Lý thuyết g tập và ứng dụng

bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh lê thị h-ờng lý thuyết g - tập ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Vinh, 2009 giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh lê thị h-ờng lý thuyết g - tập ứng dụng Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mà số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS TS lê quốc hán Vinh, 2009 mục lục Trang Lời nói đầu Ch-¬ng kiÕn thøc c¬ së 1.1 §ång cÊu nhãm 1.2 định lý đồng cấu nhãm Ch-ơng Lý thuyết G-tập ứng dụng 13 2.1 C¸c nhãm hoán vị 13 2.2 C¸c G- tËp nhãm 16 2.3 nhóm đối xứng nhóm thay phiên 22 2.4 Mét sè tÝnh chÊt đặc tr-ng nhóm phép 28 KÕt luËn 37 Tµi liƯu tham kh¶o 38 Lời nói đầu Nhóm phép bậc hữu hạn lớp nhóm đà đ-ợc khảo sát từ giai đoạn lý thuyết nhóm đời đà tỏ có nhiều ứng dụng Đại số nói riêng Toán học nói chung Các vấn đề liên quan đến nhóm phép hữu hạn đ-ợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nhiều h-ớng khác Trong phạm vi khảo sát nhóm phép dựa lý thuyết G-tập ứng dụng Luận văn đ-ợc chia làm ch-ơng Ch-ơng 1: Kiến thức sở Chúng trình bày số kiến thức đồng cấu nhóm định lý đẳng cấu nhóm Kết ch-ơng chứng minh chi tiết số định lý đẳng cấu nhóm Ch-ơng 2: Lý thuyết G-tập ứng dụng 2.1 Các nhóm hoán vị Trong tiết này, xét nhóm đối xứng X tập hợp X, sâu vào nhóm hoán vị X 2.2 Các G-tập nhóm Trong tiết này, trình bày cách có hệ thống lý thuyết G-tập, đ-a số ví dụ G-tập Các kết mệnh đề 2.2.4, 2.2.5,2.2.12 2.3 Nhóm đối xứng nhóm thay phiên Trong tiết này, dựa vào lý thuyết G-tập khảo sát nhóm đối xứng nhóm thay phiên Các kết mệnh đề 2.3.7, 2.3.8, 2.3.9 2.4 Một số tính chất đặc tr-ng nhóm phép Đây phần luận văn Dựa vào kết đà trình bày 2.2 2.3 , xét số tính chất đặc tr-ng nhóm phép thế: cấu trúc tâm hoá phép thế, hệ thức nhóm phép thế, nhóm tự đẳng cấu nhóm phép Các kết mệnh đề: 2.4.3, 2.4.4, 2.4.7, 2.4.8, 2.4.9 Luận văn đ-ợc hoàn thành nhờ giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn tới tất thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học Tr-ờng Đại học Vinh đà quan tâm giúp đỡ tác giả trình học tập nh- việc hoàn thành luận văn sau Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu Tr-ờng Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học phòng ban liên quan đà tạo điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học tập nghiên cứu tr-ờng Mặc dù đà có nhiều cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đ-ợc đóng góp quý báu từ thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 10 năm 2009 Tác giả Ch-ơng Kiến thức sở 1.1 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.1.1 Một ánh xạ f đ-ợc xác định nhóm G đến nhóm G ' (không cần phân biệt với G ) đ-ợc gọi đồng cấu từ G vào G ' thoả mÃn f ( xy )  f ( x) f ( y) , víi mäi x, y  G NÕu ®ång cÊu f song ánh f đ-ợc gọi đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu từ G lên G ' ta nói G G ' đẳng cấu với viết G G' Nếu đồng cấu f đơn ánh f đ-ợc