Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại { p,q} nếu: a Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh p là số cạnh của một mặt.. b Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt q là số m[r]
Trang 1HỆ THỐNG KIẾN THỨC VỀ ĐA DIỆN - MẶT TRÒN XOAY
Download miễn phí tại website: www.huynhvanluong.com
0933.444.305 – 01234.444.305 – 0929.105.305 -0963.105.305-0918.859.305-0996.113.305-6.513.305
I TÍNH CHẤT HÌNH ĐA DIỆN
1 Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:
a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ
có một cạnh chung
b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác
2 Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H), tức là miền trong của khối đa diện lồi luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó
3 Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại { p,q} nếu:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh (p là số cạnh của một mặt)
b) Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt (q là số mặt đi qua một đỉnh)
c) Có năm loại khối đa diện đều là: loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, và loại {3,5} Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều
4 Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau
5 Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau
6 Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau
7 Công thức E_ler: Đ + M = C +2 (với Đ, M, C lần lượt là số đỉnh, số mặt và số cạnh của đa diện)
8 Nếu đa diện loại {p, q} thì số cạnh của đa diện: C= p M.
2 (số cạnh của đa diện thỏa:
3.M
C≥ 2 )
II CÁCH XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA KHỐI ĐA DIỆN:
1 Khối đa diện có SA ⊥ (ABCD) ⇒ h = SA
2 Khối đa diện đều ⇒ h = SO với O là tâm của đáy
3 Khối đa diện có SA=SB=SC=SD ⇒ h = SO với O là điểm cách đều các đỉnh của mặt đáy
+ Đáy là hình vuông ⇒ O là tâm
+ Đáy là tam giác đều ⇒ O là trọng tâm (trực tâm)
+ Đáy là tam giác vuông ⇒ O là trung điểm cạnh huyền
4 Khối đa diện có hai mp(P) và (Q) cùng vuông góc với mp(R)⇒ h là giao tuyến của (P) và (Q)
5 Khối đa diện có hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc
⇒ h là đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q)
www.huynhvanluong.com
Lớp học Thân thiện – Uy tín – Chất lượng – Nghĩa tình
(đồng hành cùng hs trong suốt chặng đường THPT)
0933.444.305 – 01234.444.305 – 0918.859.305-0929.105.305-0963.105.305-6.513.305
Loại
{3;3}
{4;3}
{3;4}
{5;3}
{3;5}
Tứ diện đều Lập phương Bát diện đều Mười hai mặt đều Hai mươi mặt đều
4
8
6
20
12
30
8
12
20
qĐ = 2C = pM
Trang 2A
CƠNG THỨC CỦA MỘT SỐ HÌNH CẦN NHỚ
Download miễn phí tại website: www.huynhvanluong.com
0933.444.305 – 01234.444.305 – 0929.105.305 -0963.105.305-0918.859.305-0996.113.305-6.513.305
Tam giác vuơng S = ½ tích hai cạnh gĩc vuơng
Tam giác đều cạnh a
2
S =
4 ; đường cao
a 3
= 2
Tam giác cĩ 3 cạnh a,b, c bất kỳ
4
abc
bc A
R
=
1đáy.cao = p.r =1
S = p(p - a)(p - b)(p - c) với p=a + b + c
2
Hình vuơng cạnh a 2
S = a ; đường chéo = a 2
Hình chữ nhật S = dài x rộng
Hình thoi cạnh a và gĩc 60 o (hoặc gĩc 120 o )
2
S =
2
(xem hình thang là tổng của 2 tam giác đều bằng nhau)
Hình thoi ABCD bất kỳ S = 1
2 AC BD
Hình thang S = (đáy lớn đáy be)ù.cao +
2
Hình lăng trụ V = Sđáy.cao
Hình chĩp, tứ diện V= 1
3Sđáy.cao
Tỉ số thể tích:
SA'B'C'
- Nếu cạnh tăng (giảm) k lần thì diện tích tăng (giảm) k 2 lần và thể tích tăng (giảm) k 3 lần
- Nếu chiều cao tăng (giảm) k lần thì thể tích đa
điện tăng (giảm) k lần
Hình hộp chữ nhật cĩ kích thước a, b, c V= a.b.c; Đường chéo = 2 2 2
a +b +c
Hình lập phương cạnh a V=a3
; Đường chéo = a 3
Chú ý:
* Gĩc giữa đường thẳng a và mp(P) là gĩc giữa a và hình chiếu a’ của a lên (P)
* Gĩc giữa hai mặt phẳng (P), (Q): là gĩc giữa 2 đường thẳng a và b lần lượt nằm
trong (P), (Q) và cùng vuơng gĩc với giao tuyến của (P), (Q) tại 1 điểm
- Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
- Tìm a, b thỏa mãn: a⊂(P), a⊥d
- www.huynhvanluong.com
Lớp học Thân thiện – Uy tín – Chất lượng – Nghĩa tình
(đồng hành cùng hs trong suốt chặng đường THPT)
0933.444.305 – 01234.444.305 – 0918.859.305-0929.105.305-0963.105.305-6.513.305
"Từ thiện 305":Luơn lắng nghe để chia sẽ và giúp đỡ”
