2x 1 f nghịch biến trên khoảng 2 VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: Chuyển bất đẳng thức về dạng fx [r]
(1)BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K [x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) < f(x2)] Hàm số f nghịch biến trên K [x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) > f(x2)] Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I b) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I c) Nếu f(x) = 0, x I thì f không đổi trên I (hàm số) Ch ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực các bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm các điểm mà đó y = y không tồn (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số VD: Xét chiều biến thiên các hàm số sau: a) y x x x b) y x x x x 1 y x c) x 2x y x d) e) y x f) y x x BÀI TẬP VỀ NHÀ Baøi Xét chiều biến thiên các hàm số sau: a) y x x b) y x2 x 4 d) y x x x f) y x x x h) y x x k) m) o) y 2x x 5 y 1 e) y (4 x )( x 1) y x x2 g) 1 y x4 x2 10 10 i) l) 1 x y x c) y x x n) 1 x y x 2 x y y x x 26 x 2 x 15 x 3x p) Baøi Xét chiều biến thiên các hàm số sau: (2) y a) y x x x y c) y e) x2 x 1 b) y x x 1 x2 x2 2x d) x2 x f) y x 2 x x 3x g) y x 3 x h) y x x i) y x x VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên khoảng xác định) Cho hàm số y f ( x, m) , m là tham số, có tập xác định D Hàm số f đồng biến trên D y 0, x D Hàm số f nghịch biến trên D y 0, x D Từ đó suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y ' ax bx c thì: a y ' 0, x R 0 a y ' 0, x R 0 Nếu a có tham số m thì ta xét riêng trường hợp: a = 3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) ax bx c : Nếu < thì g(x) luôn cùng dấu với a Nếu = thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = b 2a ) Nếu > thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a 4) So sánh các nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) ax bx c với số 0: x1 x2 P 0 x1 x2 P S S x x2 P (hay ac < 0) VD1: Định m để hàm số luôn đồng biến a) y x x mx m b) y mx (2m 1) x (m 2) x (3) c) y mx xm y x mx m x VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến: VD3: Định m để hàm số y x 3x (m 1) x 4m nghịch biến (- 1; 1) 2 VD4: Định m để hàm số y x (m 1) x ( 2m 3m 2) x tăng trên (2;) VD5: Định m để hàm số y x 3x mx m nghịch biến trên khoảng có độ dài BÀI TẬP VỀ NHÀ Baøi Chứng minh các hàm số sau luôn đồng biến trên khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y x x 13 x3 y 3x x b) 2x y x 2 c) x2 2x y x 1 d) y x 2mx x m e) y 3 x sin(3 x 1) f) Baøi Chứng minh các hàm số sau luôn nghịch biến trên khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y x cot( x 1) b) y cos x x c) y sin x cos x 2 x Baøi Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y x 3mx (m 2) x m b) c) f) y xm x m y x 2mx 3m x 2m d) y y mx x m x mx 2x 1 e) y x 2mx x m Baøi Tìm m để hàm số: a) y x x mx m nghịch biến trên khoảng có độ dài 1 y x mx 2mx 3m b) nghịch biến trên khoảng có độ dài y x (m 1) x (m 3) x c) đồng biến trên khoảng có độ dài Baøi Tìm m để hàm số: a) y x3 (m 1)x (m 1) x đồng biến trên khoảng (1; +) b) y x 3(2m 1) x (12m 5) x đồng biến trên khoảng (2; +) c) y mx (m 2) x m đồng biến trên khoảng (1; +) (4) d) e) y x m x m đồng biến khoảng (–1; +) y x 2mx 3m x 2m đồng biến trên khoảng (1; +) x 3x m y ; 2x 1 f) nghịch biến trên khoảng VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực các bước sau: Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc <, , ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định đề bài định Xét dấu f (x) Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến để kết luận Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h (x) … nào xét dấu thì thôi 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức dạng: f(a) < f(b) Xét tính đơn điệu hàm số f(x) khoảng (a; b) VD 1: Chứng minh sin x x, x VD 2: Chứng minh sin x x x3 , x BÀI TẬP VỀ NHÀ Baøi Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) x x3 sin x x , với x sin x tan x x , với x b) sin x tan x x , với x 2 c) d) Baøi Chứng minh các bất đẳng thức sau: tan a a , với a b a) tan b b x tan x, với x b) a sin a b sin b, với a b c) Baøi Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2x sin x , với x a) a tan a b tan b, với a b b) x x3 x3 x5 sin x x , với x 6 120 c) Baøi Chứng minh các bất đẳng thức sau: x sin x cos x 1, với x x a) e x , với x c) ln(1 x ) ln x , với x 1 x b) ln(1 x ) x , với x (5) 2 d) x ln x x x *********HẾT********* (6)