SO PHUC phan i

SỐ PHỨC - PHẦN I Nhân dịp mùa thi THPTQG 2020 tới gần, ta thử nhìn nhận toán số phức thi ĐH - CĐ năm 2012, củng cố kiến thức kỹ giải toán số phức vài năm gần đây, góp phần giúp em 2K2 đạt kết tốt kỳ thi Các câu trích từ đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng năm 2012 Ví dụ (BGD - Đề thi tuyển sinh Đại học 2012 - Khối A - A1 Câu 9b) 5( z  i)  2i z  z Cho số phức thỏa mãn Tính mơđun số phức w   z  z Phân tích Trong câu củng cố kiến thức luyện tập kỹ - Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức - Số phức liên hợp, phần thực, phần ảo, môđun số phức Nhiệm vụ tìm số phức z , sau vào w , rút gọn tính mơđun Hiện ta hỗ trợ máy tính Casio để làm thay việc rút gọn tính mơđun, chí việc tìn z Lời giải Cách (Tự luận) z  5i   i    i  z z  a  bi,  a, b �� Điều kiện z �1 Từ giả thiết suy (1) Giả sử 5a  5bi  6i     i   a  bi   2a  b  2bi  từ (1) ta có 3a  b   � �  3a  b     a  7b   i  � � � a  b  � z  1 i a  7b   � (Thỏa mãn) w   z  z   i    i    3i � w  22  32  13 Khi w  13 Vậy z   i Cách (Hỗ trợ máy tính - Trắc nghiệm)   i  z  z  2  6i � z  Từ (1) ta có: Từ w 1+Ans  Ans  13  2  6i    i    2  6i   5 2  i  5  1 i (Cơng thức ta tìm hiểu VD 20) Ví dụ (BGD - Đề thi tuyển sình Đại học 2012 - Khối B Câu 9b) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z  3iz   Viết dạng lượng giác z1 z2 Phân tích Trong câu củng cố kiến thức luyện tập kỹ Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung GV: - Định lý Viet - Môđun số phức - Dạng lượng giác số phức Lời giải Vì z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z  3iz   nên ta có: z1.z2  4 , z  z2  r  z   cos   i sin   , z2  2  cos   i sin   Bởi ta đặt ta có z1  z2  3i nên 4i sin   3i � sin   � 4 �  � 4 z1  � cos  i sin � , z2  � cos  i sin 3� � � Vậy  �  � � � Ví dụ (BGD - Đề thi tuyển sình Đại học 2012 - Khối D Câu 9a) Cho số phức z thỏa mãn   i z  2(1  2i)   8i 1 i Tìm mơđun số phức w  z   i Phân tích Trong câu củng cố kiến thức luyện tập kỹ - Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức - Số phức liên hợp, phần thực, phần ảo, môđun số phức Lời giải Cách (Tự luận) Từ giả thiết suy   i z  2(1  2i )   i   1 i  1 i   8i �   i  z  (1  2i )   i    8i �   i  z   i   8i �   i  z   7i � z   7i   7i    i  15  10i   2i   i   i 2 � z   2i Từ ta có w  z   i   3i � w    w 5 Vậy z   2i Cách (Hỗ trợ máy tính - Trắc nghiệm) Từ giả thiết Từ w   i z    2i   8i 2(1  2i ) z    2i   8i  i   i  1 i 1 i ta có (nhập máy): Ans   i  Ví dụ (BGD - Đề thi tuyển sình Đại học 2012 - Khối D Câu 9b) Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung GV: Giải phương trình z    i  z  5i  tập hợp số phức Phân tích Trong câu củng cố kiến thức luyện tập kỹ - Các phép toán cộng, trừ, nhân, khai số phức - Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Lời giải Xét phương trình z    i  z  5i      i   4.5i  9.2i  20i  2i có biểu diễn  thành bình phương số phức z1  3   i   i 2   i  Đến ta , từ ta có hai nghiệm: 3   i   i 3 3   i, z    i 2 2 Ví dụ (BGD - Đề thi tuyển sinh Cao đẳng 2012 - Khối A - A1 - B - D Câu 7a) Cho số phức z thỏa mãn mặt phẳng tọa độ Oxy (1  2i ) z  2i  (3  i ) z 1 i Tìm tọa độ điểm biểu diễn z Phân tích Trong câu củng cố kiến thức