gọi đơn cấu; đồng cấu f toàn ánh f đ-ợc gọi toàn cấu H  x  G f ( x)  eG  Giả sử f đồng cấu từ G vào G ' Tập đ-ợc gọi hạt nhân f đ-ợc ký hiệu Kerf Tập f (G) đ-ợc gọi ảnh f đ-ợc kí hiệu Im f Ví dụ Giả sử A nhóm nhóm G Đơn ánh A G a a đồng cấu gọi đơn cấu tắc Ví dụ ánh xạ đồng nhóm G đồng cấu gọi tự đẳng cấu đồng G Ví dụ Giả sử A nhóm chuẩn tắc nhóm G ánh xạ h: G G/A cho h(x) = xA, xG đồng cấu từ nhóm G đến nhóm th-ơng G/A Ví dụ Giả sử G G ' hai nhóm tuỳ ý, ánh x¹ G  G ' x e' víi e ' phần tử trung lập G ' , đồng cấu gọi đồng cấu tầm th-ờng Định lÝ 1.1.2 Gi¶ sư G, G ' , G '' nhóm f: G G ' g: G ' G '' đồng cấu Khi ánh xạ tích gf: G G '' đồng cấu Đặc biệt tích hai đẳng cấu đẳng cấu Định lí 1.1.3 Giả sử f: G G ' ®ång cÊu tõ nhãm G ®Õn nhãm G ' ThÕ th×: (i) f(e) = e ' (ii) f(x-1) = [f(x)]-1 với x G Định lí 1.1.4 Giả sử f: G G ' đồng cÊu tõ nhãm G ®Õn nhãm G ' , A lµ mét nhãm cđa G vµ B lµ nhãm chuẩn tắc G ' Thế thì: (i) f(A) lµ mét nhãm cđa G ' (ii) f (B) nhóm chuẩn tắc G HƯ qu¶ Gi¶ sư f: G  G ' đồng cấu từ nhóm G đến nhóm G ' Thế Im f nhóm G ' Kerf nhóm chuẩn tắc G Định lí 1.1.5 Giả sử f: G G ' đồng cấu từ nhóm G đến nhóm G ' Thế thì: (i) f toàn ánh vµ chØ Imf = G ' (ii) f đơn ánh Kerf = {e} 1.2 Các định lý đẳng cấu nhóm Định nghĩa 1.2.1 Một đồng cấu f xác định nhóm G đến nhóm G ' đ-ợc gọi đẳng cấu từ G vào G ' đồng cấu f song ánh Nếu tồn đẳng cấu từ G lên G ' ta nói G G ' đẳng cấu với viÕt G  G' §èi víi mét nhãm G đà cho, tập hợp tất nhóm đẳng cấu với G đ-ợc gọi lớp đẳng cấu G Trong lý thut nhãm, chóng ta th-êng nghiªn cøu tính chất lớp nhóm đẳng cấu; nghĩa tính chất chung cho tất nhóm lớp nhóm đẳng cấu Ví dụ Giả sử G nhóm xyclic sinh phần tử g Xác định ánh xạ f : G cho bëi c«ng thøc f (n)  g n , n G Khi f ®ång cÊu tõ ®Õn G vµ râ rµng nã lµ toàn cấu Nếu G nhóm xyclic vô hạn f đẳng cấu, G nhóm xyclic vô hạn cấp k , hạt nhân f nhóm H K ( H K tập hợp tất bội k ) Ví dụ ánh xạ A A det A , đồng cấu từ nhóm nhân ma trận không suy biến với phần tử tr-ờng F đến nhóm nhân F hạt nhân f nhóm nhân ma trận với định thức Ví dụ Giả sử G nhóm g phần tử G Giả sử H nhóm G ánh xạ f : H G cho bëi f ( x)  g 1 xg , x H đồng cấu, đẳng cấu từ H lên nhóm liên hỵp H g cđa H Nh- vËy, ta cã H g H Đây chất liên hợp Ví dụ Giả sử H nhóm liên hợp nhóm G f ánh xạ tắc từ G lên nhóm th-ơng G H Khi ánh xạ f đồng cấu từ G lên G H Đây ý nghĩa ánh xạ tắc, hay toàn cấu tắc Hạt nhân toàn cấu tắc f trïng víi H Chó ý r»ng nÕu G ' lµ nhóm cộng tính điều kiện f ( xy )  f ( x) f ( y) trë thµnh f ( xy )  f ( x)  f ( y) Chẳng hạn, ánh xạ f :  cho bëi f ( x)  lg x lµ đẳng cấu từ nhóm nhân số thực d-ơng vào nhóm cộng số thực Mệnh đề sau đ-ợc gọi định lý t-ơng ứng Mệnh đề 1.2.2 Giả sử f : G G' đồng cấu Khi (i) Nếu H nhóm G th× f ( H )  f ( x) x  H  lµ nhãm cđa G ' NÕu H ' lµ nhãm cđa G ' ảnh ng-ợc f ( H ' ) x  G f ( x)  H ' lµ nhóm G (ii) Đối với hai phần tư x, y cđa G, f ( x)  f ( y) nÕu vµ chØ nÕu x vµ y cïng nằm lớp ghép phải Kerf Đặc biệt, f