(CLB do Thầy Lượng thành lập vì mục đích nhân đạo
để giúp đỡ trẻ mồ cơi, người già, những hồn cảnh khĩ khăn, bệnh tật )
C'
B' A'
C B
A
S
a b
((P), (Q)) = (a, b)
⇒
Trang 3CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH
Download miễn phí tại website: www.huynhvanluong.com
0933.444.305 – 01234.444.305 – 0929.105.305 -0963.105.305-0918.859.305-0996.113.305-6.513.305
Tứ diện ABCD
Tứ diện đều cạnh a
3 2
1 2
a
Tứ diện có A B A C C D B D a b
= =
= =
12
V = a +b −c b +c −a a +c −b
Tứ diện có độ dài 3 cạnh bên AB =a, AC=b,
abc
Hình chóp tam giác đều S.ABC
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
và cạnh bên đều bằng a (hình chóp đều)
3
2
1 2
a
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a và cạnh bên bằng b
1 2
=
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a; góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng α
3
tan
1 2
a
=
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a; góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng β
3
tan 24
a
=
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên
bằng a; góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng α
3
2
3 sin os 4
a
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên
bằng a; góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng β
3
3 tan β (tan β + 4 )
a
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên
bằng a; góc ở đáy của mặt bên là α
os 9 12 cos
3
a c
=
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên
bằng a; góc ở đỉnh của một mặt bên là β
3
2 (1 osβ) 1 2 cos β
12
=
Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a, góc tạo bởi đáy và mặt phẳng qua A
song song với BC, vuông góc (SBC) là α
3
24 tan
a V
α
=
Hình chóp SABC
Cho hình chóp S.ABC có 3 mặt phẳng
(SAB), (SBC), (SAC) đôi một vuông góc và
có diện tích lần lượt là S1, S2, S3
1 2 3
2 3
S S S
V =
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi
một vuông góc
1 6
V = SA SB SC
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi
một vuông góc có AB=a, BC = b, AC = c
2
24
V = a +b −c b +c −a a +c −b
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC) và
(SAB)⊥(SBC)
2
6
SB BSC BSC tan ASB
V =
www.huynhvanluong.com
Lớp học Thân thiện – Uy tín – Chất lượng – Nghĩa tình
(đồng hành cùng hs trong suốt chặng đường THPT)
0933.444.305 – 01234.444.305 – 0918.859.305-0929.105.305-0963.105.305-6.513.305
Trang 4CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH
Download miễn phí tại website: www.huynhvanluong.com
Hình chóp đều S.ABCD
Hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh
bằng a
3
2 6
a
V =
Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a
và cạnh bên bằng b
6
=
Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a
và góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng α
3
2 tan 6
a
=
Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a
và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng β
3
tan 6
a
=
Hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a
và góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng α
2 os sin 3
a c
=
Hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a
và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng β
3
4 tanβ
3 (tan β 2)
a
V =
+ Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a
và góc ở đáy của mặt bên bằng α
tan -1 6
a
=
Hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a
và góc ở đỉnh của mặt bên và mặt đáy bằng β
3
4 tanβ
3 (tan β 2)
a
V =
+
Hình lập phương
Hình lập phương có độ dài` đường chéo là a
3
3
a
=
Hình lập phương có độ dài đường chéo mặt
bên là a
3
2
a
=
Hình lập phương tạo bởi các đoạn thẳng nối
tâm các mặt bên khối tám mặt đều cạnh a
3
2a 2 27
V =
Hình hộp chữ nhật
Hình hộp chữ nhật có độ dài 3 cạnh là a, b, c V=a.b.c
Hình hộp chữ nhật có 3 mặt ở một đỉnh diện
Khối tám mặt đều
Khối tám mặt đều cạnh a
3
2 3
a
V = Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của
hình lập phương
3
6
a
V =
"Từ thiện 305":Luôn lắng nghe để chia sẽ và giúp đỡ”
(CLB do Thầy Lượng thành lập vì mục đích nhân đạo để giúp đỡ trẻ mồ côi, người già, những hoàn cảnh khó khăn ) 0933.444.305 – 01234.444.305 – 0929.105.305 -0963.105.305-0918.859.305-0996.113.305-6.513.305