www.facebook.com/hocthemtoan
18 câu h i áp v S h c & i sỏ đ ề ố ọ Đạ ố Khi h c toán s c p (s h c & i s ) ch ng trình ph thông, h u h t các ọ ơ ấ ố ọ Đạ ố ở ươ ổ ầ ế khái ni m, nh ngha… HS ph i công nh n m t cách “áp t”. Tài li u này giúpệ đị ĩ ả ậ ộ đặ ệ b n hi u thêm v ý ngha, ngu n g c và nh ng lí gi i lí thú qua ng ng câu h i ạ ể ề ĩ ồ ố ữ ả ữ ỏ và gi i thích n gi n, d hi u:ả đơ ả ễ ể 1. Hình h c ã c phát tri n hình th c tiên , còn S h c và i s thì không.ọ đ đượ ể ở ứ đề ố ọ Đạ ố T i sao v y?ạ ậ Nguyên nhân n m ngu n g c c a chúng.ằ ở ồ ố ủ Hình h c ã c phát tri n b i ng i Ai C p, là k t qu o c t ai c a h . Vào thọ đ đượ ể ở ườ ậ ế ả đ đạ đấ đ ủ ọ ế k th 7 tr c Công nguyên, hình h c ã lan truy n t Ai C p sang Hi L p, n i nó d nỉ ứ ướ ọ đ ề ừ ậ ạ ơ ầ d n phát tri n thành m t lí thuy t toán h c.ầ ể ộ ế ọ Nh v y, hình h c là m t lí thuy t toán h c có ngu n g c Hi L p. Ng i Hi L p ã g nư ậ ọ ộ ế ọ ồ ố ạ ườ ạ đ ắ giá tr l n cho các ch ng minh và vì th ã phát tri n hình h c theo h n g tiên .ị ớ ứ ế đ ể ọ ướ đề Toán h c c a nh ng con s c a chúng ta có ngu n g c c a nó thu c v toán h c c aọ ủ ữ ố ủ ồ ố ủ ộ ề ọ ủ ng i Hindu, ng i Arab và ng i Babylon.ườ ườ ườ H không quan tâm n vi c a ra các ch ng minh nên toán h c c a nh ng con s ãọ đế ệ đư ứ ọ ủ ữ ố đ c truy n l i cho chúng ta n thu n d ng m t t p h p nh ng quy t c tính toánđượ ề ạ đơ ầ ở ạ ộ ậ ợ ữ ắ không liên quan v i nhau m y.ớ ấ Xu h n g hi n i là trình bày t t c các nghiên c u toán h c theo hình th c tiên .ướ ệ đạ ấ ả ứ ọ ứ đề 2. Ý ngha c a t “arithmetic” là gì?ĩ ủ ừ T “arithmetic” (s tính/s h c) có ngha là “ngh thu t tính toán” nên bài h c tr n gừ ự ố ọ ĩ ệ ậ ọ ở ườ ti u h c c a chúng ta là m t t p h p g m nh ng l i gi i c a nh ng bài toán a d ng vàể ọ ủ ộ ậ ợ ồ ữ ờ ả ủ ữ đ ạ các quy t c tính toán.ắ Nh ng theo th i gian arithmetic ã bi n thành lí thuy t c a nh ng con s .ư ờ đ ế ế ủ ữ ố 3. S h c là m t tr u t n g ph i không?ố ọ ộ ừ ượ ả S h c th hi n nh ng n l c s m nh t c a trí tu con ng i i v i s tr u t n g.ố ọ ể ệ ữ ỗ ự ớ ấ ủ ệ ườ đố ớ ự ừ ượ Khái niệm cơ bản của số học & Đại số 1 Nh v y, khi chúng ta nói, 2 + 3 = 5, ó là m t phát bi u không ph i nói v nh ng v t cư ậ đ ộ ể ả ề ữ ậ đặ bi t nh cái bút chì hay ng xu, mà v t t c nh ng v t có th m c v n gi cệ ư đồ ề ấ ả ữ ậ ể đế đượ ẫ ữ đượ nh n d ng riêng c a chúng.ậ ạ ủ ây, b n ch t c a các v t, t c là chúng là cái bút chì hay ng xu hay cây c i hay b tỞ đ ả ấ ủ ậ ứ đồ ố ấ kì cái gì khác, dù s ng hay không s ng, vân vân không còn liên quan n a, và phát bi uố ố ữ ể thành ra úng theo m t ki u chung chung.