1.2Hướng giải bài toán cực trị hình học: aKhi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được : + Với mọi vị trí của hình H trên miền D th[r]
CHUN ĐỀ : GIẢI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC A Đặt vấn đề: Các toán cực trị hình học đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Để giải tập toán cực trị người ta phải cách giải thơng minh nhất,tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc THCS để giải tập toán dạng Tuy nhiên SGK lại không hướng dẫn phường pháp giải tốn cách cụ thể gây lúng túng cho HS gặp phải Dạng toán thường gắn liến với thực tiễn việc tìm giá trị lớn ,giá trị nhỏ việc tìm tối ưu thường đặt đời sống kĩ thuật Do đó,để giải loại tốn địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ cách logic có hệ thống Trong đa số HS trường chúng tơi khơng thích nghiên cứu dạng tốn tập hình học nói chung Khi dạy tiết lớp cảm thấy băn khoăn trước cách học HS Chúng trao đổi,bàn bạc,thảo luận qua tiết dạy có lúc tranh cãi phương pháp dạy người nhằm khắc phục tính học vẹt,thiếu suy nghĩ khơng sáng tạo thụ động tiếp thu kiến thức HS,chúng tiến hành thống đưa số ví dụ đa phần học sinh khơng biết cách làm Trong qua trình dạy bồi dưỡng nghiên cứu tài liệu nhiều đa phần tài liệu đưa tập cách giải đề cập đến lí thuyết HS khơng hiểu đề ,khơng tìm lời giải có đơn giản khơng biết cách trình bày lời giải B Các biện pháp giải pháp thực hiện: 1.Phương pháp giải toán cực trị hình học: 1.1)Dạng chung tốn cực trị: Trong tất hình có tính chất,tìm hình mà đại lượng (số đo góc,độ dài đoạn thẳng,số đo diện tích….) có giá trị lớn giá trị nhỏ 1.2)Hướng giải tốn cực trị hình học: a)Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng tỏ : + Với vị trí hình H miền D f ¿ m ( m số) + Xác định vị trí hình H miền D f = m b)Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ ta phải chứng tỏ : + Với vị trí hình H miền D f ¿ m ( m số) + Xác định vị trí hình H miền D f = m 1.3 Cách trình bày lời giải tốn cực trị hình học: Cách 1:Trong hình có tính chất đề bài, hình chứng minh hình có giá trị đại lượng phải tìm cực trị nhỏ (hoặc lớn hơn) giá trị đại lượng hình Cách 2:Thay điều kiện đại lượng đạt cực trị (lớn nhỏ ) điều kiện tương đương,cuối dẫn đến điều kiện mà ta xác định vị trí điểm cực đạt cực trị 2.Các kiến thức thường dùng giải tốn cực trị hình học: 2.1Sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên,hình chiếu : a)Kiến thức cần nhớ: B A A a H b A C B H C K B a1) Δ ABC vuông A ⇒ AB ¿ BC dấu “=” xảy ⇔ A ¿ C a2) AH ¿ a ⇒ AH ¿ AB Dấu “=” xảy ⇔ B ¿ H AB < AC ⇔ HB < HC a3) A , K ¿ a ; B ,H ¿ b ; a // b ; HK ¿ a ⇒ KH ¿ AB dấu “=” xảy ⇔ A ¿ K B ¿ H b) Các ví dụ : Ví dụ 1:Trong hình bình hành có hai đường chéo 6cm 8cm , hình có diện tích lớn ? Tính diện tích hình đó? HD: Ta có :SABCD = SABC = AC.BH ¿ BO AC = 24(cm2) Dấu “=” xảy ⇔ BH = BO ⇔ H ¿ O ⇔ BD ¿ AC hình thoi có diện tích = 24(cm2) ⇔ ABCD B C A OH D B C O A H D Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB = 2a.Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax By theo thứ tự C D.Xác định vị trí điểm C,D choc ho tam giác MCD có diện tích nhỏ Tính diện tích tam giác Gọi K giao điểm CM DB.Ta y có x MA = MB , ∠ A = ∠ B = 900 , ∠ D AMC = ∠ BMK ⇒ Δ MAC = Δ MBK H ⇒ C MC = MK.Mặt khác: DM ¿ CK ⇒ Δ DKC cân D ⇒ ∠ CDM = ∠ KDM Kẻ MH ¿ CD Δ MHD = Δ MBD ⇒ MH=MB=a ⇒ SMDC= CD.MH ¿ A M B k AB.MH = 2a.a =a2 SMDC = a2 ⇔ CD ¿ Ax ∠ AMC =450, ∠ BMD = 450 ⇒ SMDC = a2 Vậy điểm C,D xác định Ax , By cho :AC = BC = a AC = BC = a 2.2 Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc : a)Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A,B,C ta có: AC + CB ¿ AB K AC + CB = AB ⇔ C thuộc đoạn thẳng AB b) Các ví dụ: Ví dụ :Cho góc xOy điểm A nằm góc đó.Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy cho OB = OC tổng AB + AC nhỏ nhất.m D Giải: Kẻ tia Om nằm ngồi góc xOy cho ∠ yOm = ∠ xOA Trên tia Om lấy điểm D cho C OD = OA.Các điểm D A cố định OD = OA;OC = OB, ∠ COD = ∠ BOA A Δ Δ ⇒ DOC = AOB CD = AB O B Do AC + AB = AC + CD Mà AC + CD ¿ AD ⇒ AC + AB ⇒ AD Xảy dấu “=” C thuộc AD y x Ví dụ 4:Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh AD.Xác định vị trí điểm F thuộc cạnh AB,G thuộc cạnh BC,H thuộc cạnh CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Gọi I, K, L, M theo thứ tự trung điểm EF, EG, EH Δ AEF vuông A có AI trung tuyến ⇒ AI = Δ EF CGH vng C có CM trung tuyến ⇒ CM = GH D E F B I K G M D H C IK đường trung bình Δ EFG ⇒ IK = FG ⇒ KM = KM đường trung bình Δ EGH EH Do :chu vi EFGH EF+FG+GH+EH = 2(AI+IK+KM+MC) Ta lại có:AI + IK + KM + MC ¿ AC Suy chu vi EFGH ¿ 2AC ( đọ dài AC không đổi) Chu vi EFGH nhỏ 2AC ⇔ A, I, K, M, C thẳng hàng Khi ta có EH // AC, GF // AC, ∠ AEI = ∠ EAI = ∠ ADB nên EF//DB,tương tự GH // DB.Suy tứ giác EFGH hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật ABCD 2.3 Sử dụng bất đẳng thức đường trịn: a)Kiến thức cần nhớ: a1) AB đường kính, CD dây ⇒ CD ¿ AB a2)OH,OK khoảng cách từ tâm dến dây AB DC:AB ¿ CD ⇔ OH ¿ OK a3) AB CD cung nhỏ (O):AB ¿ CD ⇔ ∠ AOB ¿ ∠ COD a4) AB CD cung nhỏ (O) : AB ¿ CD ⇔ ∠ AOB ¿ ∠ COD D C A O B C D B C a1 ) C Ak D D B A a2 B A a4 a3 b) Các ví dụ: Ví dụ 5: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B Một cát tuyến chung CBD(B nằm C D) cắt đường tròn (O) (O’) C D.Xác định vị trí cát tuyến CBD để Δ ACD có chu vi nhỏ HD: Chỉ số đo góc tam giác ABC khơng đổi.Tam giác ACD có chu vi lớn nào?