[r]
(1)Trêng THCS §øc Th¾ng đề khảo sát học sinh giỏi lần n¨m häc 2010-2011 M«n To¸n líp Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2®) a, Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - b, Cho x Z chøng minh r»ng x200 + x100 +1 ⋮ x4 + x2 + C©u 2: (1.5®) Cho x,y,z tho¶ m·n x+ y +Z = xyz vµ + + = √ x y z TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = C©u 3: (2®) T×m x biÕt a, |3 x+ 2| < 5x -4 b, x + 43 + 57 x + 46 54 1 + 2+ 2 x y z = x + 49 + x+ 52 51 48 C©u 4: (2®) a, Chøng minh r»ng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 ⋮ víi mäi n b, Cho x,y,z > T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x y z P= + + y+z z+x x+ y C©u 5: (2.5®) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A ; BC = a ; AC = b Vẽ các đờng phân giác BD, CE a, Chøng minh r»ng DE // BC b, Tính DE từ đó suy = + DE a b C©u 6: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x, y tho¶ m·n x2 = y2 + 2y +13 N* -HÕt -Hä tªn ThÝ sinh: Trêng THCS §øc Th¾ng Híng dÉn chÊm hsg to¸n (2) C©u1(2®) Cau : (1.5®) C©u 3: (2®) a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1 ⇒ A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x2 )+ (x4+x2+1) =x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) + (x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) dÔ thÊy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) ⋮ x4 + x2 +1 ⇒ A ⋮ x4 + x2 + 1 1 + + + 2( + + ¿ x y z xy xz yz x y z ( √ 3¿ = p + z + y + x ; = p+2 ( v× x +y+z=xyz) xyz Cã ( + + ¿2 = 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® suy P = 0.5® a, gi¶i 4-5x < 3x +2< 5x - làm đúng đợc x> b, Cộng vào phân thức đặt nhân tử chung (x+100)( + − − ) = ⇒ S = { −100 } 0.5® 0.5® 0.5® 57 54 51 48 0.5® (3) C©u 4: (1.5®) a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) 0.5® 3 2 §Æt B= n +3n +3n+1 = n +n + 2n +2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thÊy n(n+1)(n+2) ⋮ ( v× tÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp 0.25® ) 3(n+1) ⋮ ⇒ B ⋮ ⇒ A =3B =3.3K =9K ⋮ b, §Æt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒ x+y+z = a+b+ c ⇒ x= − a+b +c ;y= a− b+ c ; z= a+b − c 0.25® P = − a+b +c + a − b+c + a+ b −c = 2a 2b 2c b c a c a b (− 1+ + − 1+ + −1+ + ) = a a b b c c b a c a b c (− 3+( + )+( + )+( + )) a b a c c b vµ chØ a=b=c ⇔ x=y=z C©u 5: (2®) a, B1 B2 ⇒ AD BA b = = DC BC a 0.5® Min P = ( Khi 0.25® (1) AE CA b ⇒ C C EB CB a (2) AD AE ⇒ Tõ (1) vµ (2) suy DC EB DE//BC b, DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x DE AD áp dụng hệ định lý ta lét ta có BC AC hay x b x a b ab ; ax +bx =ab ; x = a b = DE a b 1 DE ab a b Suy 0.25® 0.25® 0.25® 0.5® 0.5® A x E D C©u 6: 1® B 2 x C 0.25® 0.25® (4) -HS biến đổi đợc 0.5® x2 = y2 + 2y +13 ⇔ x2 = (y + 1)2 + 12 ⇔ (x + y + 1)(x - y - 1) = 12 V× (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + vµ x, y N* nªn (x + y + 1) > (x - y - 1) V× vËy (x + y + 1) vµ (x - y - 1) lµ hai sè nguyªn d¬ng ch½n Mµ 12 = 2.6 ⇒ ChØ x¶y mét trêng hîp (x + y + 1) = vµ (x - y - 1) = ⇒ x = vµ y = Trên đây là gợi ý chấm Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa (5)