 5 4 x xyz y xyz z ⎧ =− ⎪ −+ −+ = ⎪ ⎧ ⎪⎪ ⇒=− ⎨⎨ + == ⎪⎪ ⎩ ⎪ =− ⎪ ⎩ . Do đó véctơ : 13 6 5 ;; 444 BI ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ J JG Vậy phương trình đường thẳng IB là : 11 13 6 5 x yz − + = = 0,25 0,25 0,5 VII Ta có : () 1 2 !(1)!(1)! !(1)!(1) . ()!!( 2)! !( 2)! k n k nk C nkn nnk C nkk nk nk nk + ++ ++ ++ == −++−++ 1!(1)! !(1)! 2 ( )!( 1)! ( 1)!( 2)! nn nn nk nk nk nk ⎡⎤ ++ =− ⎢⎥ −++ −−++ ⎣⎦ (2 1)! (2 1)! 1 ( )!( 1)! ( 1)!( 2)! (2 1)! (2 1)! 2 !( 1)! !( 1)! nn nk nk nk nk nn nn nn ++ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ −++ −−++ =− ⎢ ⎥ ++ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ++ ⎣ ⎦ 1 21 21 21 1 2 nk nk nn n n CC C −−− ++ + ⎛⎞ − = ⎜⎟ ⎝⎠ (1) Đẳng thức (1) đúng với mọi k từ 0 đến n . Do đó : ()()() 01 112 10 21 21 21 21 21 21 12 1 1 23 2 22 21 11 . 2 kn nn nn nn n n nn nn nn knn nn nk n n CC C C CC CC CC CC C C C −−− ++ ++ ++ ++ ++ ++ + + ⎡ ⎤ +++ ++= −+−++− ⎣ ⎦ 21 1 21 11 1 22 n n n C C + + == 0,25 0,25 0,5 Phạm Kim Chung 0984.333.030 copyright by : http://k2pi.violet.vn 6 () () ( ) () () 2 22 2 22 3 23 0 .0 2 43 43 3 4 4 bb a ab b BM BA BM BA bab b bb ⎧− = ⎪ ⎧− −= ⎧ = ⎪⎪ ⎪ ⇒⇒ ⎨⎨ ⎨ = +− = + ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ ⎡ ⎤ + −= −+ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ JJJJGJJJG 1 2 5 2 a b a b ⎡= ⎧ ⎨ ⎢ = ⎩ ⎢ ⇒ ⎢ =− ⎧ ⎢ ⎨ =− ⎢ ⎩ ⎣ Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán : 2x y 20 + −= và 2x 5 y 10 0++= 0,5 0,25 VI.b.2 Ta có véctơ chỉ phương của (d 1 ) : ( ) 1 1;1; 2u J G ; Véctơ chỉ phương của (d 2 ) : () 2 1; 2; 1u JJG Mặt phẳng song song với (d 1 ); (d 2 ) có véctơ pháp tuyến : () 12 ;3;1;1nuu ⎡⎤ ==− ⎣⎦ G JG JJG Phương trình của mặt phẳng này có dạng : ( ) 30xyzD α −+++= Mặt phẳng () α tiếp xúc với mặt cầu : ()() 22 2 1111xyz − ++ += khi và chỉ khi : () () 15 31 ;( ) 11 11 7 1; 1; 0 11 D D dI D I α ⎧ = −−+ = ⎡ ⎪ ⇔=⇒ ⎨ ⎢ = − − ⎣ ⎪ ⎩ Vậy mặt phẳng () α có dạng : -3x+y+z+15=0 hoặc -3x+y+z-7=0 0,25 0,25 0,25 0,25 VII.b Ta có : () 1 2 ! ( 1)!( 1) ! !( 1)!( 1) . ()!!( 2)! !( 2)! k n k nk C nkn nnk C nkk nk nk nk + ++ ++ ++ == −++−++ 1!(1)! !(1)! 2 ( )!( 1)! ( 1)!( 2)! nn nn nk nk nk nk ⎡⎤ ++ =− ⎢⎥ −++ −−++ ⎣⎦ (2 1)! (2 1)! 1 ( )!( 1)! ( 1)!( 2)! (2 1)! (2 1)! 2 !( 1)! !( 1)! nn nk nk nk nk nn nn nn ++ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ −++ −−++ =− ⎢ ⎥ ++ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ++ ⎣ ⎦ 1 21 21 21 1 2 nk nk nn n n CC C −−− ++ + ⎛⎞ − = ⎜⎟ ⎝⎠ (1) Đẳng thức (1) đúng với mọi k từ 0 đến n . Do đó : ()()() 01 112 10 21 21 21 21 21 21 12 1 1 23 2 22 21 11 . 2 kn nn nn nn n n nn nn nn knn nn nk n n CC C C CC CC CC CC C C C −−− ++ ++ ++ ++ ++ ++ + + ⎡ ⎤ +++ ++= −+−++− ⎣ ⎦ 21 1 21 11 1 22 n n n C C + + == 0,25 0,25 0,5 . 9;AM a AB a b AM a AB a b= − − = − + = + JJJJG JJJG Theo b i ra ta có : () () ( ) () () 2 22 2 22 2 32 0 .0 3 29 2929 9 aa b ba a AM AB AM AB aab a aa ⎧− = ⎪ ⎧−. Ta có : ' ' ' AB SB AB SC AB CB ⊥ ⎫ ⇒⊥ ⎬ ⊥ ⎭ , tương tự : ( ) '''''AD SC SC AB C D SC AC⊥⇒⊥ ⇒⊥ Do