Đang tải... (xem toàn văn)
Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.. - Câu 6 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm..[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11 - THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề x sin x tan x.tan tan x 2 cos x Câu (2,0 điểm) Giải phương trình Câu (1,0 điểm) Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân: x x (m 6) x m 0 S Câu (1,0 điểm) Tính tổng 1 A2 A3 A2016 Câu (1,0 điểm) Người ta dùng 18 sách bao gồm sách Toán, sách Lý và sách Hóa (các sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho học sinh A, B, C , D, E , F , G , H , I , học sinh nhận sách khác thể loại (không tính thứ tự các sách) Tính xác suất để hai học sinh A và B nhận phần thưởng giống Câu (1,0 điểm) Cho dãy số a) Chứng minh dãy xn xn xác định bởi: x1 2016, xn1 xn xn 1, n 1, 2,3, tăng và lim xn 1 1 yn 2016 xn x1 x2 b) Với số nguyên dương n , đặt Tính lim yn Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc ABCD với mặt phẳng Biết AB a, BC a và SD a a) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng CB, CD I , J Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên SC Hãy xác định các giao điểm K , L SB, SD với HIJ và chứng minh AK SBC b) Tính diện tích tứ giác AKHL Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A , M là 7 K 3; là trọng tâm tam giác ACM trung điểm AB Đường thẳng CM : y 0 và D 1; Đường thẳng AB qua điểm Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết điểm M có hoành độ dương và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng x y 0 Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện xyz 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy yz zx 15 x y z x y z Hết (2) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11 - THPT (Đáp án có 04 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác đúng và đủ ý thì cho điểm tối đa - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn - Câu học sinh không vẽ hình vẽ hình sai thì không cho điểm II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm (2,0 điểm) x cos x.cos 0 ĐKXĐ: Phương trình đã cho tương đương x x 0,5 cos x.cos sin x.sin sin x tan x tan x x cos x.cos sin x tan x tan x 0,25 cosx tan x 0,5 tan x tan x 0 tan x tan x x k tan x x k x k ; x k , k Kiểm tra ĐK thỏa mãn Vậy nghiệm PT là (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương x 1 ( x 1)( x x m) 0 x x m 0 (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt và (1) có hai nghiệm phân biệt ' 9 m m 2 6.1 m 0 m 5 (*) khác 1, hay: Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm x1 , x2 và x3 1 , đó x1 , x2 là nghiệm (1) x1 x2 6 x x m Theo định lý Viet ta có (2) Xét các trường hợp sau: 2 2 *) Nếu x1.x3 x x1 x (3) Từ (2) và (3) ta có hệ: 0,25 0,25 (3) x1 x2 6 x1.x2 m x1 x2 x22 x2 0 x1 x2 m x2 x2 2; x1 4; m 8 x 3; x 9; m 27 m 1 x1 x2 6 x x 1 0,25 *) Nếu x1.x2 x3 x1.x2 1 (4) Từ (2) và (4) ta có hệ: Vậy, có ba giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m 1, m 8, m 27 (1,0 điểm) Ta có Ak2 k! 1 , k 2 (k 2)! Ak k (k 1) 0,25 1 Suy Ak k k 0,25 Cho k 2,3, , 2016 ta 2015 S 1 2016 2016 Vậy (1,0 điểm) Gọi x, y, z ( x, y, z Î ¥ ) S 1 1 1 2 2015 2016 0,25 0,25 là số học sinh nhận các giải thưởng (Toán-Lý); ïìï x + y = ï í x+z =6 Û ïï ï y +z =5 (Toán-Hóa) và (Lý-Hóa) Ta có hệ: îï ïìï x = ï í y =3 ïï ïîï z = 0,25 Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho học sinh là: C9 C5 C2 = 1260 Gọi T là biến cố “hai học sinh A và B có phần thưởng giống nhau” +) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Lý), có: C7 C5 C2 = 210 cách phát +) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Hóa) có: C7 C6 C2 =105 cách phát C C = 35 +) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Lý- Hóa) có: cách phát 210 +105 + 35 P(T ) = = 1260 18 Vậy xác suất cầm tìm là 0,25 0,25 0,25 a (0,5 điểm) Ta có xn 1 xn xn2 xn xn 1 0 xn 1 xn , n 1 Do đó xn tăng Ta chứng minh quy nạp theo n xn n 1, n 1 (1) Thật vậy, (1) đúng với n 1 Giả sử (1) đúng với n (n 1) thì xn 1 xn xn 1 n( n 1) n n n Vậy (1) đúng với n Từ b (0,5 điểm) Ta có xn+1 - = xn ( xn - 1) xn 0,25 0,25 tăng ngặt và xn n 1, n 1 suy lim xn Suy 1 1 = = xn+1 - xn ( xn - 1) xn - xn 0,25 (4) 1 = x x x n n n + Từ đó 1 1 yn 2016 2016 2016 xn x1 x2 x1 xn 1 2015 xn 1 Do đó 2016 lim xn lim 0 lim yn x n 2015 Từ Vậy a(1,0 điểm) ( SBC ) gọi K = SB Ç IH Þ K = SB Ç ( HIJ ) ( SCD) gọi L = SD Ç JH Þ L = SD Ç ( HIJ ) Trong Trong 0,5 ìïï IJ ^ AC Þ IJ ^ ( SAC ) Þ IJ ^ SC í ïïî IJ ^ SA SC ^ ( IJH ) Ta có , mà AH ^ SC Suy BC ^ ( SAB ) Þ BC ^ AK AK ^ ( SBC ) Suy AK ^ SC Mà Vậy b(1,0 điểm) SA AC 2a SA AB 2a AH = = AK = = 2 3; SA2 + AC SA2 + AB Ta có SA = SD - AD = a ; Do AK ^ ( SBC ) Þ AK ^ KH Tương tự phần (a) thì KH = AH - AK = , đó AL ^ ( SCD) Þ AL ^ HL S AKHL = S AKH + S ALH Suy (1,0 điểm) 0,25 2a Từ đó tính a LH = AH - AL2 = 15 1 8a = AK KH + AL.LH = 2 15 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trước hết ta chứng minh MC ^ IK Thật vậy, gọi H , N là trung điểm BC , AC ; G = AH Ç CM Suy G là trọng tâm tam giác ABC Mặt khác K là trọng tâm tam giác ACM nên KG || HE Suy 0,25 KG || AB Mà IM ^ AB nên KG ^ IM Rõ ràng AH ^ MK nên G là trực tâm tam giác MIK Suy MC ^ IK Đường thẳng KI qua K và vuông góc với CM nên có phương trình: x + = ìïï x + = ìï x =- Û ïí Þ I ( - 3; - 2) í ï ï Tọa độ I thỏa mãn hệ îï x - y + = îï y =- uuuu r uuu r DM = ( m - 1; - 1) ; IM = ( m + 3;5) M ( m;3) Î MC , m > Gọi Ta có uuuu r uuur ém =- (l ) DM ^ IM Û DM IM = Û ( m - 1) ( m + 3) - = Û m + 2m - = Û ê ê ëm = (tm) uuuur M ( 2;3) DM = ( 1; - 1) C ( c;3) Î CM Suy , Từ đó suy AB : x + y - = Gọi 7 K 3; là trọng tâm ACM nên A( - 11- c;1) Mà A Î AB suy Do 0,25 - 11- c +1- = Û c =- 15 A( 4;1) , B ( 0;5) , C ( - 15;3) Từ đó Thử lại ta thấy AB ¹ AC Suy không tồn A, B,C 0,25 0,25 (1,0 điểm) P xy ya ax 15 x y a x y a xya Đặt a z thì và Xét hai trường hợp: * Nếu số x, y, a âm Áp dụng BĐT Côsi ta xy + ya + ax ³ 3 x y a = 15 x + y + a - ( x + y + a ) ³ 15 3 x y a + 7.3 - xya = 15 + 21 >16 Suy P > 48 +1 = 49 * Nếu số x, y , a có số âm, hai số dương Không tổng quát, giả sử x < 0, y > 0, a > Đặt x1 =- x > Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta x12 + y + a ³ y + 2a + x1 0,25 0,25 (6) æ1 1 ÷ ö é5 ( y + 2a + x1 ) - ( y + a - x1 ) ù+1 P³ ç ç + + ÷ ÷ ë û ç x1 y a ÷ è ø Do đó æ1 ö æ1 1 ö 1 ÷ ç ÷ P ³ 3ç + + ÷ x1 + y+ a÷ +1 = 49 ç ÷ ÷( x1 + y + a ) +1 ³ 3ç ç ç ÷ ÷ ç ÷ x y a èx1 y a ø è ø 0,25 Dấu đẳng thức xảy và y = a = x1 > và x1 ya = hay æ ö ç3 2, 2, ÷ ÷ x , y , z =ç ( ) ÷ x = ç ÷ ç P = 49 è ø y = a = và Vậy , chẳng hạn -Hết - 0,25 (7)