toàn ánh f đẳng cấu vµ chØ Kerf  eG  (iii) Nếu hai tập A B liên hợp G f (A) f (B) liên hợp G ' Định lý đ-ợc gọi Định lý Đồng cấu định lý lý thuyết nhóm Định lý 1.2.3 Gi¶ sư f : G  G ' toàn cấu nhóm Khi đó: (i) K Ker ( f ) nhóm chuẩn tắc G ; (ii) Tồn đẳng cấu g từ G K vµo G ' cho f  g   , ®ã  : G  G K toàn cấu tắc Trong tr-ờng hợp này, ta nói biểu đồ giao hoán f G G' g G K Chứng minh (i) Đối với phần tử tuỳ ý x thuộc G , ảnh phần tử xK qua f f (x) , xK  Kx (1.2.2) (ii) T-¬ng tù, cã x 1 K  Kx 1 nªn Kx  xK Do ®ã xK  Kx , víi mäi x  G VËy K chuÈn t¾c G (ii) Định nghĩa ánh xạ g : G K G' bëi g ( Kx)  f ( x) theo (1.2.2)(ii), ánh xạ g hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào cách chọn đại diện từ Kx Vì (Hx)(Hy) = Hxy f đồng cấu, ta cã g ( Kx.Ky)  g ( Kxy )  f ( xy )  f ( x) f ( y)  g ( Kx).g ( Ky) Do ®ã g lµ toµn cÊu tõ G K vµo G ' Nếu lớp ghép Kx nằm hạt nhân cđa g , thÕ th× e,  g ( Kx)  f ( x) ®ã x  Ker ( f ) Do g đẳng cấu (1.2.2)(ii) Từ định nghĩa suy f g nên biểu đồ giao hoán Hệ Giả sử N nhóm chuẩn tắc nhóm G giả sử toàn cấu tắc từ G lên G N Giả sử f : G G' toàn cấu Tồn mét ®ång cÊu g : G N  G' cho f  g   nÕu vµ chØ nÕu N  Ker ( f ) Trong tr-êng hợp này, ta có f (G) (G ) N (K N ) ®ã K  Ker ( f ) Chøng minh NÕu cã mét ®ång cÊu g : G N  G' tho¶ m·n f  g   th× ta cã f ( N )  e, , ®ã N  Ker( f ) Đảo lại, N Ker ( f ) ta đặt K Ker ( f ) G G N Định nghĩa ánh xạ g : G  G ' cho bëi g ( Nx)  f ( x) nh- chøng minh cña (1.2.2)(ii) định lý (1.2.3)(ii), ánh xạ g đ-ợc xác định không phụ thuộc vào cách chọn đại diện từ Nx , g đồng cấu từ G vào G ' Do đó, f g theo định nghĩa ta có Ker ( g ) K Từ định lý đồng cấu, nhận ®-ỵc G K  f (G )  g (G)  G K  (G ) N (K N ) Mệnh đề 1.2.4 Giả sử f : G G ' đồng cấu Khi (i) Đối với nhãm t ý H cđa G , c¸c thu hẹp f H đồng cấu từ H vµo G ' (ii) NÕu g lµ mét ®ång cÊu tõ G ' vµo G '' , thÕ ánh xạ hợp thành h g f đồng cấu từ G vào G '' Chứng minh Hiển nhiên, chẳng hạn h( xy ) g ( f ( xy ))  g ( f ( x) f ( y))  g ( f ( x)).g ( f ( y))  h( x)h( y) Cái thu hẹp f H đ-ợc ký hiệu f H , h g f đ-ợc gọi tích f g đ-ợc ký hiƯu bëi h  gf  TiÕp theo, chóng ta tổng quát hoá Định lý T-ơng ứng Định lý 1.2.5 Giả sử f : G G ' toµn cÊu vµ K  Ker  f  ánh xạ f cảm sinh t-ơng ứng - tập hợp nhóm G chứa K tập hợp nhóm G ' Hµm  lµ H   ( H ) f (u) u H hàm ng-ợc ' đ-ợc xác định H ' ' ( H ' )  u f (u)  H '  24 Trong tiết này, nhóm đối xứng giả thiết tác động X trừ trường hợp phát biểu ngược lại Như vậy, số khơng xuất phân tích chu trình giả thiết cố định qua phép Để thuận tiện, bỏ thành phần với ri = từ dạng phép Do đó, gọi  dạng r, thay sử dụng ký hiệu cồng kềnh hơn, dạng (1, 1, …, 1, r) Định nghĩa 2.3.4 Đối với số tự nhiên r > 1, phép dạng r gọi r- chu trình r- chu trình r Một 2-chu trình gọi chuyển trí(a transposition) Mệnh đề 2.3.5 Một phép tuỳ ý phân tích thành tích chu trình mà hai nhân tử phân biệt tuỳ ý khơng biến thành chữ chung Sự phân tích thứ tự chu trình xác định Phép phân tích