Đờng thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M và N.. Chøng minh r»ng: OM=ON..[r]
(1)§Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn vßng i Phòng giáo dục & đào tạo HuyÖn s«ng l« N¨m häc 2011 - 2012 M«n: To¸n - líp Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u I: (2 ®iÓm) x 1 A : x x x x 2x a) Rót gän biÓu thøc: b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x ax b chia hết cho đa thức x x C©u II: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 15x 12 1 a) x 3x x x b) x x x 1 x 1 24 C©u III: (2 ®iÓm) 1 0 x y z a) Cho x, y, z là các số khác không và đôi khác thỏa mãn: yz xz xy A x 2yz y 2xz z 2xy TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2x 2012 x2 b) Cho biÓu thøc M = víi x > Tìm x để M có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó C©u IV: (3 ®iÓm ) Hình thang ABCD(AB // CD) có hai đờng chéo cắt O Đờng thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự M và N a Chøng minh r»ng: OM=ON b Chøng minh r»ng: + = AB CD MN c Biết: SAOB= 2011 (đơn vị diện tích); SCOD= 20122 Tính SABCD ? C©u V: (1 ®iÓm) 3 5 2 Cho a , b lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n: a b a b Chøng minh r»ng: a b 1 ab =============HÕt============ §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm: C©u PhÇn Néi Dung I a) §KX§: x 0; x 2® 1® Rót gän A: §iÓm 0,25 ® (2) x 1 A : x x x x 2x 1 x 1 A : x x 1 x x A A b) 1® a) 1® x 1 1 x x x 1 x 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® x x f(x) chia hÕt cho x x f(x) chia hÕt cho (x + 3)(x -2) f(- 3) = 3a b 27 (1) T¬ng tù ta cã f(2) = 2a b (2) Trừ hai vế (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35 a Thay a = - vào (1) tìm đợc b = §KX§: x ; x 1 15x 12 1 x 3x x x 15x 12 1 x (x 1) x x 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 15x 12 x 1 x x 3x x 4x 0 0,25 ® x 0 x x 0 x 0,25 ® x = (tháa m·n ®/k) ; x = - 4(kh«ng tháa m·n ®/k) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = II 2® b) 1® x x x 1 x 1 24 x x 1 x x 1 24 0,25 ® x x x x 24 §Æt x x = t Ph¬ng tr×nh trë thµnh: t t 24 0,25 ® t 2t 24 0 Giải phơng trình tìm đợc t = - ; t = 15 x x 0 x 0 4 * Víi t = - => x x (ph¬ng tr×nh v« nghiÖm) x x 6 x x 3 0 * Víi t = => Giải phơng trình đợc: x= - ; x = 1 yz xz xy 0 0 yz xz xy 0 x y z xyz Tõ gi¶ thiÕt: (v× x,y,z >0) III 2® a) 1® 0,25 ® 0,25 ® (3) yz xy xz x 2yz x yz xy xz x z x y z x z y T¬ng tù ta cã: z 2xy = y 2xz = y z y x Khi đó: yz xz xy A x z x y y z y x z x z y 0,25 ® yz y z xz z x xy x y x z x y y z yz y z xz x z xy x z y z x z x y y z yz y z xz x z xy x z xy y z x z x y y z x x z y z y y z x z x z x y y z x z x y y z 1 x z x y y z b) 1® 0,25 ® x 2x 2012 2012x 2.2012x 2012 x2 2012x Ta cã: M = x 2.2012x 20122 2011x 2011x2 x 2012 DÊu “=” xÊy 2011x2 x 2012 2012x 2012x 2 x 2012 0 x 2012 2011 2011 2012 2012 (tháa m·n) 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 2011 Vậy giá trị nhỏ A là 2012 đạt đợc x 2012 IV 3® B A O N M a) 1® 0,25 ® C D OM OD Lập luận để có AB = BD OD , ON OC = AB AC 0,25đ 0,25đ OC Lập luận để có DB =AC ⇒ b) 1® Xét OM ON = AB AB Δ ABD để có ⇒ 0,25đ OM = ON OM DM = AB AD (1), xét Δ ADC để có 0,25đ (4) OM AM = DC AD (2) 1 AM+ DM AD = =1 Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB + CD ) ¿ AD AD 1 Chứng minh tương tự ON ( AB + CD )=1 1 1 từ đó có (OM + ON) ( AB + CD )=2 ⇒ AB + CD =MN S AOB OB S OB = , BOC = S AOD OD S DOC OD S AOB =¿ S AOD ⇒ c) 1® S BOC S DOC ⇒ S AOB S DOC =S BOC S AOD 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Chứng minh S AOD =S BOC S AOD ¿ S AOB S DOC =¿ ⇒ 0,25đ Thay số để có 20112.20122 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2011.2012 Do đó SABCD= 20112 + 2.2011.2012 + 20122 = (2011 + 2012)2 = 40232 (đơn vị DT) 0,25đ a b 1 ab a b ab 1 a b a b ab a b a b3 a b V 1® 1® a b3 a b3 a b a b5 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 2a 3b3 ab a b ab a ab a 2a b b 0 b2 0 đúng a, b > Ghi chú: Nếu HS có cách làm khác mà kết đúng cho điểm tối đa 0,25 ® (5)