Xét các trường hợp sau: Trường hợp 1 : Minh và Hùng có chung mã đề môn thứ nhất... AH là hình.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 - LẦN VI Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y=− x +2 x +1 x +7 Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y=x +1+ x−1 [ 2; ] Câu (1,0 điểm) cos α+ cos α+1=0 với π <α <π trên đoạn sin2 α − sin α cos α −1 2 z −2 z +10=0 Tính A=| z1|+|z 2| Tính giá trị biểu thức A= z và z 2 Gọi là hai nghiệm phức phương trình Câu (1,0 điểm) 1.Giải bất phương trình x −31 − x − 2≤ Minh và Hùng cùng tham gia kỳ thi, đó có hai môn thi trắc nghiệm Đề thi môn gồm mã đề khác và các môn khác có mã đề khác Đề thi xếp và phát cho các thí sinh cách ngẫu nhiên Tính xác suất để hai môn thi đó Minh và Hùng có ít môn chung mã đề thi I 2 x x ln(1 x) dx Câu (1,0 điểm) Tính tích phân Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông A , AB a, AC a Hình chiếu vuông góc A ' trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh BC ; Góc cạnh bên và mặt đáy 45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' và khoảng cách hai đường thẳng AA ' , CB ' Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm B(2;1;-3), C(1;2;0) và mặt 2 cầu (S) có phương trình x y z x y z 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B, C và song song với OI Tính khoảng cách từ trung điểm OI đến mặt phẳng (P) ( O, I là gốc tọa độ và tâm (S)) 2 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1 ) : x y x y 0 và (C2 ) : x y x 0 (C ) và C2 Gọi A(3;3) là hai giao điểm Đường thẳng qua A cắt hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) điểm thứ hai lần lượt là B và C Biết đường thẳng cắt đường thẳng d : x y 0 điểm D thỏa mãn BC 2 AD Viết phương trình đường thẳng Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : 3 x y y y ( x y 1) x ( x, y ) 2 2 y x y xy x x xy y y Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c và a2 +b 2+ c 2=5 Tìm giá trị lớn biểu thức: P (a b)(b c)(a c )(ab bc ca) ===== HẾT ===== (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN VI NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN Nội dung Điểm Câu Khảo sát biến 1.0 thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số HS tự làm Tập xác định ¿ 0,5 ¿ D=R {1 ¿ Hàm số x +7 y=x +1+ x−1 liên tục trên đoạn [ 2; ] Ta có : x −1 ¿2 ¿ ; y ' =1− ¿ x −1 ¿ =9 ⇔ ¿ x=4 ( tm) ¿ x=−2( loai) ¿ ¿ ¿ ¿ y ' =0 ⇔ ¿ Khi đó 41 0,25 y (2)=14 ; y (5)= ; y (4 )=10 Vậy 0,25 Max y= y (2)=14 [ ;5 ] ; Min y= y (4)=10 [ ;5 ] 3.1 Theo giả thiết π <α <π nên sin α > ,cos α < Ta có : 0.25⇔6 