Cho tứ giác ABCD, số vectơ khác vectơ không mà điểm đầu và điểm cuối lấy trong số các điểm là đỉnh của tứ giác đã cho là: a.. Cho trước vectơ MN 0 thì số vectơ cùng phương với vectơ đã c[r]
CHƯƠNG I VECTƠ I LÝ THUYẾT Hai vectơ Hai vectơ chúng độ dài hướng VD: Cho hình bình hành ABCD tâm O Khi đó: A uuu r uur DA CB ⃗ CD không AB ⃗ ⃗ OA ⃗ OD không B O D C Tổng hai vectơ: uuu r r r r a , b CD=b⃗ Khi đó: AB a , ⃗ Cho Từ điểm A bất kỳ, ta dựng r r AC = a + ⃗b tổng hai vectơ a ⃗b Kí hiệu: ⃗ ⃗ AC gọi Hiệu hai vectơ: r r r + Vectơ đối a , kí hiệu – a , vectơ ngược hướng độ dài với a r r r r + Hiệu vectơ a , ⃗b tổng a với vectơ đối ⃗b Kí hiệu: a – ⃗b = a +(– ⃗b ) Các quy tắc: AB+ ⃗ BC=⃗ AC + Quy tắc điểm: Với điểm A, B, C bất kỳ, ta ln có: ⃗ ⃗ ⃗ AC + Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành thì: AB+ AD=⃗ OB − ⃗ OA=⃗ AB + Quy tắc hiệu: Với điểm O, A, B bất kỳ, ta ln có: ⃗ IA+ ⃗ IB=0⃗ + Nếu I trung điểm đoạn AB thì: ⃗ + Nếu G trọng tâm tam giác ABC thì: ⃗ GA+ ⃗ GB+ ⃗ GC=0⃗ Tích vectơ với số: r r Tích vectơ a với số thực k vectơ, kí hiệu: k a r r + Hướng: * Nếu k k a hướng với a r r * Nếu k k a ngược hướng với a r r + Độ dài: | k a | = |k|| a | Trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác: + Nếu I trung điểm đoạn AB với điểm M, ta ln có: ⃗ MA+ ⃗ MB=2 ⃗ MI + Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M, ta ln có: ⃗ MA+ ⃗ MB+ ⃗ MC=3 ⃗ MG Điều kiện để vectơ phương: ⃗b r phương với vectơ a r ar 0 r r b có số k cho: ka Vectơ Điều kiện cần đủ để điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho uuu r uuu r AB k AC Hệ trục tọa độ: r r r r a (a1; a2 ) a a1i a2 j OM=¿ (x; y) M = (x; y) ⇔ ⃗ ⃗ AB=( x B − x A ; y B − y A ) r a (a1 ; a2 ) , ⃗b=(b ; b 2) r r a Khi đó: * b (a1 b1 ; a2 b2 ) r r a * b (a1 b1 ; a2 b2 ) r * k a = (ka 1; ka 2) r * ⃗b phương với a r r a 0 có số k cho: ¿ x A+ xB xI= y A + yB Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB thì: yI = ¿{ ¿ ¿ x A + x B+ xC xG= y A + yB + yC Nếu G trọng tâm tam giác ABC thì: y G= ¿{ ¿ ¿ b1=ka b2=ka ¿{ ¿ II BÀI TẬP PHẦN A TRẮC NGHIỆM Khoanh tròn vào chữ đứng đầu phương án mà em cho đúng: Câu Vectơ có điểm đầu D điểm cuối E kí hiệu là: a DE b |⃗ DE| c ⃗ ED d ⃗ DE ⃗ Câu Với vectơ ED (khác vectơ khơng) độ dài đoạn thẳng ED gọi là: a Phương vectơ ⃗ ED b Hướng vectơ ⃗ ED c Giá vectơ ⃗ ED d Độ dài vectơ ⃗ ED Câu Hai vectơ gọi khi: a Giá chúng trùng độ dài chúng b Chúng trùng với cặp cạnh đối hình bình hành c Chúng trùng với cặp cạnh tam giác d Chúng hướng độ dài chúng Câu Với ba điểm phân biệt G, H K số vectơ mà điểm đầu điểm cuối lấy số điểm cho là: a b c d Vô số Câu Cho tứ giác ABCD, số vectơ (khác vectơ không) mà điểm đầu điểm cuối lấy số điểm đỉnh tứ giác cho là: a b 