Đang tải... (xem toàn văn)
Kiến thức cơ bản Hs biết vận dụng 7 hằng đẳng thức để làm các bài tập cơ bản, bài tạp vận dụng, bài tập nâng cao.. Biết nhận dạng một số bài toán có ứng dụng của hằng đẳng thức..[r]
(1)Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG I Kiến thức vận dụng: Kiến thức Hs biết vận dụng đẳng thức để làm các bài tập bản, bài tạp vận dụng, bài tập nâng cao Biết nhận dạng số bài toán có ứng dụng đẳng thức Kiến thức nâng cao: Gv đưa vào dẳng thức nâng cao và số bài toán vận dụng đẳng thức đê ứng dụng làm các bài tập nâng cao Lý thuyết 1.3: đẳng thức đáng nhớ A B Bình phương tổng: A 2AB B2 A B Bình phương hiệu: B A A 2AB B2 Hiệu hai bình phương: A B = 2 4AB A B = 4AB A B2 A B A B A B Lập phương tổng: A3 3A B 3AB2 B3 A B3 3AB A B A B Lập phương hiệu: A 3A B 3AB2 B3 A3 B3 3AB A B Tổng hai lập phương: Hiệu hai lập phương: A B3 A B A AB B A B 3AB.(A B) A3 B3 A B A AB B2 (A B)3 3AB.(A B) *2.3; Một số đẳng thức tổng quát an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + a bn-2 + bn-1) a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1) a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 _ … + b2k) n(n 1) n(n 1) (a + b)n = an + nan-1b + 1.2 an-2b2+…+ 1.2 a2bn-2 +n a bn-1 + bn n(n 1) n(n 1) (a -b)n = an – n an-1b + 1.2 an-2b2- …- 1.2 a2bn-2 +n a bn-1 - bn II Bài tập vận dụng lớp: A Bài tập vận dụng lý thuyết: Bài tập1: Chứng minh các đẳng thức sau : A B C A B C 3 A B2 C2 AB BC AC A B3 C3 A B B C A C 2 A B2 A B A B (2) A 2 B2 X Y AX BY AX BY Bài tập Tính : a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042) A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = + + + + + … + 2004 + 2005 A = ( + 2002 ) 2005 : = 2011015 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B=… B =(232 - 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – – 264 B=-1 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán cách sử dụng đẳng thức A2 – B2 Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn các biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + ; b/ B = x2 + 8x ; c/ C = - 2x2 + 8x – 15 Giải a/ A = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = ( x - 2)2 + > Dấu “ =” xảy x – = x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A là x = b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy x – = x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A là -16 x = c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – = – 2( x - 2)2 – < - Dấu “ =” xảy x – = x = Vậy giá trị lớn biểu thức A là - x = * Chú ý: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta cần: - Chứng minh A > m với m là số - Chỉ dấu “=” có thể xảy - Kết luận: Giá trị nhỏ A là m ( kí hiệu minA ) Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần: - Chứng minh A < t với t là số - Chỉ dấu “=” có thể xảy - Kết luận: Giá trị lớn A là t (kí hiệu maxA) (3) Bài tập 4: Chứng minh (a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac) thì a = b = c Giải (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ac) a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ac + a2) = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = (a – b)2 = hay (b – c)2 = hay (c – a)2 = a = b hay b = c hay c = a a = b = c * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán cách sử dụng các đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập Chứng minh rằng: a/ 7.52n + 12.6n 19 ( n N) b/ 11n+2 + 122n+1 133 ( n N) Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n 19 Vì (25n – 6n) (25 – 6) nên (25n – 6n) 19 và 19.6n 19 Vậy 7.52n + 12.6n 19 (n N) b/ 11n+2 + 122n+1 133 = 112 11n + 12.122n = 12.(144n – 11n) + 133.11n 133 Vì (144n – 11n) (144 – 11) nên (144n – 11n) 133 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán cách sử dụng các đẳng thức an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) đó (an – bn) (a- b) Bài tập Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = Giải 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = (x + y + z)2 + (x + 5)2 + (y + 3)2 = (x + y + z)2 = ; (x + 5)2 = ; (y + 3)2 = x = - ; y = -3; z = * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán cách sử dụng các đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 11 15 11 19 n chö õsoá n Bài tập 7: Cho x = ; y = chữsố Chứng minh xy + là số chính phương (4) 11 19 11 15 n chö õsoá n Ta có : y = = chữsố + = x + Do đó: xy + = x(x + 4) + 11 17 hay xy + = n chữsố là số chính phương = x2 + 4x + = ( x + B Ứng dụng đẳng thức Xét bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = [(a + b)3 + c3] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – c(a + b) + c2 ]– 3ab (a + b + c) = (a + b + c) (a2 + 2ab + b2 – ac - ab + c2 - 3ab) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) = (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) [(a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2] = a b c 0 a b c 0 2 (a b) (b c) ( a c) 0 a b c Áp dụng nhận xét trên vào giải số dạng toán: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Dạng 4: Chứng minh đẳng thức DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử Ta thấy : x – y + y – z + z – x = => áp dụng nhận xét ta có: (x - y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x - y) (y - z) (z - x) Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3 Ta thấy x + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = => áp dụng nhận xét ta có: (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + - y2 - z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 – x2) (-y2 – z2) = 3(x2 + y2) (x + z)(x - z)(y2 +z 2) Bài : Phân tích đa thức (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (x + y + z)3 – x3 - y3 - z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + (x + y) (x + y + z) – x3 - y3 - z3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 - y3 - z3 = 3(x + y) (xy + yz + xz + z2) = 3(x + y)(y + z)(z + x) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z)3 – (x + y - z)3 -(x – y + z)3 -(-x + y + z)3 )2 (5) Đặt x + y – z = a; x – y + z = b, -x + y + z = c =>x + y + z = a + b + c =>(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(a + c) = 24xyz DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC: 1 0 x y z Bài 1: Cho tính P = xy yz zx z2 x2 y 1 1 1 0 3 y z xyz Từ x y z => x => P = xy yz zx xyz xyz xyz 1 xyz xyz 3 z x y z x y y z xyz x c a b Bài 2: Cho abc 0, a3 + b3 + c3 = 3abc tính A = b c a a b c 0 Từ a3 + b3 + c3 = 3abc => a b c a b b c a c c a b b c c b c Nếu a + b + c = thì A = Nếu a = b = c thì A = (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = => A có giá trị: -1 và 3 3 3 2 Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x y + y z + x z = 3x y z Tính P = x y y z z x Đặt a = xy, b = yz, c = zx a b c 0 Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc => a b c Nếu a + b + c = hay xy + yz + xz = thì (x+z) y = -xz P= = x y y z x y y z z x x y z y z x x z y x x y z x yz zx xy xy yz zx zx.xy yz Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8 Bài 4: Cho a + b + c = tính giá trị biểu thức A = (a - b)c3 + (b - c)a3 + (c - a)b3 Ta biến đổi b - c = b – a + a - c Ta A = (a - b)c3 + (b - a)a3 + (a - c)b3 = (a - b)(b - c)(a - c)(a + b + c) Vì a + b + c = -> A = x3 y z xzy Bài 5: Cho x + y + z = tính giá trị biểu thức B = x3 y z 3xyz xyz xyz 3 vì x + y + z = => x + y + z = 3xyz => B = (6) a b2 c2 Bài 6: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c 0 tính giá trị biểu thức M= a b c ta có a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) = a b c a b b c c a 0 =2 Mà a + b + c 0 => (a + b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = => a = b = c a a a 3a 9a a => M = Bài 7: Cho a + b + c = (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thức a2 b2 c2 A = cb ca ab ; a2 b2 c2 2 b c a c2 a b2 B=a b c a b3 c3 abc Ta có A = vi a + b + c = => a3 + b3 + c3 = 3abc ; 3abc 3 A = abc a2 b2 c2 2 b2 c a c2 a b2 B= a b c Từ a + b + c = => a + b = - c => a2 + b2 + 2ab = c2 -> c2 - a2 - b2= 2ab TT: a2 - b2 - c2 = 2bc; b2 - c2 - a2 = 2ac a2 b2 c2 a b3 c3 2abc Nên B = a 2bc 2ac 2ab ta có a + b + c = => a3 + b3 + c3 = 3abc 3abc -> B = 2abc Bài 8: Cho a + b + c= tính giá trị biểu thức: a b a b b c c a c c a b a b b c c a A= a b b c c a a b Đặt B = c c c b c c a c b bc ac a 1 1 a b a b a b a b ab Ta có B c a b c a b 2c 2c 1 1 ab ab abc =1+ a b a 2a b 2b3 1 ; 1 ; abc B c a abc Tương Tự B b c Bậy A = 1 2c 2a 2b3 a b3 c 1 1 3 abc abc abc abc 2.3abc 9 Vì a + b + c = => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = + abc DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x - 3)3 = (2x + 1)3 (7) (3x - 2)3 – (x - 2)3 = (2x + 1)3 => (3x - 2)3 – (x - 3)3 – (2x + 1)3 = => (3x - 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x - 1)3 = => => Nhận xét: Ta có 3x - - x + x - 2x - = => Áp dụng nhận xét ta có (3x - 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 3(3x - 2)(-x + 3)(-2x - 1) = =>(x + y)(-x + 2)(-y - 2) = Vì x; y Z ta có: = 1.1.2 = (-2)(-1).1 = (-1)(-1).2 = (-1) 2(-1) xảy trường hợp x y x y.2 x 0 y Chú ý:x = 2;y = -2 => phương trình vô nghiệm KL: Phương trình có nghiệm x = 0; y = -1 Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên phương trình: x3 + y3 + z3 - 3xyz = Ta có x3 + y3 + z3 - 3xyz = <=> (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – xz - yz) = 1 Ta xét x2 + y2 + z2 – xy – xz = [(x - y2 + (y- z)2 + (z - x)2 ] nên có thể xảy x y z 1(1) 2 x y z xy yz zx 1(2) Từ ta có: x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = Từ 2, => xy + yz + zx = <2 - 3> Nên x2 + y2 + z2 = giả sử x2 y2 z2 =>z = 0; y = 0; x = 1 Nếu x 1 y 0 z 0 không t/m x 1 y 0 z 0 Nếu T/m phương trình và TH: x 0 y 1 z 0 và x y 0 z 1 DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3 + b3 + c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? a b c 0 a b c Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc (8) Vì a, b, c là cạnh tam giác ABC nên a + b + c 0 nên ta có a = b = c (a, b, c >0) => ABC Là tam giác Bài 2: Cho a + bc + c + d = cmr a3 + b3 + c3 + d3 = (d + c) (ab - cd) Đặt c + d = x ta có a + b + x = a3 + b3 + x3 = 3abx hay a3 + b3 + (c + d)3 =3ab(c + d) a3 + b3 + c3 + d3 = 3ab (c + d) - 3cd(c + b) = 3(c + d)(ab - cd) Bài 3: CMR x + y + z = thì 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) từ x + y + z = -x = y + z (y + z)5 = -x5 y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5 x5 + y5 + z5 + 5yz (y3 + 2yzz + 2yz2 + z3) = x5 + y5 + z5 + 5yz(y + z)(y2 + yz + z2) = 2(x3 + y5 + z5) - 5yzx((y2 + z2) + (y + z)2)= 2(x3 + y5 + z5)- 5yzx((x2 + y2 + z2)= 2(x5 + y5 + z5) = 5yzx (x2 + y2 + z2) đpcm C Sử dụng đẳng thức biến đổi đồng chất Bài tập : Cho a b , biết 2 a/ 3a 3b 10ab Tính 2 b/ 2a 2b 5ab Tính P Q a b a b a b a b a 2ab b 3a 3b 6ab 10ab 6ab a b P P 0 P 2 a b a 2ab b 3a 3b 6ab 10ab 6ab a Xét Mà 2 b (Tương tự) Xét E 9 E 3 Bài tập 2: 2 4 a/ Cho a b c 0 và a b c 14 Tính A a b c 2 2 4 b/ Cho x y z 0 và x y z a Tính B x y z theo a a/ Ta có: 142 a b c a b c 196 a b b 2c c 2a a b c2 2 Ta có: a b c 0 a b c 0 ab bc ac ab bc ac 49 a b b 2c a 2c 2abc(a b c) 49 a b b 2c a c 49 4 Vậy A a b c 196 2.49 98 b/ x y z x y z x y2 z2 2yz x y2 z 4y2 z x y z 2x y 2y 2z 2x 2z x y z x y z a B a4 (9) x Bài tập 3: Cho x 0 và A x x2 a x Tính các biểu thức sau theo a B x x3 C x x n 1 Dể dàng chứng minh được, n>1, ta có: Ta tính A a B a 3a x n 1 x6 D x 1 x n n x x x C a 6a 9a x7 n x n x D a 7a15 14a 7a Bài tập 4: Phân tích các số sau thừa số a/ a b c b2 c a c2 a b b/ a 4a 29a 24 à c/ x 6x 7x 6x 1 d/ x 6x 11x e/ x 1 x 3 x x 15 f/ x y 3 y z z x Gợi ý: a/ Thay b c (c a) (a b) Sau thay, ta a b c a c a b2 a a b c a c a b a a b c a c b b/ Đáp số: a 1 a 3 a x c/ Đáp số: 3x d/ Đáp số: x 1 x x 3 e/ Đáp số: x 8x 10 x x f/ Đặt x y a y z b z x c a b c 0 a b c a b c3 a b 3ab a b c3 a b c 3ab(a b) 3abc VT 3 x y y z z x (10)