Chọn ngẫu nhiên một số từ X, tính xác suất để số được chọn có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó không đứng cạnh nhau.. Tìm tọa độ các điểm E , F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiế[r]
(1)SỞ GD&ĐT THANH HÓA ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT HẬU LỘC MÔN: TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2015-2016 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (4 điểm) 2x 1 có đồ thị là (C) x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm trên đồ thị (C) các điểm A, B cho đường thẳng AB qua điểm M (1;1) và trọng Cho hàm số y tâm tam giác OAB nằm trên đường thẳng d : x y 12 , biết điểm A có hoành độ nguyên Câu II (4 điểm) Tìm các nghiệm phương trình sau khoảng 0; : 2cos x.(2 cos x 1) Giải hệ phương trình: ( x y )( x xy y 2) ln x x 3 27 x y x 10 y y x y y ln Câu III (4 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ; c a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Giải bất phương trình: b 2c a 2c ln( a b 2c) 1 a 1 b x x x ( x 1)3 Câu IV (4 điểm) Gọi X là tập các số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ X, tính xác suất để số chọn có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó không đứng cạnh Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A(0;4) , điểm I (3;0) là trung điểm cạnh BC Điểm D (6;0) thuộc đoạn IC Tìm tọa độ các điểm E , F là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD Câu V (4 điểm) · 1200 Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi với AB a và BAD Biết góc đường thẳng AC ' và mặt phẳng ( ADA ') 300 Tính theo a thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' và khoảng cách từ trung điểm N BB ' đến mặt phẳng ( AMC ') , với M là trung điểm A ' D ' Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu qua hai điểm A(1; 2;3) , B(1;2;1); biết tâm mặt cầu thuộc mặt phẳng ( P) : x y z và có bán kính nhỏ HẾT Chú ý: - Học sinh không dùng tài liệu và Máy tính cầm tay (2) I.2 Có các điểm: A(2;3), B( ; ) 3 5 II.1 Có nghiệm: x , x , x 7 II.2 y PT (1) x y x y 6ln y2 x x ln 2 x x2 x x 6ln x x y y ln y y Xét hàm số: f (t ) t 2t ln t t với t ¡ x3 y x y 6ln y y 6ln x x 3 2 2 3 t t 2 t 2 3 2 với u Xét hàm số: g (u ) u u2 1 Có: g '(u ) 1 g(u) là hàm đồng biến trên 0; 23 u 2 Có f '(t ) 3t 2 f '(t ) g (u ) hàm số f(t) đồng biến trên R Suy ra: f ( x ) f ( y ) x y Thay vào PT(2) ta PT: g (u ) g (0) 27 x x x 3x x x x3 3x x x3 x x3 x ( x 1)3 ( x 1) x x x x x x3 x 3x x x 13 13 y 6 III.1 a b 2c a b 2c 6ln(a b 2c) 1 a 1 b a b 2c 1 6ln(a b 2c) 1 a 1 b Ta chứng minh các BĐT quen thuộc sau: 1 ) (1), a b ab ab ) ab (2) Thật vậy, 1 ) a b ab 1 a 1 b a b ab P2 a b ab luôn đúng vì ab Dầu “=” a b ab (3) ab ab Dấu “=” ab 1 2 Do đó: a b ab ab ab 4 16 ab bc ca c a c b c a b 2c 2 ) ab Đặt t a b 2c, t ta có: 16 t 1 P f (t ) 6ln t , t 0; t2 16 t 6t 16t 32 t 6t f '(t ) t t3 t3 t3 BBT t f’(t) + f(t) 5+6ln4 Vậy Pmin 6ln a b c 1 88 IV.1 P( A) 567 1 IV.2 E 2; ; F 7;8 2 9a a V.1 V ;d 2 V.2 + Mặt phẳng (Q ) là mp trung trực AB có phương trình x z + Gọi I là tâm và R là bán kính mặt cầu cần tìm 2 x y z x y + Có I ( P) (Q ) nên tọa độ điểm I thỏa mãn hệ x z z x Chọn I (t; t ; t 2) III.2 x 42 42 14 2 8 + Ta có R IA t Rmin t I ; ; 3 3 3 3 3 2 2 2 14 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x y z 3 3 3 (4)