Cho hình lăng trụ đứng ABC:A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A: Gọi M là trung điểm cạnh BC: Chứng minh rằng.. Xét phép tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy thành hệ IXY theo công thức[r]
LỜI GIẢI ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI TOÁN TP HÀ NỘI 2017 12 Võ Quốc Bá Cân —- Cao Văn Dũng Đề thi Bài (4.0 điểm) Cho hình vng 4BCD có hai đỉnh 4, thuộc đồ thị hàm số y = ast va hai đỉnh C, Ð thuộc đường thẳng x + y — = Tính diện tích hình vng 4B8CD Bài (5.0 điểm) a) Giải phương trình: x3 — 3x? + 2(x + 2)3 — 6x = b) Giải hệ phương trình: Bai (3.0 điểm) (x + Vx? ¥1) (vy + yo? 49) =3 xJ/x-yry=4 Cho dấy số („) có ị = l y = 2_¡ + 2wu„_¡ với n > a) Chứng minh (w„) dãy số tăng b) Xác định cơng thức tính số tổng quát dãy số (w„) Bài (5.0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng 45CŒ.4' BC“ có đáy ABC Gọi Mí trung điểm cạnh 8C Chứng minh a) ZC'AB' + ZB'AM + ZMAC' tam giác vuông A = 180° b) tan* 7MA’A + tan? ZMA'B’ + tan? ZMA'C’ > Bai (3.0 diém) Cho cac sé thuc a, b, c thoa man a? + b? + c* = 27 Tim giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = (ø + 6)(b + 6)(e + 6) Lời giải e?a bình luận tốn ` Bài (4.0 điểm) Cho hình vng 48C? có hai đỉnh 4, Ư thuộc đồ thị hàm số y = >7 hai đỉnh C, D thuộc đường thắng x + y — = Tính diện tích hình vng ABC D Lời giải Xét phép tịnh tiến hệ trục tọa độ Øxy thành hệ 7X Y theo công thức đổi trục x=X+1 y=Y+1 Lời giải đề thi học sinh giỏi Tốn 12 TP Hà Nội 2017 Khi đó, phương trình hàm số y = nh đường thắng x + y — l = hệ ƒXY (WYH):Y=—=s2 va (d):X +Y+4+1=0 Do C, D e (đ) nên phương trình đường thắng 4B có dạng X + Ÿ —m Mặt khác, 4, Ö e (2) nên tọa độ điểm 4, B có dang A (1, VOI ty, A Ovat; F ty Khi do, ty +2 B(tz, ty) vat) + =m = to +2 = (n # —]) 2) va B ( 2) — ứ, suy fqf¿ = Từ đây, ta có Á(Œ, f2) z# —l.Do ABCD hình vng nên (4.2) _— 9, hay (ty + ta + Déy rang (t) — to)? = (4) + f)* — 4th (h + to + 1)? = 2(t; — tr)’ = (t) + ty)? — 8, phuong trinh trén tudng đương với 1)? = 2(t, +t)? — 16 Từ đây, ta tính 7¡ + f2 = —3 hoac ty +h = a (Dé dang kiểm tra trường hợp này, ta tìm dude ty, 7a tương ứng thỏa mãn ¡2 = 2.) e Nếu/¡ +í› = —3 S4gcp = AB? = (L+2+Đˆ ~ (đvdụ, e Nếu/¡ +1; = Š4gcp = AB? = ứLH2+Đˆ — 33 (đvdp, O Lời giải đề học sinh giỏi Tốn 12 TP Hà Nội 2017 Bình luận Phép đối trục tọa độ giúp tính tốn trở nên đơn giản hơn, tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải tốn Ngồi cách giải trình bày trên, ta cịn gọi phương trình đường thẳng theo dạng y = —x + m sử dụng phương trình hồnh độ giao điểm 4? đồ thị hàm số y = a để biện luận £ ` Bài (5.0 điểm) a) Giải phương trình: x3 — 3x? + 2x + 2)3 — 6x = (x + Vx? ¥1) (vy + yo? #9) =3 b) Giải hệ phương trình: x J/x-yry=4 ` - Lời giải a) Điều kiện: x > —2 Phương trình cho viết dạng x3 —3x(x +2) +2V(x +2)3 =0 Dat t = /x + ta có x? —3xt? + 247 = 0, hay (x —t)?