Chuyen de Nguyen ham Tich phan

Nhaän xeùt : Neáu haøm soá fx coù 1 nguyeân haøm laø Fx thì noù coù voâ soá nguyeân haøm, taát caû caùc nguyeân haøm fxdx đều có dạng Fx + C và còn gọi là họ các nguyên hàm của hàm số fx[r]

Chuyên đề : NGUYÊN HAØM -TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I ÑÒNH NGHÓA NGUYEÂN HAØM : * Ñònh nghóa : Haøm soá F(x) goïi laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân K neáu : F’(x) = f(x) , xK * Ñònh lyù : Nếu F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân K thì F(x) + C (C là số) là nguyên hàm f(x) trên K Nhaän xeùt : Neáu haøm soá f(x) coù nguyeân haøm laø F(x) thì noù coù voâ soá nguyeân haøm, taát caû caùc nguyeân haøm f(x)dx có dạng F(x) + C và còn gọi là họ các nguyên hàm hàm số f(x), ký hiệu :  f(x)dx F(x)  C Vaäy : F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) thì : II SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HAØM : Mọi hàm số liên tục trên K có nguyên hàm trên K III CAÙC TÍNH CHAÁT :  f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx  k.f(x)dx k f(x)dx  (k  0) IV Baûng tính nguyeân haøm cô baûn: Baûng Baûng Haøm soá f(x) a ( haèng soá) x (   ) Hoï nguyeân haøm F(x)+C ax + C x 1 C  1 Haøm soá f(x) x ax ln x  C ax  b A ax  b Hoï nguyeân haøm F(x)+C (ax  b) (   ) ex ax C ln a ex  C sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx sinx + C cos(ax+b) cos2 x tanx + C cos (ax  b) sin x -cotx + C sin (ax  b) u' ( x ) u( x ) ln u( x )  C tanx  ln cos x  C cotx ln sin x  C eax b 2 x a a (ax  b) 1 C  1 ln ax  b  C a A ax b C A ln a ax b e C a  cos(ax  b)  C a sin(ax  b)  C a tan(ax  b)  C a  cot(ax  b)  C a x a ln C 2a x  a Phöông phaùp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm Phân tích hàm số đã cho thành tổng, hiệu các hàm số có công thức bảng nguyên hàm baûn  Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số mũ, lũy thừa, các đẳng thức, chia đa thức và biến đổi lượng giác các công thức lượng giác Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 x f ( x)  f ( x)   f x     x  1 x x x 4 1) 2) 3)  2x  x 1 4) f ( x)  x  x  1 7) ex f ( x)   2e x 10) x3  x 1 x 5) x 1 f ( x)  x  x  1 8) cos x f ( x)   3sin x 11) 13) f ( x) cos x 2x  f(x)  x  4x  16) 14) f ( x ) cos x f ( x)  Ví dụ: Tính I1  dx x 4 1) f ( x)  2x  I  dx x  3x  2) Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số Định lí bản: x4 f  x   x2 6) 9) f ( x)  x  3x  2 x cos x x sin x  cos x 12) f ( x)  x 1  x 15) 2x  5x  I  dx x  x2  2x 3) f ( x)  dx I  x e 2 4) f  u(x) u'(x)dx Cách thực hiện: Tính  pp đổi biến số u  u(x)  du  u'(x)dx Bước 1: Đặt (Vi phân u) Bước 2: Tính f  u(x) u'(x)dx f(u)du F(u)  C F  u(x)  C Ví dụ: Tính 1) sin x I  dx cos x 2) I x cos   x  dx Kỹ thuật: Sử dụng cách viết vi phân hóa tích phân Nhắc lại : Vi phân u u  x  Cho hàm số thì vi phân hàm số là du u '( x)dx Ví duï: Tính cos x sin xdx ln x dx  x 5) tan x  ln x dx x  dx cos x  e tan x  dx 6) cos x  7) x ln x dx Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm phần Định lí bản: 4) cos x.e dx  8) sin