(Sử dụng định lí Trong dây đường trịn dây lớn đường kính) Hai cát tuyến CBD C’BD’ vng góc với dây chung AB D A m O n D' B C' C O' Ví dụ 6: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn.Xác định dây AB qua P cho ∠ OAB có giá trị lớn B' HD: ∠ ∠ OAB lớn AOB nhỏ ⇔ cung AB nhỏ ⇔ dây AB nhỏ ⇔ Khoảng cách từ tâm O đến dây AB OH lớn … So sánh OH với OP ?Suy điều cần tìm ⇔ O A H P B A' 2.4.Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai: a)Kiến thức cần nhớ: Ta có: A2 ¿ ; - A2 ¿ ⇒ f = A2 + m ¿ m ; minf = m A = f = - A2 + m ¿ m ;maxf = m A = b)Các ví dụ: Ví dụ 7:Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = DH.Tính độ dài AE cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất? HD: Đặt AE = x Thì HA = BE = 4-x Chứng minh: HEFG hình vng nên chu vi nhỏ cạnh EH nhỏ nhỏ Áp dụng định lí py ta go để tính HE (hình vẽ bên) Khi HE = 2(x-2)2 + ¿ Dấu “=” xảy x = Vậy chu vi tứ giác EFGH nhỏ √ cm, x A 4-x E B 4-x F H C G D AE = 2cm Ví dụ 8:Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB = 6cm, AC = 8cm.M điểm di chuyển cạnh huyền BC.Gọi D E chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB AC.Tính diện tích lớn tứ giác ADME? A ADME hình chữ nhật Đặt AD = x ME = x ME//AB ⇒ EM CE x CE = ⇒ = ⇒ CE= x AB CA D x 8- x E C B M ⇒ AE=8− x 4 x x Ta có : SADME = AD.CE = x(8- ) = 8x - = - ( x−3 )2 + 12 ¿ 12 Dầu “=” xảy x = Vậy diện tích lớn tứ giác ADME 12cm2, D trung điểm AB, M trung điểm BC E trung điểm AC 2.5.Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: a)Kiến thức cần nhớ: x+ y ≥√ xy ta có : Bất đẳng thức Cơ-si :Với x ¿ 0; y ¿ Dấu “=” xảy x = y Bất đẳng thức Cô-si thường sử dụng dạng sau: ( x + y )2 + Dạng 1:x2 + y2 ( x+ y )2 ≥4 xy + Dạng 2: ; ¿ 2 ≥2 xy Dấu “=” xảy x = y xy ≤ ( x+ y ) 2 ; ( x+ y ) ≤2 x 2+ y2 ; x +y ≥ 2 ( x+ y ) Dấu “=” xảy x = y +Dạng 3: Với x ¿ ; y ¿ ; x + y khơng đổi xy lớn x =y +Dạng 4: Với x ¿ ; y ¿ 0; xy không đổi thi x + y nhỏ x =y b)Các ví dụ : Ví dụ 9:Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển Trên đoạn thẳng ấy>vẽ đường trịn có đường kính MA MB Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai hình trịn có giá trị nhỏ Đặt MA = x MB = y.Ta có : x + y = AB ( < x , y < AB) Gọi S S’ theo thứ tự diện tích hình trịn có đường kính MA MB x y x2+ y2 π +π =π 2 Ta có : S + S’ = () () Ta có bất đẳng thức : x2 + y2 ¿ ( x + y )2 A O O' M nên B S + S’ ¿ ( x + y )2 AB =π 8 π AB Dấu đẳng thức xảy x = y Do (S + S’) = Khi M trung điểm AB Ví dụ 10 :Cho tam giác ABC,M điểm di động cạnh BC.Qua M kẻ đường thẳng song song với AC với AB, chúng cắt AB AC theo thứ tự D E.Xác định vị trí điểm M cho hình bình hành ADEM có diện tích lớn A S ADME S ABC lớn SADME lớn ⇔ Kẻ BK ¿ AC cắt MD H SADME = MD.KH ; SABC = AC.BK S ADME MD HK S ABC = AC BK Đặt MB = x MC = y , MD // AC MD BM