thành tích chuyển trí Sự phân tích thành tích chuyển trí khơng nhất, số chuyển trí xuất phân tích ln ln chẵn ln ln lẻ Như vậy, số chẵn lẻ chuyển trí khơng phụ thuộc vào cách viết phép thành tích chuyển trí Chứng minh Đối với tập tuỳ ý {a1, …, ar} r phần tử phân biệt X, (a1 ar) xác định r-chu trình mà chuyển ar thành a1 thành ai+1 i < r Thực tế, phân tích (2.3.1)  đưa đến phân tích  thành tích ri-chu trình (a11 a12 … a1r ), r2-chu trình (a21… a2r ),… tất chu trình tác động tất tập rời X1, X2, …, Xs Đảo lại,   1  s tích chu trình 1 ,  , …,  n mà tác động tập rời X1, X2, …, Xs, tập quỹ đạo nhóm <  > (chúng có độ dài lớn 1) Do đó, {Xi }, {  i }, xác định  Công thức (a1…ar) = (a1 a2) (a1 a3)…(a1 ar) 25 chứng tỏ phép tuỳ ý viết dạng chuyển trí Cịn lại phải kiểm tra bất biến tính chẵn lẻ Phép  xét thay đổi toạ độ khơng gian Do đó,  xét vectơ n chiều trường số hữu tỉ phép biến đổi tuyến tính    chuyển toạ độ thứ i thành toạ độ thứ   i  Thế ánh xạ  đẳng cấu từ  i vào GL(V) Phép chuyển trí ánh xạ thành phần tử định thức -1 Do đó,  tích số chẵn chuyển trí det(    ) = Điều chứng minh khẳng định. Hệ Nhóm đối xứng sinh tập hợp chuyển trí Hệ Tập hợp tất phép viết thành tích số chẵn chuyển trí tạo thành ước chuẩn với số Định nghĩa 2.3.6 Một phép chuyển trí  gọi chẵn  tích số chẵn chuyển trí Ngược lại,  gọi phép lẻ Nhóm chuẩn tắc gồm tất phép chẵn gọi nhóm thay phiên n chữ cái, ký hiệu An Cấp An n! Mệnh đề 2.3.7 (i) Nhóm thay phiên An sinh tập hợp tất 3- chu trình (ii) Nếu n  5, An sinh tập hợp tất phép dạng (2,2) (iii) Nếu n = 4, tập hợp tất phép dạng (2,2) sinh ước chuẩn cấp  (iv) Nhóm A5 đẳng cấu với nhóm PSL(2;5) Chứng minh Theo định nghĩa An , nhóm thay phiên An sinh phần tử tích hai chuyển trí Các phần tử (ab)(cd), (ab)(ac) = (abc) Nếu chữ khác biểu diễn số tự nhiên phân biệt, 26 (abc)(cad) = (ab)(cd) Điều chứng minh (i) Nếu n  5, (abc) cho trước, ta tìm d e cho (abc) = (ab)(de).(de)(ac) Điều chứng minh (ii) Nếu n = 4, có phép dạng (2,2) Dễ kiểm tra rằng, với đơn vị 1, chúng tạo thành nhóm cấp nhóm chuẩn tắc  Đẳng cấu (iv) chứng minh sau Nếu x =   y =   , (xy)2 = Do nhóm < x,y > đẳng cấu với ảnh đồng cấu nhóm PSL(2; 5) Vì PSL (2; 5) nhóm đơn, nhận PSL(2;5)  < x, y > Sự so sánh cấp cho ta < x, y >  PSL (2; 5). Mệnh đề 2.3.8 Đẳng cấu     PGL (2; 3) Các nhóm chuẩn tắc , A4 , {e} nhóm cấp sinh phép dạng (2,2) Hơn nữa, A4 nhóm đặc trưng  , A4  PGL (2; 3) Chứng minh Chúng ta biết tất ước chuẩn GL(2;3) SL(2;3), Q tâm Chúng ta chứng tỏ GL(2;3) chứa nhóm số Một S3-nhóm S khơng chuẩn tắc Cái chuẩn hố NG(S) chứa tâm Z, số chia hết Theo định lý Sylow, số NG(S) đồng dư với modulo Từ phải Do đó, có đồng cấu  từ GL(2;3) vào  ((2;16), chương 1[10]) Thế thì, Ker(  ) nhóm chuẩn tắc cho Z  Ker (  )  NG(S), Z = Ker (  ) Bằng cách so sánh cấp, ta nhận   GL  2;3 Z = PGL(2;3) Khẳng định nhóm chuẩn tắc suy từ định lý tương ứng. 27 Mệnh đề 2.3.9 Nếu n  4, nhóm chuẩn tắc tuỳ ý N  {e} An Nếu n  4, An nhóm chuẩn tắc cực tiểu