toanthaycu com toán thực tế hệ thức lượng trong tam giác vuông

toanthaycu.com TUYỂN TẬP 25 BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vng để đo chiều cao dừa, với kích thước đo hình bên Khoảng cách từ góc đến chân người thợ 4,8m từ vị trí chân đứng thẳng mặt đất đến mắt người nhắm 1,6m Hỏi với kích thước trên, người thợ đo chiều cao bao nhiêu? (làm trịn đến mét) Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Ta có, tứ giác ABDH hình chữ nhật � BA  DH  1, 6m; BD  AH  4,8m Xét ADC vuông D có BD đường cao: BD  BA.BC � BC  BD 4,82   14, 4m BA 1, � AC  AB  BC  1,  14,  16m Vậy chiều cao dừa 16m Bài 2: Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B bên bờ sơng, ơng Việt vạch đường vng góc với AB Trên đường vng góc lấy đoạn thẳng AC  30m , vạch CD vng góc với phương BC cắt AB D (xem hình vẽ) Đo AD  20m, từ ơng Việt tính khoảng cách từ A đến B Em tính độ dài AB số đo góc ACB LỚP TỐN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang toanthaycu.com Lời giải: Xét BCD vuông C CA đường cao, ta có: AB AD  AC � AB  AB 45 tan ACB � 1,5 AC 30 Xét ABC vng A , ta có: Vậy � ACB AC  45m AD 56 18 ' AB  45m, � ACB  56� 18' Bài 3: Một cao có chiều cao 6m Để hái buồng cau xuống, phải đặt thang tre cho đầu thang tre đạt độ cao đó, góc thang tre với mặt đất bao nhiêu, biết thang dài 8m (làm trịn đến phút) Lời giải: LỚP TỐN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang toanthaycu.com Xét ABC vng A , ta có: sin B  AC   BC (tỉ số lượng giác góc nhọn) � 48�35� B � Vậy góc thang tre với mặt đất 48 35 Bài 4: Một máy bay bay độ cao 12 km Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường máy bay tạo góc nghiêng so với mặt đất a) Nếu cách sân bay 320 km máy bay bắt đầu hạ cánh góc nghiêng (làm tròn đến phút)? � b) Nếu phi cơng muốn tạo góc nghiêng cách sân bay kilômét phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)? Lời giải: a) LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang toanthaycu.com Xét ABC vuông A , ta có: sin B  AC 12   BC 320 80 (Tỉ số lượng giác góc nhọn) � 2�9� B �� Vậy góc nghiêng b) Xét ABC vuông A , ta có: sin B  AC BC (tỉ số lượng giác góc nhọn) � BC  AC 12  �137,7 km sin B sin 5� Vậy phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh máy bay cách sân bay 137, 7 km Bài 5: Hải đăng Kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận hải đăng trung tâm sách kỷ luật Việt Nam xác nhận hải đăng cao nhiều tuổi Hải đăng Kê Gà xây dựng từ năm 1897-1899 toàn đá Tháp đèn có hình bát giác, cao 66 m so với mực nước biển Ngọn đèn đặt tháp phát sáng xa 22 hải lý (tương đương 40km ) Một người thuyền thúng biển, muốn đến hải đăng có độ cao 66 m, người đứng mũi thuyền dùng giác kế đo góc thuyền tia nắng chiều từ đỉnh hải đăng đến thuyền 25� Tính khoảng cách thuyền đến hải đăng (làm tròn đến m ) LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang toanthaycu.com Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Xét ABC vng A, ta có: tan C  AB AC (tỉ số lượng giác góc nhọn) � AC  AB 66  �142  m  tan C tan 25� Vậy khoảng cách thuyền đến hải đăng 142 m Bài 6: Trường bạn An có thang dài m Cần đặt chân thang cách chân tường khoảng cách để tạo với mặt đất góc “an tồn” 65�(tức đảm bảo thang không bị đổ sử dụng) Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang toanthaycu.com Xét ABC vng A, ta có: cos B  AB BC (tỉ số lượng giác góc nhọn) � AB  BC.cos B  6.cos65��2,5  m  2,5 m Vậy cần đặt chân thang cách chân tường khoảng Bài 7: Thang xếp chữ A gồm hai thang đơn tựa vào Để an toàn, thang đơn tạo với mặt đất góc khoảng 75� Nếu muốn tạo thang xếp chữ A cao 2m tính từ mặt đất thang đơn phải dài bao nhiêu? Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: LỚP TỐN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang toanthaycu.com Do tam giác ABC cân nên đường cao AH đường trung tuyến hay H trung điểm BC Xét ABH vuông H, ta có: sin B  � AH AB (tỉ số lượng giác góc nhọn) AB  AH  �2, 07m sin B sin 75� Vậy thang đơn có chiều dài 2, 07m Bài 8: Từ đài quan sát cao 350m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy thuyền bị nạn góc 20�so với phương ngang mực nước biển Muốn đến cứu thuyền phải quãng đường dài mét? Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Theo đề bài, ta có: LỚP TỐN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang toanthaycu.com �BCA  �CBx  20�( AC // Bx hai góc vị trí so le trong) Xét ABC vng A, ta có: tan ACB  � AC  AB AC (tỉ số lượng giác góc nhọn) AB 350  ; 961, 6m tan ACB tan 20� Vậy muốn đến cứu thuyền phải quãng đường dài khoảng 961, 6m Bài 9: Một khối u bệnh nhân cách mặt da 5, 7 cm chiếu chùm tia gamma Để tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u (trên mặt da) 8,3 cm (xem hình vẽ) Tính góc tạo chùm tia với mặt da chùm tia phải đoạn dài để đến khối u? Lời giải: Xét ABC vng A , ta có: tan B  AC 5,  AB 8,3 (tỉ số lượng giác góc nhọn) � 34�28� B LỚP TỐN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang toanthaycu.com 2 2 2 Ta có: BC  AB  AC (định lý Pytago) � BC  AB  AC  (8,3)  (5, 7) �10,1( cm) � � Vậy góc tạo chùm tia với mặt da 34 28 chùm tia phải đoạn dài khoảng 10,1 cm đề đến khối u Bài 10: Một ngurời quan sát đứng cách tháp 10 m , nhìn thẳng đỉnh tháp chân tháp � � góc 55 10 so với phương ngang mặt đất Hãy tính chiều cao tháp Lời giải: Dựa vào hình vẽ minh họa, ta có: AH  BD  10 m Xét AHB vuông H , ta có: tan BAH  BH AH (tỉ số lượng giác góc nhọn) � BH  AH � tan BAH  10 � tan10�( m) Xét AHC vuông H , ta có: LỚP TỐN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang toanthaycu.com tan CAH  CH AH (tỉ số lượng giác góc nhọn) � CH  AH � tan CAH  10 � tan 55�( m) �CH Ta có: BC BH 10 tan10� 10 tan 55� 16 m Vậy chiều cao tháp 16 m Bài 11: Một cần cẩu có góc nghiêng so với mặt đất nằm ngang 40 Vậy muốn nâng vật nặng lên cao 8,1 mét cần cẩu phải dài bao nhiêu? Biết chiều cao xe 2, mét, chiều cao vậ mét ( làm tròn kết đến chữ số thập phân ) Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Ta có: AK  CH � AD  DK  CH � AD  CH  DK  2,1   1,6 m Mà: AB  AD  BD � AB  BD  AD  8,1  1,  6,5m LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 10 toanthaycu.com Xét VABC vuông A , ta có: sinC  AB BC ( tỷ số lượng giác góc nhọn) � BC  AB 6,  �10,1m sin C sin 400 Vậy cần cẩu phải dài 10,1 m Bài 12: Một thuyền qua khúc sông với vận tốc 3, 5km / h hết phút Do dòng nước chảy mạnh nên đẩy thuyền qua sông đường tạo với bờ góc 25 Hãy tính chiều rộng sơng? Lời giải: Hình vẽ minh họa toán Chuyển đổi: phút  10 Quãng đường thuyền là: AC  v.t  3,5  0,35km  350m 10 VABo cos A  AB AC Xét VABC vuông B ta có : cos A  AB AC ( tỷ số lượng giác góc nhọn) LỚP TỐN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 11 toanthaycu.com � AB  AC sin A  350cos 250 �317, 21m Vậy chiều rộng sông 147,92m Bài 13: Một tịa nhà cao tầng có bóng mặt đất 272m, thời điểm cột đèn cao 7m có bóng mặt đất dài 14m Em cho biết tịa nhà có tầng, biết tầng cao 3,4m? Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Vì góc tạo tia nắng mặt trời mặt đất nên góc C góc C’ tan C  tan C ' � � A' B '  AB A ' B '  AC A ' C ' (tỉ số lượng giác góc nhọn) AB A ' C ' 7.272   136m AC 14 136  40 3, Vậy tịa nhà có: (tầng) Bài 14: Tịa nhà Bitexco Financial (hay Tháp Tài Bitexco) tịa nhà chọc trời xây dựng trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh Tịa nhà có 68 tầng (khơng tính tầng hầm) Biết rằng, tồ nhà có bóng in mặt đất dài 47,3 mét, thời điểm có cột cờ (được cắm thẳng đứng mặt đất) cao 15 mét có bóng in mặt đất dài 2,64 mét a) Tính góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc làm trịn đến độ) b) Tính chiều cao tồ nhà, (làm trịn đến hàng đơn vị) Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 12 toanthaycu.com a) Vì góc tạo tia nắng mặt trời mặt đất nên góc B góc B’ � tan B  tan B '  A 'C ' 15  A ' B ' 2, 64 (tỉ số lượng giác góc nhọn) � B  B ' �80o o Vậy góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất 80 b) Ta có: tan B  AC AB � AC  AB.tanB  47,3 15 �268,8m 2, 64 Vậy chiều cao tịa nhà 268,8m Bài 15: Giơng bão thổi mạnh, tre gãy gập xuống làm chạm đất tạo với mặt o đất góc 30 Người ta đo khoảng cách từ chỗ chạm đất đến gốc tre 8, 5m Giả sử tre mọc vuông góc với mặt đất , tính chiều cao tre (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 13 toanthaycu.com Xét ADC vng C , ta có: tan DCA  AD AC (tỉ số lượng giác hai góc nhọn) � AD  AC.tan DCA  8,5.tan 30 o ( m) Và cos DCA  AC AC 8,5 � DC    m DC (tỉ số lượng giác hai góc nhọn) cos DCA cos 30o � AB  AD  DC  8,5.tan 30o  8,5  14,72 m cos 30o Bài 16: Tính chiều cao trụ cầu Cần Thơ so với mặt sông Hậu, cho biết hai điểm cách 89m o o mặt sơng người ta nhìn thấy đỉnh trụ cầu với góc nâng 40 30 Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 14 toanthaycu.com Xét ABD vng A , ta có tan ADB  � AD  AB AD (tỉ số lượng giác hai góc nhọn) AB AB  m tan ADB tan 40o  1 Xét ABC vuông A , ta có tan ACB  � AC  AB AC (tỉ số lượng giác hai góc nhọn) AB AB  m tan ACB tan 30o  2 Ta có: AD  DC  AC (vì D thuộc AC ) � AB AB  89  o tan 40 tan 30o LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 15 toanthaycu.com � AB AB   89 o tan 30 tan 40 o � AB � 1 �  � 89 o � o tan 30 �tan 30 tan 40o � � AB  89 1  o tan 30 tan 40o AB 164,  7m Bài 17: Hai người A B đứng bờ sơng nhìn cồn sơng Người A nhìn cồn với góc 43�so với bờ sơng, người B nhìn cồn với góc 28�so với bờ sông Hai người đứng cách 250m Hỏi cồn cách bờ sông hai người đứng m? Lời giải: Xét tam giác AHC vuông A , ta có �  tan CAH CH CH CH � AH    1 � AH tan 43� tan CAH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 16 toanthaycu.com Xét tam giác BHC vuông B , ta có �  tan CBH CH CH CH � BH    2 � BH tan 28� tan CbH � � � � AB  AH  HB  CH �   �� 250  CH � � �tan 43� tan 28�� �tan 43� tan 28�� Từ (1) (2) ta có Suy : CH �84, 66m Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng 84, 66m Bài 18: Hai thuyền A B vị trí minh họa hình dây Tính khoảng cách chúng (làm tròn đến met) Lời giải: Xét tam giác AIK vng tai I ta có: tan AKI  AI � AI  IK tan AKI  380.tan 50 �453m IK Xét tam giác BIK vuông tai I ta có: tan BKI  BI � BI  IK tan AKI  380.tan  15� 50��  815m IK Ta có AB  AI  BI � AB  BI  AI  815  453  362m Vậy khoảng cách chúng 362m LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 17 toanthaycu.com Bài 19: Lúc 6h sáng bạn An từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên xuống dốc hình vẽ � � ˆ Cho biết đoạn AB dài 762m, góc A  Bˆ  a) Tính chiều cao dốc b) Hỏi An đến trường lúc giờ? Biết tốc độ lên dốc 4hm/h tốc độ xuống dốc 19km/h Lời giải: a) Xét AHC vng H ta có: CH CH CH � AH   � ( m) AH tan CAH tan tan CAH  (1) Xét BHC vuông H ta có: tan CBH  CH CH CH � BH   � ( m) BH tan CBH tan (2) Từ (1) (2), suy ra: AH  BH  � CH  CH CH � � � �  � AB  CH � � � 672  CH � � � � �� �� tan tan �tan tan � �tan tan � 672 �32m � � � � �� �tan tan � Vậy chiều cao dốc 32m b) Xét ACH vng H ta có: Xét BHC vng H ta có: sin CAH  sin CBH  CH CH 32 � AC   � ( m) AC sin CAH sin CH CH CH � CB   � ( m) CB sin CBH sin LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 18 toanthaycu.com Đổi đơn vị: 4km / h  10 95 m / s 19km / h  m / s 18 ; � Thời gian lên dốc AC là: t AC S AC 32 / sin  AC   ( s) VAC VAC 14, � Thời gian xuống dốc CB là: tCB S CB 32 / sin  CB   ( s) VCB VCB 68, � Thời gian từ A đến B là: t AB  t AC  tCB � 32 / sin 32 / sin   �362, 44( s ) 14, 68, ´ ˆ   362, 44s �6 ph u t giay Bài 20: Trong buổi luyện tập, tàu ngầm mặt biển bắt đầu lặng xuống di chuyển theo � đường thẳng tạo với mặt nước góc 21 a) Khi tàu chuyển động theo hướng 250m tàu độ sâu so với mặt nước (làm tròn đến đơn vị mét) b) Giả sử tốc độ trung bình tàu 9km/h sau (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu độ sâu 200m (cách mặt nước biển 200m) làm trịn đến phút Lời giải: Hình vẽ minh họa LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 19 toanthaycu.com a) Xét ABC vuông C ta có: sin A  CB � CB  AB.sin A  250.sin 210 �89, 6m AB Vậy tàu 250m tàu độ sâu 89,6m b) 9km/h=2,5m/s Gọi t(s) thời gian để tàu đạt độ sâu 200m Quảng đường tàu thời gian t(s) là: AB  S AB  vAB t AB  2,5t ( m) Xét ABC vuông C ta có: sin A  CB 200 200 � sin 210  �t �223s �4 phút AB 2,5t 2,5.sin 210 Vậy thời gian tàu phút Bài 21: Một cầu trượt bao gồm phần cầu thang ( để bước lên) phần ống trượt ( để trượt xuống) nối liền với Biết xây dựng phần ống trượt cần phải đặt phần ống trượt nghiêng với mặt đất o góc 50 Hãy tính khoảng cách từ chân cầu thang đến chân ống trượt xem phần cầu thang đường thẳng dài 2,5m; ống trượt dài 3m Lời giải: Hình minh họa tốn Tam giác CHB vng H nên: HB  CB.cos 50� 3.cos 50� HC  CB.sin 50� 3.sin 50� Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ACH vng H: LỚP TỐN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 20 toanthaycu.com AC  CH  AH � AH  AC  CH  2, 52  (3.sin 50�) 2 �2 � Do đó: AB  AH  HB  2.5  (3.sin 50 )  3.cos 50 �2,91 � AH  2,52  (3.sin 50�)2 Bài 22: Trong phòng khách sạn, bên cạnh khóa cửa cịn có phụ kiện hữu ích khác door guard ( chốt trượt mở an toàn ) Thiết bị phịng trường hợp nghe tiếng gõ cửa mà khơng biết xác Door guard dạng chốt nối, tạo khoảng cỡ 12cm đủ để người bên nhận diện người bên ngồi nói chuyện với Nếu chiều rộng cánh cửa vào khoảng 90cm Hãy tính góc mở cánh cửa Lời giải: Hình vẽ minh họa tốn: Ta có: AB = AC nên ABC tam giác cân A Gọi H trung điểm BC Khi AH vừa đường trung tuyến vừa đường cao BH = HC = 6cm Trong tam giác vng ABH, ta có: sin BAH  AH  AB  90 � BAH 3,8� � � Do đó: BAC �7, Bài 23: Người ta cần lắp đặt thiết bị chiếu sáng gắn tường cho phịng triển lãm hình vẽ o Thiết bị có góc chiếu sáng 20 cần đặt cao mặt đất 2,5m Người ta đặt thiết bị chiếu sáng sát tường canh chỉnh cho mặt đất dải ánh sáng vị trí cách tường 2m Hãy tính độ dài vùng chiếu sáng mặt đất LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 21 toanthaycu.com Lời giải: Xét ABC vuông B, ta có: �  tan BAC BC   0,8 AB 2,5 � BAC 38,7  o o o o � � � Ta có: BAD  BAC  CAD  38,7  20  58,7 BD  AB.tan BAD  2,5.tan 58,7 o �4,1 m  Xét ABD vuông B, Ta có: � CD  BD  BC  4,1   2,1 m  Vậy độ dài vùng chiếu sáng mặt đất 2,1 (m) Bài 24: Trên tịa nhà có cột ăng – ten cao 5m Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, o o nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăng – ten góc 50 40 so với phương nằm ngang Tính chiều cao tịa nhà LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 22 toanthaycu.com Lời giải: + Dựa vào hình vẽ tốn, ta có: BC = 5m AD = EH = 7m �  50o ; CAE �  40 o BAE �  BEA �  90o CEA + Xét CAE vng E, ta có: tan CAE  CE AE (Tỉ số lượng giác góc nhọn) � CE  AE.tan CAE  AE.tan 40o  m (1) + Xét BAE vng E ta có: tan BAE  BE AE (Tỉ số lượng giác góc nhọn) � BE  AE.tan BAE  AE.tan 50o  m  (2) + Từ (1) (2) ta suy ra: BE  CE  AE tan 50o  AE tan 40o LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 23 toanthaycu.com � BC  AE  tan 50o  tan 40o  �  AE  tan 50o  tan 40o  � AE  tan 50  tan 40o o + Thay AE vào (1) ta có: CE   m tan 40o o tan 50  tan 40 o  m 5.tan 40o BH  BC  CE  EH    �23,9  m  tan 50o  tan 40o Suy ra: Vậy chiều cao tòa nhà 23,9 (m) Bài 25: Kim tự tháp Kê Ốp ( Ai Cập ) có dạng hình chóp đều, đáy hình vng, mặt bên tam giác cân có chung đỉnh ( hình vẽ ) Mỗi cạnh bên kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy dài 230m a) Tính theo mét chiều cao h kim tự tháp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) b) Tính góc tạo cạnh bên kim tự tháp so với mặt đất S 214 m h A B D O 230 m C Lời giải: a) - Dựa vào hình vẽ minh họa ta có: AB = BC = CD = DA = 230 m SA = SB = SC = SD = 214 m SOA, SOB, SOC , SOD tam giác vuông O - Xét ABC vuông B ta có: LỚP TỐN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 24 toanthaycu.com AC  BA2  BC � AC  BA2  BC  230  230  230 2m � OC  - AC 230   115 2m 2 Xét SOC vng O ta có: SC  SO  OC  2142  h2  115  h 139,1  m Vậy chiều cao h kim tự tháp 139,1 m b) - Xét SOC vng O ta có: cosSOC = OC 115  SC 214 � SOC 40  o32 ' LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 25 ... 14 toanthaycu. com Xét ABD vuông A , ta có tan ADB  � AD  AB AD (tỉ số lượng giác hai góc nhọn) AB AB  m tan ADB tan 40o  1 Xét ABC vuông A , ta có tan ACB  � AC  AB AC (tỉ số lượng giác. .. m? Lời giải: Xét tam giác AHC vuông A , ta có �  tan CAH CH CH CH � AH    1 � AH tan 43� tan CAH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ SĐT: 0834 332 133 Trang 16 toanthaycu. com Xét tam giác BHC vng B ,... SĐT: 0834 332 133 Trang toanthaycu. com Do tam giác ABC cân nên đường cao AH đường trung tuyến hay H trung điểm BC Xét ABH vuông H, ta có: sin B  � AH AB (tỉ số lượng giác góc nhọn) AB  AH 