NGUYÊN LÝ CĂN BẢN ĐỊNH GIÁ TÀI SẢN TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010 _ NGUYÊN LÝ CĂN BẢN ĐỊNH GIÁ TÀI SẢN TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH NGUYỄN CHÍ LONG * TĨM TẮT Lý thuyết định giá tài sản thị trường tài tảng mặt nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm kinh tế tài Mục đích báo giới thiệu chứng minh ngun lý tốn tài quan trọng: Ngun lý định giá tài sản thị trường tài ABSTRACT The basic principle of asset pricing in financial market Theory of asset pricing in financial market is the foundation of current theoretical and empirical research in financial economy The aim of this article is to present and prove the important economic and mathematical principle in financial Mathematics: The basic principle of asset pricing in financial market Giới thiệu Tốn tài nhà khoa học thừa nhận khai sinh từ năm 1900, năm mà Loui Bachelier (1870-1946) bảo vệ thành cơng luận án Tiến sĩ có tên “Lý thuyết đầu tài (Theory de speculation)” Đại học Sorbonne (Paris); hướng dẫn nhà toán học lừng danh Henri Poincaré Tuy nhiên, nửa kỷ sau (năm 1967), nhà tốn học nghiên cứu ứng dụng tài biết đến cơng trình Cũng nửa kỷ sau (khoảng năm 1953), Harry Markowitz James Tobin đưa lý thuyết “Lựa chọn danh mục đầu tư” qua việc phân tích trung bình – phương sai lý thuyết xác suất Nhưng cột mốc quan trọng, đánh dấu thời kỳ phát triển mạnh mẽ toán tài đời mơ hình Black – Scholes năm 1973 tính hợp lý giá quyền chọn (Pricing of Option and Corporate Liabilities) Sự kiện có tính cách mạng làm thay đổi đồng loạt phương thức tính tốn vốn đầu tư vào thị trường tài chính, đặc biệt thị trường quyền chọn Ngày giao dịch (26/4/1973) thị trường chứng khốn Chicago có 911 hợp đồng quyền chọn 16 loại cổ phiếu, năm có 20 000 hợp đồng giao dịch hàng ngày Năm 1987, ngày có 700 000 hợp đồng loại cổ phiếu hàng ngày có 700 triệu hợp đồng quyền chọn 100 loại cổ phiếu Điều cho thấy quy mô áp dụng tầm quan trọng tốn tài Cũng giải Nobel kinh tế năm 1990 dành cho Harry Markovitz, William Sharpe Merton Miller; giải Nobel kinh tế năm * TS, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Sư phạm TP HCM 38 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chí Long _ 1997 dành cho M.Scholes (lúc Black mất) Rober Merton; giải Nobel kinh tế 2003 dành cho Clive Granger phương pháp chuỗi thời gian Rorbert Engle mơ hình dao động ngẫu nhiên Tại Việt Nam, tốn tài quan tâm nghiên cứu khoảng 10 năm gần đây, số người nghiên cứu, quy mô, tài liệu nhỏ, chưa đáp ứng yêu cầu hội nhập Việt Nam vào kinh tế giới Đặc biệt công tác đào tạo chưa đáp ứng nhu cầu nhân cơng ty tài chứng khốn thành lập Việt Nam Do thuật ngữ, khái niệm, ngun lý tốn tài cần làm sáng tỏ trình bày chặt chẽ, có tính sư phạm để giúp học viên cao học, nghiên cứu sinh ngành tốn tài chính, dễ tiếp cận nghiên cứu lĩnh vực đặc biệt quan trọng Hai định lý tốn tài đề cập gần [4], nguyên lý định giá tài sản thị trường tài Mặt khác, mơ hình tài thời gian rời rạc chu kỳ coi tế bào mơ hình