(x +2t) =0 Từ phương trình trên, ta suy x = ¢ hodc x + 2f = Bằng xét trường hợp tương ứng, ta tìm tập nghiệm phương trình cho $ = {2, 2-23 b) Điều kiện: x > y Chú ý x+vx?+1l= ⁄x?+l1—x y + Vy?+9 = ——— y2+9-y Do đó, từ phương trình thứ hệ, ta suy hai hệ va y+vy?+9=3(Vx?+1—x) (1) 3(x + (2) +1) = y?+9—y Cộng tương ứng hai phương trình (1) (2) theo rút gọn, ta thu 3x + y = Thay kết vào phương trình thứ hai hệ, ta 2x/x=3x+4 Giải phương trình này, ta x = (tương ứng, y = —12) Thử lại, ta thấy thỏa mãn Tóm lại, hệ cho có nghiệm (x, y) (4, —12) L] Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán 12 TP Hà Nội 2017 Bình luận Có thể ý tưởng hệ phương trình lấy từ kết đẹp sau: Néu hai số thực x, y thỏa mãn (x+ vx7+ 1) (vy + vy? +1) = lihì x + y =0 Ở đây, muốn lưu ý bạn đọc rằng, có kết tương tự thú vị (và khó hơn) là: Nếu hai số thực x, y thỏa mãn (x + y2+ 1) (y +X⁄x2+ 1) = x + y =0 Từ kết này, ta tạo nhiều tốn đẹp liên quan đến phương trình, hệ phương trình hay toán biến đối đại số Ban doc thử xem Bài (3.0 điểm) Cho dãy số (w„) có wị = Và „ = 2_¡ + 2„_¡ với # > a) Chứng minh (z„) dãy số tăng b) Xác định công thức tính số tổng quát dãy số (w„) Lời giải a) Từ công thức xác định dãy („), ta dé thay „„ > 0Ö với ø > va Un — Un—-1 = ur, +uy-1 >0, Van > Do đó, (z„) dãy tăng b) Ta có Un +1 =(Un-1+1)?, Vn>2 Tu suy Un 1= (M„— 1)? L (M„_a 1)?" — — (uy D2?” — 221 Do đó, cơng thức tổng quát (w„) u„ = 2?” — I L1 Bài (5.0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A/B'C có đáy ABC tam giác vng A Goi Ä⁄ trung điểm cạnh BC Chứng minh a) ⁄C'AB' + ZB'AM + ZMAC' = 180° b) tan? 7MA’A + tan? ZMA'B’ + tan? ZMA'C' > Lời giải a) Dựng hình binh hanh AMBE va AMCF Dé thay A, E, F thang hang va AE = AF = BM = MC = AM Hai tam giac BEB’ va BMB’ co BE = BM, canh BB’ chung va ZB’BE = ⁄B'BM = 90° nên (c-g-c), từ suy BE = B’M Từ đây, xét hai tam giác “4E B'AMI, taco B’A chung, B’E = B'M va AE đó, AB“4AE = AB “AM (c-c-c) Suyra ZB’AM = ZB'AE = BM Do Chứng minh tương tự, ta có ZMAC’' = ZFAC’ Tw do, ta suy ZC'AB' + ZB'AM + ZMAC’ = ZC'AB' + ZB'AE + ZFAC' = 180° Lời giải đề học sinh giỏi Toán 12 TP Hà Nội 2017 C ` ` N A ` M N vs \©e ` Ñ E \ SN VN NI \ \ \ N \ ` ` \ ~ ` \ \ \ \ \ \ \ ` ` ` XS N N ` NI ` ` \ \ \ \ \» \\ a\ | | heed" \ \\ \ \ \ fF — fencer” ` ` ` SON N - A's ` ` ` \ ` Nw NI $ ` B \ \ s on XS ` ` `.` XS =-“ a C ⁄ $ B’ b) Dat AB = A’B’ = 2c, AC = A'C' = 2b va AA! điểm B'C', C'A' A'B' Dễ thấy MN = a Goi N, P, O trung L (A’B‘C’), MN = a, A'O = NP A'P = NỌ = b Ta có MN trục đường trịn ngoại tiếp cia tam gidc A’B’C MA’ = MB’ = MC’ Suy tam giac MA'B’ can taiM va MO L A 5ð” Từ đây, ta có tan? ZMA'B an = MQ* _MN*+NQ? A'Q? = a?