12 c 18 d 24 ⃗ ⃗ Câu Cho trước vectơ MN số vectơ phương với vectơ cho là: a b c d Vô số ⃗ Câu Cho trước vectơ MN khác vectơ khơng số vectơ hướng với vectơ cho là: a b c d Vô số ⃗ Câu Cho trước vectơ MN khác vectơ khơng số vectơ vectơ cho là: a b c d Vô số Câu Hai vectơ ngược hướng phải: a Bằng b Cùng phương c Cùng độ dài d Cùng điểm đầu Câu 10 Nếu hai vectơ ngược hướng với vectơ thứ ba (và vectơ khác vectơ khơng) hai vectơ đó: a Bằng b Cùng độ dài c Cùng hướng d Ngược hướng AC xảy Câu 11 Nếu điểm A, B, C thẳng hàng vectơ ⃗ AB ⃗ khả năng: a Bằng b Cùng phương c Cùng hướng d Cùng độ dài ⃗ ⃗ Câu 12 Nếu có AB=AC thì: a Tam giác ABC tam giác cân b Tam giác ABC tam giác c A trung điểm đoạn BC d Điểm B trùng với điểm C AB − ⃗ AC bằng: Câu 13 Cho hình bình hành ABCD Khi ⃗ ⃗ ⃗ a BD b CB ⃗ c d Một kết khác Câu 14 Cho lục giác ABCDEF, gọi O giao điểm đường chéo, cặp vectơ vectơ ⃗ AB là: ⃗ ⃗ FO ⃗ CO a OC DE b ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ O F O C c ED d ED Câu 15 Cho hình bình hành MNPQ, đó: MN=⃗ PQ ⃗ NP=⃗ MQ MN=⃗ PQ ⃗ NP=⃗ QM a ⃗ b ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ c MN=QP NP= QM d MN=QP NP= MQ Câu 16 Cho tam giác MNP vuông M MN = 3cm, MP = 4cm Khi độ dài vectơ ⃗ NP là: a 3cm b 4cm c 5cm d 6cm Câu 17 Các điểm D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA tam giác ABC Khi đó: DF=⃗ BE=⃗ CE a ⃗ b ⃗ AF=⃗ FD ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AF=⃗ FC c EF=AD=DB d DE=⃗ Câu 18 Cho tứ giác ABCD (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), điểm M, N, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Khi đó: a ⃗ MN=⃗ EF b ⃗ NE=⃗ FM ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ c MN=− EF d ⃗ME= ⃗ FN⃗ Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ u 2i j có tọa độ là: a (2; 3) b (2; -3) c (-2; -3) d (-2; 3) Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ ⃗u=2 i⃗ − ⃗j độ là: a (4; -6) b (-4; -6) c (-4; 6) d (4; 6) Khi vectơ −2 ⃗u có tọa Câu 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ ⃗u=2 i⃗ +3 ⃗j , v 5i j vectơ ⃗u + ⃗v có tọa độ là: a (-3; 4) b (-3; -4) c (3; -4) d (7; 10) Câu 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ ⃗u=2 i⃗ − ⃗j , ⃗v =−7 i⃗ − 11 ⃗j vectơ ⃗u − ⃗v có tọa độ là: a (9; 8) b (-9; 8) c (-9; -8) d (9; -8) Câu 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ ⃗u=24 ⃗i −31 ⃗j , ⃗v =11 ⃗i −23 ⃗j vectơ ⃗u +2 ⃗v có tọa độ là: a (46; 77) b (46; -77) c (-46; 77) d (-46; -77) ⃗ Câu 24 Cho ⃗a =( x , y ) b=( x −1 ; −3 y − ) Ta có ⃗a =3 ⃗b khi: 3 x 1= ; y 1=− 10 c x 1=1; y 1= a b x 1=−1 ; y 1= d x1 1; y1 OD=3 ⃗ OC Câu 25 Cho A = (-1; 5) B = (1; -2) Các điểm C D thỏa mãn ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ OC=−2 OA Khi