THÔNG TIN TÀI LIỆU
1 Mục Lục Mục lục …………………………………………………………………………… Phần 1: Mở đầu…………………………………………………………………… Lý chọn đề tài……………………………………………………………2 Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu…………………………… Mang l■i tr■ nghi■m m■i m■ cho ng■■i dùng, công ngh■ hi■n th■ hi■n ■■i, b■n online khơng khác so v■i b■n g■c B■n có th■ phóng to, thu nh■ tùy ý Đối tượng phạm vi nghiên cứu………………………………………… Phương pháp nghiên cứu………………………………………………… Tính đề tài………………………………………………………… Phần 2: Nội dung………………………………………………………………… Cơ sở lý luận …………………………………………………………… Thực trạng vấn đề………………………………………………………… Các giải pháp thực hiện………………………………………………… 3.1 Cơ sở lý thuyết……………………………………………………….4 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 3.2 Bài toán 1…………………………………………………………… 3.2.1 Dạng 1……………………………………………………… 3.2.2 Dạng 2……………………………………………………… 3.2.3 Dạng 3……………………………………………………… 3.3 Bài toán 2…………………………………………………………… 3.3.1 Dạng 1……………………………………………………… 3.3.2 Dạng 2……………………………………………………… 10 3.4 Bài toán 3………………………………………………………… 12 3.5 Bài toán 4………………………………………………………… 14 Thực nghiệm kết thực hiện……………………………………… 17 Phần 3: Kết luận kiến nghị…………………………………………………… 18 Kết luận……………………………………………………………………18 Kiến nghị………………………………………………………………… 18 Phần 4: Tài liệu tham khảo ……………………………………………………….18 123doc Xu■t Sau Nhi■u h■n phát event s■ m■t t■ h■u thú ýn■m t■■ng m■t v■,raevent kho ■■i, t■oth■ c■ng ki■m 123doc vi■n ■■ng ti■n kh■ng ■ãthi■t t■ng ki■m l■ th■c b■■c v■i ti■nh■n 123doc online kh■ng 2.000.000 b■ng ln ■■nh ln tàitài v■ li■u t■o li■u tríhi■u c■ c■a ■ t■t h■i qu■ c■ gianh■t, l■nh t■nguy v■c: l■nh thu tínnh■p tài v■c cao nh■t tài online li■u tínMong cho d■ng, kinh t■t mu■n công c■ doanh mang ngh■ online thành l■i thông cho viên Tính tin, c■ng c■a ■■n ngo■i website ■■ng th■i ng■, Khách ■i■m xã h■itháng m■thàng ngu■n 5/2014; có th■ tài 123doc nguyên d■ dàng v■■t tri tra th■c m■c c■u quý 100.000 tàibáu, li■uphong m■t l■■t cách truy phú,c■p ■am■i d■ng, xác, ngày, nhanh giàus■ giá chóng h■u tr■ 2.000.000 ■■ng th■ithành mongviên mu■n ■■ng t■oký, ■i■u l■t ki■n vào top cho200 chocác cácwebsite users cóph■ thêm bi■n thunh■t nh■p t■iChính Vi■t Nam, v■yt■123doc.net l■ tìm ki■m thu■c ■■i nh■m top 3■áp Google ■ng Nh■n nhu c■u ■■■c chiadanh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Nhi■u 123doc Sau Th■a thu■n event s■ cam nh■n h■u k■t s■ thú xác m■t d■ng v■, s■ nh■n mang event kho t■ th■ l■i ki■m ■■ng CH■P vi■n nh■ng ti■n h■ kh■ng NH■N quy■n th■ng thi■tl■ CÁC th■c s■ l■i v■ichuy■n ■I■U t■t h■n 123doc nh■t 2.000.000 KHO■N sang cho ng■■i ph■n TH■A tàit■o li■u thông dùng THU■N c■ ■ tin t■t h■i Khixác c■ khách giaminh l■nh t■ng Chào hàng tài v■c: thu m■ng kho■n tr■ nh■p tài thành b■n email online ■■n thành tínb■n cho d■ng, v■i viên ■ã t■t 123doc 123doc.net! công ■■ng c■a c■ ngh■ 123doc kýthành v■i Chúng thông 123doc.netLink viên n■p tin, c■a cung ti■n ngo■i website vào c■p ng■, Khách xác tài D■ch kho■n th■c V■ s■ c■a (nh■ hàng ■■■c 123doc, ■■■c cóg■i th■v■ mơ b■n d■■■a t■ dàng s■ d■■i ■■■c ch■ tra■ây) email c■u h■■ng cho tài b■n li■u b■n, nh■ng ■ã m■t tùy ■■ng quy■n cách thu■c ky, l■i b■n vàosau xác, vuin■p lịng “■i■u nhanh ti■n ■■ng Kho■n chóng nh■p website Th■a email Thu■n c■a v■ S■vàD■ng click D■ch vào link V■” 123doc sau ■ây ■ã (sau g■i ■ây ■■■c g■i t■t T■i t■ng th■i ■i■m, có th■ c■p nh■t ■KTTSDDV theo quy■t Nhi■u Mang Luôn 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Mangh■n Ln 123doc Th■a Xu■t Sau Nhi■u h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p không tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mơ ngun b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n 123doc Th■a Xu■t Sau h■■ng phát thu■n cam nh■n m■t t■k■t s■ t■i ýxác n■m t■■ng d■ng s■ nh■n website mang ■■i, t■o t■l■i c■ng ■■ng d■n 123doc CH■P nh■ng ■■u ■■ng h■ NH■N ■ã quy■n th■ng chia t■ng ki■m CÁC s■s■ l■i b■■c ti■n vàchuy■n ■I■U t■t