luyện tập kỹ - Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức - Điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ Lời giải Biến đổi phương trình tương đương với �z Vậy (3  i) z  (1  2i ) z  2i  i   i    3i  1  7i    10 10   i    i   3i z 2i i �   i z  1 i 1 i 7� � 1 M�  ; �  i � 10 10 � 10 10 nên có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ Cách (Hỗ trợ máy tính Casio) Bài có dạng  i Sto A Vậy z Az  B  Cz � z  B A  C nên Mode ta ghi 2i B Sto B  2i Sto C    i 1 i A  C ta 10 10 7� � 1 M�  ; �  i � 10 10 � 10 10 nên có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung GV: Ví dụ (BGD - Đề thi tuyển sinh Cao đẳng 2012 - Khối A - A1 - B - D Câu 7b) z  z2 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   2i  Tính Phân tích Trong câu củng cố kiến thức luyện tập kỹ - Giải phương trình bậc hai tập số phức có hệ số phức - Tính mơđun số phức Lời giải Phương trình z  z   2i  có    '  12    2i   2i  i nghiệm là: z1   i 2, z2   i Do ta có  z1  z2    nên phương trình có hai   1  2 2 Qua em thấy nội dung kiến thức thi Đại học - Cao đẳng trước nhẹ nhàng, đến có nâng cao vài phần em đừng lo lắng, nắm kiến thức làm Cụ thể ta xét câu số phức thi năm vừa qua mức VD - VDC có nội dung địi hỏi kỹ gì? Một số câu trắc nghiệm gần Ví dụ (BGD - Đề thi thức THPTQG 2019 M101 C34)   z  i    i  z   10i Cho số phức z thỏa mãn Mô đun z A B C D Phân tích Trong câu thấy nội dung giống câu đề thi năm 2012 - Các phép toán cộng, trừ, nhân số phức - Số phức liên hợp, phần thực, phần ảo, môđun số phức Lời giải Cách (Tự luận) Giả sử z  a  bi,  a, b �� � z  a  bi Từ giả thiết ta có:  a  bi  i     i   a  bi    10i � 3a  3bi  2a  b   2bi   7i a2 �a  b   � �� �� � a  b    a  5b   i  �a  5b   b  1 z   i � z  22   1  Vậy Chọn C Cách (Hỗ trợ máy tính - Trắc nghiệm)  2  i  z  3z   7i � z  Từ giả thiết ta có: Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung   7i   2  i     7i    i 2i  (Nhập máy) GV: Từ w Ans  Chọn C (Cơng thức ta tìm hiểu VD 20) Ví dụ (BGD - Đề thi thức THPTQG 2019 M101 C44) z  Xét số phức z thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn  iz w  z đường trịn có bán kính số phức A 34 B 26 C 34 D 26 Phân tích Trong câu thấy nội dung là: Tìm biểu diễn w thơng qua z - Các phép biến đổi đại số - Biến đổi hình học tọa độ Lời giải Cách (Tự luận - Biến đổi đại số) w  x  yi,  x, y �� w(1  z )   iz � z  w  i    w � w  i  w  Giả sử Ta có 2 � 2� x   y  1 �  x    y �  x  y  y  1  x  8x  16  y � � � x  y  x  y  14  �  x     y    34 2 , suy R  34 Chọn A Cách (Hỗ trợ máy tính - Trắc nghiệm) Ta cho z ba giá trị khác tương ứng w có ba giá trị khác viết phương trình 2 đường trịn có dạng: x  y  2ax  2by  c  (1)  iX 1;5 Vào Mode ghi  X CALC nhập 1  i  ta có   thay vào (1): 2a  10b  c  26 1; 3 CALC nhập 1  i  ta có  thay vào (1): 2a  6b  c  10 �7 1 � �; �  i  CALC nhập ta có �5 �thay vào (1): 14a  2b  5c  10 Giải hệ ba ẩn ta a  4, b  2, c  14 � r  16   14  34 Nhận xét Vì tính chất u.v  u v sử dụng nhiều nên GV hướng dẫn em chứng u  a  bi, v  x  yi ,  a, b.x, y �� minh lại định lý sau: Giả sử , ta chứng minh định lý phép biến đổi tương đương: u.v  u v � u.v  u v �  ax  by    ay  bx    a  b   x  y  2 2 � a x  b y  a y  b x  a