x = = ta có : AC BC x + y xy ≤ Theo bất đẳng thức : ( x+ y ) Suy D E B S ADME S ABC M C xy ≤ 2 = ( x+ y ) Dấu đẳng thức xảy x = y Vậy maxSADME = SABC M trung điểm BC B 2.6.Sử dụng tỉ số lượng giác : a) Kiến thức cần nhớ : a Hệ thức cạnh góc tam giác vng c + b = a.sinB = a.cosC + b = c.tanB = c.cotC A b b) Các ví dụ : Ví dụ 11: Chứng minh tam giác cân có diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ tam giác có góc đỉnh nhỏ A Kẻ AH ¿ BC.Đặt ∠ BAC = Δ AHC vuông H, ta có : ∠ HAC = α α ; AH = HC.cot C α α = BC.cot B H C 1 α α BC AH= BC BC cot = BC cot 2 4 Do S = 4S α =2 S tan α cot ⇒ BC = α Do S không đổi nên BC nhỏ ⇔ tan nhỏ ⇔ √ √ α nhỏ ∠ nhỏ BAC nhỏ Ví dụ 12: Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh BC, CD lấy điểm K, M cho BK : KC = : 1; CM : MD = : 1.Tìm tỉ số AB : BC để góc KAM lớn ⇔ α ⇔ (GV cung cấp cho HS công thức : tan x +tan y tan(x + y) = 1−tan x tan y ) A ∠ ∠ Đặt BAK = x DAM = y ( x + y < 900) ∠ KAM lớn ⇔ ∠ BAK + ∠ DAM nhỏ K ⇔ x + y nhỏ ⇔ tan(x + y) nhỏ Giả sử AB : BC = : m (m > ) D 4m Khi :tanx = ; tany = 5m B M C Áp dụng công thức : tan x +tan y tan(x+y)= 1−tan x tan y = ( 45m + 51m ) :(1− 45m 51m )=2521 ( 45m + 51m ) 4m + 5m nhỏ tan(x+y) nhỏ ⇔ 4m 4m ¿2 = 5m Theo bất đẳng thức cơ-si + 5m Dấu “=” xảy m = Do ∠ KAM lớn ⇔ AB : BC √ = 2: 2.7 Một số tập vận dụng: Bài 1:Cho hình vng ABCD.Hãy xác định đường thẳng d qua tâm hình vng cho tổng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vng đến đường thẳng là: a) lớn b) Nhỏ Bài 2: Cho điểm M di chuyển đoạn thẳng AB.Vẽ tam giác AMC BMD phía AB.Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai tam giác đêù nhỏ nhất? Bài 3:Cho điểm A nằm bên dải tạo hai đường thẳng song song d d’ Dựng điểm B thuộc d, điểm C thuộc d’ cho tam giác ABC vng A có diện tích nhỏ nhất? Bài 4: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 10cm.Một dây CD = 6cm có hai đầu di chuyển nửa đường tròn Gọi E F theo thứ tự hình chiếu A B CD.Tính diện tích lớn tứ giác ABFE Bài 5:Cho tam giác ABC nhọn, điểm M di chuyển cạnh BC.Gọi P,Q hình chiếu M AB AC Xác định vị trí điểm M để PQ có độ dài nhỏ ... có diện tích nhỏ Tính diện tích tam giác Gọi K giao điểm CM DB.Ta y có x MA = MB , ∠ A = ∠ B = 90 0 , ∠ D AMC = ∠ BMK ⇒ Δ MAC = Δ MBK H ⇒ C MC = MK.Mặt khác: DM ¿ CK ⇒ Δ DKC cân D ⇒ ∠ CDM = ∠... khơng đổi xy lớn x =y +Dạng 4: Với x ¿ ; y ¿ 0; xy không đổi thi x + y nhỏ x =y b)Các ví dụ : Ví dụ 9: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển Trên đoạn thẳng ấy>vẽ đường trịn có đường kính MA MB Xác định... cho HS công thức : tan x +tan y tan(x + y) = 1−tan x tan y ) A ∠ ∠ Đặt BAK = x DAM = y ( x + y < 90 0) ∠ KAM lớn ⇔ ∠ BAK + ∠ DAM nhỏ K ⇔ x + y nhỏ ⇔ tan(x + y) nhỏ Giả sử AB : BC = : m (m > ) D