mua online kh■ng nh■t bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh ng■■i li■u ph■n tài TH■A v■ li■u hàng thơng dùng tríTHU■N hi■u c■a ■■u tin Khi qu■ Vi■t xác khách nh■t, minh Nam Chào hàng uy tài l■nh Tác m■ng tín kho■n tr■ phong v■c cao thành b■n email nh■t tàichuyên ■■n li■u thành b■n Mong v■i nghi■p, viên kinh ■ã 123doc 123doc.net! mu■n ■■ng c■a doanh hoàn mang 123doc kýonline v■i h■o, Chúng l■ivà 123doc.netLink cho Tính ■■ n■p tơi c■ng cao ■■n cung ti■n tính ■■ng th■i vào c■p trách xác tài ■i■m D■ch xãkho■n th■c nhi■m h■itháng V■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i ■■■c ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c g■i t■ng tài 123doc v■ mô nguyên b■n ng■■i ■■a t■s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c m■c ■ây) email M■c h■■ng quý 100.000 cho b■n tiêu báu, b■n, nh■ng ■ã hàng phong l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau vuingày, n■p lòng “■i■u giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc Mang h■■ng phát thu■n l■i event cam s■ nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chun ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thơng B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i không t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t u■t phát Nhi■u Mang Luôn 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n t■ m■t tr■ t■ h■u ýk■t s■ thú nghi■m t■i ýt■■ng xác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event t■o kho m■i ■■i, t■o t■ c■ng th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■ng ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia ki■m t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c ti■n s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công online h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N b■ng sang b■ng cho tài ■■nh hi■n tài ng■■i li■u ph■n tài TH■A li■u tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thông dùng trí hi■u hi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin qu■ t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia nh■t, b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online uy hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác tín m■ng tín kho■n tr■ cao nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n nh■t email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tín Mong b■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã mu■n t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n mang hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i l■i h■o, Chúng l■i thông B■n cho 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có c■ng tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i ■■ng tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác xã tài ■i■m D■ch xã to,h■i kho■n th■c nhi■m h■i thum■t tháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ngu■n ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cótài g■i t■ng th■ tài 123doc ngun v■ mơ ngun b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t tri d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c tra th■c m■c ■ây) email c■u quý M■c h■■ng quý 100.000 cho tài báu, b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng phong ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u phú, quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a ■a l■i b■n vào d■ng, 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p giàu lòng “■i■u nhanh giàu ti■n giá s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u tr■ thành tr■ nh■p ■■ng 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email th■i vi■n th■i Thu■n mong c■a thành mong tài v■ li■u mu■n viên mu■n S■ online ■■ng D■ng t■o click t■o l■n ■i■u ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n ki■n V■” vào Vi■t 123doc cho top sau cho Nam, cho 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■i users website c■p users ■âynh■ng có ■■■c cóph■ thêm thêm tài bi■n g■i thu thu li■u t■t nh■p nh■t nh■p ■■c T■it■i Chính khơng t■ng Chính Vi■tth■i vìth■ Nam, vìv■y v■y ■i■m, tìm 123doc.net t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racó ■■i thu■c ■■i tr■■ng th■ nh■m nh■m c■p top ngo■i ■áp 3nh■t ■áp Google ■ng tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net nhu Nh■n nhuc■u c■u ■■■c chia theo chias■ quy■t danh s■tàitài hi■u li■u li■uch■t ch■t c■ng l■■ng l■■ng ■■ng vàvàki■m bình ki■mch■n ti■n ti■nonline online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t 2 Phần 1: Mở Đầu Lý chọn đề tài Trong kì thi Tốt nghiệp, Đại học Cao đẳng mơn Tốn đóng vai trị quan trọng Trang bị kiến thức, kĩ phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh mục tiêu hàng đầu dạy học mơn Tốn Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x phần quan trọng chương trình tốn phổ thơng Được áp dụng nhiều kì thi Tốt nghiệp, tuyển sinh thời lượng nội dung phân phối chương trình tốn 11 Học sinh lúng túng lựa chọn phương pháp phù hợp để giải số toán phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Từ kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chun mơn, phụ đạo học sinh yếu kém,… lựa chọn phân dạng số tốn phương trình tiếp tuyến từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho đối tượng học sinh không bị thụ sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em động đa dạng tốn, giúp em giải tốt toán phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Do đó, lựa chọn thực đề tài "Phương pháp giải số tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x " mong muốn giúp học sinh u thích mơn Toán, đạt kết thật tốt học tập kì thi quan trọng tới Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nhằm hệ thống lại số dạng phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đưa phương pháp giải phù hợp cho dạng Chủ yếu đề cập đến phương pháp giải số tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số số tập có liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Học sinh lớp 11a16 năm học 2013 – 2014 Học sinh lớp 11A4, 11A8 Trường trung học phổ thông Trần Văn Bảy Phương pháp nghiên cứu Để tiến hành làm đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: Tổng hợp, tích lũy Phương pháp nghiên cứu tài liệu bổ trợ Áp dụng kinh nghiệm, phương pháp lớp học Thao giảng, dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp q trình dạy Tính đề tài Đề tài chủ yếu tập trung phân loại số dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp lớp 11, 12 Đối với dạng có hướng dẫn cách xác định kiện cịn thiếu để viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cách nhanh chóng Trong dạng đưa có ví dụ minh họa dễ hiểu, có tập để em học sinh áp dụng Đề tài khơng chọn tốn q phức tạp nên việc tiếp cận học sinh kiến thức phương trình tiếp tuyến dễ dàng sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Đây đề tài gần với chương trình tốn 11, cung cấp cho em thêm kiến thức thật vững để giải tốn khó lớp 12 tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia 4 Phần 2: Nội Dung Cơ sở lý luận Dạy toán trường phổ thơng dạy hoạt động Tốn học, với học sinh việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Khi giải tập cần chuẩn bị phương pháp thích hợp làm cho lời giải rõ ràng, có lơgic, xác, dễ hiểu … hiệu việc giải toán tốt nhất, tạo hứng thú tích cực học tập cho học sinh mơn học Từ lựa chọn phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh, với dạng toán cụ thể giúp em định hướng phương pháp giải nhanh có hiệu Thực trạng vấn đề * Thuận lợi sa + Tài liệu tham khảo đa dạng sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em + Được giúp đỡ nhiệt tình từ đồng nghiệp nhà trường + Các em học sinh có tính hợp tác cao hoạt động dạy học * Khó khăn + Thời lượng dành cho nội dung + Học sinh nắm kiến thức chưa vững, số em chưa chủ động học tập, ngại phát giải vấn đề dựa tảng kiến thức cũ,… Dựa tình hình