tọa độ vectơ CD là: a (2; -7) b (3; 5) c (1; -16) d (1; 4) Câu 26 Cho M = (2; -1), N = (-1; -2) P = (5; -3) trọng tâm G tam giác MNP có tọa độ là: a (-2; 2) b (2; -2) c (6; 6) d (-2; -2) Câu 27 Cho M = (2; -3) điểm I = (1; 0) Tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua điểm I là: a (2; 3) b (-2; 3) c (-1; 3) d (0; 3) Câu 28 Cho A = (-1; 5) B = (1; -2) Gọi điểm C D điểm cho ⃗ OD=−3 ⃗ OB ⃗ OC=7 ⃗ OA Khi tọa độ vectơ −2 ⃗ CD là: a (8; 58) b (-8; 58) c (8; -58) d (-8; -58) Câu 29 Cho tam giác ABC, có A = (2; 3), B = (1; 2), trọng tâm G = (5; 6) Tọa độ đỉnh C là: a (2; 13) b (12; 1) c (2; 1) d (12; 13) Câu 30 Cho điểm A(1; 2), B(8; 10), C(-7; -5) Điểm M thỏa mãn 2⃗ MB− ⃗ MC+ ⃗ MA=0⃗ Tọa độ M là: a (41; 43) c (413 ; − 433 ) b d (413 ; 433 ) (− 413 ; − 433 ) PHẦN B TỰ LUẬN Chứng minh đẳng thức vectơ Áp dụng quy tắc, hai vectơ Cho hình bình hành ABCD tâm O, M điểm Chứng minh rằng: MC+⃗ MA=⃗ MB+⃗ MD a ⃗ b MC MD AB BD −⃗ BA=⃗ OC− ⃗ OB c ⃗ d ⃗ BC− ⃗ BD+ ⃗ BA=0⃗ Cho hai tam giác ABC A’B’C’có trọng tâm tương ứng G G’ Chứng minh rằng: ⃗ A A ' +⃗ B B' +⃗ C C ' =3⃗ G G' Cho hai hình bình hành ABCD A’B’C’D’ có giao điểm hai đường chéo tương ứng O O’ Chứng minh rằng: ⃗ A A ' +⃗ B B' +⃗ C C ' +⃗ D D ' =4 ⃗ OO ' Cho điểm A, B, C, D tùy ý Chứng minh rằng: AB+ ⃗ CD=⃗ AD+⃗ CB AC+ ⃗ BD=⃗ AD+ ⃗ BC a ⃗ b ⃗ AB − ⃗ CD=⃗ AC− ⃗ BD c ⃗ AE − ⃗ FB+ ⃗ CD=⃗ AD− ⃗ EB+ ⃗ CF Cho điểm A, B, C, D, E, F tùy ý Chứng minh rằng: ⃗ Cho điểm A, B, C, D, E tùy ý Chứng minh rằng: AB+ ⃗ CD+ ⃗ EA=⃗ CB +⃗ ED CD +⃗ EA=⃗ CA+ ⃗ ED a ⃗ b ⃗ Cho tam giác ABC Gọi E trung điểm đoạn BC Các điểm M, N theo thứ tự nằm cạnh BC cho E trung điểm đoạn MN Chứng minh rằng: AB AC AM AN Xác định vectơ tổng, hiệu dựa vào định nghĩa Tính độ dài vectơ Cho tam giác ABC AB − ⃗ AC AB+ ⃗ CA a Xác định ⃗u=⃗ b Xác định ⃗t =⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ CA+ ⃗ BC c Xác định ⃗z =BA − BC − CA d Xác định ⃗v =AB+ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ e Xác định M N cho: BM= BA − BC ; AN= AB+ AC − BC Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH Tính độ dài vectơ: AB − ⃗ AC a ⃗ b ⃗ AB+ ⃗ BH ⃗ ⃗ ⃗ CB c AB+ AC d CA − ⃗ 10 Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a Tính độ dài vectơ: AC − ⃗ AB a ⃗ b ⃗ AB+ ⃗ AD ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ c AB+ BC d BA+ BC ⃗ ⃗ OB+ ⃗ BC e OA+ OC f ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ A B+ A C O A+ OD g h Chứng minh đẳng thức vectơ Áp dụng biểu thức trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác 11 Cho tứ giác ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Chứng minh rằng: 1 ⃗ MN= ( ⃗ AD+ ⃗ BC )= ( ⃗ AC+ ⃗ BD ) 2 12 Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Chứng minh rằng: ' Nếu ⃗ A A ' +⃗ B B' +⃗ C C ' =⃗0 thì: G≡ G 13 Cho tứ giác ABCD Gọi M N trung điểm AB CD; I J trung điểm hai đường chéo AC BD Chứng ⃗ ⃗ minh ⃗ rằng: a ⃗AD⃗ BC⃗ 2MN b AD CB 2 IJ c AB CD 2 IJ 14 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CD Chứng minh rằng: ⃗ AM BN AC AM+ ⃗ BN+ ⃗ AP+ ⃗ BM=⃗ MC a b AM+ ⃗ BN+ ⃗ CP= ⃗0 OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC=⃗ OM+ ⃗ ON+ ⃗ OP , ∀ O c ⃗ d ⃗ 15 Cho tam giác ABC Gọi I, E, F trung điểm cạnh BC, AB, AC G trọng tâm Lấy M điểm Chứng minh rằng: MB+⃗ MC=2 ⃗ MI MA+ ⃗ MB+ ⃗ MC=3 ⃗ MG a ⃗ b ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ME+ ⃗ MF c GI+ GE+ GF=0 d MA+ MB+ MC=MI+⃗ Xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ⃗a =(2 ; 1) ; ⃗b=(3 ; 0) ; ⃗c =(1; 2) Tìm m, n để: ⃗c =m ⃗a +n b⃗ 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 5), B(-1; -3), C(-2; 4), D(2; -2) Tìm tọa độ vectơ: ⃗a =2 ⃗ AB − ⃗ CD 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ⃗a =(1 ; −2) ; ⃗b=(5 ; −7) Tìm tọa độ vectơ: a ⃗a + b⃗ b ⃗a − b⃗ c ⃗a +2 b⃗ d ⃗a − b⃗ e ⃗a +3 ⃗b f ⃗a −2 ⃗b 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 5), B(-1; -3) Tìm tọa độ của: a A’ đối xứng với A qua B b B’ đối xứng với B qua A 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(-2; 1), C(3; 5), D(4; -3) Tìm tọa độ trung điểm của: a AB b BC c CD d DA e AC f BD 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(-2; 1), C(3; 5) Tìm tọa độ của: a Trọng tâm tam giác ABC b D cho ABCD hình bình hành 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A(1; 4), B(-1; 2), C(1; 5).Gọi M, N trung điểm AB AC Tìm tọa độ vectơ ⃗ MN Biểu diễn vectơ theo vectơ cho trước 23 Cho tam giác ABC, AM trung tuyến Hãy biểu diễn vectơ ⃗ AM theo hai vectơ ⃗ ⃗ AB AC 24 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D, E, F trung điểm cạnh ⃗ BC, CA, AB I giao điểm AD EF Hãy biểu diễn vectơ ⃗ AE , AF , uuu r uur ⃗ AD , AG , AI , theo hai vectơ ⃗ AB , ⃗ AC 25 Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 3MC Hãy biểu diễn AC vectơ ⃗ AM theo hai vectơ ⃗ AB , ⃗ ... x 1= 1; y 1= a b x 1= ? ?1 ; y 1= d x1 ? ?1; y1 OD=3 ⃗ OC Câu 25 Cho A = ( -1; 5) B = (1; -2) Các điểm C D thỏa mãn ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ OC=−2 OA Khi tọa độ vectơ CD là: a (2; -7) b (3; 5) c (1; -16 ) d (1; ... = (1; 2), trọng tâm G = (5; 6) Tọa độ đỉnh C là: a (2; 13 ) b (12 ; 1) c (2; 1) d (12 ; 13 ) Câu 30 Cho điểm A (1; 2), B(8; 10 ), C(-7; -5) Điểm M thỏa mãn 2⃗ MB− ⃗ MC+ ⃗ MA=0⃗ Tọa độ M là: a ( 41; ... ⃗i − 31 ⃗j , ⃗v =11 ⃗i −23 ⃗j vectơ ⃗u +2 ⃗v có tọa độ là: a (46; 77) b (46; -77) c (-46; 77) d (-46; -77) ⃗ Câu 24 Cho ⃗a =( x , y ) b=( x ? ?1 ; −3 y − ) Ta có ⃗a =3 ⃗b khi: 3 x 1= ; y 1= − 10 c