x 3sin x dx dx  9) cos x Dạng thu gọn: udv uv  vdu Các bước thực hiện: ¿u=u(x )  ⇒ ¿ dv=v ' ( x)dx Bước 1: Đặt (Chọn u cho tính du đơn giản, ¿ du=u ' (x )dx  ¿ v =v (x ) chọn dv cho dể tìm v) udv uv  vdu Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần :  vdu Bước 3: Tính  Ví dụ: Tính I   x  1 sin xdx 1)  I  ln xdx 4)  2) I  x   e2x dx 5) I  x  1 ln xdx 3) I3 x ln xdx 6) I ex cos xdx I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VAØ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân thì: b  a; b Giả sử F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) b f ( x)dx  F( x) a F(b)  F(a) a Caùc tính chaát cuûa tích phaân:   ( Công thức NewTon - Leipniz) a f ( x )dx 0 Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì : b a a b a f ( x )dx  f ( x )dx Tính chaát 2: b   a; b Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên thì: cdx c(b  a) a b   f ( x )dx 0 f ( x )  vaø thì a  a; b vaø f ( x ) g( x ) x   a;b thì Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân  a; b Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân b b a a f ( x )dx g( x )dx  Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân  a; b vaø m  f ( x ) M ( m,M laø hai haèng soá) thì b m(b  a) f ( x )dx M (b  a) a  Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân  a; b b b b a a a thì  f ( x ) g( x ) dx f ( x )dx g( x )dx  Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân b b a a  a; b vaø k laø moät haèng soá thì k f ( x )dx k.f ( x )dx  Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân  a; b vaø c laø moät haèng soá thì b c b a a c f ( x )dx f ( x )dx  f ( x )dx  Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân  a; b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là b b b a a a f ( x )dx f (t)dt f (u)du  Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau: 1) x dx  (2x  1)  2) 5) 2x  dx  x  4x  6) 9) x  7) (sin 4) 8) e 11) 12) x dx 1 4x  11 dx  5x   x  cos x)dx  cos 2xdx 10) x  xdx 3) x dx  x  2x    sin 2x dx  cos2 x x dx 2x  4sin x dx   cos x cos x −sin x (¿)dx 12) π ¿ π 2x dx  cos 1+ 2sin x 13) 14) π 3x dx  sin cos x +1 15) π x dx  cos 5− sin x 0 dx x +2 x − −2  x2 dx  x  x 17)  Baøi 2: 1) x  1dx 3 x 4) Baøi 3:   2dx x2 2) x  3x  2dx 3) 1 5) ( x   x  )dx 3 2 x  4dx 6) |x − x| dx 1) Tìm các số A,B để hàm số f(x) A sin x  B thỏa mãn đồng thời các điều kiện f ' (1) 2 vaø 2) Tìm các giá trị số a để có đẳng thức : f(x)dx 4 [a  (4  4a)x  4x3 ]dx 12 16) II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : b 1) DAÏNG 1:Tính I = f[u(x)].u (x)dx ' a baèng caùch ñaët t = u(x) u (b ) b f  u( x) u '( x)dx   f (t )dt a Công thức đổi biến số dạng 1: Cách thực hiện: u(a) Bước 1: Đặt t=u(x )⇒ dt=u' (x )dx ¿ x=b ⇒ ¿ x=a Bước 2: Đổi cận : ¿ t=u(b)  ¿ t=u(a) Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta b u (b) I = f [ u(x ) ] u '( x )dx=  f (t) dt a (tiếp tục tính tích phân mới) u (a) Tính caùc tích phaân sau:  cos 1) x sin xdx e  5)   ln x dx x π dx  sin x2 √ cos x+ sin x 2) cos xdx 3) e  ln x dx x 6) x+ sin x dx  sin√1+3 cos x 12) x dx 8) π 10)  (e sin x+cos x) cos xdx 11)  2sin x dx  1− 1+ sin x x 2s in2x  3sin x dx dx    x cos x  0 13) 14) 17) 4) cos  sin x  dx  cos x  x)3dx 0 π 7) π 9) sin 2x(1  sin x (1  x ) dx  e  √1+3 lnx x ln x dx  e 18) x  ln x dx  ln x  15) ex dx  e x  e1 x 16)   cos x tan x  cos x dx b 2) DAÏNG 2: Tính I = f(x)dx a baèng caùch ñaët x = (t) b  I f ( x)dx f   (t )  '(t )dt a Công thức đổi biến số dạng 2:  Cách thực hiện: Bước 1: Đặt x=ϕ (t)⇒ dx=ϕ ' (t)dt ¿ x=b  ⇒ ¿ x=a   t  b   t  a Bước 2: Đổi cận : ¿ t=β (Giải pt tìm  ; Giải pt tìm  )  ¿ t=α Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta b β (tiếp tục tính tích phân mới) I = f ( x)dx= f [ ϕ (t) ] ϕ ' (t) dt a α Tính caùc tích phaân sau: 1)   x dx 2) 2 4) dx  x  x 1 1 7)  3 5) x4   x2 1 x  dx  x  4 8) 1 dx   x2 3sin 2 3) dx dx x  cos x  6) x  x2 dx  x dx 9)   x   x dx II TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN: Tính caùc tích phaân sau: 1) 4) x x 1 dx x x  1dx 2)  x 1 x √3 5)  √5 dx dx x √ x +4 3) x 1  3x  dx 6)  dx 1+ √1+3 x III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN : Công thức tích phân phần: b b b  u(x ) v ' (x) dx=[ u( x) v (x ) ]a − v (x) u' ( x)dx a Hay: a b b b a  udv=[ u v ] − vdu a a Cách thực hiện: ¿u=u(x )  ⇒ ¿ dv=v ' ( x)dx ¿ du=u ' (x )dx  ¿ v =v (x ) Bước 1: Đặt b Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần : b b  udv=[ u v ]a − vdu a a b b Bước 3: Tính [ u v ]a vaø  vdu a Tính caùc tích phaân sau:  1)  x  1 s in2xdx  2) ln x dx  5) x 9) x(2 cos 6) 2 ln  x  x  dx 3) e x cos xdx 7) x  1)dx 10) (x  1) e 2x xdx 14)  x ln (1+ x )dx ln x x dx x sin x cos xdx (x ln x) dx  ln√ xx dx 12)  ( x −2)e2 x dx π e 4) 8) e 11)  x ln dx 13)  2   2x  1 cos xdx 15)  (x+ cos3 x) sin xdx 16)  (2 x +7)ln ( x +1)dx e 17) x 1 ln xdx 18) ln  x  1  x   ln dx 19)  ln xe x  x e 1 dx 20)  sin x x 1  cos x e dx IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: (H ): ( C1 ): x=f ( y ) (C 2): x =g ( y ) Δ1 : y=a Δ2 : y=b ¿{{{ (H ): ( C1 ): y =f (x ) (C 2): y=g( x ) Δ : x=a Δ : x=b ¿{{{ y x a (H ) O a x b (C1 ) : y  f ( x) (C ) : y  g ( x) x b y (C ) : x  g ( y ) b a y b (H ) y a x O (C1 ) : x  f ( y ) b yC yC xC xC S= [ f (x) − g (x) ] dx a b S= [ f ( y )− g ( y ) ] dy a Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau:  3x   y  x   y 0 x 0 y x   x  y 1) (H1):  2) (H2):  3) (H3) : y x  2x  y  x  4x  y  x2   H  :   y 6  x  6) ¿ (C) : y=e x (d): y=2 5) (H5): ( Δ): x =1 ¿{{ ¿ ¿ (C): y=√ x (d ): y =2− x 4) (H4): (Ox) ¿{{ ¿ V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức: y x a O a x b (C ) : y  f ( x) y 0 b V =π  [ f (x ) ] dx a b x y b x 0 y b (C ) : x  f ( y ) y a a x O b V =π  [ f ( y) ] dy a Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : y = x2 + x - ; x + y - = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn các đường : y  x; y 2  x; y 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy 2 Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y 4  x ; y  x  Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Heát -