thực tế tơi nghiên cứu, tìm tịi, tích lũy đưa phương pháp giải số tốn phương trình tiếp tuyến để đối tượng học sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực học tập Sau “Phương pháp giải số tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x ” mà tơi tích lũy từ kinh nghiệm giảng dạy Các giải pháp thực 3.1 Cơ sở lý thuyết Đạo hàm hàm số y f x điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M x0 ; f x0 Hàm số y f x có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M x0 ; f x0 có phương trình y y0 f x0 x x0 (1) Trong y0 f x0 3.2 Bài tốn 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y f x điểm cho trước 3.2.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y f x điểm M x0 ; y0 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em * Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y f x điểm M x0 ; y0 Cách giải: + Tính f ' x , f ' x0 + Thay x0 , y0 , f ' x0 vào phương trình (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ: Cho hàm số y x2 x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A 0; 1 Giải Ta có y x y 0 2 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm A 0; 1 là: y 1 2. x hay y 2 x Bài tập áp dụng: Cho hàm số y x3 3x2 hàm số (C) điểm M 1; 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị Cho hàm số y x4 x2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm M 1; 6 * Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y f x điểm M thỏa mãn tính chất P cho trước Cách giải: + Lập hệ thức M thỏa mãn tính chất P, tìm x0 ; y0 + Tính f ' x , f ' x0 + Thay x0 , y0 , f ' x0 vào phương trình (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 1: Cho hàm số y 2x 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị x 1 (C) giao điểm đồ thị với trục tung Giải sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Gọi M x0 ; y0 với x0 1 giao điểm đồ thị (C) với trục tung sa x0 x y0 x0 M 0; 1 Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: y0 1 x Ta có f ' x x 1 f '(0) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M 0; 1 là: y 1 5. x hay y 5x Ví dụ 2: Cho hàm số y x3 x2 x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) giao điểm (C) với trục hoành Giải Gọi M x0 ; y0 giao điểm đồ thị (C) với trục hoành Tọa độ giao điểm M (C) với trục hoành nghiệm hệ phương trình: x0 M1 1;0 y0 x03 x02 x0 x0 M 4;0 y0 y Ta có y 3x2 12 x y ' 1 0; y ' 9 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y y 9 x 36 Bài tập áp dụng: Cho hàm số y x 3 x2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm đồ thị hàm số (C) đường thẳng d : x y Cho hàm số y x x 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d điểm cực đại đồ thị (C) 3.2.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y f x điểm có hồnh độ x0 Cách giải: + Tính f ' x f ' x0 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em + Thay x0 vào (C) tìm y0 + Thay x0 , y0 , f ' x0 vào phương trình (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ : Cho hàm số y 2x 1 (C) Hãy viết phương trình đồ thị hàm số x2 (C) điểm có hồnh độ x0 Giải Ta có y x 2 Với x0 ta : y 3 3 ; y0 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm N 3;5 là: y 3. x 3 hay y 3x 14 Bài tập áp dụng: Cho hàm số y x3 3x2 , ta có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ 8 Cho hàm số y x3 x 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 thỏa f '' x0 3.2.3 Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y f x điểm có tung độ y0 Cách giải: + Thay y0 vào (C) tìm x0 + Tính f x f x0 + Thay x0 , y0 , f ' x0 vào phương trình (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ : Cho hàm số y x 3 x 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ Giải Ta có y x 1 y 5 x0 x0 5 x0 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Theo đề ta có: y0 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm P 5;2 là: 1 13 y x 5 hay y x 4 Bài tập áp dụng: Cho hàm số y 2x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x2 điểm có tung độ Cho hàm số y x3 3x2 x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ 1 3.3 Bài tốn 2: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y f x biết hệ số góc tiếp tuyến 9 3.3.