cos α +cos α −2=0 ⇔ cos α + cos α +1=0 cos α =− (tm) ¿ cos α = (loai) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Khi đó (3) A= sin2 α − sin α 2sin α cos α − sin α = =sin α cos α −1 cos α −1 Với −2 5 ⇒ sin2 α =1− cos2 α = ⇒sin α= √ (vì sin α >0) √5 Vậy A= Phương trình z −2 z +10=0(1)0,25 có ' Δ =1− 10=− 9<0 nên (1 ) có hai nghiệm phức là z 1=1+3 i và z 2=1− i Ta có −3 i¿ 1+ 3i ¿2 0,25 ¿2 ¿ −8 ¿ 2+62 ¿ ¿ −8 ¿2 +− ¿ ¿ ¿=|−8 − 6i|+|−8+6 i|=√ ¿ ¿+¿ A=¿ Vậy A=20 Ta có : 3 x −31 − x − 2≤ ⇔ x − x − 2≤ 0.25 Đặt t =3 x (t >0) ta bất phương trình : t − − 2≤ ⇔t − t −3 ≤ ⇔−1 ≤ t ≤3 t Kết hợp điều kiện ta có 0<t ≤ x ⇒ 0<3 ≤ ⇔ x ≤1 0.25 Vậy tập nghiệm bất phương trình là T =¿ Số cách nhận mã đề hai môn Minh là 1 0.25 C8 C8 =64 Số cách nhận mã đề hai môn Hùng là cos α = 3.2 4.1 4.2 0.25 (4) 1 C8 C8 =64 Suy số phần tử không gian mẫu là |Ω|=64 64=4096 Gọi A là biến cố : ”Minh và Hùng có ít môn cùng mã đề ” Xét các trường hợp sau: Trường hợp : Minh và Hùng có chung mã đề môn thứ Số cách nhận mã đề thi Minh 0,25 và Hùng là 1 C8 C8 C7=448 Trường hợp : Minh và Hùng có chung mã đề môn thứ hai Số cách nhận mã đề thi Minh và Hùng là 1 C8 C7 C8 1=448 Trường hợp 3: Minh và Hùng có chung mã đề hai môn : Số cách nhận mã đề thi Minh và Hùng là 1 C8 C8 1=64 Suy |Ω A|=448+448+64=960 Vậy xác suất |Ω A| 960 15 P( A)= = = |Ω| 4096 64 Ta có : 1 0.25 I = x [ x+ ln (1+ x) ] dx= x2 dx+ x ln (1+ x)dx=I 1+ I Tính 0,252 I1 2 x dx x3 10 3 0 (5) Tính I = x ln(1+ x )dx Đặt ¿ u=ln(1+x ) dv=2 xdx ⇒ ¿ du= dx x +1 v=x ¿{ ¿ 0,25 Do đó 1 I =x2 ln (1+ x )t ¿10 − dt=ln 2− ¿ ln 2− Vậy [ x2 dx=ln − (x − 1+ )dx x +1 x +1 x − x + ln(1+ x) ¿10 = 2 ] 0,25 I= + = Trong tam giác vuông ABC có BC AB AC a 3a 4a BC 2a ; AH BC a 0.25 AH là hình chiếu vuông góc AA ' trên mặt phẳng ( ABC ) nên góc AA ' và mặt phẳng ( ABC ) là góc A ' AH Theo giả thiết có A ' AH 450 Trong tam giác A ' AH có A ' H AH a Diện tích tam giác ABC là S ABC 0.25 a2 AB AC 2 (6) Thể tích khối lăng ABC A1B1C1 trụ là V A ' H S ABC a a a3 2 Khoảng cách hai đường A ' A và CB ' khoảng cách từ A ' A đến mặt phẳng B ' BCC ' và khoảng cách từ điểm A ' B ' BCC ' đến E Gọi là hình chiếu vuông góc A ' cạnh B 'C ' Gọi K là hình chiếu vuông góc A ' trên 0.25 HE A ' K HE (1) Mặt khác B 'C ' A ' E B ' C ' A ' HE B ' C ' A ' K B ' C ' A ' H ( A ' H ( A ' B ' C ')) (2) Từ (1) và (2) A ' K ( BCB ' C ') d A ',( BCB ' C ') A ' K Trong tam giác vuông A ' HE có 1 1 1 1 A' K 2 2 2 A' K A' H A' E A' H A' B ' A 'C ' a a 3a 3a Vậy khoảng cách hai đường AA ' và CB ' a 21 7 Tâm mặt cầu I( 3; -2; 1) Trung điểm OI là 1 3 M ; 1; 2 2 0,25 (7) 0.25 Gọi n là vecto pháp tuyến (P) Ta có n cùng phương với BC , OI BC ( 1;1;3), OI (3; 2;1) BC , OI (7;10; 1) Chọn n =(7; 10; -1) Viết 0,25 phương trình (P): 7(x - 2) + 10(y - 1) - 1(z + 3) = <=> 7x + 10y z - 27 = 10 27 27 2 d M , ( P) 0.25 10 150 102 ( 1) (C1 ) có tâm I1 (1; 2) (C2 ) có tâm I (3;0) Gọi H1 , H là hình chiếu vuông góc I1 và I trên H1 H AD BC Ta có : Qua A kẻ đường thẳng a song song với và lấy trên đường thẳng a điểm 0,25 cho AD0 I1 I Gọi H là hình chiếu vuông góc I1 trên I H Ta có : HI1 I DAD0 ( c.g.c) DD AD Suy D thuộc đường tròn (C) đường kính 0.25 AD0 Phương trình I1 I : x y 0 (8) và phương trình đường thẳng a : x y 0 AD0 I1 I D0 (5;1) Phương trình đường tròn (C) : 2 x y 2 Ta có D d (C ) nên 0.25 toạ độ D là nghiệm hệ: x y 2 x y 0 Vậy phương 0.25 trình đường thẳng là : x y 0 ( x 5) 0 y x x 5 D(5;1) D0 y 1 3 x y y y ( x y 1) x 2 2 y x y 2 xy x x xy y y (1) (2) Điều kiện: x y 0 x y 0 y 0 PT(2) y 1 y y x xy y x y ( x xy y ) 0,25 y y ( x y) 1 x y ( x y) f ( y) f ( x y) y 1 Xét hàm số : f (t ) t trên 0; có f , (t ) t t 1 t t2 t 2t hay f , ( x) t ( t 1 nên hàm f (t ) nghịch biến trên 0; 2) t 0, t Suy ra: f ( y ) f ( x y ) y x y x 2 y Thế vào phương trình (1) ta : x x x 3 x ( x x 1) x (9) ( x x 1) ( x 1) x x x x 1 x ( x x 1) x 0 0.252 3( x x 1) 3 ( x 1) ( x 1) x ( x 4) ( x x 1) x 0 ⇔ ¿ x ≥0 x 2+ x −1=0 −1+ √ −1+ √ ⇔ x= ⇒ y= (tm) x3 + ¿2 ¿ ¿=√ x + 4(4) ¿ ¿{ ¿ ¿ x +1 ¿ +( x +1) √ x3 + 4+ √3 ¿ ¿ + √ x + x+1 ¿ ¿¿ 3 VT( 4) 1 2 3 33 16 x x 1 x 33 ( x 4) (1 ) ( x 1 ) 4 VP( 4) x 0,25 2, x 0 Do đó phương trình (4) vô nghiệm Vậy hệ 0,25 phương trình có nghiệm là: ( x; y ) ( 5 5 ; ) Do a ≥ b ≥ c nên ab bc ca thì P≤ 0< Nếu 0.25 ab bc ca 0 thì đặt ab bc ca x 0 10 Áp dụng BĐT Côsi : a −c ¿ ¿ ¿ (a − b)(b −c )≤ ¿ a− c ¿ ¿ ¿ ⇒(a −b)(b − c)(a −c )≤ ¿ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: (10) b − c ¿2 a − c ¿2 a −b ¿ 2+ ¿ ≥¿ ¿ 0.25 2¿ và a −c ¿2 b − c ¿2 +2 ¿ a −b ¿2 +2 ¿ (a 2+ b2+ c − ab − bc −ca )=2 ¿ 4(a b c ab bc ca ) (a c) 2(a c) 4(5 x) 3( a c) 0 x 5 va a c Từ (1) và (2) ta a − c ¿3 ¿ − x ¿3 có: ¿ ¿ P ≤¿ Xét hàm số 5− x¿ ¿ ¿ f (x)=x √ ¿ 0,25 f ' (x)= √5 − x (5 − x ); f ' (x )=0 ⇔ x=2 ¿ x=5 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Ta có: f (0) 0 ; f (2) 6 ; f (5) 0 − x ¿3 ¿ ¿ Max f ( x )=6 √ ⇒ f ( x)=x √ ¿ [ ; 5] ⇒P≤ √3 √ ⇔ P ≤ Vậy MaxP=4 Dấu "=" xảy 0,25 5 x (2) (11) ⇔ x=2 a −b=b − c a− c=2 a +b 2+ c2 =5 ⇔ ¿ ab+ bc+ ca=2 b=a −1 c=a −2 a +b 2+ c2 =5 ⇔ ¿ a=2 b=1 c=0 ¿{{{ Chú ý: Học sinh làm cách khác đáp án mà đúng điểm tối đa (12)