x  b y  a y  b x (Luôn a, b.x, y ��) Đpcm Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung GV: Như phần em thấy là: nội dung có nâng cao vài phần khơng phải q khó, em nắm kiến thức làm Sau ta nghiên cứu cách giải toán số phức cách "Đặt ẩn phụ" xem nào? Ví dụ (THPT Chuyên Tiền Giang)  a, b �� thỏa mãn z   3i  z i  Tính S  a  3b Cho số phức z  a  bi A S B S  5 C S  D S  Lời giải Đặt z  m �0 z  1   m  3 i � z    m  3 � m    m  3 , ta có �   6m  � m  z  1  i � S  a  3b  5 , thay trở ta có Chọn B Cách (Tính trực tiếp) Để cho gọn ta đặt z  a  b  m �0 , ta có: z   3i  z i  � �a   �a  1 a  bi   3i  mi  � a    b   m  i  � � �� b 3 m  �  b  3  m   b � �a  1 �a  1 � �� �� � S  a  3b  5 6b   � b � � Ví dụ 10 (THPT Kinh Môn - Hải Dương)   3i  z số thực z   5i  Số phức z  a  bi ( với a , b số nguyên) thỏa mãn Khi a  b A B C D Lời giải   3i  z  m ��� z  Đặt vào giả thiết thứ hai ta có m m 3m   i  n  3ni  3i 10 10 Ta cần tính a  b  4n; n �� Thay z n     3n  i  �  n      3n   � n  ��� P  2 Chọn B Cách (Tính trực tiếp) Ta có   3i  z    3i   a  bi   a  3b   b  3a  i z = a + 3ai vào giả thiết thứ hai ta Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung số thực nên b = 3a a  3ai   5i  suy GV:  a  2    3a   � a  ��� P  a  b  4a  2 z z  2z  i  Ví dụ 11 Cho số phức z  a  bi ( a , b số thực ) thỏa mãn Tính giá trị biểu thức T  a  b A T   B T   2 D T   C T   2 Lời giải z  m �0 Đặt z ta có , ta có z  m    i � z  m    � m  m    � m   i   i � T  a  b2   2 1     thay trở  3 2 Chọn C Mời em giải cách khác Ví dụ 12 (BGD - Đề thi thức 2017) Có số phức z thỏa mãn A z  3i  z z  số ảo? B D C Vô số Lời giải 3b   4b  3 i 4bi z 4bi  3i  � 5  bi �  bi  1 z  4bi � z  bi  bi  z  bi  Đặt , ta có � 9b   4b  3  25  b  1 � 24b  16 � b  2 16 24 �z  i 13 13 Chọn D Lời bình Việc đặt ẩn phụ giải tốn số phức góp phần làm cho lời giải bớt cồng kềnh biến đổi, chí nhanh đến kết Mời em tính trực tiếp Ví dụ 13 (BGD - Đề tham khảo 2018) Cho số phức A z  a  bi  a, b �� 1 thỏa mãn B 5 z   i  z  1 i  C z 1 Tính P  a  b D Lời giải Cách Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung GV: Đặt z  m 1 Ta có z  2  i  m   i    m     m  1 i � m   m  2   m  1 � m  2m  6m  � m  6m   � m  Vậy z   4i � P  Chọn D Cách Biến đổi phương trình Đặt z  m 1 � z  z 2i   z  1 i   i � z   i   1 i z 1 i 1 i 2  2m  3 Thay trở ta   2m � 2m  12m  10  � m  z  2  i    i    4i � P  Cách b  a 1 �a   m  � a  bi   i  m   i   � � �� z  m 1 b 1 m  � �m   b  Đặt ta có b  a 1  � b  a 1  � �a  � �� �P7 � 2 � �2 b4 b  4b  b  1  b    b   � � � Suy Cách (Trắc nghiệm) a2m � z   i  m  1 i � � � a  b  2m   1 z  m 1 b   m � Đặt , ta có Đến ta thử + Đáp án C: 2m   � m  � z   2i �  m  z  (loại) + Đáp án D: Tơ khoanh trịn! Ví dụ 14 (THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước) Tìm số phức z thỏa mãn A z   2i  z  1  z  i  số thực B z  1  2i C z   i z2  z D z   2i Lời giải Giả sử z  a  bi,  a, b �� z  a  b2  m �0 z   m �  a  2  b2  m2 , ta có 1  1 b i� � �là số thực nên � 4a   � a  , z   bi   bi  � 2   b   b  � b  2 Vậy z   2i Chọn D Cách Ta dùng chức CALC để thử kiểm tra trước tiên Ghi X 2  X z2  z xem số thỏa mãn? CALC nhập số phức Loại B C Tiếp theo kiểm tra điều kiện thứ hai Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung GV: Ghi   Bi    Bi  i  CALC nhập phần ảo = loại A Vậy chọn D Cách Giả sử z  a  bi,  a, b ��  z  1  z    i  ���  z  1  z  1   z  1   i  �� �  z  1   i    a  bi  i  ia  b ��� b   a  � b  1  a z   z �  a  2  b2  a  b2 � a  Mặt khác b = - z = - 2i Ví dụ 15 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình) z z  z Cho số phức z thỏa mãn Biết phần thực z a Tính theo a a  a2  B A  a a  a2  C a  a2  D Lời giải z  a  b  m �0 z  m  �  a  m   b2  Giả sử z  a  bi , ta có � a  b  2am  m2   � m2  am   � m  a  a2  Chọn D Mời em giải cách khác Ví dụ 16 (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh ) z   3i  z  2i  Có số phức z thỏa mãn  số ảo? A C B D Lời giải Đặt z   3i  a  bi � z  a    b  3 i  z  2i  ta có z   3i  � a  b  18 (*) a b6 � 2 �  a  1   b  5  � � � a    b  5 i � a  b  � � số ảo nên � + TH 1: a = b +  b  6 b  4 + TH 2: a = - b -   b  18 � b  3 (nghiệm kép)  b2  18 � b  4b   (Hai nghiệm vơ tỉ) Chọn C Ví dụ 17 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội) Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung GV: z   2i  z z 8 z1 z2 , hai số phức thỏa mãn Tìm môđun số phức w  z1  z2   4i Gọi A w 6 w  16 B C w  10 D w  13 Lời giải Cách (Hình học) Đặt u  z1   2i, v  z2   2i w  u  v u  v 5 thoi, nên w  u  v đường chéo hình u  v  z1  z2  �8 � w  u  v   � � �2 � Suy Chọn A Ví dụ 18 (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An)   i  z  z số ảo z  2i  Có số phức z thỏa mãn A B C D Vô số Lời giải Đặt z  2i  a  bi � z  a   b   i , ta có   i  z  z  z  z  iz  2a   b    số ảo nên a   2a   � b  2a  vào (*) ta có z  2i  � a  b  (*) � 2a   b    a 1 � � 1� � a � Suy có số phức Chọn A Lời bình Bài ta đặt ẩn phụ chưa sáng, gọn gàng tí Sau ta xét thêm số toán liên quan đến z z nói phần đầu Ví dụ 19 (SGD Bắc Giang ) z  z  7  3i  z z Cho số phức z thỏa mãn Tính A 13 B 25 C D Lời giải z  a  b2  m m  7  3i  z  z  3a     b  i Giả sử z  a  bi , ta có � a   9a  42a  49 m  3a  � � � � a  4, b  � �� b  3, a � � z   3i � z   3b � � Vậy Chọn D Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung  a, b �� số phức thỏa mãn   2i  z  2iz  15  8i Tổng a  b Ví dụ 20 Biết z  a  bi A a  b  B a  b  1 C a  b  Lời giải D a  b  Cách Ta có z  a  bi � z  a  bi Theo đề ta có 3a  15 � �a  �� ��   2i   a  bi   2i  a  bi   15  8i � 3a   4a  3b  i  15  8i �4a  3b  �b  Vậy a  b  Chọn C Cách Phương trình dạng Az  Bz  C , ta có A z  B z  C � z  C B  z A A thay trở �C B � C A  C.B  15  8i    2i    15  8i   2i  � Az  B �  z � C � z   13  A A  B.B �A A � z   4i � a  b  Chọn C Kết quả: Ban đầu Az  Bz  C tính z C A  C.B A A  B.B Ví dụ 21 (SGD Quảng Nam ) iz    i  z  2i Tổng phần thực phần ảo số phức z thoả mãn B 2 A Áp dụng công thức Az  Bz  C � z  D 6 C Lời giải C A  C.B  2i   i   2i   i     2i 1 A A  B.B Do a  4, b  � a  b  Chọn C Mời em giải theo cách Ví dụ 22 (THPT Chuyên Thái Bình ) z   2i   z.i  15  i Cho số phức z thỏa mãn: Tìm modun số phức z ? A z 5 B z 4 C z 2 D z 2 Lời giải Áp dụng cơng thức Do Ans  Az  Bz  C � z  C A  C.B  15  i    2i    15  i  i    4i 1 A A  B.B Chọn A Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung GV: Mời em giải theo cách Một số luyện tập z z   3i  Câu Có