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y f x biết hệ số góc tiếp tuyến k Cách giải: * Cách 1: Tìm hồnh độ tiếp điểm x0 + Tính f ' x Giải phương trình f ' x0 k , tìm x0 + Thay x0 vào phương trình y f x tìm y0 + Thay x0 , y0 , f ' x0 vào phương trình (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm * Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc đường thẳng đường cong (C) + Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y kx b (2) + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) hệ phương trình sau có nghiệm: (Nghiệm x phương trình hoành độ tiếp điểm) sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em f x kx b f x k + Giải phương trình f ( x) k tìm x vào phương trình f ( x) kx b tìm b + Thay b vào (2) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ : Cho hàm số y f x x2 x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C), biết hệ số góc tiếp tuyến Giải Cách 1: Ta có y f x x Theo đề ta có f x0 x0 x0 Với x0 y0 Phương trình tiếp tuyến C điểm M (4;9) là: y x hay y x 15 Cách 2: 10 Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y kx b Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) Hệ phương trình sau có nghiệm: x2 x x b b 15 x 2 x Phương trình tiếp tuyến cần tìm y x 15 Bài tập áp dụng: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y góc tiếp tuyến 2x 1 , biết hệ số 4x 1 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số C : y 3x3 x2 x , biết hệ số góc tiếp tuyến -1 sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 3.3.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số C : y f x sa biết hệ số góc k thỏa mãn điều kiện P cho trước Cách giải: + Tính f ' x + Lập hệ thức k thỏa mãn điều kiện P, tìm k + Áp dụng dạng tìm phương trình tiếp tuyến (C) Chú ý: Hai đường thẳng 1 : y k1 x m1; 2 : y k2 x m2 1 / / 2 k1 k2 ; 1 2 k1.k2 1 Ví dụ : y f x x2 x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến : a Song song với đường thẳng d : y x 2015 b Vng góc với đường thẳng : x y 11 Giải Ta có y f x x a Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y x 2015 Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y x 2015 nên f x0 x0 Với x0 y0 Phương trình tiếp tuyến C điểm M (3;4) là: y x 3 hay y x b Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : x y Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : x y nên f x0 x0 16 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Với x0 y0 Phương trình tiếp tuyến C điểm N ; là: 16 y 1 1 3 x hay y x 16 16 2 4 Ví dụ 2: Cho hàm số: y x x 2x tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bé Giải Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k Khi đó: k = y' = x2 + 2x + = (x + 1)2 + 1, x x 1 Dấu '' '' xảy kmin y Vậy tiếp tuyến cần tìm y x (C) Viết phương trình tiếp 12 Bài tập áp dụng: x 3x Cho hàm số y 2x2 (C) Chứng minh giao điểm (C) với trục hồnh tiếp tuyến với (C) vng góc với Chứng minh đồ thị hàm số C : y f x x3 x2 x khơng có hai điểm mà tiếp tuyến hai điểm vng góc với 3.4 Bài tốn 3: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số C : y f x biết tiếp tuyến qua (xuất phát, kẻ từ) điểm A xA ; y A Cách giải: * Cách + Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A với hệ số góc k d: y k ( x xA ) yA (3) sa có nghiệm sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em + Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) hệ phương tình f ( x) k ( x x A ) y A f '( x) k (I) (Số nghiệm hệ phương trình số tiếp tuyến qua điểm A) + Giải hệ (I) tìm k, thay k tìm vào (3) để viết phương trình tiếp tuyến * Cách + Gọi M x0 ; y0 hoành độ tiếp điểm + Phương trình tiếp tuyến d điểm M là: y f x0 x x0 y0 (4) + Tiếp tuyến d qua A xA ; y A Tọa độ điểm A nghiệm phương trình (4) y A f x0 xA x0 y0 (5) + Giải phương trình (5) tìm x0 , y0 , f x0 + Thay x0 , y0 , f x0 vào (4) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm 13 Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 3x2 (C).Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) xuất phát từ điểm A 0;2 Giải Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm; Lập phương trình đường thẳng d qua A 0;2 có hệ số góc k y kx 2 Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) hệ phương trình sau có nghiệm: x k x 3x kx f x kx ' x k f x k x x k Vậy có hai tiếp tuyến là: y y x Ví dụ : Cho đồ thị (C): y x3 3x 1, viết phương trình tiếp tuyến với (C) Ta có: y ' 3x sa Giải sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em biết tiếp tuyến qua điểm A(2; 1) Gọi M x0 ; x03 3x0 1 tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 ) 3x02 Phương trình tiếp tuyến với (C) M : y x03 3x0 1 (3x02 3)( x x0 ) qua A( 2; 1) nên ta có: 1 x03 3x0 1 (3x02 3)(2 x0 ) x03 3x02 x0 y0 1 ( x0 1)( x02 x0 4) x0 2 y0 1 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 1 : y 1; 2 : y x 17 Bài tập áp dụng: Cho hàm số y 2x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm x 1 số (C), biết tiếp tuyến qua điểm M(1; 8) 14 Cho hàm số y = x3 + 3x2 - (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm N 1;3 3.5 Bài toán : Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C ) : y f x biết tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện P cho trước Cách giải : Đây dạng tốn khó phương trình tiếp tuyến, địi hỏi ta phải đọc hiểu đề bài, tìm hiểu điều kiện P liên quan đến đồ thị thực bước giải sau : + Phương trình tiếp tuyến d điểm M(x0; y0) có dạng: y = f ' x0 (x - x0) + y0 , + Từ giả thiết lập hệ thức tiếp tuyến d thỏa mãn tính chất P, tìm x0; y0; f ' x0 ; + Thay x0; y0; f ' x0 vào y = f ' x0 (x - x0) + y0 ta tiếp tuyến cần tìm 2x x2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Ví dụ : Cho hàm số y sa thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung A, B tam giác OAB thỏa mãn AB OA Giải Ta có: y ' 4 Gọi M(x0; y0) (C) , x0 x 2 Phương trình tiếp tuyến d M có dạng: y Theo giả thiết: x0 4 x x x0 x0 22 d Ox A d Oy B OAB vuông cân O AB OA Do đó: d d1 : y x d d2 : y x + Nếu d d1 : y x k d k d1 1 Giải phương trình ta được: 4 1 x0 2 x0 2 15 x0 = phương trình d: y = - x (loại) x0 = phương trình d: y = - x + + Nếu d d : y x k d k d 1 4 1 1 (vơ lí) x 2 Vậy có tiếp tuyến d cần tìm y x Ví dụ : Cho hàm số y = x4 - x2 + (C) Tìm điểm Oy cho từ điểm kẻ ba tiếp tuyến với (C) Giải Gọi M điểm thuộc Oy M 0; b Đường thẳng d qua M với hệ số góc k có dạng: y kx b x x kx b có ba Từ M kẻ ba tiếp tuyến Hệ phương trình k x x Ví dụ : Cho hàm số y = sa Giải hệ ta b 1 M 0;1 sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em nghiệm phân biệt 2x 1 có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến x 1 đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thỏa mãn OA 4OB Giải Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( x0 ; y0 ) (C ) cắt Ox A, Oy B cho OA 4OB Do OAB vuông O nên tan A OB 1 Hệ số góc d OA 4 x ( y ) 0 1 Hệ số góc d y ( x0 ) 0 ( x0 1)2 ( x0 1)2 x ( y 5) 16 y ( x 1) y x Khi có tiếp tuyến thỏa mãn là: y ( x 3) y x 13 4 Ví dụ 4: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y 2x , x 1 biết khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến lớn Giải Gọi tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm M a; 2a , M (C ) a 1 Ta có: y ' 4 y '(a) , a 1 ( x 1) (a 1) Vậy : y 2a ( x a) x (a 1) y 2a 4a (*) a (a 1) sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em (a 1) sa d I; 4(1) (a 1) 2 2a 4a a 1 (a 1) Ta có: (a 1)4 22 (a 1)2 2.2(a 1)2 (a 1)4 2.2(a 1)2 a d I; a 1 Vậy d I ; lớn d I ; = a 1 a a 22 (a 1)2 Cả hai giá trị thỏa mãn a a 2 a 3 + Với a = thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: 4x y x y 1 + Với a = -3 thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: x y 28 x y Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x y ; x y Bài tập áp dụng: 17 Cho (C) đồ thị hàm số y x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), 2x biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung tương ứng điểm A, B thỏa mãn OAB vuông cân gốc tọa độ O 2x 1 Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm x 1 Cho hàm số y I (1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn Cho hàm số y 2x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết x 1 tiếp tuyến cách hai điểm A(2; 4), B(4; 2) Thực nghiệm kết thực Sau trình thực nghiệm lớp học, đa số em học sinh hiểu giải tốt dạng tốn thường gặp Nhìn chung kết học tập học sinh khả quan, bên cạnh số em chưa theo kịp nên kết đạt sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em có phần hạn chế Sau Kết thu số lớp qua năm trực tiếp giảng dạy: Năm học 2013 - 2014 Lớp Sĩ số 11A16 34 Trên trung bình Dưới trung bình SL % SL % 17 50 17 50 Năm học 2014 - 2015 Lớp Sĩ số Trên trung bình Dưới trung bình SL % SL % 11A4 31 22 71 29 11A8 31 17 54,8 14 45,1 So với năm học trước em học sinh 11 năm học 2014 – 2015 có kết học tập tốt hơn, tín hiệu đáng mừng 18 Phần 3: Kết Luận Và Kiến Nghị Kết luận Trên kinh nghiệm tích lũy thân trình giảng dạy Đề tài thân sử dụng cách có hiệu khối lớp 11 Hữu ích cho em học sinh lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp Kết thu khả quan, em học tập cách tích cực, say mê Kiến nghị Trong trình giảng dạy, nghiên cứu Bản thân tơi rút tích lũy số kinh nghiệm “Phương pháp giải số toán phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x ” Thông qua đề tài mong hội đồng khoa học đồng chí, đồng nghiệp kiểm định, xây dựng góp ý để đề tài hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Làm tài liệu tham khảo tin cậy cho Thầy trò, phục vụ tốt cho ôn luyện kỳ thi quan trọng Tôi xin trân trọng cảm ơn! Phần 4: Tài Liệu Tham Khảo Sách giáo khoa Đại số giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam Tài liệu chuyên tốn Đại số giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam Internet: violet.vn, tailieu.vn, 19 NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN ……………………………………………………………………… ……… ……………………………………………………………………… .………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… Thạnh Trị, ngày tháng năm 2015 TỔ TRƯỞNG ………………………… NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN CẢI TIẾN KỸ sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em THUẬT TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN BẢY - ……………………………………………………………………… ……… ……………………………………………………………………… .………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… Thạnh Trị, ngày tháng năm 2015 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG HIỆU TRƯỞNG Phan Văn Tiếng 20 NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN CẢI TIẾN KỸ THUẬT NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH ………………………………………………………………………… …… …………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… …… …………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… …… sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em …………………………………………………………………… ………… ……………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ... hệ thống lại số dạng phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đưa phương pháp giải phù hợp cho dạng Chủ yếu đề cập đến phương pháp giải số toán phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số số tập có liên... 2: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y f x biết hệ số góc tiếp tuyến 9 3.3.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) : y f x biết hệ số góc tiếp tuyến. .. 2 x Bài tập áp dụng: Cho hàm số y x3 3x2 hàm số (C) điểm M 1; 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị Cho hàm số y x4 x2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C)
Ngày đăng: 29/10/2021, 16:37
Xem thêm: