www.elsolucionario.org Microeconomía avanzada Cuestiones y ejercicios resueltos Jorge Julio Maté García/ Carlos Pérez Domínguez www.elsolucionario.org MICROECONOMÍA AVANZADA Cuestiones y ejercicios resueltos www.elsolucionario.org MICROECONOMÍA AVANZADA Cuestiones y ejercicios resueltos Jorge Julio Maté García Carlos Pérez Domínguez Departamento de Fundamentos de Análisis Económico, Historia e Instituciones Económicas Universidad de Valladolid Madrid • México • Santafé de Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Lima • Montevideo San Juan • San José • Santiago • São Paulo • White Plains Datos de catalogación bibliográfica JORGE JULIO MATÉ GARCÍA y CARLOS PÉREZ DOMÍNGUEZ Microeconomía Avanzada: Cuestiones y ejercicios resueltos PEARSON EDUCACIÓN, S.A., Madrid, 2007 ISBN 10: 84-8322-308-2 ISBN 13: 978-84-8322-308-6 Materia: 330.101.541 Formato: 195 ϫ 270 mm Páginas: 240 Todos los derechos reservados Queda prohibida, salvo excepción prevista en la ley, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar autorización de los titulares de la propiedad intelectual La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts 270 y sgts Código Penal) www.elsolucionario.org DERECHOS RESERVADOS © 2007 por PEARSON EDUCACIĨN, S.A Ribera del Loira, 28 28042 Madrid (España) Jorge Julio Maté García y Carlos Pérez Domínguez Microeconomía Avanzada: Cuestiones y ejercicios resueltos ISBN 10: 84-8322-308-2 ISBN 13: 978-84-8322-308-6 Depósito Legal: M-46.251-2006 PEARSON PRENTICE HALL es un sello autorizado de PEARSON EDUCACIÓN, S A Equipo editorial Editor: Alberto Cañizal Técnico editorial: Elena Bazaco Equipo de producción: Director: José A Clares Técnico: Diego Marín Diso de cubierta: Equipo de diso de PEARSON EDUCACIĨN, S.A Composición: JOSUR TRATAMIENTO DE TEXTOS, S.L Impreso por: IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN Este libro sido impreso papel y tintas ecológicos www.elsolucionario.org A mis padres (Carlos) A mis padres y María (Jorge) CONTENIDO PARTE I: TEORÍA DEL CONSUMO TEMA PREFERENCIAS, RACIONALIDAD Y FUNCIĨN DE UTILIDAD Resumen teórico 1.1 Axiómatica del consumo 1.2 La Función de Utilidad 1.3 Utilidad Marginal y Relación Marginal de Sustitución 1.4 Propiedades especiales de las funciones de utilidad Cuestiones y problemas 3 10 TEMA LA DECISIÓN ÓPTIMA Y LA DEMANDA MARSHALLIANA 25 Resumen teórico 2.1 El conjunto presupuestario 2.2 El óptimo del consumidor 2.3 Las funciones de demanda marshallianas y sus propiedades 2.4 Efectos sobre el óptimo de las variaciones en los precios y en la renta Condiciones de Agregación 2.5 La Función Indirecta de Utilidad Cuestiones y problemas 25 25 26 28 TEMA DUALIDAD EN LA TEORÍA DEL CONSUMO 37 Resumen teórico 3.1 El problema de la minimización del gasto 3.2 La función del Gasto y las Demandas Compensadas 3.3 Relaciones entre el problema primal y dual del consumo Cuestiones y problemas 37 37 39 41 42 TEMA SISTEMAS COMPLETOS DE DEMANDA Y MEDICIÓN DEL BIENESTAR 49 Resumen teórico 4.1 La Ecuación de Slutsky 4.2 Efectos Propios y Efectos Cruzados 4.3 Propiedades de los Sistemas Completos de Demanda 49 49 50 52 28 30 32 La Teoría de la Utilidad Esperada 213 Solución La riqueza inicial cierta sería en este caso: x0 ϭ 50.000 florines Y la lotería a la que estarían sometidos en el caso de acometer el viaje: O bien, en forma lineal: xɶ F = (0, ; 75.000, 0) La media o valor esperado de la lotería es: x ≡ E ( xɶ F ) = 0, ⋅ 75.000 + 0, ⋅ = 60.000 Fl Vamos a calcular los equivalentes ciertos para ambos comerciantes En el caso del primero, la función de Bernoulli es del tipo u( x ) = x , luego: u(ξ ) = u ( xɶ F ) ⇒ ξ = 0, ⋅ 75.000 + 0, ⋅ ≃ 219, 09 Esto es: ξ ( xɶ F ) = (219, 09)2 = 48.000 Fl Dado que es un valor menor que la riqueza inicial (50.000 Fl.) este comerciante no acometería el viaje Gráfico 11.2.a www.elsolucionario.org 214 Microeconomía avanzada Para el segundo comerciante, la función de Bernoulli es del tipo u( x ) = x 2, luego: u(ξ ) = u ( xɶ F ) ⇒ ξ = 0, ⋅(75.000) + 0, ⋅ ≃ 45.108 Esto es: ξ ( xɶ F ) = 45.108 = 67.082, 04 Fl Dado que es un valor mayor que la riqueza inicial (50.000 Fl.) este comerciante sí acometería el viaje www.elsolucionario.org Gráfico 11.2.b 11.3 Supongamos una urbanización formada por 10 vecinos Cada uno de ellos posee una riqueza cierta de 200.000 € y un chalet valorado en 100.000 € Suponga que un pirómano ronda la urbanización y que cada vecino sabe que el pirómano quemará uno solo de los chales y el espectáculo le será suficiente sin atacar a los otros Imaginemos que los vecinos se plantean constituir un fondo de seguro privado, consistente en depositar cada uno 10.000 € que irían a parar al propietario al que le quemen el chalet Si fuera uno de estos vecinos y su función de Bernoulli fuera del tipo u( x ) = x , ¿se aseguraría? Solución Comencemos calculando las riquezas esperadas en el caso de no seguro y de seguro En el caso de no asegurarse cada vecino está sujeto a una lotería del siguiente tipo, donde x0 representa la parte cierta de la riqueza: La Teoría de la Utilidad Esperada 215 9 O bien, en forma lineal: xɶ F = ; 300.000, 200.000 10 La riqueza media o valor esperado es: x ≡ E ( xɶ F ) = 0, ⋅ 300.000 + 0,1 ⋅ 200.000 = 290.000 € En el caso de asegurarse cada vecino está sujeto a una lotería del siguiente tipo: 9 O bien, en forma lineal: xɶ F = ; 290.000, 290.000 = 290.000 10 En ambos estados de la naturaleza se satisface la prima de 10.000 €, pero en el caso de acontecer el siniestro se cobra la cobertura de 100.000 € Nótese que, en el caso de asegurarse, la riqueza del sujeto se convierte en no-aleatoria, dado que en ambos estados de la naturaleza asciende a 290.000 € Evidentemente, esa será su media sin dispersión alguna: x ′ ≡ E ( xɶ F′ ) = 0, ⋅ 290.000 + 0,1 ⋅ 290.000 = 290.000 € Para averiguar la opción más conveniente vamos a calcular los equivalentes ciertos en el caso de no-seguro y de seguro: En el caso de no asegurarse: u(ξ ) = u ( xɶ F ) ⇒ ξ = 0, ⋅ 300.000 + 0,1 ⋅ 200.000 ≃ 537, 677 Esto es: ξ ( xɶ F ) = (219, 09)2 = 289.090, 81 € En el caso de asegurarse el sujeto obtiene la riqueza cierta de 290.000 € Podemos comprobar que ese valor es, lógicamente, el equivalente cierto: u(ξ ′) = u ( xɶ F′ ) ⇒ ξ ′ = 0, ⋅ 290.000 + 0,1 ⋅ 290.000 ≃ 5388, 52 Esto es: ξ ( xɶ F ) = (538, 52)2 = 290.000 € Así pues, asegurarse sería la mejor opción 11.4 Suponga un individuo una función de utilidad de Bernoulli: u( x ) = x , que dispone de una riqueza total formada por un montante cierto de dinero de 1.000.000 u.m y por el siguiente activo financiero: 1 yɶ = , , ; 500.000, 0, − 100.000 5 Calcule el equivalente cierto de la riqueza de este individuo, su prima de riesgo y el precio mínimo al que estaría dispuesto a vender su activo financiero (asking-price) 216 Microeconomía avanzada Solución En este caso, aunque sigue siendo una lotería discreta, existen tres estados de la naturaleza La riqueza final del sujeto sería aleatoria ( xɶ F ) y se representaría de la forma siguiente 1 xɶ F = x + yɶ = , , ; 1.500.000, 1.000.000, 900.0000 5 La riqueza media asciende a: x ≡ E ( xɶ F ) = 0, ⋅1.500.000 + 0, ⋅1.000.000 + 0, ⋅ 900 0.000 = 1.080.000 Calculemos el equivalente cierto de la riqueza: u(ξ ) = u ( xɶ F ) ⇒ ξ = 0, ⋅ 1.500.000 + 0, ⋅ 1.000.000 + 0,, ⋅ 900.000 ≃ 1.034, 69 Esto es: ξ ( xɶ F ) = (1.034, 69)2 = 1.070.574,36 u.m La prima de riesgo (ρ) es la máxima cantidad de dinero que el sujeto está dispuesto a pagar por recibir certeza la media de una riqueza aleatoria en vez de enfrentarse al riesgo que dicha riqueza supone, esto es: ρ ( xɶ F ) ≡ x − ξ = 1.080.000 − 1.070.574, 36 = 9.425,64 u.m Por su parte, el asking-price (α) o precio mínimo al que estaría dispuesto a vender su activo financiero sería: α ( xɶ F ) ≡ ξ ( xɶ F ) − x = 1.070.574, 36 − 1.000.000 = 70 574, 36 u.m 11.5 Un individuo posee el siguiente activo financiero: 1 yɶ = ; 50, 0 a) ¿Lo vendería por 23 u.m si, además, dispusiera de una riqueza cierta de 50 u.m y su función de Bernoulli fuese: u( x ) = x ? b) ¿Lo vendería por 23 u.m si, además, dispusiera de una riqueza cierta de 100 u.m y su función de Bernoulli fuese: u( x ) = x ? c) ¿Lo vendería por 23 u.m si, además, dispusiera de una riqueza cierta de 100 u.m y su función de Bernoulli fuese: u( x ) = ln x ? www.elsolucionario.org La Teoría de la Utilidad Esperada 217 Solución a) En este caso, la riqueza final sería: 1 xɶ F = ; 100, 50 La riqueza media: x ≡ E ( xɶ F ) = 0, ⋅100 + 0, ⋅ 50 = 75 u.m El equivalente cierto de la riqueza: u(ξ ) = u ( xɶ F ) ⇒ ξ = 0, ⋅ 100 + 0, ⋅ 50 ≃ 8, 54 Luego: ξ ( xɶ F ) = (8, 54)2 = 72,86 u.m Así pues, el asking price ascendería a: α ( xɶ F ) ≡ ξ ( xɶ F ) − x = 72, 86 − 50 = 22, 86 u.m Esa es la mínima cantidad de dinero que aceptaría para vender su activo Dado que se le ofrece un precio de 23 u.m., en este caso vendería el activo