tài tổng qt, lẽ đó, báo chúng tơi trình bày chứng minh nguyên lý định giá tài sản mơ hình tài thời gian rời rạc Ngun lý định giá tài sản 2.1 Mơ hình tài chu kỳ đơn giản Xét mơ hình tài gồm yếu tố sau:  Một tập hợp thời gian giao dịch T  0,1 Thời điểm t=0 thời điểm tại, bắt đầu giao dịch thời điểm t=1 thời điểm đáo hạn, kết thúc giao dịch  Khơng gian tài (hay không gian mẫu) gồm hai trạng thái (hay kịch bản):   1 , 2  Ta ký hiệu hai trạng thái 1  H , 2  T Ta xem trạng thái thời điểm t=1 xuất cách ngẫu nhiên việc tung đồng xu gồm hai mặt (một mặt có hình quốc Huy (viết tắt H), mặt giá Trị đồng xu, (ta ghi T)), xuất mặt H hay T,   H , T   Sự xuất trạng thái thời điểm t=1 có tính ngẫu nhiên mà ta biết thời điểm t=0 Theo tính chất độ đo xác suất P(.) khơng địi hỏi đồng xu cân đối, ta giả sử có số 00) tung đồng xu, từ điều kiện d  u   r dẫn đến S1  S d  S (1  r ), n.l phương án đạt lợi nhuận với xác suất dương Vậy ta chứng minh khẳng định sau: Khơng có hội chênh lệch thị giá  d   r  u 41 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010 _ Ta kiểm chứng dễ dàng điều ngược lại đúng: d   r  u  Khơng có hội chênh lệch thị giá Vậy ta có mệnh đề sau: Mệnh đề Thị trường tài đơn giản chu kỳ xét thị trường khơng có hội chênh lệch thị giá d   r  u Bây ta xét thêm yếu tố khác thị trường tài đơn giản chúng ta, sản phẩm phái sinh quyền chọn mua kiểu châu Âu (viết tắt QMKCA) Định nghĩa 3: Một QMKCA hợp đồng ký kết bên viết hợp đồng (để bán) bên mua hợp đồng (giữ nó) sở tài sản (như chứng khoán, trái phiếu, đơn vị tiền tệ v.v…), quy định người giữ hợp đồng có quyền, không bắt buộc mua tài sản thời điểm đáo hạn tương lai T với giá thực thi quy định trước K Tài sản, thời điểm đáo hạn T giá thực thi K yếu tố quan trọng hợp đồng Trong mơ hình tài đơn giản xem xét, khơng có nhiều chọn lựa Giả sử rằng, tài sản tảng quyền mua kiểu châu Âu chứng khoán, thời điểm đáo hạn hợp đồng T=1 Người giữ hợp đồng làm sau thời điểm đáo hạn:  Nếu giá chứng khoán S1 , thời điểm T=1 cao K người giữ hợp đồng mua người viết hợp đồng với giá K đem bán lại cho thị trường tài giá S1 thu lợi S1  K  Nếu giá chứng khoán S1 , thời điểm T=1 thấp K người giữ hợp đồng khơng thực thi đơn giản giá chứng khốn thị trường bên ngồi rẻ giá người viết hợp đồng Trong trường hợp này, người giữ hợp đồng khơng thu lợi Vì lí trên, nên ta xem QMKCA tài sản mà lợi nhuận thời điểm T=1 max(S1 - K , 0) Câu hỏi tự nhiên Giá QMKCA thời điểm t=0 phải bao nhiêu? Trước trả lời câu hỏi vừa nêu, ta giới thiệu nguyên lý quan trọng thị trường tài ngun lý đáp ứng để bảo hộ (Replication principle) Giả sử ta có sản phẩm phái sinh hay quyền tài tổng quát QMKCA vừa xét, tức sản phẩm có dạng h( S1 ) h :  hàm số cho h( S1 ) biến ngẫu nhiên QMKCA chọn hàm riêng cho 42 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chí Long _ h như: h( x) : max( x - K ,0) Có nhiều khả khác chọn hàm h để có nhiều quyền tài khác Nguyên lý đáp ứng để bảo hộ Nguyên lý đáp ứng để bảo hộ Nếu tìm phương án đầu tư mà đáp ứng để