n, An nhóm đặc trưng  n   n n chứa Đối với Chứng minh Theo giả thiết, N chứa phép   e Chúng ta chứng tỏ tồn chuyển trí  khơng giao hốn với  Chọn i cho  (i)  e Thế  = (ij) ((i  j) i   (i)) không giao hoán với  Hoán tử  =[  ,  ] phần tử N, tích hai chuyển trí    Từ đó,  – chu trình dạng (2,2) Theo định lí 2.3.3, phép có dạng liên hợp với  n Do đó, N chứa tất – chu trình tất phép dạng (2, 2) Từ đó, theo (2.3.7),có An  N n  Khẳng định lại kiểm tra trực tiếp. Định lý 2.3.10 Nếu n  4, nhóm thay phiên An đơn Chứng minh Giả sử N nhóm chuẩn tắc An Vì  n = < An,  > chuyển trí  tuỳ ý, nên N   N theo (2.3.9) Các nhóm N  N  nhóm chuẩn tắc  - bất biến An Từ đó, theo (2.3.9), có An = NN  , N  N  = {e} An =N x N  Nói riêng, An = N Thế thì, n  N chẵn Từ đó, theo Định lý Sylow, N chứa phần tử  cấp Sự phân tích chu trình  chứng tỏ  giao hoán với chuyển trí  Thế thì, N  N  chứa   e, mâu thuẫn. (Cấp An n!/2 từ khơng phương Điều suy dễ dàng từ định lý tiếng lý thuyết số: Tồn số nguyên tố p m 2m m  Do đó, chứng minh thực chất kết thúc sau nửa đầu) 28 2.4 Một số tính chất đặc trưng nhóm phép Trước hết, ta xét cấu trúc tâm hoá phép Chúng ta xác định cấu trúc tâm hoá phép  dạng (r1,…,rs) Trong tiết này, khơng bỏ thành phần ri =1, r1+ r2+…+ rs = n Giả sử (2.3.1) thứ tự phân tích chu trình  Thế thì, theo (2.3.3), phép  giao hoán với   = (b11 … b1r )…(bs1… bsr s )  (a ij ) = b ij i j Giả thiết số l-chu trình phân tích (2.3.1) l = 1, 2,… Giả sử Yl tập hợp chữ a ij với ri =1 Rõ ràng, Yl  -bất biến Hơn nữa, Yl CG(  )-bất biến Bổ đề sau hiển nhiên Bổ đề 2.4.1 Một phép  giao hoán với  Yl  - bất biến thu hẹp l  Yl giao hoán với thu hẹp  l  Y l Vì Yi  Yj =  i  j, phép  xác định việc cho thu hẹp Yi Từ có (2.4.2) CG(  ) = C1 x…x Cn Ci tâm hố  i  (Y ) Do đó, việc nghiên cứu cấu i trúc tâm hoá quy trường hợp mà  tích m l –chu trình phân biệt l cố định Chúng ta sử dụng kí hiệu sau đây:  =(a10 a11…a1,l-1) (a20 a2,l-1) … (amo …am,l-1) Xi ={aio , ai1, …, ai,l-1} Y ={1,2,…,m} (i  Y) 29 Chỉ số thứ hai chạy {0, 1,…, l-1} Để thuận tiện đồng tập với l  = l , nhóm xyclic cấp l, sử dụng kí hiệu cho ai,l+j = a ij Ta nhắc lại định nghĩa tích bện xoắn Giả sử A B nhóm, H nhóm G với h H, ta viết tác động h lên A dạng luỹ thừa  (h): a  a h (a  A) Trước hết, ta đưa vào định nghĩa nhóm sở B Một phần tử b  B ánh xạ G nhận giá trị A cho h  H tuỳ ý, có b(xh) = b(x)h (x  G) Giả sử B tập hợp tất ánh xạ Nếu b1,b2  B, đặt b3(x) = b1(x).b2(x), x  G Thế b3  B gọi tích b1, b2; kí hiệu b3: = b1.b2 Với phép nhân này, B trở thành nhóm Phần tử đơn vị b0 ánh xạ từ G vào A thoả mãn b0(x) = eA, x  G Nghịch đảo b ánh xạ b’: G  A thoả mãn b’(x) = [b(x) ]-1, x  G Tác động G nhóm sở B cho bởi: Giả sử u  G, b  B Khi bu(x) = b(ux), x  G Thế bu  B GxB  B (u,b) bu tác động G B Định nghĩa: Tích nửa trực tiếp W B G với tác động G B xác định gọi tích bện xoắn Ký hiệu W = (A, G, H,  ) hay W = A wrHG Mệnh đề 2.4.3 C(  ) = Zl wr  Y  , tích bện tích bện tổng quát  Y  xét nhóm phép Y Chứng minh: Giả sử W tích bện vế phải Chúng ta xác định đẳng cấu  : C(  )  W Đối với phần tử tuỳ ý  C(  ), định nghĩa phép     hàm f  : Y  Zj 30    = a jk , j =     i , k = f  (j ) Vì   C   nên   air     r     a j ,k  r Điều chứng tỏ     cảm sinh phép Y  xác định     f  Giả sử           , f  Thế thì,  ánh xạ C(  ) vào W Nếu   hai phần tử C   ,       a jk   as ,t k s =    j t = f  (s) Như            , f  (s) = f  (s) + f  (j ) Mặt khác, nhóm f  Y     tác động nhóm sở W (s) = f  (j ) Như vậy, f  = f  + f     Điều chứng minh  đồng cấu Nếu   Ker   ,     = f  (j ) = Điều có nghĩa     i Từ đó,   aij   aij i j,  = Đối với    Y  tuỳ ý hàm f: Y  Zl tuỳ ý, giả sử  phép xác định   air   a j , k r , j =   i  , k = f  j Thế thì,  l  air   , r l ,  giao hoán với  Hơn nữa,       f  Như vậy, ánh xạ  đẳng cấu từ C   lên W. Hệ Nếu phân tích chu trình  chứa at t- chu trình, cấp C    (at!)t a n = a1 + 2a2 + …+ nan t Chứng minh Suy từ (2.4.2) (2.4.3) Bây ta chuyển sang khảo sát hệ thức nhóm phép Nhóm đối xứng cơng thức  n sinh tập hợp chuyển trí, 31 (i i + k ) = (i i + ) (i + i + k ) (i i + k ) (k > 1) Chứng tỏ  n sinh n – chuyển trí (1 ), (2 ), …, (i i + ) ,…,(n – n ) Đặt ti = (i i + ) Thế phần tử thoả mãn hệ thức t12 = (ti ti+1)3 = (ti tj )2 = i j cho i  j > Mệnh đề 2.4.4 Các hệ thức phần tử tập { ti } phần tử sinh hệ thức xác định nhóm đối xứng  n Chứng minh Giả sử G nhóm xác định {ti} tập hệ thức Khi  n ảnh đồng cấu G Để chứng minh G đẳng cấu với cần chứng tỏ G    n  n , Sử dụng quy nạp theo n Nếu n = 1, = {e} mệnh đề Chúng ta giả thiết H = < t2, t3,…, tn-1> đẳng cấu với  n1 Do đó, cần chứng tỏ G : H  n Chúng ta dùng phương pháp đếm lớp ghép Giả sử H1 = H, H1t1 = H2, H2t2 = H3,…, Hn-1tn-1 = Hn Chúng ta chứng minh Hj+1tj = Hj , HiHj = Hi i  j , j + Vì tj2 = 1, hệ thức rõ ràng Từ hệ thức cho, nhận titi+1ti = ti+1titi+1 , titj = tjti j  i > Nếu đặt ui = t1t2…ti-1, Hi = Hui tất i  n – Do đó, j  i + 1, tj giao hốn với ui Thế Hitj = Huitj = Htjui = Hui = Hi tj  H Nếu j < i – 1, ui = ujtjtj+1 v giao hốn với tj Từ đó, ta có: Hitj = Hujtjtj+1tjv = Hui(tj+1 tj tj+1)v = Htj+1ujtjtj+1v = Hi Vì G = < t1, …, tn-1 > nên G : H  n  32 Nhóm thay phiên An sinh tập hợp tất 3- chu trình Dễ thấy 3- chu trình (1 a) a = 3,…, n sinh A n Nhưng để tìm hệ thức xác định An, tập sinh thuận tiện {si} s1 = (1 3) , s2 = (1 2) (3 4),…, sn-2 = (1 2) (n-1 n) Các hệ thức sau phần tử thoả mãn: s13 = si2 = (si-1 si )3 = (sj sk)2 = (i > 1, j  k > ) Mệnh đề 2.4.5 Các hệ thức hệ thức xác định An Chứng minh: Sử dụng quy nạp theo n Nếu n nhỏ mệnh đề rõ ràng Chúng ta giả thiết H = < s1,…, sn-3 >  Hn-1 Định nghĩa tập Hi Hn = H Hi = Hi+1si-1 (i > ) H1 = H2s1 Thế theo phương pháp tương tự để chứng minh (2.4.4), chứng minh số H không vượt n Chúng ta cần kiểm tra H2si = H1 , Hisj = Hi i > 2, j  i – 1, i – Điều chứng minh < H, sn-2 > = An. Theo định lý tổng quát, biểu diễn nhóm G cho, tìm biểu diễn nhóm tuỳ ý G Biểu diễn An cho (2.4.5) nhận từ biểu diễn (2.4.4)  n theo phương pháp tổng quát Cuối cùng, khảo sát nhóm tự đẳng cấu nhóm phép Một tích hai 3- chu trình có bốn dạng sau: (a b c ) (a b d ) = (a d ) (b c ), (a b c ) (a d b ) = (b c d ) (a b c ) (a d e ) = (a b c d e ), (a b c ) (d e f ) Ở đây, chữ khác biểu diễn số tự phiên phân biệt Do đó, tích 3- chu trình có cấp 2, phải có trường hợp đầu tiên… Chú ý quan trọng chứng minh sau 33 Mệnh đề 2.4.6 Nếu tự đẳng cấu  nhóm thay phiên An chuyển 3- chu trình thành 3- chu trình, tồn phần tử   n cho      1   An Chứng minh Đặt ui-2 = (1 i ) Theo giả thiết, phần tử vi =   ui  3- chu trình Nếu i  j, tích uiuj cấp Do đó, cấp vivj Mặt khác ta có v1 = (a b c ) v2 = (a b c ) Xét v3 Nếu v3 cố định a, cách so sánh với v1 v2, nhận v3 = (b c ) = (b d ) Điều khơng thể xảy Do đó, chu trình v3 chứa a, ta có v3 = (a b e ) Do đó, tổng quát, tồn a1, a2,…, an cho  (1 i ) = (a1 a2 ) Vì  aj i  j, xác định phép   n  (i ) = Khi đó, ta có  1 (1 i )  = (a1 a2 ) Vì A sinh 3- chu trình ui, nên kết luận    =  1   An tuỳ ý. Mệnh đề 2.4.7 Nếu n  n  6, tự đẳng cấu tuỳ ý An cho liên hợp phần tử thuộc  n Do Aut An =  n Chứng minh Giả sử  tự đẳng cấu An Xét ảnh 3- chu trình  Nếu n  5, phần tử cấp tuỳ ý 3- chu trình Do đó,    3- chu trình Giả thiết n  Cái tâm hố  có cấp 3(n – 3)! / Ảnh    có cấp Do đó, phân tích chu trình    tích r 3- chu trình rời r Theo hệ (2.4.3), tâm hố    có cấp 3rr!(n  3r )! /2 Vì     có tâm hoá đẳng cấu, nên 3rr!(n  3r )! = 3(n  )! mà kéo theo tích 3(r – ) số nguyên liên tiếp 3r-1r! 34 Nếu r > 1, điều xảy r = n = Do đó, n >    3- chu trình, (2.4.7) suy từ (2.4.6). Mệnh đề 2.4.8 Nếu n  n  6, tự đẳng cấu tuỳ ý nhóm đối xứng  n tự đẳng cấu trong: Aut  n =  n Chứng minh Đặt H = Aut  n Chúng ta xét H cách đồng Inn  n với ý sau đó,  n  n  n nhóm Theo (1.6), chương [10] nhóm chuẩn tắc H liên hợp phần tử  thuộc H cảm sinh tự đẳng cấu   n Khi An nhóm đặc trưng chuẩn H Đặt C = CH(An) Thế C H  n  Từ đó, An ước n  C = {e} (đẳng thức cuối suy trực tiếp, từ tính tốn từ (2.3.9)) Theo (3.10), chương 1[10], C tâm hoá  n Thế C = {e} theo ý đoạn văn phép chứng minh Nếu   Hn liên hợp  cảm sinh tự đẳng cấu An Theo (2.3.5), tồn phần tử  thuộc  n cho  1   1 phần tử tuỳ ý  thuộc An Từ đó,  1  C Nhưng, C = {e} nên      n Do đó, nhận Aut  n =  n  Mệnh đề (2.4.8) chứng minh trực tiếp cách ảnh đồng cấu phép chuyển trí lại phép chuyển trí Chứng minh tổng qt hố nhóm tự đẳng cấu nhóm đơn tuỳ ý Trường hợp mà n =  (trường hợp mà bị loại trừ (2.4.7) (2.4.8) thực đặc biệt có A6   Ảnh hưởng trường hợp ngoại lệ sâu sắc, nguyên nhân làm cho lý thuyết nhóm đơn hữu hạn trở nên phức tạp 35 Định lý 2.4.9 Giả sử G1 phận ổn định nhóm đối xứng  X = {1, 2,…, n}, H nhóm   n n : H = n Khi đó: ánh xạ H lên G1: G1 =   H  i) Tự đẳng cấu  ii) Nếu n  6, H liên hợp với G1 n với n   n , H ổn định phần tử thuộc X iii) Nếu n = 6, tồn nhóm số n mà chúng khơng liên hợp với G1 Ta có Aut  = Aut A6 Aut  : Inn = Chứng minh Giả sử G =  n , xét G nhóm phép lớp ghép H Khi có đẳng cấu  :G   n cho Ker(  )  H Theo định lý 2.3.9, Ker(  ) = {e} Do đó,  tự đẳng cấu  n Rõ ràng,  ánh xạ H đến ổn định k Nếu k  1, tìm liên hợp  phần tử thích hợp n cho có tự đẳng cấu  thoả mãn  (H) = G1 Điều chứng minh(i) (iii) suy từ (2.4.8) Để chứng minh (iii), xét nhóm đối xứng  chữ Cấp 120 Theo định lý Sylow theo cách đếm số 5- chu trình, thấy đến đồng cấu  :    chứa sáu S5- nhóm Điều đưa  Theo trên,  đơn ánh H =     nhóm với số Hơn nữa,  tác động bắc cầu c Do H ổn định chữ Điều chứng tỏ H khơng liên hợp với G Aut   Inn   Điều chứng minh Nếu tự đẳng cấu  A6 ánh xạ 3- chu trình  thành 3- chu trình  ' ,  ánh xạ phần tử hợp tuỳ ý  thành liên hợp  ' Từ đó,  ánh xạ 3- chu trình thành 3- chu trình Trong trường 36 hợp này, theo (2.4.6),  cảm sinh phần tử Inn  Vì A6 chứa hai lớp liên hợp C1 C2 phần tử cấp 3, nên tự đẳng cấu tuỳ ý A6 cố định hai C1 C2 thay đổi chúng Từ đó, Aut A6 : Inn   Như thấy chứng minh (2.4.8), Aut  Aut A6 Do đó, ta có Aut  = AutA6, Aut A6 : Inn    chứa 37 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: - Hệ thống hoá khái niệm định lý đồng cấu nhóm, đẳng cấu nhóm - Chứng minh chi tiết định lý đẳng cấu nhóm - Trình bày cách có hệ thống lý thuyết G- tập - Nêu lên ví dụ G- tập - Dựa vào lý thuyết G- tập khảo sát nhóm phép - Khảo sát cấu trúc tâm hoá phép C    Zl wr   Y  (Mệnh đế 2.4.3) - Tìm hệ thức xác định nhóm phép (Mệnh đề 2.4.4) - Khảo sát nhóm tự đẳng cấu nhóm phép Kết Mệnh đề: 2.4.6, 2.4.7, 2.4.8, 2.4.9 38 Tµi liƯu tham khảo A Tiếng Việt [1] Lê Quốc Hán (2007), lý thuyết ngôn ngữ nhóm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Đại học Vinh [3] S.T.Hu (1968), Mordern Algebra Holden-day Bản dịch tiếng Việt Đại số đại, 1974 [4] Nguyễn Hữu Việt H-ng (1998), Đại số đại c-ơng, Nxb Giáo dục, Hà Nội [5] S.Lang (1965), Algebra Addison- Wesley Publishing Company, Massachusetts B¶n dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1974 [6] Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại c-ơng, Nxb Giáo dơc, Hµ Néi B TiÕng Anh [7] M Hall Jr (1959), The theory of groups, Macmilan, New York [8] C F Miller III (2002), Subrgoups of a direct product with a free group, quatery Journal of Math 53, 503- 506 [9] C F Miller III (2004), Combinatorial Group Theory, University of Melbourne [10] M Suzuki (1982), Group Theory, Springer- Verlag Berlin Heidelberg New York ... xạ G  G ' x e' víi e ' lµ phần tử trung lập G ' , đồng cấu g? ??i đồng cấu tầm th-ờng Định lí 1.1.2 Giả sử G, G ' , G '' nhóm f: G G ' g: G ' G '' đồng cấu Khi ánh xạ tích gf: G G '' đồng cấu... tồn t-ơng ứng - th-ơng hợp thành (g) th-ơng hợp thành (H) cho th-ơng t-ơng ứng đẳng cấu Chứng minh Hai dÃy hợp thành (g) (H): đ-ợc g? ??i t-ơng đ-ơng r s có t-ơng ứng - hai tập hợp th-ơng thoả mÃn... nhóm G đến nhóm G ' đ-ợc g? ??i đẳng cấu từ G vào G ' đồng cấu f song ánh Nếu tồn đẳng cấu từ G lên G ' ta nói G G ' đẳng cấu với viết G G' Đối với nhóm G đà cho, tập hợp tất nhóm đẳng cấu với G