b) En este caso, la riqueza final sería: 1 xɶ F = ; 150, 100 La riqueza media: x ≡ E ( xɶ F ) = 0, ⋅150 + 0, ⋅ 100 = 125 u.m El equivalente cierto de la riqueza: u(ξ ) = u ( xɶ F ) ⇒ ξ = 0, ⋅ 150 + 0, ⋅ 100 ≃ 11,12 Luego: ξ ( xɶ F ) = (11,12)2 = 123,74 u.m Así pues, el asking price ascendería a: α ( xɶ F ) ≡ ξ ( xɶ F ) − x = 123, 74 − 100 = 23, 74 u.m Esa es la mínima cantidad de dinero que aceptaría para vender su activo Dado que se le ofrece un precio de 23 u.m., en este caso no vendería el activo c) En este caso, la riqueza final y la riqueza media serían las mismas que en el apartado anterior: El equivalente cierto de la riqueza es: u(ξ ) = u ( xɶ F ) ⇒ ln ξ = 0, ⋅ ln 150 + 0, ⋅ ln 100 ≃ 4.81 218 Microeconomía avanzada Luego: ξ ( xɶ F ) = exp(4, 81) = 122,73 u.m Así pues, el asking price ascendería a: α ( xɶ F ) ≡ ξ ( xɶ F ) − x = 122, 73 − 100 = 22, 73 u.m Dado que se le ofrece un precio de 23 u.m., en este caso vendería el activo 11.6 Un agente posee una riqueza inicial de 100 u.m y una lotería definida por: 1 yɶ = ; − 10, + 10 La función de utilidad de este individuo es: 2 x u( x ) = x + 100 x ≤ 100 x > 100 Determine el equivalente cierto, la prima de riesgo y el asking-price Solución www.elsolucionario.org 1 La riqueza final aleatoria del sujeto sería: xɶ F = ; 90, 110 y la riqueza media: x ≡ E ( xɶ F ) = 0, 25 ⋅ 90 + 0, 75 ⋅110 = 105 u.m La figura representa el perfil de la función de Bernoulli La utilidad asociada a los premios extremos es la siguiente: • u(90) = ⋅ 90 = 180, dado que 90 < 100, por lo que estamos en el primer tramo de la función • u(110) = 100 + 110 = 210, dado que 110 < 100, por lo que estamos en el segundo tramo de la función Así pues, la utilidad esperada de la riqueza será: u ( xɶ F ) ≡ E u( xɶ F ) = ⋅180 + ⋅ 210 = 202, 4 Para obtener el equivalente cierto fijémonos en el gráfico cómo el anterior valor se encuentra en el segundo tramo de la función de Bernoulli Así pues: u(ξ ) = u ( xɶ F ) ⇒ 100 + ξ = 202, ⇒ ξ = 102, La prima de riesgo es: ρ ≡ x − ξ = 105 − 102, = 2, Por su parte, el asking price es: α ≡ ξ − x = 102, − 100 = 2, La Teoría de la Utilidad Esperada 219 Gráfico 11.6 11.7 Un agente puede representar sus preferencias frente al riesgo mediante una función de Bernoulli exponencial negativa: u( x ) = −e−2 x Este agente posee una riqueza formada por u.m cierta y un activo que se distribuye de acuerdo a una función de densidad uniforme-continua definida en el intervalo [Ϫ0.4, ϩ0.6] a) Calcule el equivalente cierto, la prima de riesgo y el asking-price b) Calcule la prima de riesgo mediante el desarrollo de Arrow-Pratt y compárelo el valor calculado previamente Solución a) Comencemos obteniendo la forma de la función de densidad correspondiente al activo Tiene la apariencia representada en la figura, en donde la abscisa de la función (k) se obtiene como: 1= ∫ ,6 −0 ,4 k dx = k x ,6 −0 ,4 = 0, k + 0, k = k www.elsolucionario.org 220 Microeconomía