bảo hộ hoàn toàn sản phẩm phái sinh theo nghĩa phương án đầu tư đảm bảo lợi nhuận xác lợi nhuận sản phẩm phái sinh thời điểm đáo hạn, giá phương án đầu tư phải trùng với giá sản phẩm phái sinh Về mặt toán học, nguyên lý đáp ứng để bảo hộ phát biểu sau: Định nghĩa Một phương án đầu tư đáp ứng (a replicating strategy) hay bảo hộ (hedge) quyền tài h( S1 ) phương án đầu tư ( x,  ) mà thỏa mãn V1 ( x,  )  h( S1 ) hay thỏa mãn hai điều kiện tương đương sau: ( x   S0 )(1  r )   S1 ( H )  h(S1 ( H )) (1) ( x   S0 )(1  r )   S1 (T )  h( S1 (T )) (2) Mệnh đề Trong mơ hình tài chu kỳ đơn giản khơng có hội chênh lệch thị giá, giả sử h( S1 ) quyền tài ( x, ) phương án đầu tư bảo hộ cho h( S1 ) x giá quyền tài h( S1 ) thời điểm t=0 Một cách tìm giá cho quyền tài xét phương án đầu tư đáp ứng xem số tiền đầu tư ban đầu cho phương án đáp ứng giá quyền tài Làm xác định phương án đầu tư đáp ứng? Có phải phương án đầu tư đáp ứng hữu hay khơng? Từ hệ gồm hai phương trình (1) (2), ta giải tìm hai ẩn x  ; trừ vế đối vế (1) cho (2), ta tìm  h( S1 ( H ))  h( S1 (T )) S1 ( H )  S1 (T ) (3) Thay (3) vào (1) (2) ta tìm x Vì tính sư phạm, ta viết hệ (1) (2) dạng   x   S1 ( H )  So   h(S1 ( H ))  1 r  1 r (4)   x   S1 (T )  So   h(S1 (T ))  1 r  1 r (5) Bây ta định nghĩa p : 1 r  d u d (6) 43 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010 _ Từ giả thiết d   r  u suy  p  Ta có 1 r  d ud u 1 r  ud  p   Với p (6), ta có 1 1 r  d u 1  r   ( H )   (1  pS  (T )))  S 0u  S0 d   pS  1 r 1 r  u  d ud  (1  r  d )u  (u  (1  r ))d  S0 (u  d )(1  r )  S0 Nhân (4) cho p nhân (5) cho 1- p cộng vế đối vế ta    ( H )  (1- p ) S1 (T )] - S   x   [ pS  1 r   ( S1 ( H ))  (1  p )h( S1 (T ))] [ ph 1 r Hay tương đương với x  ( S1 ( H ))  (1  p )h( S1 (T ))] [ ph 1 r (7) Vì u  d  nên ta ln tìm phương án đầu tư đáp ứng mơ hình tài đơn giản chu kỳ Mơ hình tài có tính chất gọi mơ hình đầy đủ (complete) ngược lại ta gọi mơ hình tài khơng đầy đủ Trong mơ hình tài khơng đầy đủ ta khơng thể dùng kỹ thuật định giá phái sinh theo nguyên lý đáp ứng để bảo hộ Công thức (3) thường gọi công thức bảo hộ delta Điều đáng lưu ý giá x quyền tài tính theo cơng thức khơng phụ thuộc vào xác suất p 1-p xuất trạng thái H T Đặc biệt khơng trùng với kỳ vọng lợi nhuận khấu hao quyền tài tính theo độ đo xác suất P n.l tổng quát   x  Ep  h( S1 )   [ ph( S1 ( H ))  (1- p)h( S1 (T ))] 1  r  1 r Phương trình sau p  p hay 1- p  1- p hay tương đương với h( S1 ( H ))  h(S1 (T )) , trường hợp mà lợi nhuận quyền chọn tất định, n.l khơng có tính ngẫu nhiên Trường hợp khó xảy thực Mặt khác, ta định nghĩa độ đo xác suất khơng gian tài mẫu hai trạng thái   {H , T } 44 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chí Long _ P ( H )  p , P (T )   p Thì x giá trị kỳ vọng lợi nhuận khấu hao lấy theo độ đo xác suất P :   x  E p  h(S1 )  1+r  (8) Về sau ta thường viết Q  P gọi độ đo xác suất rủi ro trung tính, độ đo này, giá quyền tài phụ thuộc vào kỳ vọng lợi nhuận mà không bị chi phối rủi ro Như thấy phần