Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?.. Tìm nguyên hàm của hàm số A..[r]
(1)Giaovienvietnam.com CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM I Định nghĩa: Giả sử y f x y f x và Nếu y F x a, b , đó hàm số F '( x ) f ( x ) , x a, b liên tục trên khoảng là nguyên hàm hàm số y f x thì y F x là nguyên hàm hàm số f ( x )dx F( x ) C , C II Vi phân: y f x Giả sử a, b và có đạo hàm điểm y f x dy f ' x dx là: xác định trên khoảng x a, b Vi phân hàm số Quan hệ đạo hàm nguyên hàm và vi phân: f x dx F x c F x f x dF x f x dx III Các tính chất nguyên hàm Nếu f x f x dx là hàm số có nguyên hàm thì : f x ; d f x dx f x dx d F x F x C có đạo hàm thì: f x g x dx f x dx g x dx Phép cộng, phép trừ: Nếu F x Phép nhân với số thực khác 0: kf x dx k f x dx , k IV Phương pháp tính nguyên hàm: Phương pháp đổi biến số: Nếu f (u)du F(u) C và u u( x ) có đạo hàm liên tục thì: f u( x ) u '( x )dx F u( x ) C Phương pháp phần Nếu hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K thì: u x v' x dx u x v x u' x v x dx u.dv u.v v.du Hay: Trang (2) Giaovienvietnam.com V Nguyên hàm số hàm thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp dx= x+C α +1 du=u+C α +1 ( ax +b ) α ( ax +b ) dx= +C ( α ≠1 ) a α +1 1 ax b dx a ax b C 1 dx C a ax b ax b cos xdx=sin x+C sin xdx=−cos x+C cos ( ax+b ) dx= a sin ( ax+b ) +C cos2 x dx=tan x +C 1 cos ( ax +b ) dx = a tan ( ax+b ) +C 1 sin ( ax+b ) dx=− a cot ( ax +b ) +C sin ( ax +b ) dx =− a cos ( ax+b ) +C 1 sin x dx=−cot x+C dx x =ln|x|+C dx ( 0<a≠1 ) a VI Vi phân + Cho hàm số y f x x có đạo hàm y f x có đạo hàm df x f x x f x dx VII Các quy tắc tính đạo: Cho f x vi phân hàm số thì tích f x x u u x ; v v x ; C : là số C.u C.u C.u u u '.v v '.u C , v v2 u2 v u y f u , u u x yx yu ux Trang cos2 u du=tan u+C sin 2u du=−cotu+C du u =ln|u|+C (u≠0 ) u a u dx= lna a +C ( 0<a≠1 ) x điểm là : gọi là vi phân hàm số u v ' u 'v ' Nếu cosudu=sin u+C sin udu=−cosu+C hay dy y dx u.v ' u '.v v '.u α +1 u du= αu +1 +C ( α≠1 ) 1 u du u C u du 2 u C α eu du=eu+C a x dx C a 1 ln a y f x x0 df x0 f x0 x + Cho hàm số ( x≠0 ) e ax+b dx= a e ax+b+C x a x dx =lna a +C ax +b = a ln|ax +b|+C ( x≠0 ) e x dx=ex +C Kí hiệu : Nguyên hàm hàm số hợp d ( ax +b )= a ( ax +b )+C x dx= αx +1 +C ( α≠1 ) 1 x dx x C x dx 2 x C α Nguyên hàm hàm số thường gặp y f x (3) Giaovienvietnam.com VIII Các công thức tính đạo: Đạo hàm hàm số sơ cấp C 0 ; x n.x n Đạo hàm hàm số hợp x 1 u n.u n n ' n .u , n , n 2 ' 1 x x x , x 0 x u 1 u u u u u sin x cos x sin u u.cos u cos x sin x cos u u.sin u tan x u tan u , u 0 cos u u cot u sin u cos x cot x sin x ' x x , x ' u u 1.u ' ' a x a x ln a x ' e e x ' au au ln u.u ' u ' e eu u ' log a x ' x ln1 a log a u ' u uln' a ln x ' n x ' , x 0 x ln u ' n u n.n x n ' u' u u' n.n u n IX Nguyên hàm mở rộng 1 x−1 x 2−1 dx= ln| x+1 |+C √1−x dx =arcsin x +C √ x 2±1 (a>0 ) x dx =arcsin +C a (a>0 ) √ a2 −x 2 dx =ln|x+ √ x 2±a2|+C √ x ±a x x 2 2 a a −x dx= a −x + arcsin +C √ √ 2 a dx =ln|x+ √ x ±1|+C tan x dx=−ln|cos x|+C cot x.dx=−ln|sin x|+C x−a x 1+a2 dx= 1a arctan ax +C ( a>0 ) x 2+1 dx=arctan x +C x 2−a2 dx= a ln| x +a |+C Trang √ x 2±a2 dx= 2x √ x 2±a2± a2 ln|x +√ x2 ±a 2|+C x x ' (4) Giaovienvietnam.com X Lượng giác Hệ thức bản: tan sin cos cot cos sin sin 2 cos2 1 sin 2 cos2 n 1 n n tan cot tan cot 1 tan cos ; cot sin2 Giá trị lượng giác các góc có liên quan đặc biệt Góc đối Góc bù Góc phụ cos( ) cos sin( ) sin sin( ) sin cos( ) cos sin cos 2 cos sin 2 tan( ) tan tan( ) tan cot( ) cot cot( ) cot tan cot 2 cot tan 2 Góc kém Góc kém sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 Để thuộc các công thức trên cần hiểu và thuộc câu thần chú sau: cos đối, sin bù, phụ chéo Trang (5) Giaovienvietnam.com kém tan, cot, kém chéo cos Công thức lượng giác a Công thức cộng sin(a b) sin a.cos b sin b.cos a sin(a b) sin a.cos b sin b.cos a cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b Hệ quả: tan a tan b tan a.tan b tan a tan b tan(a b) tan a.tan b tan(a b) tan tan , 4 tan tan tan 4 tan b Công thức nhân đôi Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc cos 2 sin2 cos 2 cos cos 2 tan cos 2 sin 2 2sin cos cos2 cos2 sin cos2 1 2sin tan 2 tan Công thức nhân ba sin 3 3sin 4sin cos3 cos3 3cos 3tan tan3 tan 3 3tan2 sin thì 31 – 43, cos thì 43 – 31 hoặc: sin thì 3sin 4sỉn , cos thì cổ 3cô tan cot cot 2 cot c Công thức biến đổi tích thành tổng d Công thức biến đổi tổng thành tích Trang (6) Giaovienvietnam.com sin(a b) cos a.cos b sin(a b) tan a tan b cos a.cos b sin(a b) cot a cot b sin a.sin b sin(b a) cot a cot b sin a.sin b ab a b cos 2 ab a b cos a cos b 2sin sin 2 ab a b sin a sin b 2sin cos 2 ab a b sin a sin b cos sin 2 cos a cos b cos tan a tan b Chú ý: sin cos 2.sin 4 sin cos cos 4 PHẦN NGUYÊN HÀM VẤN ĐỀ Lý thuyết Câu A C Câu Hàm số f ( x) f ( x) f ( x) có nguyên hàm trên K nếu: xác định trên K B có giá trị nhỏ trên K Giả sử hàm số F x D là nguyên hàm hàm số f ( x) f ( x) f x có giá trị lớn trên K liên tục trên K trên K Khẳng định nào sau đây đúng y F ( x ) C f A Chỉ có số C cho hàm số là nguyên hàm hàm trên K f B Với nguyên hàm G trên K thì tồn số C cho G( x) F( x) C với x thuộc K C Chỉ có hàm số y F ( x ) là nguyên hàm f trên K f D Với nguyên hàm G trên K thì G( x) F( x) C với x thuộc K và C Câu f ( x) Cho hàm số F( x) là nguyên hàm hàm số trên K Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai f ( x)dx f ( x) B f ( x)dx F ( x) D f ( x)dx F( x) C A f ( x)dx f ( x) C Câu Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai kf (x)dx k f ( x)dx,( k R) f x g x dx f x dx g x dx C A Trang f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx D B (7) Giaovienvietnam.com Câu Cho hai hàm số Xét các mệnh đề sau: f ( x), g( x) f ( x ), g( x ) là hàm số liên tục, có F( x ), G( x) là nguyên hàm f ( x) g( x) (I) F( x) G( x) là nguyên hàm kf ( x) (II) k.F ( x) là nguyên hàm với k R (III) F( x ).G( x) là nguyên hàm Các mệnh đúng là A.(I) Câu f ( x).g( x) B (I) và (II) C Cả mệnh đề D (II) Mệnh đề nào sau đây sai? ( a;b) và C là số thì ò f ( x) dx = F ( x) +C ( a;b) có nguyên hàm trên ( a;b) B Mọi hàm số liên tục trên F ( x) f ( x) ( a;b) Û F / ( x) = f ( x) , " x Î ( a;b) C là nguyên hàm trên A Nếu F ( x) là nguyên hàm ( f ( x) dx) D ò / f ( x) trên = f ( x) Xét hai khẳng định sau: Câu [ a;b] có đạo hàm trên đoạn đó f ( x) [ a;b] có nguyên hàm trên đoạn đó (II) Mọi hàm số liên tục trên đoạn f ( x) (I) Mọi hàm số liên tục trên đoạn Trong hai khẳng định trên: A Chỉ có (I) đúng C Cả hai đúng Câu Hàm số A Với B Với C Với D Với Câu F ( x) x Î ( a;b) x Î ( a;b) x Î [ a;b] x Î ( a;b) B Chỉ có (II) đúng D Cả hai sai gọi là nguyên hàm hàm số , ta có , ta có , ta có , ta có F / ( x) = f ( x) f / ( x) = F ( x) F / ( x) = f ( x) F / ( x) = f ( x) f ( x) trên đoạn [ a;b] nếu: , ngoài F / ( a+ ) = f ( a) Trong các câu sau đây, nói nguyên hàm hàm số và f F / ( b- ) = f ( b) xác định trên khoảng D , câu nào là sai? " x Î D : F '( x) = f ( x) (I) F là nguyên hàm f trên D và (II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D (III) Hai nguyên hàm trên D cùng hàm số thì sai khác số A Không có câu nào sai B Câu (I) sai C Câu (II) sai Câu 10 Giả sử hàm A B f ( x) F ( x) là nguyên hàm hàm số trên khoảng F ( x) = G ( x) trên khoảng ( a;b) Giả sử G ( x) là nguyên ( a;b) Khi đó: trên khoảng G ( x) = F ( x) - C f ( x) D Câu (III) sai ( a;b) trên khoảng ( a;b) , với C là số F ( x) = G ( x) +C C với x thuộc giao hai miền xác định, C là số D Cả ba câu trên sai Câu 11 Xét hai câu sau: (I) ò( f ( x) + g( x) ) dx = ò f ( x) dx + ò g( x) dx = F ( x) +G ( x) +C , đó (II) Mỗi nguyên hàm Trong hai câu trên: A Chỉ có (I) đúng C Cả hai câu đúng F ( x) a f ( x) và G ( x) tương ứng là nguyên hàm là tích a với nguyên hàm f ( x) , g( x) f ( x) B Chỉ có (II) đúng D Cả hai câu sai Trang (8) Giaovienvietnam.com Câu 12 Các khẳng định nào sau đây là sai? A ò f ( x) dx = F ( x) +C Þ ò f ( t) dt = F ( t) +C f ( x) dx = F ( x) +C Þ ò C ò Câu 13 Câu nào sau đây sai? A Nếu B F '( t) = f ( t) thì / f ( u) dx = F ( u) +C F / ( u( x) ) = f ( u( x) ) é f ( x) dxù = f ( x) ê ú û B ëò D ( k là số) ò f ( t) dt = F ( t) +C Þ ò f ( u( x) ) u'( x) dx = F ( u( x) ) +C C Nếu G ( t) là nguyên hàm hàm số f ( t) dt = F ( t) +C Þ g( t) thì f ( u) du = F ( u) +C G ( u( x) ) ò D ò với Câu 14 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai A ò kf ( x) dx = kò f ( x) dx u = u( x) là nguyên hàm hàm số g( u( x) ) u/ ( x) f ( x) g( x)dx f ( x)dx g( x)dx f ( x) B.Nếu F ( x) và G( x) là nguyên hàm hàm số thì F( x) G( x) C là số f ( x) 2 x C F( x) x là nguyên hàm D F( x) x là nguyên hàm f ( x) 2 x VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm số hàm số đa thức Câu 15 Câu 16 C (ĐỀ THI TNTHPT 2021) Cho hàm số f ( x ) x Khẳng định nào sau đây đúng? A f ( x)dx x f ( x)dx x 3x C 3x C Câu 17 Nguyên hàm hàm số B D f x x3 x f ( x)dx x3 3x C f ( x)dx 2 x C là hàm số nào các hàm số sau? x 3x F x 2x C B x F x 3x x C A Trang (9) Giaovienvietnam.com C x4 x2 2x C F x 5 x x x 120 C F x Câu 18 Hàm số F x 3x 3x C D là họ nguyên hàm hàm số nào sau đây? A f x 5 x x C f x y x 3x x là Câu 19 Họ nguyên hàm hàm số: x F x x ln x C A C F x 2 x C C x x 2x C Câu 21 Biết hàm số f x 2 x 3x T phân số tối giản Tính giá trị biểu thức T T A B Câu 22 Biết hàm số f x x 1 Câu 23 Một nguyên hàm x3 x ln x C B F x 2 x C x D a bc a.b.c có nguyên hàm là F x x3 C thỏa D F x x A T hàm số T F 1 0 D B D F x 2 x f x 2 x x 3 B C x 1 Câu 25 Nguyên hàm A F x D biết F 2 F x 2 x x F x 2 x f x 2 x x 19 x3 3 hàm số thỏa mãn điều kiện F x 4 B Trang là: F x 2 x a a 2x c C a , b , c b với và b là F x 2 x T F x F x x3 x Câu 24 Tìm nguyên hàm T a b c a.b.c F x x3 2 F x x 2x C 3 B x F x x2 2x C 3 D b b F x ax x C c có nguyên hàm là với a, b, c và c là phân số tối giản Tính giá trị biểu thức T T A B F x f ( x) 3 x C f x 15 x x C T A D f x x 1 x F x f x 5 x x F x x3 x ln x C Câu 20 Tìm nguyên hàm hàm số A B 5x 4x x F x F x 2 x x F 0 là (10) Giaovienvietnam.com x4 F x x3 x C f x x3 x x Câu 26 Cho hàm số A F x C Gọi F x x4 x3 49 x2 x 12 F x D F x x3 x x F 1 4 là nguyên hàm f ( x) , biết thì: B F x x x3 x2 x F x x x3 x2 x 3 x x x2 x D f ( x) ( x 1) Câu 27 Biết hàm số F( x) có nguyên hàm là x3 bx cx C a với a , b , c Tính giá trị biểu thức T a b c B T 3 A T 1 f x x Câu 28 Biết hàm số C T 5 có nguyên hàm là F x D T 10 x 3 a C b với a , b Tính giá trị biểu 2 thức T a b A T 5 B T 25 C T 50 D T 10 Câu 29 Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng 2 1 1 x dx x dx x x A 1 1 2x x dx 2 2x x dx B 1 1 1 x x dx 2x x dx. x x dx C 1 x x dx 4x dx dx x2 dx 4xdx D Câu 30 Cho hàm số điểm M 1; A C f x x x 1 Nguyên hàm x F x x F x 1 4 1 5 F x Biết F x xdx 4dx y F x là nguyên hàm f ( x) ; đồ thị hàm số qua là B D x F x x F x 1 5 1 x xy C f ( y ) dy Câu 31 Hãy xác định hàm số f ( x ) từ đẳng thức: A f x 2 x Câu 32 Cho B f ( x ) x C f ( x ) 2 x f (x)dx F(x) C Khi đó với a 0, ta có f (a x b)dx bằng: 1 F(a x b) C F(a x b) C F(a x b) C A 2a B C a 2 f x dx f ( x)dx x x C Câu 33 Cho D Không tính Khi đó Trang 10 bằng: D F(a x b) C (11) Giaovienvietnam.com x5 x3 C A B x x C Câu 34 Cho hàm số A f e y f x B thỏa mãn y ' x y và f e Câu 35 Tìm giá trị thực f x x x 3 x x C C f 1 1 f 2 thì C D Không tính bao nhiêu? f 2e D f e m để F x mx x 3x là nguyên hàm hàm số A m B f x 1 x Câu 36 Cho m C m 1 Một nguyên hàm F x f x thỏa F 1 1 D A x x x2 x C1 x 0 2 x x C x C x x C1 x 0 x2 C2 x x D Câu 37 Cho hàm số f 1 thỏa mãn f là: x2 x x 0 2 x x C x B f x m x 4 x3 f x f 25 và với x Giá trị bằng? 41 A 100 1 B 10 391 C 400 1 D 40 a b S x x 1 dx a x 1 b x 1 C a.b Câu 38 Biết , với a, b Tính giá trị 1 S 2 A Câu 39 Biết A 2020 2020 B S 2 2020 B S 2 3x 2019 (2020 x ) A S 2020 Câu 41 Cho C S 1 2020 2022 2021 x(1 x) dx a( x 1) b( x 1) C S 4043 Câu 40 Biết 2020 f x dx dx a (2020 x ) C B S 1 x x3 2020 C Khi đó 27 x 2020 3x3 C A , với a, b Tính giá trị C S 2020 b S C S 4 f 3x dx là: a.b a b D S 2020 , với a ; b Tính giá trị 3x x3 2020 C B Trang 11 D S 0 S a.b D S 2019 2020 (12) Giaovienvietnam.com 27 x x3 2020 C C 10 x( x 1) dx Câu 42 Cho t 10 t C 10 A Nếu đặt t x thì x4 2020 x3 C D f t dt là t 10 t C 10 B t 12 t 11 C 12 11 C t12 t11 C 12 11 D VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm số hàm số hữu tỉ Câu 43 Nguyên hàm hàm số f x x – 3x x 3x 2019ln x C A F(x) = x 3x 2019 ln x C C F(x) = dx 3x bằng: Câu 44 C C 2 3x 3x f (x) 2019 x là x 3x 2019 ln x C B F(x) = x 3x 2019 ln x C D F(x) = ln 3x C A B C y (x 1) : Câu 45 Hàm nào không phải nguyên hàm hàm số x 2x 2 A x B x C x 1 f (x) (x 2) là: Câu 46 Họ nguyên hàm F(x) hàm số A F(x) C x B Đáp án khác P( x ) Q( x ) C F(x) 1 C x D ln 3x C x 1 D x F(x) D 1 C (x 2)3 x 1 Câu 47 x Tính dx A Một kết khác ta kết nào sau đây? x3 x2 C B x6 x C x4 C f (x) Câu 48 Hàm số nào đây không là nguyên hàm hàm số x2 x x 1 A x2 x x 1 B x3 x y x Câu 49 Nguyên hàm hàm số là: Trang 12 x x 1 x 1 C x3 C D 2x x(2 x) (x 1)2 ? x2 D x (13) Giaovienvietnam.com x3 x ln x C A x3 x2 ln x C B Câu 50 Tìm nguyên hàm hàm số A f ( x)dx C f ( x) x3 x4 3x4 C 2x4 B C f x 1) C f x dx x ln x C Nếu f x x f ( x)dx ln( x f ( x)dx ln( x D A C x x ln x C f ( x)dx x ln( x 1) C Câu 51 x3 x ln x C D thì hàm số f x 2x 1) C là 1 x2 x B 1 f x 2x x D f x ln x x2 f x Câu 52 Nguyên hàm 3 C A x x 1 là: 1 C B x x 2x f x x 1 Câu 53 Một nguyên hàm là : 2 x x 3x ln x 3x+6 ln x A B C C x 1 C D x x2 3x-6 ln x C x2 3x+6 ln x D Câu 54 Tìm nguyên hàm: x(x 3)dx x ln C x A x 3 ln C x B dx Câu 55 Tìm F x = ? x x x ln C x C x F x = ln C x 1 A x F x = ln C x2 B x 1 F x = ln C x C Câu 56 A x x ln C x D F x = ln D x C x 1 dx 6x bằng: C x 3 C B x C C x dx 2 Câu 57 Nguyên hàm hàm số: y = a x là: a x a x x a ln ln ln a x +C a x +C x a +C A 2a B 2a C a x3 dx Câu 58 Tìm nguyên hàm x 3x Trang 13 C D x x a ln x a +C D a (14) Giaovienvietnam.com x3 dx 2 ln x ln x C 3x x3 dx 2 ln x ln x C C x 3x A x x3 dx 2 ln x ln x C 3x x3 dx ln x ln x C D x x B x 2 f x x x 2 Câu 59 Hàm số nào đây không là nguyên hàm hàm số x 1 x2 x x 1 A x2 x x2 B x C x x2 f x x x Khẳng định nào sau đây là sai? Câu 60 Cho hàm số 1 f x dx ln x x C A f x dx ln x x C C 5x dx Câu 61 Kết x 3x bằng: A C ln x ln x C ln x ln x C f x dx ln x D B D Nguyên hàm (với C số) là x 2 x C x C ln x ln x C ln x ln x C dx 1 x x C C A x B x 4x dx 4x 2x Câu 63 bằng: C A 4x 2x C f x dx ln x B 2x Câu 62 x2 x D x 1 C C x B D ln x C C 4x 2x ln 4x 2x C D ln 4x 2x C x và F 1 Tính F Câu 64 Biết là nguyên hàm F 3 F 3 F ln F ln A B C D x3 f ( x) x , biết F(1) 0 Câu 65 Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f x F x A F( x) x2 1 x B x2 1 x2 F(x) x 2 x C D b f x ax x 0 F x F 1 1, x hàm số , biết F( x) Câu 66 Tìm nguyên hàm x2 x F( x) F 1 4, f 1 0 3x2 F x 2x A 3x2 F x 2x B Trang 14 (15) Giaovienvietnam.com C F x 3x2 4x D F x 3x2 2x x 3x 3x 1 f (x) F(1) x 2x biết Câu 67 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số 2 13 F(x) x x 6 F(x) x x x 1 x 1 A B C F(x) x2 13 x x 1 D F(x) x2 x 6 x 1 x 1 x biết F(1) = Câu 68 Tìm nguyên hàm F(x) x2 1 x2 x2 1 F(x) F(x) F(x) x B x 2 x A C C f (y)dy x y Câu 69 Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: f (x) A y3 B y3 C y3 D F(x) x2 x D Một kết khác 3 F 0 f (x) x 3x thỏa mãn Câu 70 Gọi F(x) là nguyên hàm hàm số Khi đó F(3) bằng: A 2ln2 B ln2 C -2ln2 D –ln2 x f (x) , F(0) 0 x 2x Câu 71 Nếu F(x) là nguyên hàm hàm thì số C 3 ln ln ln ln A B C D x 3x 3x f (x) (x 1) Câu 72 Tìm nguyên hàm hàm số với F(0) = là: x2 x x 1 A x2 x x 1 B x2 x x 1 C D Một kết khác f (x) x 6x Một học sinh trình bày sau: Câu 73 Để tìm họ nguyên hàm hàm số: 1 1 1 f (x) x 6x (x 1)(x 5) x x (I) 1 , ln x , ln x (II) Nguyên hàm các hàm số x x theo thứ tự là: 1 x1 (ln x ln x C C x (III) Họ nguyên hàm hàm số f(x) là: Nếu sai, thì sai phần nào? A I B I, II C II, III D III ax f x F x x 5 a x Câu 74 Tìm giá trị thực để là nguyên hàm hàm số A a 6 Câu 75 Biết x B a C a D a 1 x a a dx ln x C 5x b , với b là phân số tối giản Tính S = a + b? Trang 15 (16) Giaovienvietnam.com A S 4 B S 2 C S 3 5x2 8x x 1 x Câu 76 *Biết F ( x) là nguyên hàm dx D S 5 1 F 26 với x và Giá trị nhỏ F ( x ) là: A 24 Câu 77 B 20 25 x Biết C 25 1 dx C a 5x 20 x A a 4 D 26 Với a là số nguyên Tìm a ? B a 100 C a 5 D a 25 x 1 Câu 78 x 1 x dx a ln x b ln x C Biết Tính giá trị biểu thức a b A a b 5 B a b 1 Câu 79 Nguyên hàm A C F x hàm số F x ln x ln x F x ln x ln x f x C a b 2 x x x là hàm số nào? C x C x x2 x 1 dx ax b ln | x 1| C x Câu 80 Biết , với A S 2 2020 B S 1 D a b 1 F x ln x ln x C x B F x ln x ln x C x D S 2020 a.b a ; b Tính giá trị C S 2 S D x2 1 b x dx ax x cx C Câu 81 Biết , với a ; b, c Tính giá trị S a b c S S S S 2 B C D A x2 2x dx ax bx c ln x C x 1 Câu 82 Biết , với a ; b, c Tính giá trị S 2a 3b 5c S 0 B S 3 C S 8 D S 20 A x4 b f x F x ax3 C x x Câu 83 Hàm số có nguyên hàm là với với a ; b Tính giá trị biểu thức A T T a b a.b B T 1 C T D T a b c 3x S dx ax b ln x c C a.b.c Câu 84 Biết x , với a, b, c Tính giá trị S S S S 1 21 B C D A Trang 16 (17) Giaovienvietnam.com Câu 85 Biết A S x 1 x 2 dx a ln x b c ln x d 2020 B S 2 2020 C S a.b.c.d , với a, b, c, d Tính giá trị 2020 2020 C S D S 3 2020 x 1 dx a ln x b c ln x d C 3x Câu 86 , với a, b, c, d Tính giá trị S a b c d S 4 B S 8 C S 7 D S 9 A a.b 2x S dx a ln x b ln x C a b Câu 87 Biết x x , với a, b Tính giá trị S S S S 3 A B C D x x f ( x) x 1 Biết x Câu 88 Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm hàm số: A F ( x) là: 2 x x x 1 B F ( x) x x 1 x 1 C F ( x) x x 1 D F ( x) x2 x x 1 a.b x S dx a ln(b x ) C a b Câu 89 Biết x , với a ; b Tính giá trị A S 1 1 S 2 C B S Câu 90 Biết x 2x 9 dx a b.x 9 2019 2019 1 S 2 D 2019 C , với a ; b Tính giá trị S a b S S S 3 A B C D x a f ( x) F x ln | x cx | C x x có nguyên hàm là b Câu 91 Biết hàm số với a, b, c và S a a b c T b là phân số tối giản Tính giá trị biểu thức a.b.c 1 S S S S 8 8 A B C D x dx a x x a ln b x C a; b S b Câu 92 Biết , với Tính giá trị 5 16 S S S S 16 16 A B C D a bc d dx S b ln x c ln d x C ax b Câu 93 Biết x x , với c ; a, b, d Tính giá trị S A Câu 94 Cho x B S 2 S C D S 2x 3 dx ln x ln x C f 2020 x dx 4x 2 Khi đó bằng: Trang 17 (18) Giaovienvietnam.com A ln 2020 x ln 2020 x C C x x 1 dx ln x 1 x 1 C Câu 95 Cho A C ln x ln x C 4040 B 4040 ln 2020 x ln 2020 x C 4040 D 4040 1010 ln x 3030 ln x C 2020 ln x 2020 ln x Khi đó C x 1 f x 2020 dx bằng: B 2020 C x 1 ln x 2021 D C x 2021 ln x 2020 C x 2020 VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm số hàm số vô tỉ Câu 96 Nguyên hàm hàm số f x 3 x là: 3x x C A B f x x x là: Câu 97 Nguyên hàm hàm số 2 F x C F x C x x A B F x x C F x 5 x x dx Câu 98 bằng: 5 5ln x x C 5ln x x C 5 A B Trang 18 C C C F x 4x C 33 x F x x C 5ln x x C F x D D D 4x 3 x2 C F x x C 5ln x x C (19) Giaovienvietnam.com x x x x2 Câu 99 Nguyên hàm hàm số là: x 1 x 1 2 x 1 x F x C F x C F x C F x C x x x x A B C D 3 x x dx Câu 100 Tìm nguyên hàm: 5 5 5 5 x C x C x C x C A x B x C x D x x x x dx Câu 101 Tìm nguyên hàm: f x x ln x x C A 4 x ln x x C C 4 x 2ln x x C B 4 x 2ln x x C D 3 x f ( x) Câu 102.Tìm nguyên hàm hàm số f x dx x C f x dx 2 x C C f x dx x C f x dx 3 x C D A B Câu 103.Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) x f x dx 3x A 3x C f x dx 3x B f x dx 3x 3x C 3 4 x x dx Câu 104 Tìm nguyên hàm: 53 x ln x C x ln x C A B 5 3x f x dx 3x C D 33 x 4ln x C C 33 x ln x C D Câu 105.Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) x 2 x 2 C A f x dx x x C f x dx f x dx x B f x dx x D x C x C Câu 106.Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) 3x f x dx 3x A f x dx 3x C 3 1 3x C f x dx 3x B 3x C D f x dx 3x 3 3x C C Câu 107 Tìm họ nguyên hàm hàm số f (x) x x x ? 3 4 F(x) x x x C A 2 4 F(x) x x x C B Trang 19 (20) Giaovienvietnam.com 23 43 54 F(x) x x x C 3 C 32 13 54 F(x) x x x C 3 D f (x) x 9 x Câu 108 Tìm nguyên hàm hàm số f(x) biết x 9 x3 C A 27 B Đáp án khác C 3 x 9 x3 C 3( x x ) C D 27 Câu 109 Một nguyên hàm hàm số: f ( x ) x x là: A F ( x) x x2 x2 F ( x) C B F ( x) 1 x2 F ( x) x x2 D y x2 Câu 110 Hàm số nào đây là nguyên hàm hàm số: A 1 x x2 F ( x ) ln x B C F ( x ) 2 x y Câu 112 Tìm hàm số Câu 114 Cho B x2 C x F x , F x x x 3 A dx Câu 113 Cho A M 3 2x biết F x là nguyên hàm hàm số F x B f x dx 1 x C a x b ln 2 x 1 C Khi đó: P x ln x x C D Đáp án khác f x x F x x x và F 1 1 F x x x 2 D 2x C với a, b Tính M a b C M 0 D M 2 B M f 2x dx bằng: A x C C C x x x B C D 20x 30x f (x) x F x ax bx c 2x 2x Để hàm số F x Câu 115 Cho các hàm số: ; với là nguyên hàm hàm số f (x) thì giá trị a, b, c là: C F ( x) ln x x x2 1 x là: A P x x x C C D F ( x ) x x Câu 111 Nguyên hàm hàm số P x ln A a 4; b 2;c 1 B a 4; b 2;c C a 4; b 2;c 1 D a 4; b 2;c Câu 116 Hàm số f (x) x x 1 có nguyên hàm là F(x) Nếu F(0) 2 thì giá trị F(3) là Trang 20 (21) Giaovienvietnam.com 116 A 15 B Một đáp số khác f (x) Câu 117 Gọi F(x) là nguyên hàm hàm số nghiệm là: A x = B x = 146 C 15 x 886 D 105 x thỏa mãn F(2) =0 Khi đó phương trình F(x) = x có D x 1 C x = -1 Câu 118 Một học sinh tìm nguyên hàm hàm số y x x sau: (I) Đặt u = - x ta y (1 u) u 2 (II) Suy y u u 2 F(x) u u C (III): Vậy nguyên hàm 2 F(x) (1 x) x (1 x) x C (IV) Thay u = - x ta được: Lập luận trên, sai thì sai từ giai đoạn nào? A II B III C I D IV 4x ax f x F x x 1 x là nguyên hàm hàm số Câu 119 Tìm giá trị thực a để A a 4 B a 5 D a 10 x x f x 2x 2x là nguyên hàm hàm số trên khoảng F x ax bx c Câu 120 Cho C a 1 ; 2 Tính S a b c A S 3 B S 0 C S F x ax bx c x D S 2 Câu 121 Cho là nguyên hàm hàm số f x 20 x 30 x 2x trên 3 ; Tính P abc khoảng A P 0 C P 4 B P 3 f x Câu 122 Hàm số nào đây là nguyên hàm hàm số A F x ln x x C B C D x 1dx a 3x 1 Câu 123 Biết a b A 31 Câu 124 Tính x 1 x trên khoảng ; ? b C 2x x2 C , với a, b Khẳng định nào sau đây đúng? a.b B x 3dx F x ln x C F x F x 1 x C D P Nếu đặt t x thì: Trang 21 a b 31 C a.b 31 a b 18 D (22) Giaovienvietnam.com x 3dx t dt A x C x x 3dx t tdt x3 Câu 125 Cho A x x D x 3dx tdt x 3dx t dt 2 x 2 x2 C f x dx Khi đó bằng: 1 x2 C 4x2 2 x2 C B 1 x x2 B dx 1 x 2 x2 C x2 2 x2 C C D x dx ln x x C f x dx Câu 126 Cho Khi đó bằng: A C ln x x C ln x x 1 ln x 1 D B C Câu 127 Biết A S 1 ln x x C x2 x C 2020 a.b S x 1 C a b , với a; b Tính giá trị 2020 2020 1 1 S S 2 2 B S C D dx a x b ln x 1 Câu 128 Nguyên hàm hàm số: I x x 1dx là: 2 F x x 1 x 1 x 1 x 1 x C 9 A 6 2 F x x 1 x 1 x 1 x 1 x C 9 B 6 2 F x x 1 x 1 x 1 x 1 x C 7 9 C 6 2 F x x 1 x 1 x 1 x 1 x C 9 D dx a.b.c a 2x b ln 2x c C S a ; b ; c 2x a b c Câu 129 Biết , với Tính giá trị A S 1 B S C S 16 D S 16 3 x x x dx ax b ln x c x C Câu 130 Biết , với b ; a, c Khẳng định nào sau đây đúng? a b c a.b.c A a b c 2 B C a.b.c D 3a b 3c 8 b d x x 7.dx a x c x C Câu 131 Biết , với a; b; c; d Tính giá trị S a b c d 137 S 308 A 308 S 137 B 135 S 508 C a b c x3 a S dx ln x c C b.c b Câu 132 Biết x , với a; b; c Tính giá trị Trang 22 508 S 135 D (23) Giaovienvietnam.com A S Câu 133 Biết A S A x 2 x Câu 134 Biết S B S dx a x b x C B S 2020 x 1 x 1 S C , với a ; b Tính giá trị S C dx a x ln bx x c C B S 2020 Trang 23 D S 1 S D S 5 , với a, b, c Tính giá trị C 1010 a b a S a b c 2020a D 3030 (24) Giaovienvietnam.com VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm số hàm số mũ và logarit x x Câu 135 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) e e x x x f x dx e e C A f x dx e e C C x x f x dx e e C B f x dx e e C D x x x x 2x Câu 136 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) 2 x x 2 f x dx ln ln C A x 2 f x dx ln ln C C 9 f x dx ln ln C B x 2 f x dx ln ln C D x x Câu 137 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) e (3 e ) là x A F ( x ) 3e x C F ( x ) 3e x C Câu 138 Hàm số A x x x B F ( x) 3e e ln e C C ex x D F ( x ) 3e x C F x 7e x tan x f x 7e x tan x là nguyên hàm hàm số nào sau đây? B x e f x e x cos x C f x 7e x cos x f x 7 e x cos x D x Câu 139 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) e f x dx e A f x dx e C x x C A f x dx C f x dx D C f x e C e2 x C 3x e3 x C 3 e 2 x B Câu 140 Tìm nguyên hàm hàm số f x dx f x dx e B f x dx 3x 2e e3 x C x 2 f x dx 3x C D C Câu 141 Kết nào sai các kết sao? 2x 1 5x 1 dx x x C x 10 5.2 ln ln A x2 x 1 1 x dx ln x x C C B x4 x dx ln x C x 4x tan D xdx tan x x C Câu 142 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai: x4 x2 x x dx C A e B Trang 24 2x dx e x C (25) Giaovienvietnam.com C sin xdx cos x C D A F x Câu 144 x x C e 2 5x 4x dx e 2 5x F x C C e5x F x C 5e D 3x 4x C B ln ln 4x 3x C C ln ln 3x 4x C D ln ln x 1 B C x 1 C C ln x 1 D ln C bằng: x C A ln ln x 1 2 dx Câu 145 f x dx ln x e 2 5x là: F x 2 5x C e B Câu 143 Nguyên hàm hàm số x x 1 A ln Câu 146 Nguyên hàm hàm số x f x 31 2x.23x là: x 8 F x C ln A 9 F x 3 C ln B f x e3x 3x Câu 147 Nguyên hàm hàm số x 8 F x 3 C ln C là: x F x A F x C 3.e C ln 3.e F x 3 3.e B x ln 3.e3 x 8 F x 3 C ln D e3x C ln 3.e3 x C D F x 3.e ln C x 1 3x dx Câu 148 bằng: 3x ln C ln 3x A 9x 2x C x C ln 2.9 ln Câu 149 3.2 x x dx B x 9 x ln D 2x C bằng: x 2 2x x C x C A ln B ln x 2022 dx F x C Câu 150 Gọi x A 2022 ln 2022 3x x C ln 3 ln 2x x C C 3.ln F x , với C là số Khi đó hàm số x 1 B 2022 Câu 151 Nguyên hàm hàm số f x x C 2022 3x 1 4x là: Trang 25 D 2x x3 C ln 2022 x D ln 2022 (26) Giaovienvietnam.com x x 4 F x 3 C ln A 2x x x 2 dx Câu 152 3 F x C ln B C F x x C là x 22x.3x.7 x C B ln 4.ln 3.ln x ln x dx 84 C A ln 84 Câu 153 Để tính x C 84 C x D 84 ln 84 C theo phương pháp nguyên hàm phần, ta đặt: u x ln x dv ln x dx B u ln x dv xdx A f x xe x Câu 154 Họ nguyên hàm hàm số A x 3 F x 3 C ln D xe x e x C F(x) x 2e x dx u ln x dv dx D là: x2 x e C C x x B xe e C Câu 155 Tìm họ nguyên hàm u x ln x dv dx C x D e C ? A F(x) (x 2x 2)e C x B F(x) (2x x 2)e C F(x) (x 2x 2)e x C x D F(x) (x 2x 2)e C C Câu 156 x.e x x 1 dx bằng: x 1 e C A e Câu 157 x x dx x B e 1 x C 2e C 1 C x D x e 1 x x B e C A e C Câu 158 Nguyên hàm hàm số: C e C I x ln xdx A D e là: x ln x x C 16 A F(x) = 4 x ln x x C 16 C F(x) = H 4 x ln x x C 16 B F(x) = 4 x ln x x C 16 D F(x) = H x3x dx 3x (x ln 1) C ln B H 3x (x ln 2) C ln x C H (x ln 1) C ln Câu 160 Một nguyên hàm A x.e x 1 bằng: x Câu 159 Tính D Một kết khác f x 2x 1 e x B 1 e x Trang 26 x là 1 x C x e x D e x C C (27) Giaovienvietnam.com Câu 161 Tính 2 x 2 x ln dx x , kết sai là: C x A B C 2x 1 5x f (x) 10x Câu 162 Cho hàm số Khi đó: f (x).dx 5x.ln 5.2x.ln C A 5x 5.2 x f (x).dx C ln ln C x 1 C C D f (x).dx 5 B D f (x).dx x 2 x 1 C C x ln 5.2 ln 5x 5.2 x C ln ln 3x e 1 e x là: Câu 163 Một nguyên hàm 1 F( x) e x e x x F ( x) e x e x 2 A B dx x e 1 Câu 164 f ( x) ex ln x 2e A 2e x ln x B e Câu 165 Nguyên hàm hàm số f x F ( x) e x e x C ln C ex e x 1 F( x) e x e x D D ln e x 1 ln 2 ln x x ,x 0 x là: ln x C A x B ln x C ln x dx x Câu 166 bằng: 3 ln x C ln x C A B ln x ln x x ln x C D x x C C 2 C ln x C D ln x C ln ln x I dx x Câu 167 Tính nguyên hàm kết nào sau đây: A I ln x.ln ln x C B I ln x.ln ln x ln x C C I ln x.ln ln x ln x C D I ln ln x ln x C Câu 168 Xác định a,b,c để hàm số F(x) (ax bx c)e x f (x) (x 3x 2)e A a 1, b 1,c B a 1, b 1, c 1 Câu 169 Gọi F(x) là nguyên hàm hàm A B Câu 170 Cho là nguyên hàm hàm số x x.e A 2b a 0 2x dx a.x.e x b.e x C C a 1, b 1, c D a 1, b 1,c 1 ln x F(1) x mà Giá trị F (e) bằng: C D y ln x Mệnh đề nào đây là đúng B b 2a 0 f ( x ) x.ln x Câu 171 Cho F ( x) là hàm số , biết Trang 27 C b a F(1) Tìm F( x) D b a (28) Giaovienvietnam.com x3 F( x) x ln x A x3 F( x) x ln x 3 B C F( x) x ln x x3 3 x ln x Câu 172 Biết A P 0 D dx x a ln x b ln x c B P 27 x3 1 Giá trị biểu thức P ab c là: C Câu 173 Cho F ( x) là nguyên hàm hàm số F( x) x ln x P 27 f ( x) x.e x D P 1 thỏa mãn điều kiện F(0) Tính tổng S các nghiệm phương trình F( x) x 0 A S B S 0 f ( x) ( ax bx c).e x Câu 174 Gọi A a 2b 3c A A 6 A F x C A 9 là nguyên hàm hàm số x 1 e x B F x D S là nguyên hàm hàm số B A 3 F x Câu 175 Gọi F x C S 2 f x xe 2x g( x) x(1 x).e x Tính D A 4 1 F 0 F x thỏa Khi đó là 1 x 1 e x F x x 1 e x 2 C D x 1 e x x Câu 176 Biết A F x là nguyên hàm hàm số F 4 e2 4 B F 3 f x xe C F x (2 x 1)e 1 x dx e 1 x ( Ax B) C Câu 177 Tính A B và f F 4e Tính F 4 D F 4 e Giá trị biểu thức A B bằng: C D ln x F e 4 F e x Câu 178 là nguyên hàm hàm số và Tính ? F ( e) = F ( e) = F ( e) =+e 2 A B C D f x x F x e thỏa mãn F ln Tìm tập nghiệm S Câu 179 Cho là nguyên hàm hàm số y F x phương trình A S = { ±3} F x ln e x 1 3 S = { 3} C S = Æ f x dx D S = { - 3} x ln x và F 1 0 Tính F e 1 F e F e F e 2 F e 2 A B C D ln x f x ln x F 1 F x x thoả mãn Giá trị Câu 181 Biết là nguyên hàm hàm số Câu 180 Biết F x B là nguyên hàm Trang 28 (29) Giaovienvietnam.com F e là A B C F 1 B 2020 a b có giá trị là: A 13 B F x x xe xe x 13 D 2020 , đó a, b , c là các số Khi đó, tổng C 13 D 13 x x Câu 184 Cho A C 2018 I e x cos3xdx e x a cos 3x b sin x c Câu 183 Biết x ln x có đồ thị qua điểm e; 2020 là A 2018 x ln x f ( x) Câu 182 Biết hàm số F ( x) là nguyên hàm hàm số Khi đó D dx , biết F 2 Tìm xe x x 1 e x B x y f x F x ex 1 C x 2e x D x f x sin x dx - f x cosπ x thỏa mãn hệ thức Câu 185 Cho hàm số là hàm số nào các hàm số sau? πx f x lnπ A πx f x lnπ B C f x π x ln π x cosx dx D Hỏi y f x f x π x ln π f ( x) x 1 e x F ( x ) Câu 186 Tìm nguyên hàm hàm số thỏa mãn điều kiện F(1) e A F( x) 4x e x B F( x) x e x 9e C F( x) x e x e D F( x) 4x e x Câu 187 Cho F( x) ax bx c e x A S 12 là nguyên hàm hàm số B S 0 f ( x) x e x C S 10 Tính S a b c D S 14 a ln x F( x) (ln x b) f ( x) x x2 Câu 188 Cho là nguyên hàm hàm số Tính S a b A S 0 B S 2 C S D S 1 Câu 189 Biết A P 2 ln xdx x( a ln x b ln x c) d B P Tính P abc C P 4 D P (x a) cos 3x sin 3x 2017 b c thì tổng S a.b c bằng: A S 14 B S 15 C S 3 D S 10 Câu 191 Gọi F(x) là nguyên hàm hàm y x.cos x mà F(0) 1 Phát biểu nào sau đây là đúng: A F(x) là hàm chẵn B F(x) là hàm lẻ (x 2) sin 3xdx Câu 190 Một nguyên hàm C F(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 Câu 192 Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: Trang 29 D F(x) không là hàm chẵn không là hàm lẻ e u e v C f (v)dv (30) Giaovienvietnam.com v A e u B e Câu 193 Cho hai hàm số f(x) v C e F(x) ln(x 2mx 4) vaø f (x) A B F x ax bx c e A S 4 2x x 3x Định m để F(x) là nguyên hàm 2 C Câu 194 Biết hàm số S a 2b 3c u D e D x B S 6 là nguyên hàm hàm số f x x x 3 e x C S 10 Tính D S 7 cosxesinx ; x f x ; x 0 x Câu 195 Cho Nhận xét nào sau đây đúng? cosx ; x e F x 2 x ; x 0 là nguyên hàm f x A esinx ; x F x f x x ; x 0 B là nguyên hàm cosx ; x e F x x ; x 0 là nguyên hàm f x C D esinx ; x F x x ; x 0 là nguyên hàm f x 2x 2x Câu 196 Cho F ( x) x là nguyên hàm hàm số f ( x )e Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)e f ( x )e A 2x dx x x C f ( x)e 2x dx 2 x x C C f ( x )e B D x 2x f ( x)e dx x x C 2x dx x x C 2x 2x Câu 197 Cho F ( x ) ( x 1)e là nguyên hàm hàm số f ( x)e Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)e A C f ( x)e B 2x x f ( x )e dx (4 x)e C f ( x)e Câu 198 Cho 2x dx (2 x)e x C F ( x) ln x ln x f ( x) ln xdx x C Câu 199 Cho f ( x)e D dx 2x 2 x x e C dx ( x 2)e x C f ( x) 3 x là nguyên hàm hàm số x Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) ln x f ( x) ln xdx x A F ( x) 2x C x5 f ( x) ln xdx x B ln x C 3x3 f ( x) ln xdx D C 5x5 ln x C x 3x f ( x) 2 x là nguyên hàm hàm số x Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) ln x Trang 30 (31) Giaovienvietnam.com ln x C x 2x f ( x) ln xdx x B ln x C x2 x f ( x) ln xdx x D A f ( x) ln xdx C f ( x) ln xdx ln x ln x e2 x x x dx Câu 200 Cho e Nếu đặt t e thì t ln t C t.ln t C C x2 C 2x2 f t dt là C t ln t C B A D ln t C c ln x 3 F x a ln x b ln x 3 f x x x2 Câu 201 Biết là nguyên hàm hàm số Tính S a b c S S S 3 A S B C D 1 f x x F ln F x e và Câu 202 Cho là nguyên hàm hàm số Tập nghiệm S phương trình 3F x ln x3 3 2 A S 2 là: B S 2; 2 C S 1; 2 D S 2;1 e x e x b a b x S e x e x dx a ln e e x C a.b Câu 203 Biết , với a, b Tính giá trị A S 1 B S 4 C S 9 D S 16 x 1 e Câu 204 Biết x x 3 a b A Câu 205 Biết đúng? x dx a.e x x b C , với a , b Khẳng định nào sau đây đúng? a b B C 2a b ln x dx a (1 ln x )b c ln x C ln x , với a , b, c Khẳng định nào sau đây 1 a b c a b c A B C 3a b c 1 a dx C c S a.b.c a , b , c x ln x b ln x Câu 206 Biết , với Tính giá trị S 81 S 225 S 256 A B C dx f t dt Câu 207 Cho x ln x Nếu đặt t 2ln x thì là t C 2t C t C B C A ln x 3 Câu 208 Biết A S 48 x.e Câu 209 Biết A S 1 D a 2b x x2 a ln x b dx c B S 6 a b c D D S 196 t C D C , với a, b, c Tính giá trị S a.b.c C S 8 D S 24 a dx e x C b , với a, b Tính giá trị S a.b B S 2 C S Trang 31 D S (32) Giaovienvietnam.com ln x dx a ln x b ln c x C 2020 b c x , với a, c ; b Tính giá trị S a 13 S 22020 S S 22020 4 A B C D Đáp án khác x ln x ln(ln x) dx f t dt Câu 211 Cho Nếu đặt t ln(ln x) thì là Câu 210 Biết A 2ln ln t C B ln t C x ln x x Câu 212 Biết x 1 dx C ln t C D ln ln t C x a ln bx x cx C , với a, b, c Tính giá trị S a 2020 b 2019 c 2018 2020 A S 2 2020 B S 2 C S 3 D S 2 VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm số hàm số lượng giác Câu 213 Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai f ( x) sin x A F( x) 2019 cos x là nguyên hàm hàm số f ( x) B.Nếu F ( x) và G( x) là nguyên hàm hàm số thì C , D là các số, C 0 Trang 32 F( x) g( x) dx có dạng h( x) Cx D với (33) Giaovienvietnam.com u '( x) C 2 u( x) dx u( x) C f (t )dt F(t) C f [u( x)]dx F[u( x)] C D Nếu thì Câu 214 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A Nếu ò f ( t) dt = F ( t) +C F ( x) ò f ( u( x) ) u ( x) dx = F ( u( x) ) +C / thì G ( x) B Nếu và là nguyên hàm hàm số C, D là các số và C ¹ ) C F ( x) = + sin2 x u ( x) là nguyên hàm f ( x) f ( x) = sin2x thì ò éëF ( x) - G ( x) ù ûdx có dạng h( x) = Cx + D ( / ò u( x) dx = u( x) +C D Câu 215 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A Nếu số) F ( x) u/ ( x) B C D ò u( x) f ( x) là nguyên hàm hàm số f ( x) thì nguyên hàm có dạng dx = log u( x) +C F ( x) = 1+ tan x F ( x) = 5- cos x là nguyên hàm hàm số là nguyên hàm hàm số f ( x) = 1+ tan2 x f ( x) = sin x Câu 216 Xét các mệnh đề sau, với C là số: (I) tan x dx ln cos x C e (II) 3cos x sin x dx 3cos x e C cos x sin x sin x cos x dx 2 (III) Số mệnh đề đúng là: A sin x cos x C B Câu 217.Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) sin x 1 sin xdx cos x C B sin xdx cos x C A C D C sin xdx cos x C D sin xdx cos x C Câu 218 Một nguyên hàm hàm số y sin 3x A cos3x B 3cos3x C 3cos3x f ( x) cos 3x 6 Câu 219.Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)dx sin 3x C A B C f ( x) 1 tan Câu 220.Tìm nguyên hàm hàm số Trang 33 D x f ( x).dx sin 3x C f ( x)dx 3 sin 3x C cos3x D f ( x)dx 6 sin 3x C F ( x) + C C ( là (34) Giaovienvietnam.com x x f ( x)dx 2 tan C A f ( x)dx tan C B x x f ( x)dx tan C D f ( x)dx tan C C f ( x) Câu 221.Tìm nguyên hàm hàm số A sin x 3 f ( x)dx 3 cot x C B f ( x)dx cot x C C f ( x)dx cot x C f ( x)dx cot x C D Câu 222.Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) sin x.cos x sin x f ( x)dx C A sin x f ( x)dx C C sin x f ( x)dx C B sin x f ( x)dx C D Câu 223 Nguyên hàm hàm số: y = sin2x.cos3x là: sin x sin x C B 1 sin x sin x C D A sin3x + sin5x + C C sin3x sin5x + C dx x.cos x bằng: Câu 224 A tan 2x C B cot 2x C sin Câu 225 sin 2x cos2x sin 2x cos2x A dx C cot 2x C D cot 2x C bằng: cos2x sin 2x C B x cos4x C D C sin 2x C C 2x cos dx Câu 226 bằng: 2x 2x cos C cos C 3 A B x x 4x sin C C x 4x cos C D Câu 227 Họ nguyên hàm F(x) hàm số f (x) sin x là F(x) (2x sin 2x) C A F(x) (x sinx cosx) C C B Cả (A), (B) và (C) đúng sin 2x F(x) (x )C 2 D Câu 228 Một nguyên hàm hàm số 4x A sin x f (x) cos x là: B tan x Câu 229 Biểu thức nào sau đây với C tan x sin 3xdx Trang 34 ? 4x tan x D (35) Giaovienvietnam.com 1 1 1 (x sin 6x) C (x sin 6x) C (x sin 3x) C 6 A B C Câu 230 Một nguyên hàm f (x) cos 3x cos 2x 1 sin x sin 5x A cos xdx Câu 231 Tính 1 (x sin 3x) C D 1 cos x cos 5c 10 C 1 sin x sin 5x 10 B sin 3x sin 2x D ta kết là: sin 3x 3sin x C D cos x.sin x 3sin x C sin 3x C 4 B 12 C cos x C x A Câu 232 Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có hàm số là nguyên hàm hàm số còn lại? A f x sin x C f x e x và và g x cos x g x e cos x2 B và f x sin x g x sin x g x f x tan x x D và 3cos x Câu 233 2 sin x dx bằng: 3sin x A 3ln sin x C 3ln sin x C B C sin x C D 3sin x C ln sin x 3sin x cos x Câu 234 A C 3cos x 2sin x dx bằng: ln 3cos x 2sin x C B ln 3sin x cos x C D sin x cos x Câu 235 Nguyên hàm sin x cos x là: C ln sin x cos x C ln sin x cos x A B C cot x dx x Câu 236 bằng: cot x cot x C C 2 A B sin x dx Câu 237 cos x bằng: 1 C C 4 A 4cos x B 4cos x ln 3cos x 2sin x C ln 3sin x cos x C ln sin x cos x C C D sin x cos x sin Câu 238 sin x.cosxdx Câu 239 Tính A = A C A B sin sin x C C C 4sin x 1 C D 4sin x C cos x C x cos x dx , ta có sin x sin x C A tan x C D bằng: sin x C A tan x C C B A sin x sin x C sin x sin x C D Đáp án khác Câu 240 Họ nguyên hàm F(x) hàm số f (x) sin x cos x Trang 35 cos x C D (36) Giaovienvietnam.com F(x) sin x C A B F(x) cos x C C F(x) sin x C D Câu 241 Họ nguyên hàm hàm số f x cos 3x tan x cos3 x 3cos x C A cos3 x 3cos x C C cos x.sin xdx sin x C là sin x 3sin x C B cos3 x 3cos x C D Câu 242 Họ nguyên hàm sin x là: x x cot C tan C 2 A ln B ln Câu 243 F(x) sin x C C -ln|cosx| + C D ln C sin x C D cos x C sin x C C 2 D 2sin x C bằng: sin x C B Câu 244 Họ nguyên hàm f (x) x.cos x là: cos x C A A cos x C Câu 245 B sin x C sinx cos 2x dx bằng: 1 cos 3x cos x C A 1 sin 3x sin x C C 1 cos 3x cos x C B 1 cos 3x cos x C D Câu 246 Một nguyên hàm hàm số: f (x) x sin x là: 2 A F(x) x cos x sin x F(x) x cos x sin x 2 2 D F(x) x cos x sin x C Câu 247 Kết nào sai các kết sau? dx dx x tan C A cos x dx x ln x.ln(ln x) ln(ln(ln x)) C C Câu 248 Nguyên hàm hàm số 3sin x sin 3x C 12 A cos x.sin 2 B F(x) x cos x sin x B x x 1 ln xdx D 2x x.dx 3cos x cos 3x C 12 B bằng: x 1 x 1 1 C ln 2x C : C sin x C cos x f x cos x là: Câu 249 Họ nguyên hàm hàm số 1 cos x F x C F x C F x C sin x sin x sin x A B C Câu 250 Họ các nguyên hàm hàm số y tan x là: D sinx cos x C F x Trang 36 D F x C sin x (37) Giaovienvietnam.com tan x ln cos x A tan x ln cos x B tan x ln cos x D tan x ln cos x C Câu 251 Nguyên hàm hàm số: y = sin2x.cos3x là: sin x sin x C A 1 sin x sin x C C B sin3x + sin5x + C D sin3x sin5x + C Câu 252 Nguyên hàm F(x) hàm số sin 2x sin x F(0) 0 là ln sin x ln sin x A y B C ln cos x D sin x ln cos x dx Câu 253 Nguyên hàm hàm số: y = sin x là: sin x cos x C cos x A C B sin 3x cos 4x C sin x sin x cos x C 4 sin x cos x C sin x sin x D Câu 254 Nguyên hàm hàm số: y = cos x.sinx là: A cos3 x C B cos x C ò f ( x) dx = sin2x cosx Câu 255 Nếu sin x C C 3 thì f ( x) là: f ( x) = ( cos3x + cos x) B f ( x) = ( cos3x - cosx) D f ( x) = ( 3cos3x + cos x) A f ( x) = ( 3cos3x - cos x) C F ( x) Câu 256 F ( x) A là nguyên hàm hàm số y = sin x cos x là hàm số nào sau đây? F ( x) = cos5 x +C F ( x) = B sin x +C C Câu 257 Xét các mệnh đề sau, với C là số: (I) ò tan x dx = òe 3cosx (II) D Đáp án khác ò ln( cos x) +C D F ( x) = cos4 x +C F ( x) = sin5 x +C sin x dx = - e3cosx +C cos x + sin x sin x - cos x (III) Số mệnh đề đúng là: A dx = sin x - cosx +C B D C 2 Câu 258 Tìm họ nguyên hàm hàm số f (x) cos x.cos 2x và g(x) sin x.cos 2x 1 1 F(x) x sin 2x sin 4x C G(x) x sin 2x sin 4x C 4 4 A ; Trang 37 (38) Giaovienvietnam.com F(x) B 1 1 x si n2x sin 4x C G(x) x sin 2x sin 4x C 4 4 ; 1 F(x) x sin 2x sin 4x C G(x) x sin 2x sin 4x C 4 C ; 1 1 F(x) x si n2x sin 4x C G(x) x sin 2x sin 4x C 4 4 D ; sin x Câu 259 A C dx Nguyên hàm sin x cos x 3 cos x cos x C 4 3 sin x 3 sin x cos x C 4 B 3 sin x sin x C 4 D sin x C 4 dx Câu 260 Nguyên hàm tan x bằng? 2x ln sin x cos x C B 5 x ln sin x cos x C D 5 x ln sin cos x C A 5 x ln sin x cos x C C 5 Câu 261 Tính x cos xdx x sin x cos x C x sin x cos x C C x sin x 1 dx Câu 262 Tính x sin x cos x C x sin x sin x C D A B x cos x 1 sin x 1 C A x cos x 1 sin x 1 C C x cos x 1 sin x 1 C B x cos x 1 sin x 1 C D Câu 263 Tính I sin x.e sin x dx e sin x cos x 1 C B A Câu 264 Tìm nguyên hàm : e sin x sin x 1 C C I (x cos x)xdx x3 x sin x cos x c A x3 sin x x cos x c C B Đáp án khác x3 x sin x cos x c D Câu 265 Biểu thức nào sau đây với x sin xdx ? A C 2x cos x x cos xdx x cos x 2x cos xdx Câu 266 e sin x sin x 1 C x cos xdx bằng: Trang 38 B x cos x 2x cos xdx D 2x cos x x cos xdx D e sin x sin x 1 C (39) Giaovienvietnam.com x2 sin x C A x sin x cos xdx Câu 267 B x sin x cosx C C x sin x sinx C bằng: 1 x sin 2x cos2x C A 1 x sin 2x cos2x C C Câu 268 A xe x dx 1 x sin 2x cos2x C 2 11 x sin 2x cos2x C 2 B D bằng: x 3 x 3 e C Câu 269 x2 cosx C D B x 3 e x x x 3 e C C C x x 3 e C D x ln xdx bằng: x2 x2 ln x C A x2 x2 ln x C B x f x cos x là Câu 270 Một nguyên hàm x tan x ln cos x x tan x ln cos x A C B f x e x cos x Câu 271 Họ nguyên hàm hàm số C B x ln x x C (x x)e C F(x) = D x tan x ln sin x ln xdx bằng: x e Câu 273 Nguyên hàm hàm số: y = A F(x) = x tan x ln cos x x2 x2 ln x C D F x e x sin x cos x C B F x e x sin x cos x C D x x ln x x C là F x e x sin x cos x C A F x e x sin x cos x C C Câu 272 Nguyên hàm A ln x x x C ln x x C dx là: x xe ln xe C B F(x) = xe x ln xe x C Câu 274 Nguyên hàm hàm số: Câu 275 Nguyên hàm hàm số: D F(x) = I cos 2x.ln(sin x cos x)dx sin 2x ln sin 2x A sin 2x ln sin 2x C D ln x x x sin 2x C sin 2x C I x sin 3xdx e x ln xe x C xe x ln xe x C là: 1 sin 2x ln sin 2x sin 2x C B 1 sin 2x ln sin 2x sin 2x C D là: x cos 3x sin 3x C x cos 3x sin 3x C 9 A F(x) = B F(x) = x cos 3x sin 3x C x cos 3x sin 3x C 3 C F(x) = D F(x) = x Câu 276 F(x) 4sin x (4x 5)e 1 là nguyên hàm hàm số: Trang 39 (40) Giaovienvietnam.com x A f (x) 4 cos x (4x 9)e x B f (x) 4 cos x (4x 9)e f (x) 4 cos x (4x 5)e x x D f (x) 4 cos x (4x 6)e C x Câu 277 Hàm số F(x) e tan x C là nguyên hàm hàm số f(x) nào f (x) e sin x A x f ( x) Câu 278 Cho hàm số f (x) e sin x C x B Đáp án khác e x f (x) e x cos x D 4m sin x Giá trị tham số để nguyên hàm Fx hàm số fx thỏa mãn F là điều kiện F(0) 1 và A m 3 m B C m m D cos x dx Câu 279 Thầy Hùng cho bài toán “ Tìm sin x ” Bạn Minh Hiền giải phương pháp đổi biến sau: + Bước 1: Đặt u sin x , ta có du cos xdx cos x du dx C x u u cos x dx C x + Bước 3: Kết luận sin x + Bước 2: sin Hỏi bạn Minh Hiền sai bước nào? A.Bước B.Bước C.Bước D.Không sai sin x F 0 f x F 0 cos x thỏa mãn Câu 280 Cho là nguyên hàm hàm số Tính F 2 ln F 2 ln F ln F 2 ln F x A Câu 281 Cho F x F A B C m sin x cos x A A 5 Câu 283 Để tính D F f x F 0 tan x thỏa mãn Tính là nguyên hàm hàm số F F F B C D cos x Câu 282 Cho dx sin x cos x 1 C n sin x cos x B A 2 sin với m, n Tính A m n C A 3 x.cos xdx thì nên: A Dùng phương pháp đổi biến số đặt t cos x B Dùng phương pháp nguyên hàm phần đặt C Dùng phương pháp đổi biến số đặt t sin x u sin x dv cos xdx u cos x dv sin xdx D Dùng phương pháp nguyên hàm phần đặt Trang 40 D A 4 (41) Giaovienvietnam.com 2x Câu 284 Cho A 16 1 x C B Câu 285 Cho F ( x) là nguyên hàm hàm số π F( ) 1 A Câu 286 Biết x 1 cos x dx m x tan n.ln cos C m, n F x π A B π F( ) thỏa mãn điều kiện F(0) 1 Tính π π F( ) F( ) 9 C D f ( x) x cos 3x π F( ) B là nguyên hàm Tính 2m+ 3n? D f x x sin x π và thỏa F 0π F C π F Tính D 2π π f( ) f ( x) f '( x) x sin x f (π) 0 Câu 287 Cho hàm số biết và Tính π 7π f( ) A π 7π π 7π f ( ) f( ) 6 C D x f ( x) x cos F(0) thỏa Tính F(π) Câu 288 Biết F ( x) là nguyên hàm hàm số 1 F(π) F(π) F(π) 2 A B C D F(π) 1 Câu 289 Cho hàm số A π 7π f ( ) B f ( x) ( ax b).cosx S 3 thỏa mãn B S 4 f ( x)dx x.sin x sin x cosx C C S 5 2 Tính S a b ? D S 6 14 F( ) thì Câu 290 ho hàm số F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) = cos3x và 13 F ( x) sin x F ( x) sin 3x 3 A B 1 13 F ( x ) sin 3x F ( x) sin x 3 C D Câu 291 Cho f (x) 3 5sin x và f (0) 7 Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? 3 f B f x 3x 5cos x A f (x) 3x 5cos x C f 3 Câu 292 Nguyên hàm D F x hàm số f x sin 2x 1 x sin 2x sin 4x 64 A 1 x 1 sin 4x sin 8x 64 C thỏa mãn điều kiện F 0 là 1 x sin 4x sin 8x 64 B x sin 4x sin x D Câu 293 Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức: A 2cosucosv B -cosucosv sin u.cos v C f (u)du Trang 41 C cosu + cosv D cosucosv (42) Giaovienvietnam.com F 0 Câu 294 Tìm nguyên hàm của: y sin x.sin 7x với là: sin 6x sin 8x sin 6x sin 8x sin 6x sin 8x sin 6x sin 8x 16 16 12 16 16 A 12 B C 12 D 12 y F x cos x và F 1 Khi đó, ta có F x là: Câu 295 Cho là nguyên hàm hàm số A tan x B tan x C tan x D tan x 4m F f (x) sin x Câu 296 Cho Tìm m để nguyên hàm F(x) f(x) thỏa mãn F(0) = và A m B m C m D m y sin x Nếu F x là nguyên hàm hàm số và đồ thị hàm số y F x qua điểm Câu 297 Cho hàm M ;0 thì F x là: cot x A cot x B C cot x D cot x Câu 298 Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có hàm số là nguyên hàm hàm số còn lại? x x 2 A sin 2x và cos x B tan x và cos x C e và e D sin x và sin x f (x) sin x thỏa mãn F (0) =0 và F (x) là nguyên hàm hàm Câu 299 Gọi F (x) là nguyên hàm hàm số 2 1 2 f (x) cos x số thỏa mãn F2(0)=0 Khi đó phương trình F1(x) = F2(x) có nghiệm là: x k A x k2 B x k C Câu 300 Nguyên hàm F(x) hàm số f (x) x sin x thỏa mãn F(0) 19 là: A F(x) cosx x2 B F(x) cosx x2 2 F(x) cosx x2 20 2 C F(x) cosx x 20 D Câu 301 Tìm nguyên hàm hàm số A C F(x) x 3sin x F(x) x 3sin x 2 f x D k f x 2x 3cos x, F 3 2 thỏa mãn điều kiện: 2 F(x) x 3sin x B 2 D F(x) x 3sin x f (x) 2x F( ) sin x thỏa mãn Câu 302 Nguyên hàm F(x) hàm số là: 2 F(x) cotx x F(x) cotx x 16 A B C F(x) cotx x x D Trang 42 F(x) cotx x 2 16 2 (43) Giaovienvietnam.com Câu 303 Cho hàm số các hàm số sau ? f x cos 3x.cos x Nguyên hàm hàm số f x x 0 là hàm số nào sin 4x sin 2x B sin 4x sin 2x cos 4x cos 2x A 3sin 3x sin x C D x dx I ln tan C I a b cosx kết Câu 304 Tính nguyên hàm với a; b;c Giá trị a b là: A B Câu 305 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (I) : sin x dx C D sin x C 4x (II) : dx 2ln x x C x x 3 6x (III) : 3x x 3 x dx x C ln A (III) B (I) D (II) C Cả sai Câu 306 Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng? dx ln x C A x ax x a dx C a 1 ln a C B x dx x 1 C 1 1 dx tan x C D cos x Câu 307 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? F x 1 tan x f x 1 tan x A là nguyên hàm hàm số B Nêu F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) thì nguyên hàm f(x) có dạng F x C (C là số) u ' x C u x dx lg u x C F x 5 cos x f x sin x D là nguyên hàm f x sin x cos5 x Câu 308 Để tìm nguyên hàm A Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t cos x thì nên: u cos x dv sin x cos xdx B Dùng phương pháp lấy nguyên hàm phần, đặt u sin x dv cos xdx C Dùng phương pháp lấy nguyên hàm phần, đặt D Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t sin x Câu 309 Biết S m n A S F x e x m sin x n cos x là nguyên hàm hàm số B S Trang 43 C S 2 f x e x 2sin x 3cos x D S Tính (44) Giaovienvietnam.com f x Câu 310 Cho F(x) là nguyên hàm tan x cos x a cos x , biết F 0 F 1 4 , Tính F F 3 4? A B C 5 Câu 311 Biết 2 cos x sin x sin xdx A a 6 D cos x C a Với a là số nguyên Tìm a? B a 12 C a 7 D a 14 sin x cos x dx a ln sin x cos x C Câu 312 Biết sin x cos x Với a là số nguyên Tìm a? A a 1 B a 2 C a 3 tan Câu 313 Tìm nguyên hàm của: A cos x Câu 314 sin x cos x A sin x 3cos x A S 4 D cot x sin x cos x C sin x 3cos x 3sin x cos x D 2sin x cos x a dx x cos x C b , với a, b là các số nguyên Tính S = a + b? B S 2 C tan x là nguyên hàm của: sin x cos x B 2sin x cos x sin x cos x Câu 315 Biết 2x x tan 1 biết nguyên hàm này B sin x F x x ln 2sin x cos x x D a 4 C S 3 D S 5 x dx a.tan C b Câu 316 Biết cos x , với a, b là cá số nguyên Tính S = a + b? A S 4 B S 2 Câu 317 Biết a 1 sin x dx b tan x A S 4 C S 3 D S 5 C 4 , với a, b là cá số nguyên Tính S = a + b? B S 2 C S 3 D S 5 f x 8sin x 12 Một nguyên hàm F x f x thỏa F 8 là: Câu 318 Cho x 2sin x 6 A x 2sin x 6 B x 2sin x 6 C x 2sin x 6 D Trang 44 (45) Giaovienvietnam.com Trang 45 (46)