avanzada La esperanza del activo será: µ ≡ E( yɶ ) = ∫ ,6 −0 ,4 x f ( x ) dx = ∫ ,6 −0 ,4 x2 = 0,18 − 0, 08 = 0,1 −0 ,4 ,6 x dx = Por tanto, la esperanza de la riqueza aleatoria total ( xɶ F = + yɶ ) será: x ≡ E( xɶ F ) ≡ E(1 + yɶ ) = + E( yɶ ) = 1,10 Calcularemos ahora la utilidad esperada: −2 ( x +1) e E u( xɶ F ) = E u( yɶ + 1) = ∫ −e−2 ( x+1) f ( x ) dx = ∫ −e−2 ( x+1) dx = −0 ,4 −0 ,4 ,6 ,6 = −0,1302 −0 ,4 ,6 Así pues, el equivalente cierto será: u(ξ ) = E u( xɶ F ) = −0,1302 ⇒ − e−2ξ = −0,1302 ⇒ ξ = 1, 01928 La prima de riesgo es: ρ ≡ x − ξ = 1,10 − 1, 01928 = 0, 08072 Por su parte, el asking price es: α ≡ ξ − x = 1, 01928 − = 0, 01928 Una alternativa consiste en encontrar la distribución de la riqueza aleatoria total, que es la suma de la riqueza cierta (1 u.m.) y del activo incierto ( yɶ ) Se distribuirá como una función uniforme continua definida en el intervalo −0.4 + 1, +0.6 + 1 = 0, + 1.6 Se sugiere al lector obtener los anteriores resultados esta nueva distribución b) De acuerdo el desarrollo de Arrow-Pratt: ρ ≅ σ Ra ( x ) Calcularemos primero la varianza (σ 2) de la riqueza aleatoria total: σ ≡ E( xɶ F2 ) − x = 1, 293 − (1,1)2 = 0, 083 En donde: E( xɶ F2 ) = 0, ∫ 1,6 ,6 x f ( x ) dx = ∫ 1,6 ,6 x3 = 1, 293 ,6 1,6 x dx = El Coeficiente de Aversión Absoluta al Riesgo de Arrow-Pratt Ra (x) será: Ra ( x ) = − u′′( x ) −4e−2 x = − −2 x = 2e u ′( x ) Por tanto la aproximación de la prima de riesgo es: 1 ρ ≅ σ Ra ( x ) = ⋅ 0, 083 ⋅ = 0, 083 2 La Teoría de la Utilidad Esperada 221 11.8 Suponga un individuo cuyas preferencias en condiciones de riesgo pueden representarse mediante una función de utilidad de Bernoulli la siguiente expresión: u( x ) = x Este individuo posee un activo valorado en x0 u.m Suponga que dicho activo está sujeto a un riesgo uniforme de perderse en parte o en su totalidad Calcule la prima de riesgo de este sujeto como porcentaje del valor del activo Solución La riqueza final ( xɶ F ) del sujeto es aleatoria y se distribuye como: xɶ F → U 0, x Gráfico 11.8 Calcularemos previamente el valor de k en la función de densidad de probabilidad de la riqueza: k ⋅ x0 = ⇒ k = x0 La media de la riqueza es: x ≡ E( xɶ F ) = ∫ x0 x 1 x0 x x = dx = x0 x0 Y la utilidad esperada: x0 x0 1 x0 x 2 dx = = x0 E u( xɶ F ) = ∫ u( x ) f ( x ) dx = ∫ x x = 0 x0 x0 3x0 0 Por tanto, el equivalente cierto: u(ξ ) = E u( xɶ F ) ⇒ ξ = x ⇒ ξ = x ≃ 0, x Y la prima de riesgo: ρ ≡ x − ξ = 0, x − 0, x = 0, 05 x 222 Microeconomía avanzada 11.9 Suponga que Antonio posee una riqueza de 100 u.m y, además, una casa valorada en 80 u.m La probabilidad de perder totalmente la casa (debido al fuego) es de 0,10 y se sabe que el agente no tiene acceso a ningún contrato de seguro; si no hay fuego, el valor de la casa permanece a su nivel original Suponga que Benito posee la misma riqueza inicial y dos casas valoradas cada una en 40 u.m La probabilidad de perder totalmente por el fuego cada una de ellas es de 0,10 y los dos posibles fuegos son variables independientes (por ejemplo, porque una casa está en Vigo y la otra en Elche) a) Obtenga la distribución de probabilidad de la riqueza total de A y B, calcule su valor esperado y dibuje sus correspondientes funciones de distribución de probabilidad b) Compruebe, mediante criterios de dominancia estocástica, que la riqueza de A supone un mayor nivel de riesgo que la de B (por estar menos diversificada) Solución a) En el caso de A, la riqueza final y la media serán: www.elsolucionario.org En el caso de B, la riqueza final y la media serán: En este caso, los diferentes sucesos y sus probabilidades se han obtenido de la forma siguiente: Suceso 1: No perder ninguna de las dos casas Riqueza total: 100 ϩ 40 ϩ 40 ϭ 180 Probabilidad: la de no perder la casa y no perder la casa 2: 0,9 ϫ 0,9 ϭ 0,81 Suceso 2: Perder una de las casas Riqueza total: 100 ϩ 40 ϭ 140 Probabilidad: la de perder la casa y no perder la o la de no perder la y perder la (0,1 ϫ 0,9) ϩ (0,9 ϫ 0,1) ϭ 0,18 Suceso 3: Perder ambas casas Riqueza total: 100 Probabilidad: la de perder la y perder la 0,1 ϫ 0,1 ϭ 0,01 Puede apreciarse cómo ambas riquezas aleatorias cuentan idéntico valor esperado Las funciones de distribución de probabilidad se representan en el gráfico www.elsolucionario.org La Teoría de la Utilidad Esperada 223 Gráfico 11.9.a b) Puede observarse cómo la distribución de probabilidad G, correspondiente al sujeto B presenta dominancia estocástica de segundo orden sobre la distribución de probabilidad F correspondiente a A xɶ FB >2 xɶ FA Pues se cumple que: 1.º E xɶ FA = 172 = E xɶ FB , esto es, cuen ntan la misma media 2.º ∫ s ≤180 100 Intervalo (100,140) (100, 180) F ( x ) − G ( x ) dx ≥ 0, veámoslo una tabla: F(x) G(x) F(x)–G(x) ∫ [F(x)–G(x)] dx 40.(0,1) ϭ 40.(0,1) ϭ 40.(0,01) ϭ 0,4 40.(0,19) ϭ 7,6 3,6 Ϫ3,6 3,6 Una forma alternativa de verlo consiste en apreciar cómo la riqueza final del sujeto A puede obtenerse a partir de la del B más un ruido blanco condicionado a una cierta realización de la riqueza de B En concreto: Donde: E εɶ / xɶ FA = 140 = 224 Microeconomía avanzada 11.10 Suponga un inversor averso al riesgo que se enfrenta a los tres siguientes activos financieros: 1 yɶ ≡ ; 0,10 1 yɶ ' ≡ , ; − 1, 1, 10 4 1 yɶ '' ≡ , ; 0, 9, 11 a) Ordénelos de más a menos preferido, razonando su respuesta b) Tome la función de Bernoulli que desee (siempre que contemple aversión al riesgo) y el valor para la riqueza inicial cierta de este sujeto que desee y compruebe la ordenación que hizo en el apartado anterior Solución a) Representaremos las distribuciones de los diferentes activos: Gráfico 11.10.a La Teoría de la Utilidad Esperada • Como: y = y′ = y, además: ∫ s≤10 −1 G ( x ′) d x ≥ ∫ s≤10 −1 225 F ( x ) dx ⇒ yɶ >2 yɶ ′ • Por otra parte: H ( x ′′) ≤ F ( x ) , siendo la desigualdad estricta en los valores del intervalo (10,11), por lo tanto: yɶ ′′ >1 yɶ Así pues: yɶ ′′ ≻ yɶ ≻ yɶ ′ b) Por ejemplo, tomemos: u( x ) = ln( x + 2) x = En este caso: u ( yɶ ) = 0, ⋅ ln + 0, ⋅ ln 12 = 1, 5890 u ( yɶ ′ ) = 0, 25 ⋅ ln + 0, 25 ⋅ ln + 0, ⋅ ln 12 = 1, 5171 u ( yɶ ′′ ) = 0, ⋅ ln + 0, 25 ⋅ ln 12 + 0, 25 ⋅ ln 13 = 1, 6090 Por tanto: u ( yɶ ′′ ) > u ( yɶ ) > u ( yɶ ′ ) O bien calculando los equivales ciertos: ln(ξ + 2) = 1, 5890 ⇒ ξ = e1,5890 − = 2, 8988 Idénticamente: ξ ′ = 2, 5589 ξ ′′ = 2, 9978 De nuevo: ξ ′′ > ξ > ξ ′ www.elsolucionario.org www.elsolucionario.org Este título de la Colección PRENTICE PRÁCTICA recoge cuestiones prácticas que ayudan a asimilar los contenidos más habituales de un curso de Microeconomía Avanzada El libro se estructura en once capítulos que abarcan los siguientes temas:Teoría del Consumo,Teoría de la Empresa, Equilibrio General y Economía del Bienestar y Elección Individual Incertidumbre Cada capítulo comienza una resa trica sobre la que se fundamentan las cuestiones propuestas Estas cuestiones se desarrollan en varios apartados que tratan de un modo práctico los conocimientos teóricos planteados y ayudan a acercarse a la realidad microeconómica Para conseguir este fin, la resolución incluye una importante cantidad de gráficos que complementan los desarrollos algebraicos El libro está dirigido, fundamentalmente, a estudiantes de segundo ciclo que ya cuentan conocimientos suficientes de Microeconomía a nivel intermedio y que están cursando, a su vez, un grado avanzado de Microeconomía, o alguna otra asignatura en el campo del Análisis Microeconómico: Economía del Consumo y la Demanda, Equilibrio General, Economía de la Incertidumbre, etc Asimismo, puede ser muy útil para estudiantes de Microeconomía Intermedia que deseen profundizar en los conocimientos adquiridos PRENTICE PRÁCTICA es una colección de libros, cuyo texto es eminentemente práctico La finalidad de esta colección es permitir al alumno comprender y afianzar la asimilación de la teoría a través de diversos ejercicios y ejemplos PRENTICE PRÁCTICA es una colección amena, de carácter muy didáctico y que, de una forma sencilla, consigue que el alumno obtenga un perfecto manejo práctico de la asignatura PRENTICE PRÁCTICA está dirigida al alumno para conseguir su autoaprendizaje en la materia La colección es una de las más actualizadas del mercado www.pearsoneducacion.com ISBN13: 978-84-8322-308-6 ... www.elsolucionario.org MICROECONOMÍA AVANZADA Cuestiones y ejercicios resueltos www.elsolucionario.org MICROECONOMÍA AVANZADA Cuestiones y ejercicios resueltos Jorge Julio Maté García Carlos Pérez Domínguez... Plains Datos de catalogación bibliográfica JORGE JULIO MATÉ GARCÍA y CARLOS PÉREZ DOMÍNGUEZ Microeconomía Avanzada: Cuestiones y ejercicios resueltos PEARSON EDUCACIÓN, S.A., Madrid, 2007 ISBN... > u y x = u ya x1 tome valores mayores que u 0, x1 debe ir disminuyendo, lo cual ocurre a la x1 Preferencias, Racionalidad y Función de Utilidad izquierda de 17 en el Gráfico Por último, y atendiendo