tiếp theo, độ đo xác suất rủi ro trung tính hay tương đương với độ đo martingale có vai trị quan trọng việc định giá sản phẩm phái sinh thị trường tài khơng đầy đủ, thị trường mà ta khơng thể áp dụng cách tính giá phái sinh 2.2 Mơ hình tài chu kỳ tổng qt Bây ta xét mơ hình tài chu kỳ tổng quát Trong thị trường này, NĐT đầu tư thị trường tiền tệ gửi tiết kiệm ngân hàng (hoặc mua trái phiếu khơng rủi ro phủ) với lãi suất r  , đầu tư vào thị trường chứng khốn, với giả thiết thị trường có số hữu hạn chứng khoán S , S , , S N giá cổ phiếu chứng khoán thứ i thời điểm t=0 t=1 S i S i1 Giá chứng khoán thời điểm t=0 biết, giá chứng khốn thời điểm t=1 lại có tính ngẫu nhiên phụ thuộc vào xuất k trạng thái tài (hay kịch bản) i , i  1, 2, , k thuộc  : 1 , 2 , , k  sử có độ đo xác suất P xác định  , với P (i )  P (i )  0, i  1, 2, , k , xác suất để xuất trạng thái i Do giá Giả chứng khốn S 1i biến ngẫu nhiên xác định  : S i1 :   S i1 ( ) giá chứng khoán thứ i thời điểm t=1 trạng thái    xuất Định nghĩa 5: Trong mơ hình tài chu kỳ tổng qt xét, phương án đầu tư cặp thứ tự ( x, ) x tổng số tiền đầu tư ban đầu  danh mục chứng khốn đầu tư, véc tơ gồm N thành phần  : ( ,  , ,  N )  N với  i số đơn vị cổ phiếu chứng khoán thứ i mua thời điểm t=0 Cho trước phương án đầu tư ( x,  ) , số tiền cịn lại sau mua chứng khốn 45 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010 _ N x   iS i0 i 1 gửi tài khoản tín dụng Định nghĩa 6: Q trình giá phương án đầu tư ( x,  ) mơ hình tài chu kỳ tổng quát cho (V0 ( x,  ),V1 ( x,  )) , V0 ( x,  )  x V1 ( x,  ) biến ngẫu nhiên N N V1 ( x,  )  ( x    i S i )(1  r )    i S i i 1 (9) i 1 Quá trình lời (hay lỗ, xem lời âm) G ( x,  ) phương án đầu tư ( x,  ) biến ngẫu nhiên xác định N N G ( x,  ) : ( x    i S i ) r    i S i1 i 1 (10) i 1 S i1 độ thay đổi hay số gia giá chứng khoán thứ i, S i1 :  S i1  S i (11) Qua tính tốn đơn giản, ta có hệ thức liên hệ sau V1 ( x,  )  V0 ( x,  )  G ( x,  ) (12) Lưu ý phương trình mối liên hệ biến ngẫu nhiên với trạng thái    xảy thời điểm t=1 Trong trường hợp hàng hóa thị trường tài phải chiết khấu q trình giá chứng khốn chiết khấu Sˆ it (discounted stock price process) định nghĩa với i  1, 2, , N Sˆ i0 := S i S i1 Sˆ 1i := 1 r Ta định nghĩa trình giá chiết khấu tương ứng với phương án đầu tư ( x, ) Vˆ0 ( x,  ) : x N N i 1 i 1 Vˆ1 ( x,  ) : ( x    i S i )    i Sˆ1i trình lời chiết khấu N Gˆ ( x,  ) :   i Sˆ i i 1 46 (13) Nguyễn Chí Long Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Sˆ i : Sˆ 1i  Sˆ i0 Từ định nghĩa suy ra, t  0,1 , B0  1; B1   r V Vˆt  t Bt (14) Vˆ1 ( x,  )  Vˆ0 ( x,  )  Gˆ ( x,  ) (15) Và Định nghĩa 7: Trong mơ hình tài xét, phương án đầu tư ( x,  ) (trong x tổng số tiền đầu tư ban đầu  : ( ,  , ,  N ) danh mục đầu tư, với  i số đơn vị cổ phiếu chứng khoán S i ) phương án chênh lệch thị giá nếu: x  V0 ( x,  )  V1 ( x,  )  k E[V1 ( x,  )]   i 1 P(i )V1 ( x,  )(i )  Ghi sau tiện dụng để kiểm tra tính chất chênh lệch thị giá Ghi chú: Điều kiện định nghĩa tương đương với 3.' có    cho V1 ( x, )( )  Ta kiểm tra tính chất chênh lệch thị giá có hay khơng thị trường tài thơng qua trình giá chiết khấu hay trình lời chiết khấu phương án, phát biểu qua mệnh đề sau, việc kiểm chứng đơn giản Mệnh đề Trong mơ hình tài xét, phương án đầu tư ( x,  ) chênh lệch thị giá điều kiện sau thỏa: x  Vˆ0 ( x,  )  Vˆ ( x,  )  k E Vˆ1 ( x,  )    i 1 P(i )Vˆ1 ( x,  )(i )      : Vˆ1 ( x,  )( )  hay điều kiện tương đương sau thỏa: x  Vˆ0 ( x,  )  Gˆ ( x,  )  k E[Gˆ ( x,  )]=  i 1 P(i )Gˆ ( x,  )(i )      : Gˆ ( x,  )( )  47 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Định nghĩa 8: Trong mơ hình tài xét, độ đo xác suất Q xác định  gọi độ đo xác suất rủi ro trung tính thỏa mãn hai điều kiện sau đây: Q ( )  0,     i EQ [Sˆ i ]  hay tương đương E  S  S i i  1, 2, , N 1  r  Bây ta phát biểu chứng minh định lý báo này, định lý việc định giá tài sản, nguyên lý tảng toán tài chính: Định lý (Nguyên lý định giá tài sản) Thị trường tài khơng có hội chênh lệch thị giá tồn độ đo xác suất rủi ro trung tính Để chứng minh định lý này, ta cần số kiến thức chuẩn bị Trước tiên, ta xem biến ngẫu nhiên xác định khơng gian mẫu có k phần tử  véc tơ không gian Euclide k–chiều k , điều đồng biến ngẫu nhiên X: k X  ( X (1 ), X (2 ),  , X (k ))  Sự đồng hiểu biến ngẫu nhiên xác định  , xem véc tơ k véc tơ k xem biến ngẫu nhiên xác định  Do đó, ta đồng tập hợp biến ngẫu nhiên xác định  với tập k Một độ đo xác suất Q  đồng với véc tơ đơn hình chuẩn k : N Q  ( X , X , , X k )  k ; X i  0;  X i  i 1 Từ sau ta sử dụng đồng viết X cho véc tơ biểu diễn biến ngẫu nhiên X Q cho véc tơ biểu diễn độ đo xác suất Q Do đó, chẳng hạn kỳ vọng X tính theo độ đo xác suất Q  viết k EQ [ X ]   X (i )Q(i )  X , Q  i 1 tích vơ hướng Bây ta xét tập hợp W := { X Ỵ ¡ k k : X = Gˆ ( x, f ) với phương án ( x, f ) đó} Như ta xem phần tử thuộc W , không gian k giá chiết khấu phương án đầu tư thời điểm t=1 với vốn ban đầu x=0 Từ khái niệm có lời, hay lời dương, ta định nghĩa: 48 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chí Long _ A := {X Î ¡ k : X ³ 0; X ¹ 0} Với định nghĩa ta có: Khơng có hi chờnh lch th giỏ W ầ A =ặ Những phần tử thuộc W Ç A giá chiết khấu phương án đầu tư chênh lệch thị giá thời điểm t=1 Phần bù trực giao W định nghĩa: W ^ := {Y Ỵ ¡ k :< Y , X > = 0, " X Ỵ W } Từ tính chất độ đo xác suất ta định nghĩa: ìï P + := ïí X ẻ Ă ùùợ k k ỹù : X i > 0; X i = 1ùý ùùỵ i= Tập hợp đồng với tập hợp độ đo xác suất W Ta có bổ đề sau: Bổ đề Một độ đo Q độ đo xác suất rủi ro trung tính W ch nu Q ẻ R+ ầ W ^ Chng minh: (Þ ) : Giả sử Q độ đo xác suất rủi ro trung tính W, theo tính chất định nghĩa Q Ỵ P + Mặt khác theo tính chất định nghĩa định nghĩa trình lời Gˆ ( x,  ) ta có X  Gˆ ( x,  )  W  k  k  X , Q  EQ [Gˆ ( x,  )]  EQ    i Sˆ i     i EQ [Sˆ i ]   i 1  i 1 (vì EQ [Sˆ i ]  ) Do đó, Q  W  Vậy Q  P   W  () : Lấy Q  P   W  , Q độ đo xác suất thỏa điều kiện định nghĩa Cho trước i  1, 2, , k , xét phương án đầu tư ( x,  ) với x  S i   (0, , 0,1, 0, ,0) Phương án đầu tư chứng khoán S i Q trình lợi ích chiết khấu rõ ràng thỏa mãn Gˆ ( x, ) = Sˆ i Mặt khác, ta lại có Gˆ ( x,  ) Gˆ ( x,  ) W Q W  nên  Gˆ ( x, ), Q  EQ [Sˆ i ] Do Q thỏa mãn điều kiện định nghĩa nên độ đo xác suất rủi ro trung tính 49 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Định nghĩa 9: Ta ký hiệu M  P   W  tập hợp tất độ đo xác suất rủi ro trung tính Chứng minh (Định lý):Với độ đo xác suất gốc P  tập  , ta định nghĩa: A  :  X  A : X , P  1 Vì A   A , nên ta có Khơng có hội chênh lệch thị giá W  A    Mặt khác, A  tập lồi, đóng bị giới nội k nên theo định lý siêu phẳng tách Hahn-Banach, có véc tơ Y  W  cho  X , Y  0, X  A  Với i  1, 2, , k , gọi véc tơ X i véc tơ (16) k mà thành phần thứ i thành phần khác Như P (i )  X i , P  P (i )  P(i ) Do đó, X i  A  Ký hiệu Yi thành phần thứ i véc tơ Y, từ (16) suy  X i , Y  Yi P(i ) Do Y (i )  Yi với i  1, 2, , k Bây ta định nghĩa Q Q(i ) : Y (i ) Y (1 )  Y (2 )    Y (k ) Thì Q  P  , mặt khác Q tích số vơ hướng với Y, W  không gian véc tơ nên suy Q  W  Vậy QP   W bổ đề, Q độ đo xác suất rủi ro trung tính  Để chứng minh chiều ngược, giả sử có độ đo xác suất rủi ro trung tính Q gọi ( x, ) phương án đầu tư, theo chứng minh bổ đề E[Gˆ ( x,  )]=0 Nếu giả sử Gˆ ( x,  )  từ phương trình suy Gˆ ( x,  )( )=0 với    Do theo mệnh đề 3, khơng thể tồn phương án đầu tư thỏa mãn toàn điều kiện phương án có chênh lệch thị giá Vậy định lý chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chí Long _ Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp tốn học tài chính, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên, Nxb Đại học Quốc gia TP HCM Trần Hùng Thao (2004), Nhập môn tốn học Tài chính, Nxb KHKT Hà Nội Trần Hùng Thao (2009), “Tốn học Tài chính, ngành khoa học phát triển mạnh”, Thơng tin Tốn học – Hội Toán học Việt Nam, 13(2), tr 13-16 Robert J Elliott and P.E.Kopp (2005), Mathematics of Financial Markets, Springe Finance, Second Edition Hans Foellmer and Alexander Schied (2002), An Introduction in Discrete time, Walter de Gruyter B Guerrien – Nguyễn Đôn Phước (dịch) (2007), Từ điển phân tích kinh tế, Nxb Tri thức G.Pennacchi (2008), Theory of Asset Pricing, Pearson Education Inc Pliska (1997), Introduction to Mathematical Finance, Blackwell Publishing 10 Steven E.Shreve (2005), Stochastic Calculus for Finance Volume 1: The Binomial Asset Pricing Model, Springer 51 ... phát biểu chứng minh định lý báo này, định lý việc định giá tài sản, nguyên lý tảng tốn tài chính: Định lý (Ngun lý định giá tài sản) Thị trường tài khơng có hội chênh lệch thị giá tồn độ đo xác... chúng tơi trình bày chứng minh ngun lý định giá tài sản mơ hình tài thời gian rời rạc Nguyên lý định giá tài sản 2.1 Mơ hình tài chu kỳ đơn giản Xét mơ hình tài gồm yếu tố sau:  Một tập hợp thời... việc định giá sản phẩm phái sinh thị trường tài khơng đầy đủ, thị trường mà ta áp dụng cách tính giá phái sinh 2.2 Mơ hình tài chu kỳ tổng quát Bây ta xét mơ hình tài chu kỳ tổng qt Trong thị trường