+Ù? — A’Q? c2 Chứng minh tương tự, ta có tan" “MA'C' = a* + ¢? b2 ` Mặt khác, ta lại có BC?BO _ AB AB?+AC? b?+c2 tan? ZMA'A = MA? _ Ae ae AA? 4-AA2 4:AA2 a2 = nén Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán 12 TP Hà Nội 2017 Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bere eta a2 hay a7 ath? b2 b2 - c2 b7 c2 — ˆ c2 a2 (z+z)+(5+z)+(BS+8)Es Bất đẳng thức cuối ta có % + ~ >2,Vx,y>0 a=b=c,ttc AB = AC Dấu đẳng thức xảy =2:-AA’ O Bình luận Câu a) tốn cịn chứng minh khác lấy N trung điểm B'C', sau chứng minh AA4B'N = AB'AM AAC'N tổng ba góc tam giác để đến kết = AC7AM tồi sử dụng tính chất Câu b) tốn cịn giải theo cách khác dựa định lý cosin (chứng minh cos? ZM A'A+cos* ZMA'B'+cos ZMA'C’ = 1), sau sử dụng cơng thức tan” x = —5—— l x cos2 bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bài (3.0 điểm) Cho số thực ø, b, c thỏa mãn #2 + b2 + c7 = 27 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = (ø + 6)(b + 6)(e + 6) Lời giải a) Giá trị lớn nhât P Do a2 + b2 + c? = 27 nên ||, |b|, |c| < 34⁄3 Suy a +6, b+6,c WP= +6 >0 Từ đây, sử dụng bất đẳng thức AM-ƠM, ta có a+6+b+6+c+6_ ÿ(a+6)( +6)(e +6) < s a+b+c+]1ồ Mặt khác, ta có atb+c< az+9 + b ˆ+9_ c 7+9 + = 9, Kết hợp với đánh giá trên, ta suy XP < 9, hay P< 729 Dau đẳng thức xảy ø = b = c = Vậy max P = 729 b) Giá trị nhỏ nhât P Khơng tính tổng qt, gia sti a? = min{a?, b?, c?} Khi do, từ giả thiết, ta suy |ø| < Sử dụng bất đẳng thức xy > sy 6(b(b+c)> — VỚI x, y € ÏR, ta có (b + c)* + 36 Tu suy (6+b)(6+c) = 36+bc+6(b+c) > 36+bc— (b+c)?+36 36—b*—-c* a? +9 =—5 Lời giải đề học sinh giỏi Tốn 12 TP Hà Nội 2017 Và thế, ta thu P> 5a + 9)(a + 6) Khảo sat ham sé f(a) = (a? + 9)(a + 6) với |a| < 3, ta chứng minh ƒ(ø) > 50 với dấu đẳng thức xảy ø = —I1 Từ suy P>25 Dấu đẳng thức xảy chẳng han khia = b = —1 vac = —5 Vay P = 25 L] Bình luận Ý tưởng sử dụng để giải tốn! sau tạp chí Pi - mục Thách thức Toán học: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a2? + b2 + c? = Chitng minh (2—a)(2—b)(2—c) = abe 'Bai todn đề xuất người thứ nhóm giải đề thi ... dãy („), ta dé thay „„ > 0Ö với ø > va Un — Un— -1 = ur, +uy -1 >0, Van > Do đó, (z„) dãy tăng b) Ta có Un +1 =(Un -1+ 1)?, Vn>2 Tu suy Un 1= (M„— 1) ? L (M„_a 1) ?" — — (uy D2?” — 2 21 Do đó, cơng thức... binh hanh AMBE va AMCF Dé thay A, E, F thang hang va AE = AF = BM = MC = AM Hai tam giac BEB’ va BMB’ co BE = BM, canh BB’ chung va ZB’BE = ⁄B''BM = 90° nên (c-g-c), từ suy BE = B’M Từ đây, xét hai... y Chú ý x+vx?+1l= ⁄x?+l1—x y + Vy?+9 = ——— y2+9-y Do đó, từ phương trình thứ hệ, ta suy hai hệ va y+vy?+9=3(Vx? +1? ??x) (1) 3(x + (2) +1) = y?+9—y Cộng tương ứng hai phương trình (1) (2) theo rút