số phức z thỏa mãn z  số ảo ? A C B vô số D Câu (BGD - Đề thi thức 2017) z  2i  2 z  1 Có số phức z thỏa mãn  số ảo? A B C D z  10  2i  z   14i Câu Có số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: z   10i  A ? C B D Vô số Câu (BGD - Đề thi tham khảo 2017) z i  Có số phức z thỏa mãn z số ảo? A B C D z  (2  i)  10 Câu Có số phức z thỏa mãn z.z  25 ? A B C D Câu (BGD - Đề thi thức 2018 M101 C30)  z  i   z   số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất Xét số phức z thỏa mãn điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính A B C  D  z z   i  4i  Câu Xét số phức z thỏa mãn số thực Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d Diện tích tam giác giới hạn đường thẳng d hai trục tọa độ A B C D 10 Câu (BGD - Đề thi thức 2018 M101 C38) z  z   i   2i    i  z Có số phức z thỏa mãn ? A B Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung C D GV:   i  z  z số ảo z  2i  Câu Có số phức z thỏa mãn A C B D Vô số Câu 10 (BGD - Đề thi thức 2017) Có số phức z thỏa mãn A z  3i  13 B z z  số ảo ? D C Vô số 2 z  zz  z  Câu 11 Có số phức z thỏa mãn z  z  ? A C B D Vô số Câu 12 (THPT Chuyên Thái Bình)  a, b �� thỏa mãn   i  z  z   i  z  3 Tính S  a  b Cho số phức z  a  bi A S  B S  5 D S  C S  1 z    i   10 Câu 13 Biết số phức z có phần ảo khác thỏa mãn z.z  25 Điểm sau biểu diễn số phức z cho? A P  4;  3 B N  3;   C M  3;  D Q  4; 3 Câu 14 (BGD - Đề thi thức 2018 M102 C49) z  z   i   2i    i  z Có số phức z thỏa mãn ? A Câu 15 Cho số phức C B z  a  bi  a, b �� thỏa mãn  z   i   z  i   3i  D z 2 Tính P  a  b A B C 3 D 1 Câu 16 (THPT Ngô Quyền – Ba Vì ) Cho số phức z A   i  z    i  z  Tìm modun số phức thỏa mãn: 122 Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung 10 B C 45 w D i  2z 1 i 122 GV:   3i  z    i  z    3i  Câu 17 Cho số phức z thỏa mãn 0 Gọi a, b phần thực phần ảo số phức z Khi 2a  3b A B C 11 Câu 18 (BGD - Đề thi thức 2019 M102 C31) D -19 z  i     3i  z   16i Cho số phức z thỏa mãn  Môđun z A B Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn A z 2 C D z số thực Số  z có phần thực B C D Kết khác Câu 20 (SGD Thanh Hóa) z   2i  z z 8 Gọi z1 , z2 hai số phức thỏa mãn Tìm mơđun số phức w  z1  z2   4i A w 6 B w  16 C w  10 D w  13 >>>>>>>>> Như phần I ôn tập cố kiến thức số phức, đồng thời rèn luyện số kỹ giải tốn định, nhìn chung toán mức - điểm Trong phần II nghiên cứu toán mức - - 10 điểm, có nhiều tốn có nội dung rộng hơn, bao gồm - Biểu diễn tập hợp số phức đường thẳng, đường trịn (nâng cao) - Các tốn tương đối đơn giản giá trị lớn nhất, nhỏ - Các tốn tính tốn (nâng cao) - Các toán nâng cao giá trị lớn nhất, nhỏ Fb: Diendangiaovientoan Nguyen Xuan Chung GV: ... phức L? ?i gi? ?i Cách (Tự luận) Từ giả thiết suy   i? ?? z  2(1  2i )   i   1 i? ??  1 i? ??   8i �   i  z  (1  2i )   i    8i �   i  z   i   8i �   i  z   7i � z   7i ... v? ?i �z Vậy (3  i) z  (1  2i ) z  2? ?i  i   i    3i  1  7i    10 10   i    i   3i z 2? ?i ? ?i �   i? ?? z  1 i 1 i 7� � 1 M�  ; �  i � 10 10 � 10 10 nên có ? ?i? ??m biểu... hai L? ?i gi? ?i Xét phương trình z    i  z  5i      i   4. 5i  9. 2i  2 0i   2i có biểu diễn  thành bình phương số phức z1  3   i   i 2   i  Đến ta , từ ta có hai nghiệm: