co-so-toan-ung-dung_le-xuan-dai_tai-lieu-toan-ung-dung - [cuuduongthancong.com]

Chương SỐ PHỨC VÀ HÀM BIẾN PHỨC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Mục lục SỐ PHỨC VÀ HÀM BIẾN PHỨC 1.1 Số phức 1.1.1 Giới thiệu 1.1.2 Các phép tốn tính chất 1.1.3 Vector Module 1.1.4 Số phức liên hợp 1.1.5 Dạng lượng giác (dạng cực) số phức 1.1.6 Dãy số phức hội tụ 1.2 Hàm biến phức 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Giới hạn liên tục 1.2.3 Hàm chỉnh hình 1.2.4 Chuỗi luỹ thừa 1.2.5 Định nghĩa hàm sơ cấp 3 4 6 12 12 Tích phân 2.1 Tích phân đường 2.2 Lý thuyết Cauchy tích phân hàm chỉnh hình 18 18 23 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.1 1.1.1 Số phức Giới thiệu Trong phần này, nhắc lại số khái niệm tính chất đại số giải tích số phức Một số phức z có dạng z = x + iy, x y số thực i số ảo thoả i2 = −1 Ta gọi x y phần thực phần ảo z ký hiệu x = Re(z) y = Im(z) Tập hợp tất số phức ký hiệu C Một số phức thường xem không gian Euclide R2 cách đồng số phức z = x + iy ∈ C với điểm (x, y) ∈ R2 Một cách tự nhiên, trục Ox Oy R2 tương ứng thành trục thực trục ảo không gian phức 1.1.2 Các phép tốn tính chất Trong khơng gian phức C, ta trang bị phép toán sau: Cho z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 i) (Phép cộng) z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) ii) (Phép nhân)z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 )) Các phép toán thoả tính chất sau i) Tính giao hốn: z1 + z2 = z2 + z1 z1 z2 = z2 z1 ii) Tính kết hợp: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) iii) Tính phân phối: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phép cộng hai số phức tương ứng với phép cộng hai vector không gian R2 Trong với phép nhân bao gồm phép quay (xem 1.1.5), chẳng hạn ta nhân số phức với i, tương ứng ta có phép quay góc π2 1.1.3 Vector Module Ta thường đồng không gian phức không gian Euclide R2 , cách tự nhiên, để ký hiệu độ dài hay giá trị tuyệt đối số phức, ta đồng với độ dài Euclide R2 |z| = (x2 + y )1/2 Đây khoảng cách từ gốc toạ độ đến điểm có toạ độ (x, y) Ta có số bất đẳng thức sau Rez ≤ |Rez| ≤ |z| Imz ≤ |Imz| ≤ |z| Theo bất đẳng thức tam giác, với hai số phức z1 , z2 bất kỳ, ta có |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 ± z2 | ≤ |z1 | + |z2 | 1.1.4 Số phức liên hợp Ta định nghĩa số phức liên hợp z, ký hiệu z¯ = x − iy Trong mặt phẳng phức, z¯ đối xứng với z qua trục thực Ta dễ dàng kiểm tra z số thực z = z¯ z số ảo z = −¯ z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đồng thời ta dễ dàng kiểm tra Re(z) = z + z¯ |z|2 = z z¯ 1.1.5 Im(z) = z¯ = z |z| z − z¯ 2i (z 6= 0) Dạng lượng giác (dạng cực) số phức Với số phức z 6= 0, ta viết dạng lượng giác z = reiθ = r(cos θ + i sin θ) r = |z| θ ∈ R gọi argument z Argument z xác định sai khác n2π Nếu cho z1 = reiθ z2 = seiϕ , zw = rsei(θ+ϕ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.1.6 Dãy số phức hội tụ Cho dãy số {z1 , z2 , } số phức Dãy số gọi hội tụ đến z0 ∈ C lim |zn − z0 | = ta viết z0 = lim zn n→∞ n→∞ Khái niệm đồng với hội tụ R2 Ta dễ dàng kiểm tra dãy {zn } hội tụ tới z0 dãy phần thực dãy phần ảo zn hội tụ tương ứng tới phần thực phần ảo z0  Rez = lim Rezn n→∞ z0 = lim zn ⇔ n→∞ Imz = lim Imzn n→∞ 1.2 1.2.1 Hàm biến phức Khái niệm Định nghĩa 1.2.1 Xét Ω ⊂ C Một hàm biến phức Ω với giá trị phức quy tắc cho tương ứng phần tử z ∈ Ω với nhiều phần tử w∈C f :Ω→C ta ký hiệu w = f (z) Khác với khái niệm hàm thực quy tắc cho tương ứng MỘT x phần tử thuộc Ω với MỘT phần tử y, hàm biến phức tương ứng với nhiều trị CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nếu ứng với giá trị z xác định giá trị w nhất, ta nói hàm biến phức đơn trị, ngược lại, ta nói hàm đa trị Ví dụ 1.2.1 w = z n hàm đơn trị; √ w = n z hàm n-trị; w = arg z hàm vô số trị Bằng cách viết z = x + iy ' (x, y) ∈ R w = f (z) = u + iv, ta có f (z) = f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) u(x, y) = Re(f ) gọi phần thực, v(x, y) = Im(f ) gọi phần ảo hàm số f , Ví dụ 1.2.2 w = z , với z = x + iy, ta có u + iv = (x + iy)2 = (x2 − y ) + i(2xy) Do Re(f ) = x2 − y Im(f ) = 2xy Hoàn toàn tương tự với hàm biến phức, ta có khái niệm giới hạn, tính liên tục liên tục hàm biến phức 1.2.2 Giới hạn liên tục Cho hàm phức f xác định tập tuỳ ý Ω ⊂ C z0 điểm tụ Ω (tồn dãy số {zn } ⊂ Ω cho zn → z0 ) điểm xa vô tận Số phức a gọi giới hạn hàm số f (z) z dần đến z0 , ký hiệu lim f (z) = a z→z0 với lân cận V a tồn lân cận U z0 cho f (z) ∈ V với z ∈ U ∩ Ω; z 6= z0 Nói cách khác, z0 hữu hạn, ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀z ∈ Ω, ≤ |z −z0 | < δ |f (z) − a| <  Khi z0 = ∞, ∀ > 0, ∃R > 0, ∀z ∈ Ω, |z| > R |f (z) − a| <  Hàm f gọi liên tục z0 thoả mãn hai điều kiện sau CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt i) z0 điểm cô lập Ω (z0 không điểm tụ) ii) z0 điểm tụ Ω lim f (z) = f (z0 ) z→z0 Nếu viết f (z) = u(z) + iv(z), z ∈ Ω, ta dễ dàng thấy f liên tục z0 ∈ |Ω u v liên tục z0 Hàm f gọi liên tục Ω liên tục điểm z ∈ Ω Hàm f gọi liên tục Ω ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀z1 , z2 ∈ Ω, |z1 − z2 | < δ |f (z1 ) − f (z2 )| <  Dễ dàng thấy f liên tục Ω liên tục Ω Các tính chất hàm số liên tục hàm biến phức hàm thực hoàn toàn tương tự Định lý 1.2.1 Nếu hàm số f liên tục miền Ω đóng bị chặn, tồn số thực M khơng âm thoả |f (z)| ≤ M ∀z ∈ Ω Dấu xảy điểm z ∈ Ω 1.2.3 Hàm chỉnh hình 1.2.3.1 Khái niệm đạo hàm phức Cho Ω tập hợp C hàm số phức f xác định Ω Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 ∈ Ω tồn giới hạn f (z + h) − f (z) , h→0 h lim z, z + h ∈ Ω với h ∈ C gọi số gia Nếu điểm z giới hạn tồn df gọi đạo hàm phức f z, ký hiệu f (z) hay (z) dz Chú ý định nghĩa trên, h số phức tiến đến theo hướng, (so sánh với khái niệm đạo hàm có hướng giải tích hàm nhiều biến) Hàm f gọi chỉnh hình Ω f chỉnh hình điểm Ω Tương tự hàm biến thực, qui nạp, ta viết f (k) = (f k−1 )0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt gọi đạo hàm phức cấp k f Ω Hàm f chỉnh hình z gọi khả vi phức z Ta thấy rằng, hàm f chỉnh hình z0 ∈ Ω tồn số phức a thoả f (z0 + h) − f (z0 ) − ah = hψ(h) với ψ hàm xác định với h nhỏ limh→0 ψ(h) = Từ công thức ta có hàm f liên tục z Ta thấy khái niệm chỉnh hình hàm phức biến tương tự với hàm biến thực, nhiên hàm chỉnh hình có nhiều tính chất mạnh Ví dụ, hàm chỉnh hình có đạo hàm vơ hạn cấp, hàm khả vi thực khơng có đạo hàm cấp hai Ví dụ 1.2.3 Hàm f (z) = chỉnh hình tập mở khơng chứa điểm z C f (z) = lim h→0 z+h − h z −1 =− h→0 (z + h)z z = lim Ví dụ 1.2.4 Hàm số w = f (z) = z¯ = x − iy xác định Ω = C khơng chỉnh hình điểm z ∈ Ω Thật vậy, xét điểm z0 = x0 + iy0 cho số gia h = h1 + ih2 Khi ta có f (z0 + h) − f (z0 ) = z0 + h − z0 = h = h1 − ih2 h1 = h→0 h1 i) Xét trường hợp h2 = 0, h = h1 + i0 (là số thực), ta có lim −ih2 = −1 h→0 h2 ii) Xét trường hợp h1 = 0, h = + ih2 (là số ảo), ta có lim f (z0 + h) − f (z0 ) , hàm số f khơng có đạo h→0 h Như không tồn giới hạn lim hàm phức z với z Do định nghĩa đạo hàm hàm phức hoàn toàn tương tự đạo hàm hàm thực, ta dễ dàng kiểm tra công thức sau Định lý 1.2.2 Nếu f (z) g(z) chỉnh z0 ta có (αf + βg)(z), (f g)(z), f (z) (g(z0 ) 6= 0) chỉnh hình z0 với α, β ∈ C g i) (αf + βg)0 = αf + βg ; ii) (f g)0 = f g + f g ; iii) Nếu g 6= CuuDuongThanCong.com  0 f f 0g − f g0 = g g2 https://fb.com/tailieudientucntt iv) Nếu f : Ω → U g : U → C hàm chỉnh hình, (g ◦ f )0 (z) = g (f (z))f (z) ∀z ∈ Ω 1.2.3.2 Điều kiện Cauchy-Riemann Xét hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) chỉnh hình z0 = x0 + iy0 , f (z) = f (x, y) Cho h = h − + ih2 ∈ C, ta xét giới hạn f (z + h) − f (z) f (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) = lim h→0 h→0 h h1 + ih2 lim Trước tiên ta xét h thực, tương ứng h = h1 + ih2 với h2 = Khi ta có f (x0 + h1 , y0 ) − f (x0 , y0 ) h1 →0 h1 ∂f = (z0 ); ∂x f (z0 ) = lim Tương tự, với h ảo, tương ứng với h = h1 + ih2 với h1 = 0, ta có f (x0 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) h2 →0 ih2 ∂f (z0 ) = i ∂y f (z0 ) = lim Khi đó, f chỉnh hình z0 ∂f ∂f = ∂x i ∂y Với f = u + iv, ta thấy u, v thoả hệ phương trình ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x Hệ phương trình gọi phương trình Cauchy - Riemann (điều kiện Cauchy - Riemann) Đây điều kiện cần để hàm phức chỉnh hình Ta biết z + z¯ z − z¯ x= y = 2i Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp, ta có hai tốn tử sau     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = − ∂z ∂x i ∂y ∂ z¯ ∂x i ∂y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bổ đề 1.2.1 Nếu f = u + iv chỉnh hình z0 ∂f (z0 ) = ∂ z¯ Chứng minh Ta dễ dàng tính   ∂f ∂(u + iv) ∂(u + iv) = − ∂ z¯ ∂x i ∂y     ∂u ∂v ∂v ∂u = − +i + ∂x ∂y ∂x ∂y Từ điều kiện Cauchy - Riemann, ta có ∂f = ∂ z¯ Định lý 1.2.3 (Điều kiện đủ) Xét hàm biến phức f = u + iv miền Ω ⊂ C Nếu u, v hàm khả vi, liên tục thoả điều kiện Cauchy-Riemann ∂f Ω, f chỉnh hình Ω f (z) = ∂z Chứng minh Ta có u(x, y), v(x, y) hàm khả vi, liên tục, u(x + h1 , y + h2 ) − u(x, y) = ∂u ∂u h1 + h2 + |h|ψ1 (h), ∂x ∂y v(x + h1 , y + h2 ) − v(x, y) = ∂v ∂v h1 + h2 + |h|ψ2 (h), ∂x ∂y h = h1 + ih2 ψi (h) → |h| → Cộng hai phương trình áp dụng điều kiện Cauchy - Riemann, với ψ(h) = ψ1 + iψ2 , ta có     ∂u ∂u ∂v ∂v f (z + h) − f (z) = h1 + h2 + i h1 + h2 + |h|ψ(h) ∂x ∂y ∂x ∂y     ∂u ∂v ∂u ∂v = +i h1 + +i h2 + |h|ψ(h) ∂x ∂x ∂y ∂y     ∂u ∂u ∂u ∂u = −i h1 + i −i +i h2 + |h|ψ(h) ∂x ∂y ∂y ∂x   ∂u ∂u = −i (h1 + ih2 ) + |h|ψ(h) ∂x ∂y Vì ψ(h) → h → 0, ta có f chỉnh hình, f (z) = CuuDuongThanCong.com ∂u ∂f = ∂z ∂z https://fb.com/tailieudientucntt 1.2.4 Chuỗi luỹ thừa Tương tự hàm thực, chuỗi luỹ thừa phức có dạng ∞ X an z n , an ∈ C (*) n=0 Để kiểm tra hội tụ tuyệt đối chuỗi này, ta kiểm tra ∞ X |an ||z|n n=0 Ta thấy rằng, chuỗi (∗) hội tụ tuyệt đối z0 hội tụ tuyệt z thuộc đĩa |z| ≤ |z0 | Ta chứng minh rằng: ln tồn đĩa mở mà chuỗi luỹ thừa hội tụ tuyệt đối Định lý 1.2.4 Cho chuỗi luỹ thừa ∞ P an z n , tồn ≤ R ≤ ∞ cho n=0 i) Nếu |z| < R chuỗi hội tụ tuyệt đối; ii) Nếu |z| > R chuỗi phân kỳ Số thực R cho công thức Hadamard = lim sup |an |1/n R ta xem 1/0 = ∞ 1/∞ = Số R gọi bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa miền |z| < R gọi đĩa hội tụ 1.2.5 Định nghĩa hàm sơ cấp 1.2.5.1 Hàm sơ cấp f (z) = az + b hàm nguyên tuyến tính f (z) = z n hàm luỹ thừa f (z) = az + b cz + d Pn (z) a0 + a1 z + an z n f (z) = = Qm (z) b0 + b1 z + bm z m hàm phân tuyến tính hàm hữu tỉ Dễ dàng thấy ba hàm trường hợp đặc biệt hàm thứ tư CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2.5.2 Hàm mũ, hàm lượng giác, hàm hyperbolic Trong giải tích thực, ta xây dựng hàm sau theo chuỗi số ex = ∞ P xn n=0 n! sin x = ∞ P x2n+1 (2n + 1)! (−1)n n=0 ∞ P cos x = (−1)n n=0 sinh x = 2n x 2n! ∞ P x2n+1 (2n + 1)! n=0 ∞ P x2n cosh x = n=0 2n! Các chuỗi số hội tụ với số thực x, theo định lý Abel, ta thay x số phức z bất kỳ, ta thu chuỗi hội tụ Từ ta định nghĩa hàm số phức z ∞ P zn e = n=0 n! z sin z = ∞ P (−1)n n=0 cos z = ∞ P (−1)n n=0 sinh z = z 2n+1 (2n + 1)! 2n z 2n! ∞ P x2n+1 n=0 (2n + 1)! ∞ P cosh z = z 2n n=0 2n! Tính chất ez ew = ez+w iz e = ∞ 2n+1 X z 2n n z = (−1) +i (−1) n! (2n)! (2n + 1)! ; n=0 n=0 ∞ n n X i z n=0 ∞ X n = cos z + i sin z Tương tự ta có e−iz = cos z − i sin z Do CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  iz −iz  cos z = e + e −iz iz e − e  sin z = 2i Tương tự ta có  z −z  cosh z = e + e −z z e − e  sinh z = ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y + i sin y) Ta thấy: hàm ez tuần hoàn theo chu kỳ 2iπ, hàm sin z, cos z tuần hoàn theo chu kỳ 2π |ez | = ex arg(ez ) = y + 2nπ Các công thức hàm lượng giác sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 ; cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 ; Từ suy sin 2z z − sin2 z  = 2πsin  z cos z cos2 = cos  π sin z + = cos z sin z − = − cos z 2 sin2 z + cos2 z = Từ cơng thức 3., ta có sin(iy) = i sinh(y) cos(iy) = cosh y Áp dụng công thức 6, sin(z) = sin x cosh y + i cos x sinh y; cos(z) = cos x cosh y − i sin x sinh y; từ ta có | sin z|2 = sin2 x + sinh2 y | cos z|2 = cos2 x + sinh2 y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2.5.3 Hàm logarith Cho z ∈ C, z 6= Số phức w gọi logarit (cơ số e) z 6= ew = z Với w = u + iv, ϕ = arg z ta có ew = z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) eu (cos v + i sin v) = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) ( u = ln |z| v = ϕ + 2kπ với k ∈ Z Vậy w = ln |z| + i arg(z) (k ∈ Z) = ln |z| + iArg(z) + k2π Với Arg(z) ∈ arg(z) −π < Arg(z) ≤ π Ta thấy w = ln(z) hàm vô số trị, ứng với giá trị k, ta có nhánh hàm logarit Với k = 0, ta nhánh chính, kí hiệu Lnz = ln |z| + iArg(z) Từ ta có ln z = Lnz + 2ikπ 1.2.5.4 Hàm luỹ thừa phức Xét z 6= c số phức Khi hàm z c định nghĩa z c = ec ln z với ln z hàm đa trị Ví dụ 1.2.5 Tính i−2i ta có ln i = ln |i| + i π  + 2nπ =   2n + πi, với n ∈ Z Do đó, Ta thấy i−2i i−2i = exp(−2i ln i) = exp [(4n + 1)π] số thực 1.2.5.5 Hàm lượng giác ngược √ arcsin z = −i ln(iz + − z ) i i+z ln i−z √ arccoshz = ln(z + z − 1) √ arcsinhz = ln(z + z + 1) arccos z = arctanhz = CuuDuongThanCong.com 1+z ln 1−z https://fb.com/tailieudientucntt 1.2.5.6 Hàm đa trị đạo hàm hàm đa trị Xét số phức khác z = reiϕ , ϕ = arg(z) giá trị ϕ = φ(z) + 2nπ (n ∈ Z) với φ = Arg(z) Do đó, log z = log r + i(φ + 2nπ) = log r + iϕ Xét α số thực giới hạn giá trị ϕ cho α < ϕ < α + 2π, log z = u + iv = log r + iϕ với r > 0, α < ϕ < α + 2π hàm đơn trị, liên tục Ta dễ dàng kiểm tra điều kiện Cauchy Riemann toạ độ cực rur = vϕ uϕ = −rvr Do log z chỉnh hình d log z = e−iϕ (ur + iur ) = e−iϕ dz   1 + i0 = iϕ = r re z Vậy ta có d log z = dz z (|z| > 0, α < arg z < α + 2π) đặc biệt d Logz = (|z| > 0, −π < arg z < π) dz z Tại arg z = α (một tia mặt phẳng phức), log z không liên tục Thật vậy, xét điểm z nằm tia này, điểm tuỳ ý quanh z, có điểm z1 để v(z1 ) gần α, có điểm z2 để v(z2 ) gần α + 2π, log(z) khơng liên tục tia arg z = α Do log(z) khơng có đạo hàm phức CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa 1.2.2 Một nhánh hàm đa trị f hàm đơn trị F cho khả tích miền xác định z F (z) giá trị f Ví dụ 1.2.6 F (z) = Logz = log r + iφ, −π < φ < π nhánh của hàm f = log z gọi nhánh log z Khi xét nhánh Logz, ta có Log(i3 ) = Log(−i) = log − i π π =− i 2 π  3π 3Logi = log + i = i 2  Log(i3 ) 6= 3Logi 1.2.5.7 Đạo hàm phức hàm sơ cấp (z s )0 = sz s−1 , với s số phức bất kỳ; (ez )0 = ez (cos z)0 = − sin z, (sin z)0 = cos z (cosh z)0 = sinh z, (sinh z)0 = cosh z (ln z)0 = CuuDuongThanCong.com z https://fb.com/tailieudientucntt Chương Tích phân 2.1 Tích phân đường Đường cong tham số C hàm z(t) từ đoạn đóng [a, b] ⊂ R vào mặt phẳng phức C Ta nói rằng, đường cong trơn z (t) tồn liên tục [a, b], đồng thời z (t) 6= với t ∈ (a, b) Tương tự, đường cong gọi trơn khúc z(t) liên tục [a, b] tồn a = a0 < a1 < < an = b với z(t) trơn [ak , ak+1 ] Đường cong C gọi đường cong đơn khơng tự cắt, tức z(t1 ) 6= z(t2 ) với z1 6= z2 Nếu đường cong C đơn trừ điểm đầu cuối za , zb ta nói C đường cong đơn đóng Trên đường cong C đơn đóng (bào quanh miền Ω), ta xét chiều dương đường cong C chiều mà di chuyển đó, miền Ω ln nằm bên trái (di chuyển theo chiều ngược chiều kim đồng hồ) Ví dụ 2.1.1 Đường gấp khúc ( x + ix ≤ x ≤ z= x+i 1≤x≤2 chứa đoạn thẳng từ tới + i, sau từ + i tới + i Đây đường cong đơn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 2.1.2 Hình trịn tâm z0 , bán kính R theo chiều dương z = z0 + Reiϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π) z = z0 + Re−iϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π) theo chiều âm Cho đường cong C ⊂ C tham số z : [a, b] → C, f hàm số liên tục C, ta định nghĩa tích phân hàm f C Z Z b f (z)dz = f (z(t))z (t)dt C a Nếu C đường cong trơn khúc, tích phân f C tổng tích phân hàm f đoạn trơn C Z f (z)dz = C CuuDuongThanCong.com n−1 Z X k=0 ak+i f (z(t))z (t)dt ak https://fb.com/tailieudientucntt Từ công thức trên, ta có độ dài đường cong C nối hai điểm A, B cho công thức Z b lC = |z (t)|dt a Bổ đề 2.1.1 Tích phân hàm liên tục đường cong C có tính chất sau Tính tuyến tính, với α, β ∈ C Z Z Z (αf (z) + βg(z)) dz = α f (z)dz + β g(z)dz C C C Nếu C − đường cong C với chiều ngược lại, Z Z f (z)dz = − f (z)dz C− C Ta có bất đẳng thức sau Z f (z)dz ≤ sup |f (z)|.lC z∈C C với lC chiều dài đường cong C Ví dụ 2.1.3 Tính tích phân Z I= z¯dz C đường cong C nửa phải đường trịn tâm gốc toạ độ, bán kính từ z1 = −2i đến z2 = 2i Phương trình tham số đường cong C  π π iϕ z = 2e − ≤ϕ≤ 2 Do Z π/2 I= 2eiϕ (2eiϕ )0 dϕ −π/2 Z π/2 =4 e−iϕ (ieiϕ )dϕ −π/2 π/2 Z = 4i CuuDuongThanCong.com dϕ = 4πi −π/2 https://fb.com/tailieudientucntt Từ tích phân trên, ý z z¯ = |z|2 = 4, Z dz = πi C z Ví dụ 2.1.4 Tính tích phân Z In = C dz (z − z0 )n đường cong C đường tròn tâm z0 , bán kính r theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Phương trình tham số đường cong C z = z0 + reiϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π) Do Z 2π r−n e−inϕ (reiϕ )0 dϕ Z 2π 1−n = ir e−i(1−n)ϕ dϕ In = Với n = 1, ta có Z I1 = C dz =i (z − z0 ) Z 2π dϕ = 2πi Với n 6= 1, ta có Z In = Z 2π dz dz = i (cos(−nϕ) + i sin(−nϕ))dϕ = n C (z − z0 ) R 2π R 2π ( cos(x)dx = sin(x)dx = 0) Vậy ta có ( Z dz 2πi n = = n n 6= C (z − z0 ) Định nghĩa 2.1.1 Xét f hàm số liên tục miền Ω, nguyên hàm f Ω hàm chỉnh hình F (z) cho F (z) = f (z) với z ∈ Ω CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý 2.1.1 Cho hàm liên tục f Ω có nguyên hàm F , C đường cong Ω có điểm đầu z1 , điểm cuối z2 , Z f (z)dz = F (z2 ) − F (z1 ) C Chứng minh Xét C đường cong trơn có phương trình tham số z(t) : [a, b] → C với z(a) = z1 , z(b), Z Z b f (z)dz = f (z(t))z (t)dt C Za b = F (z(t))z (t)dt Za b d = F (z(t))dt a dt = F (z(b)) − F (z(a)) Tương tự với C đường cong trơn khúc, ta có Z n−1 X F (z(ak+1 )) − F (z(ak )) f (z)dz = C k=0 = F (z(an )) − F (z(a0 )) = F (z(b)) − F (z(a)) Bổ đề 2.1.2 Nếu C đường cong đóng tập mở Ω f hàm liên tục có nguyên hàm F Ω, Z f (z)dz = C Ví dụ 2.1.5 Hàm f (z) = z có nguyên hàm F (z) = z /3 C, 1+i Z 1+i z 2 z dz = = (1 + i)3 = (−1 + i) 3 với đường cong từ z = đến z = + i Hàm f (z) = 1/z liên tục C \ {0}, có nguyên hàm F (z) = −1/z miền |z| > Do Z dz = 0; z C với C đường tròn theo hướng dương z = 2eiϕ , (0 ≤ ϕ ≤ π) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hàm f (z) = 1/z liên tục C \ {0} Xét C đường tròn ví dụ Ta có, nhánh α < ϕ < α + 2π, hàm F = log z có đạo hàm phức 1/z Tuy nhiên xét giao điểm ϕ = α đường tròn C, log z khơng liên tục F khơng chỉnh hình C Z dz = 2πi 6= C z Hệ 2.1.1 Nếu f hàm chỉnh hình miền liên thơng Ω f = f hàm 2.2 Lý thuyết Cauchy tích phân hàm chỉnh hình Xét hàm f có nguyên hàm tập mở Ω C, tích phân hàm f đường cong đóng Xét C đương cong đơn, đóng tham số z = z(t), (a ≤ t ≤ b), theo chiều dương Giả sử f chỉnh hình điểm C Khi Z Z b f (z)dz = f [z(t)]z (t)dt C a Với f (z) = u(x, y) + iv(x, y) z(t) = x(t) + iv(t), Z Z b Z (vx0 + uy )dt (ux − vy )dt + i f (z)dz = C b a a Theo tích phân hàm thực hai biến, ta có Z Z Z f (z)dz = (udx − vdy) + i (vdx + udy) C C (*) C (trong biểu diễn trên, C không cần đường cong đóng.) Ta thấy, phần thực phần ảo tích phân tích phân đường loại hai Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy C Giả sử P Q có đạo hàm riêng bậc C đường cong đơn đóng bao quanh miền D, theo định lý Green Z ZZ P dx + Qdy = (Qx − Py )dA C CuuDuongThanCong.com D https://fb.com/tailieudientucntt Áp dụng định lý Green vào (∗) Z Z Z f (z)dz = (udx − vdy) + i (vdx + udy) C C ZZ ZCZ = (−vx − ux )dA + i (ux − vy )dA Ω Ω Vì f chỉnh hình Ω, theo điều kiện Cauchy - Riemann uy = −vx ; ux = vy ta có: f chỉnh hình Ω f liên tục miền này, Z f (z)dz = C Trong định lý sau, bỏ qua điều kiện liên tục f miền Ω Định lý 2.2.1 (Cauchy - Gaursat) Nếu f hàm chỉnh hình điểm miền giới hạn đường cong đơn đóng C Z f (z)dz = C Chứng minh Ta chứng định lý trường hợp đơn giản, với C cạnh hình vng S có độ dài cạnh d0 Đầu tiên, ta chia hình vng S thành hình vng S11 , , S41 thêm đường tích phân theo hướng ngược chiều cạnh hình Khi ta có Z Z f (z)dz = S0 CuuDuongThanCong.com Z f (z)dz + Si1 Z Z f (z)dz + S21 f (z)dz + S31 f (z)dz S41 https://fb.com/tailieudientucntt Sẽ tồn hình vng Sj1 cho Z Z f (z)dz ≤ f (z)dz S0 Sj Ta chọn hình vng Sj1 thoả bất đẳng thức trên, đổi tên thành S Ta lặp lại bước hình vng S , sau n bước ta tìm chuỗi hình vuông S , S , , S n có tính chất Z Z ≤ 4n f (z)dz f (z)dz S0 Tn đồng thời cạnh hình vng thoả dn = 2−n d0 Ta thấy chuỗi hình vuông S ⊃ S ⊃ ⊃ S n ⊃ có bán kính dần tới Tồn điểm z0 cho nằm tất hình vng Do f chỉnh hình (nên khả vi), ta có f (z) = f (z0 ) + f (z0 )(z − z0 ) + ψ(z)(z − z0 ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... phương trình ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x Hệ phương trình gọi phương trình Cauchy - Riemann (điều kiện Cauchy - Riemann) Đây điều kiện cần để hàm phức chỉnh hình Ta biết z + z¯ z − z¯ x= y = ... ∂y Từ điều kiện Cauchy - Riemann, ta có ∂f = ∂ z¯ Định lý 1.2.3 (Điều kiện đủ) Xét hàm biến phức f = u + iv miền Ω ⊂ C Nếu u, v hàm khả vi, liên tục thoả điều kiện Cauchy-Riemann ∂f Ω, f chỉnh... điều kiện Cauchy - Riemann uy = −vx ; ux = vy ta có: f chỉnh hình Ω f liên tục miền này, Z f (z)dz = C Trong định lý sau, bỏ qua điều kiện liên tục f miền Ω Định lý 2.2.1 (Cauchy - Gaursat) Nếu