đ ộ ể Các con s c t tên (m t, hai, ba, ) và kí hi u (1, 2, 3, ) và c s d ng nhố đượ đặ ộ ệ đượ ử ụ ư nh ng v t c th b n b n m c chúng ta có xu h ng quên m t r ng chúng ta angữ ậ ụ ể ề ỉ đế ứ ướ ấ ằ đ gi i quy t các khái ni m ch không ph i các v t c th .ả ế ệ ứ ả ậ ụ ể 4. Phát bi u 2 + 3 = 5 có úng cho m i lo i v t hay không?ể đ ọ ạ ậ Không. N u các v t không gi c nh n d ng riêng c a chúng, thì phát bi u trên có thế ậ ữ đượ ậ ạ ủ ể ể không úng i v i chúng.đ đố ớ Ví d , thêm 2 gi t n c vào 3 gi t n c có th ch t o ra m t gi t n c – m t gi t n cụ ọ ướ ọ ướ ể ỉ ạ ộ ọ ướ ộ ọ ướ l n.ớ T ng t , n u nh t 2 con h và 3 con th chung m t chu ng, thì sau m t lúc nào ó cóươ ự ế ố ổ ỏ ộ ồ ộ đ th ta th y ch còn hai con v t thôi – hai con h s n th t 3 con th cùng ng m t lể ấ ỉ ậ ổ ẽ ă ị ỏ đườ ạ ộ kia. M t ví d n a, m t l c b ng 2 n v và m t l c khác b ng 3 n v , hai l c cùng tácộ ụ ữ ộ ự ằ đơ ị ộ ự ằ đơ ị ự d ng vào m t v t có th cho h p l c b ng b t kì giá tr nào n m gi a 1 và 5 n v l cụ ộ ậ ể ợ ự ằ ấ ị ằ ữ đơ ị ự tùy thu c vào góc gi a chúng.ộ ữ N u chúng tác d ng ng c chi u nhau, thì t ng c a chúng s b ng m t n v , còn n uế ụ ượ ề ổ ủ ẽ ằ ộ đơ ị ế chúng tác d ng cùng chi u nhau, thì t ng c a chúng s b ng 5 n v .ụ ề ổ ủ ẽ ằ đơ ị Tuy nhiên, t ng c a chúng s b ng 4 n v n u góc gi a chúng b ng 75,5 .ổ ủ ẽ ằ đơ ị ế ữ ằ độ 5. S m r ng khái ni m s có ngh a là gì?ự ở ộ ệ ố ĩ Nh ng con s u tiên g n li n v i nh ng v t c th nên khái ni m s ban u h n chữ ố đầ ắ ề ớ ữ ậ ụ ể ệ ố đầ ạ ế v i ch nh ng con s nguyên. Các phân s xu t hi n t nhiên sau ó và s ra i c aớ ỉ ữ ố ố ấ ệ ự đ ự đờ ủ m t kí hi u cho s không là m t s ki n l n, còn các s âm c th a nh n l i là m t sộ ệ ố ộ ự ệ ớ ố đượ ừ ậ ạ ộ ự mi n c ng l n.ễ ưỡ ớ Nh ng con s nh th g p chung l i c g i là s h u t .ữ ố ư ế ộ ạ đượ ọ ố ữ ỉ Khái niệm cơ bản của số học & Đại số 2 M t l n n a s m r ng này b t u, và n l t s vô t và s ph c c công nh n.ộ ầ ữ ự ở ộ ắ đầ đế ượ ố ỉ ố ứ đượ ậ M t s vô t là con s không th bi u di n c b ng th ng c a hai s nguyên. Ví ộ ố ỉ ố ể ể ễ đượ ằ ươ ủ ố d ,ụ 2 là m t s vô t .√ ộ ố ỉ S vô t và s h u t c g i chung là s th c.ố ỉ ố ữ ỉ đượ ọ ố ự M t s ph c là m t con s b t kì có d ng a + bi, trong ó a và b là s th c, và i là kí hi u ộ ố ứ ộ ố ấ ạ đ ố ự ệ cho c n b c hai c a tr m t, t c là iă ậ ủ ừ ộ ứ 2 = - 1. 6. Các s siêu vi t là gì?ố ệ Nh ng s vô t không b ng c n b c hai c a b t kì ph ng trình i s nào c g i là sữ ố ỉ ằ ă ậ ủ ấ ươ đạ ố đượ ọ ố siêu vi t.ệ e và là nh ng s nh th .π ữ ố ư ế e = 2,71828 ; = 3,14159 π các d u ch m cu i có ngh a là chu i s không có k t thúc mà kéo dài n vô t n.ấ ấ ở ố ĩ ỗ ố ế đế ậ V các s siêu vi t, có m t k t qu thú v do Gelfond ch ng minh vào n m 1934 là ề ố ệ ộ ế ả ị ứ ă α β là siêu vi t n uệ ế α là i l ng i s khác 0 và khác 1, vàđạ ượ đạ ố là i l ng i s và không β đạ ượ đạ ố ph i s h u t .ả ố ữ ỉ Nh v y, 2ư ậ 3√ , 3 2√ , 5 3√ là nh ng s siêu vi t. Nh ng n uữ ố ệ ư ế α và β u là siêu vi t thì không đề ệ bi tế α β có siêu vi t hay không. Ví d , ng i ta không rõ eệ ụ ườ e , π π ho c ặ π e có là siêu vi t hay ệ không. Tuy nhiên, e iπ = - 1 là m t k t qu r t p.ộ ế ả ấ đẹ 7. Vì sao i s c g i là s h c khái quát hóa?đạ ố đượ ọ ố ọ M t ví d s làm sáng t .ộ ụ ẽ ỏ nhà tr ng, tr em c h c r ng n u l y bình ph ng c a m t con s tr cho 1, thì Ở ườ ẻ đượ ọ ằ ế ấ ươ ủ ộ ố ừ nó b ng tích c a s li n tr c và s li n sau con s ó.ằ ủ ố ề ướ ố ề ố đ Nh v y,ư ậ 4 2 – 1 = (4 + 1) (4 – 1). 5 2 – 1 = (5 + 1) (5 – 1), 6 2 – 1 = (6 + 1) (6 – 1). Khái niệm cơ bản của số học & Đại số 3 Rõ ràng m nh trên là úng n u ch 4, 5 ho c 6, ta thay vào con s b t kì nào khác.ệ đề đ ế ở ỗ ặ ố ấ N u a m t kí hi u m i, ví d nh x, bi u di n m t con s b t kì và là m t con s ế đư ộ ệ ớ ụ ư để ể ễ ộ ố ấ ộ ố không có gì c bi t h t, thì m nh trên có th c vi t khái quát nh sauđặ ệ ế ệ đề ể đượ ế ư x 2 – 1 = (x + 1) (x – 1). Vi c a thêm vào kí hi u x là s kh i u c a i s .ệ đư ệ ự ở đầ ủ đạ ố 8. S c m nh c a i s n m âu?ứ ạ ủ đạ ố ằ ở đ i s có c ph n l n s c m nh c a nó t vi c x lí b ng kí hi u v i các ph n t , các Đạ ố đượ ầ ớ ứ ạ ủ ừ ệ ử ằ ệ ớ ầ ử toán t và các liên h .ử ệ Các kí hi u x, y, z, c dùng làm các ph n t , phép c ng và phép nhân ch y u c ệ đượ ầ ử ộ ủ ế đượ dùng làm toán t , và d u b ng là liên h bình th ng k t n i các ph n t .ử ấ ằ ệ ườ ế ố ầ ử Nh v y x + x = 2x, và x + y = y + xư ậ cho dù x và y bi u di n con s nào.ể ễ ố 9. i s có c khái quát hóa không?Đạ ố đượ Kí hi u x, dùng bi u di n con s b t kì, có ti m n ng gi nh l n. Tr c tiên, nó mangệ để ể ễ ố ấ ề ă ả đị ớ ướ n các ph ng trình i s , cái th ng l nh a h t nghiên c u lâu n m c trong kho ng đế ươ đạ ố ố ĩ đị ạ ứ đế ứ ả m t th k r i, i s ch là lí thuy t c a các ph ng trình.ộ ế ỉ ưỡ đạ ố ỉ ế ủ ươ Sau này x không ch h n ch là nh ng con s mà nó còn c s d ng bi u di n b t ỉ ạ ế ữ ố đượ ử ụ để ể ễ ấ kì th c th nào khác, và các d u toán t cho phép c ng và phép nhân ã c phép ự ể ấ ử ộ đ đượ mang l i nh ng ý ngh a m i tùy thu c vào lo i th c th ang c xét n.ạ ữ ĩ ớ ộ ạ ự ể đ đượ đế Vì th , th c th xác nh ý ngh a g n li n v i d u + và ×.ế ự ể đị ĩ ắ ề ớ ấ Các vector và ma tr n là hai ví d quen thu c c a nh ng th c th nh th . Chúng s ậ ụ ộ ủ ữ ự ể ư ế ẽ c nói t i ph n sau.đượ ớ ở ầ ây là hình nh khái quát hóa c a cái i s ban u i di n.Đ ả ủ đạ ố đầ đạ ệ 10. Nó khác nh th nào v i hình th c ban u c a i s ?ư ế ớ ứ đầ ủ đạ ố Trong đại số sơ cấp, các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường, và các dấu toán tử, ví dụ + và ×, kí hiệu cho phép cộng và phép nhân bình thường. Nhưng ở hình Khái niệm cơ bản của số học & Đại số 4 thức khái quát hóa, các chữ cái kí hiệu cho thực thể bất kì nào đó, và dấu của toán tử là bất kì quy tắc kết hợp nào có liên quan đến thực thể. 11. i s tr u t ng là gì? Có ph i nó là m t s khái quát hóa h n n a?Đạ ố ừ ượ ả ộ ự ơ ữ Trong i s tr u t ng, ngay c nh ng th c th này c ng m t h t ý ngh a c a chúng v đạ ố ừ ượ ả ữ ự ể ũ ấ ế ĩ ủ ề ph ng di n l n và ng i ta nói t i nh ng “ph n t ” khái quát h n trên ó nh ng ươ ệ độ ớ ườ ớ ữ ầ ử ơ đ ữ toán t t ng t các toán t i s có th c th c hi n.ử ươ ự ử đạ ố ể đượ ự ệ M t ví d c a nh ng ph n t nh th là hai chuy n ng tác d ng liên ti p nhau h p l i ộ ụ ủ ữ ầ ử ư ế ể độ ụ ế ợ ạ s t ng ng v i m t chuy n ng.ẽ ươ đươ ớ ộ ể độ minh h a, kí hi u chuy n ng quay c a m t hình vuông quanh tâm c a nó 90Để ọ ệ ể độ ủ ộ ủ o là R 1 , 180 o là R 2 và 270 o là R 3 , thì chuy n ng quay Rể độ 1 r i n Rồ đế 2 s t ng ng v i m t ẽ ươ đươ ớ ộ chuy n ng Rể độ 3 . M t ví d n a là hai phép bi n i i s s t o ra cùng m t k t qu v i m t phép bi n ộ ụ ữ ế đổ đạ ố ẽ ạ ộ ế ả ớ ộ ế i i s .đổ đạ ố minh h a, kí hi u phép t nh ti n là TĐể ọ ệ ị ế 1 và T 2 là phép quay, thì bi n i Tế đổ 1 r i n Tồ đế 2 s ẽ t ng ng v i m t phép t nh ti n Tươ đươ ớ ộ ị ế 3 . Do ó, n u v i m t t p h p nh t nh c a các “v t”, kí hi u b ng nh ng ch cái, nh ng đ ế ớ ộ ậ ợ ấ đị ủ ậ ệ ằ ữ ữ ữ toán t nh t nh có th c nh ngh a theo nh ng quy t c nh t nh, thì ng i ta nói ử ấ đị ể đượ đị ĩ ữ ắ ấ đị ườ m t h th ng i s ã c nh ngh a. Vì th , i s h c c nh n d ng là vi c ộ ệ ố đạ ố đ đượ đị ĩ ế đạ ố ọ đượ ậ ạ ệ nghiên c u nh ng h th ng i s a d ng, và khi ó nó c g i là i s tr u t ng ứ ữ ệ ố đạ ố đ ạ đ đượ ọ đạ ố ừ ượ hay i s tiên .đạ ố đề 12. Vì sao nó c g i là i s tr u t ng hay i s tiên ?đượ ọ đạ ố ừ ượ đạ ố đề Nó là tr u t ng b i vì chúng ta không quan tâm các ch cái trong h th ng i s ó kí ừ ượ ở ữ ệ ố đạ ố đ hi u cho cái gì. Cái quan tr ng là các tiên hay các quy t c ph i c th a mãn b i cácệ ọ đề ắ ả đượ ỏ ở toán t . Và nó có tính tiên b i vì nó c xây d ng n thu n t các quy t c hay các ử đề ở đượ ự đơ ầ ừ ắ tiên c phát bi u lúc ban u.đề đượ ể đầ Hai h th ng i s nh th c g i là nhóm và vành.ệ ố đạ ố ư ế đượ ọ Tên g i tho t nghe có chút l l m, nh ng hi u qua chút ít s làm d u i ph n ng ban uọ ạ ạ ẫ ư ể ẽ ị đ ả ứ đầ ó. Chúng ta s tr l i v i chúng ph n sau.đ ẽ ở ạ ớ ở ầ 13. Nh ng l nh v c nghiên c u nào s d ng i s tiên ?ữ ĩ ự ứ ử ụ đạ ố đề Khái niệm cơ bản của số học & Đại số 5 Topo h c, gi i tích hàm, c h c l ng t và v t lí ng i là m t vài cái tên thu c m t ọ ả ơ ọ ượ ử ậ đươ đạ ộ ộ ộ vài l nh v c quan tr ng, trong ó i s tiên t ra là công c kh o sát có s c m nh ĩ ự ọ đ đạ ố đề ỏ ụ ả ứ ạ nh t.ấ 14. S h c là lí thuy t c a nh ng con s ! Lí thuy t c a nh ng con s nghiên c u ố ọ ế ủ ữ ố ế ủ ữ ố ứ cái gì? Lí thuy t s c p c a nh ng con s nghiên c u cái sau ây:ế ơ ấ ủ ữ ố ứ đ Các h p s và các quy t c chia h t, s nguyên t và s xu t hi n c a chúng, nh lí c ợ ố ắ ế ố ố ự ấ ệ ủ đị ơ b n c a s h c, nh lí Fermat, nh lí Wilson, nh lí cu i cùng c a Fermat.ả ủ ố ọ đị đị đị ố ủ Các s Pythagoras,ố Tính ch t c a nh ng con s l n,ấ ủ ữ ố ớ Nh ng con s c nói t i ây là s t nhiên ho c s nguyên d ng.ữ ố đượ ớ ở đ ố ự ặ ố ươ 15. H p s và s nguyên t là gì?ợ ố ố ố M t s con s có th c phân tích thành nh ng th a s nh h n, ví d 15 = 3 × 5, ộ ố ố ể đượ ữ ừ ố ỏ ơ ụ nh ng 11 ho c 17 thì không phân tích c.ư ặ đượ Các s có th phân tích c thành nh ng th a s nh h n c g i là h p s , còn ố ể đượ ữ ừ ố ỏ ơ đượ ọ ợ ố nh ng s không th phân tích c nh th c g i là s nguyên t .ữ ố ể đượ ư ế đượ ọ ố ố 16. Còn s 1 thì sao? Nó có ph i là s nguyên t không?ố ả ố ố M t s nguyên t là s có c s là 1 và chính nó.ộ ố ố ố ướ ố Ví d , s nguyên t 7 có hai c s , 1 và 7, m c dù ng i ta g i chúng là nh ng c s ụ ố ố ướ ố ặ ườ ọ ữ ướ ố t m th ng.ầ ườ Vì th , n u 1 là s nguyên t thì nó s có úng hai c s . N u 1 là h p s , thì nó s có ế ế ố ố ẽ đ ướ ố ế ợ ố ẽ nhi u h n hai c s . Nh ng s 1 có úng m t c s thôi, cho nên nó không ph i là s ề ơ ướ ố ư ố đ ộ ướ ố ả ố nguyên t , c ng ch ng ph i là h p s .ố ũ ẳ ả ợ ố 17. Các quy t c chia h t là gì?ắ ế Sau ây là các quy t c chia h t. Ng i ta h c chúng nhà tr ng.đ ắ ế ườ ọ ở ườ 1. M t s là chia h t cho 2, n u ch s hàng n v c a nó chia h t cho 2. Nh v y, ộ ố ế ế ữ ố đơ ị ủ ế ư ậ nh ng s k t thúc v i 0, 2, 4, 6, ho c 8 là chia h t cho 2, nh trong 530 và 138.ữ ố ế ớ ặ ế ư Khái niệm cơ bản của số học & Đại số 6 2. M t s là chia h t cho 4, n u hai ch s t n cùng bên ph i là 00 ho c chia h t choộ ố ế ế ữ ố ậ ả ặ ế 4, nh trong 300 và 528.ư 3. M t s là chia h t cho 8, n u ba ch s t n cùng bên ph i là 000 ho c chia h t ộ ố ế ế ữ ố ậ ả ặ ế cho 8, nh trong 3000 và 3240.ư 4. M t s là chia h t cho 5, n u ch s t n cùng bên ph i là 0 ho c 5, nh trong 240 ộ ố ế ế ữ ố ậ ả ặ ư và 235. 5. M t s là chia h t cho 25, n u hai ch s t n cùng bên ph i là 00 ho c chia h t ộ ố ế ế ữ ố ậ ả ặ ế cho 25, nh trong 300 và 425.ư 6. M t s là chia h t cho 3, n u t ng các ch s trong s ó chia h t cho 3, nh ộ ố ế ế ổ ữ ố ố đ ế ư trong 231. ây 2 + 3 + 1 = 6, t ng chia h t cho 3, vì th 231 chia h t cho 3.Ở đ ổ ế ế ế Ta d dàng th y c nguyên nhân nh sau:ễ ấ đượ ư 231 = 2 × 100 + 3 × 10 + 1 = 2 × (99 + 1) + 3 × (9 + 1) + 1 = 2 × 99 + 2 × 1 + 3 × 9 + 3 × 1 + 1 = 2 × 99 + 2 + 3 × 9 + 3 + 1 = (2 × 99 + 3 × 9) + (2 + 3 + 1) = (m t b i c a 9) + (t ng các ch s ).ộ ộ ủ ổ ữ ố Do ó, m t con s là chia h t cho 3, n u t ng các ch s c a nó là chia h t cho 3.đ ộ ố ế ế ổ ữ ố ủ ế 7. M t s là chia h t cho 9, n u t ng các ch s trong s ó chia h t cho 9, nh ộ ố ế ế ổ ữ ố ố đ ế ư trong 477. ây, 4 + 7 + 7 = 18, t ng chia h t cho 9, nên 477 chia h t cho 9.Ở đ ổ ế ế Lí do trong tr ng h p này c ng t ng t nh v i tr ng h p chia h t cho 3.ườ ợ ũ ươ ự ư ớ ườ ợ ế 8. M t s là chia h t cho 11 n u hi u gi a t ng c a các ch s th t l và t ng các ộ ố ế ế ệ ữ ổ ủ ữ ố ứ ự ẻ ổ ch s th t ch n b ng 0 ho c b ng b i c a 11.ữ ố ứ ự ẵ ằ ặ ằ ộ ủ Xét con s 1 8 3 9 5 5 2.ố T ng các ch s th t l là 1 + 3 + 5 + 2 = 11,ổ ữ ố ứ ự ẻ Khái niệm cơ bản của số học & Đại số 7 T ng các ch s th t ch n là 8 + 9 + 5 = 22,ổ ữ ố ứ ự ẵ Hi u b ng 22 – 11 = 11, chia h t cho 11,ệ ằ ế nên 1 8 3 9 5 5 2 chia h t cho 11.ế 18. Còn nh ng quy t c nào khác n a không?ữ ắ ữ Vâng, có nh ng quy t c h p d n nh sau:ữ ắ ấ ẫ ư 1. Tích c a hai s b ng tích c a c chung l n nh t c a chúng và b i chung nh ủ ố ằ ủ ướ ớ ấ ủ ộ ỏ nh t c a chúng.ấ ủ Nh chúng t ng ng là 6 và 36, và 12 × 18 = 6 × 36 = 216.ư ươ ứ 2. Tích c a hai s nguyên liên ti p là chia h t cho 2, t c là n(n + 1) là chia h t cho 2, ủ ố ế ế ứ ế trong ó n là s nguyên b t kì.đ ố ấ 3. Tích c a ba s v y, n u hai s là 12 và 18, thì c chung l n nh t và b i chung ủ ố ậ ế ố ướ ớ ấ ộ nh nh t c a nguyên liên ti p, t c là n(n + 1)(n + 2), là chia h t cho 2 × 3, t c là 6.ỏ ấ ủ ế ứ ế ứ 4. Tích c a b n s nguyên liên ti p, t c là n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là chia h t cho 2 × 3 ủ ố ố ế ứ ế × 4, t c là 24.ứ 5. Tích c a r s nguyên liên ti p là chia h t cho 2 × 3 × 4 × × r, hay r!ủ ố ế ế . Tích 1.2.3 r c g i là r giai th a, và c kí hi u làđượ ọ ừ đượ ệ r! 6. V i m i s l n, s nớ ọ ố ẻ ố 2 – 1 là chia h t cho 8.ế N u n là m t s l , thì n – 1 ph i ch n và chia h t cho 2. ng th i, n + 1 là s ế ộ ố ẻ ả ẵ ế Đồ ờ ố ch n li n sau và, do ó, chia h t cho 4. Vì th , tích này chia h t cho 8.ẵ ề đ ế ế ế Khái niệm cơ bản của số học & Đại số 8