SỞ GD-ĐT VĨNH PHÚC THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN IV NĂM HỌC 2012 – 2013 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN 12 – Khối B,D VĨNH PHÚC Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu 1. Cho hàm số 3 2 2 2 3 3(1 ) 2 2 1 y x x m x m m (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 1. m 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng : 4 5 0. d x y Câu 2. Giải phương trình 2 1 4 4 4 cos 2 cos 2 sin 1 cos2 x x x x với 0. 4 x Câu 3. Giải hệ phương trình 3 3 3 22 27 7 8 96 x y y x y y x ( , xy ) Câu 4. Tính tích phân 1 ln 2 ln e x x x x I dx Câu 5. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, với 22 SA SB AB a BC và 0 120 .ABC Gọi H là trung điểm của cạnh AB và K là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng ( ), SCD K nằm trong tam giác SCD và 3 5 .HK a Tìm thể tích của hình chóp theo a. Câu 6. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 3. ab a b Chứng minh rằng 22 3 3 3 1 1 2 a b ab b a a b ab II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được một trong hai phần riêng, phần A hoặc phần B. A. Theo chương trình chuẩn Câu 7a. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn 22 ( ):( 1) ( 1) 16 C x y có tâm I và điểm (1 3;2). A Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt () C tại hai điểm B, C phân biệt sao cho tam giác IBC không có góc tù đồng thời có diện tích bằng 4 3. Câu 8a. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (0;4;2) M và hai mặt phẳng ( ),( ) PQ lần lượt có phương trình 3 1 0, 3 4 7 0. x y x y z Viết phương trình của đường thẳng đi qua M và song song với giao tuyến của () P và ( ). Q Câu 9a. Tìm tất cả các số thực a, b sao cho số phức 23 zi là nghiệm của phương trình 2 0. z az b B. Theo chương trình nâng cao Câu 7b. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm (3;4) M và đường tròn 22 : 6 2 2 0. x y x y Viết phương trình của đường tròn với tâm M, cắt tại hai điểm A, B ssao cho AB là cạnh của một hình vuông có bốn đỉnh nằm trên . Câu 8b. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu có tâm (1;2;3) I và tiếp xúc với đường thẳng 2 :. 1 2 2 x y z d Câu 9b. Hãy giải phương trình sau trên tập hợp số phức 2 2 2 ( ) ( ) 5 5 0. z i z i z Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn ) gửi tới www.laisac.page.tl SỞ GD-ĐT VĨNH PHÚC THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN IV NĂM HỌC 2012 – 2013 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HD chấm mônTOÁN 12 – Khối B,D VĨNH PHÚC Hướng dẫn chung: - Mỗi một bài toán có thể có nhiều cách giải, trong HDC này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Học sinh có thể giải theo nhiều cách khác nhau, nếu đủ ý và cho kết quả đúng, giám khảo vẫn cho điểm tối đa của phần đó. - Câu (Hình học không gian), nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình chính của bài toán, thì không cho điểm, nhưng không nhất thiết phải vẽ hình 1; câu (Hình học giải tích) không nhất thiết phải vẽ hình. - Điểm toàn bài chấm chi tiết đến 0.25, không làm tròn. - HDC này có 04 trang. Câu Nội dung trình bày Điểm 1 1. . TXĐ: 0.25 Chiều biến thiên: 3 ( 2), 0 0 2y x x y x x Xét dấu y và kết luận: hàm số đồng biến trên ( ;0),(2; ) , nghịch biến trên (0;2) Hàm số đạt cực đại tại ; hàm số đạt cực tiểu tại 0.25 Nhánh vô cực: ; lập bảng biến thiên 0.25 Vẽ đồ thị 0.25 2. 22 3 6 3(1 )y x x m Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi 0y có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó. Điều này tương đương với phương trình 22 2 1 0x x m có hai nghiệm phân biệt, tức là 0.m 0.25 Khi đó, đồ thị của hàm số có hai điểm cựctrị 0.25 Hai điểm này đối xứng nhau qua d khi và chỉ khi trung điểm của AB nằm trên d và . Điều này tương đương với 0.25 Kết luận 2 Biến đổi tích thành tổng, thu được 0.25 0.5 Do nên 0.25 4 2 3 Nhận xét 0,y nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được Từ đó tìm được hoặc hoặc hoặc 0.25 Với thay vào phương trình thứ nhất, được 3 19 7 y do đó 3 7 19 x 0.25 Với 2,xy thay vào phương trình thứ nhất, được 3 26 2 7 y do đó 3 7 26 x 0.25 Với 4,xy thay vào phương trình thứ nhất, được 3 215 2 7 y do đó 3 7 2 215 x 0.25 4 Viết lại biểu thức dưới dấu tích phân 0.25 Đặt thế thì khi thì và 0.25 Khi đó 11 00 23 1 11 t I dt dt tt 0.25 Tính được 1 3ln2 1 ln8I 0.25 5 Gọi I là trung điểm CD. Chỉ ra các tam giác , , ,ADH HDI IHB BCI là các tam giác đều cạnh a. Suy ra 2 2 3 43 4 ABCD a Sa (đ.v.d.t) Gọi J là trung điểm DI. Khi đó và do đó . 0.25 Suy ra Ngoài ra . Hơn nữa, do tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a và H là trung điểm AB nên và 0.25 Suy ra do đó tam giác SHJ vuông tại H . 0.25 Từ đó, do nên hay SH là đường cao của hình chóp. 0.25 Hình 1 Hình 2 AB là cạnh của hình vuông nội tiếp khi và chỉ khi ( ; ) 2 2 R d I AB . Từ đó, kết hợp với (1), tìm được 5 c . Suy ra : 1 0. AB y 0.25 Mặt khác AB là trục đẳng phương của , nên AB có phương trình 2 23 . 0. 10 y Từ đó 2 13 , bởi vậy 22 :( 3) ( 4) 13 xy 0.25 8b + Đường thẳng d đi qua (0; 2;0) M , có véctơ chỉ phương (1; 2;2) u . Tính được (1;4;3) MI 0.25 + Khẳng định và tính được [ ; ] 233 ( ; ) | | 3 MI u d I d u 0.5 + Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính bằng ( ; ) d I d và viết phương trình 2 2 2 233 ( 1) ( 2) ( 3) 9 x y z 0.25 9b Viết lại phương trình về dạng 2 2 2 ( 1) 5 5 0 zz 0.25 Khai triển, rút gọn, nhân tử hóa 22 ( 1)( 4) 0 zz 0.5 Giải các phương trình, thu được zi và 2z rồi kết luận. 0.25 Cảm ơ n thầy Ng uyễn Duy L iên ( li en toan cvp @vi n h p huc.ed u .v n ) gửi tớ i www.l a i sac.page.tl . Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn ) gửi tới www .laisac. page.tl SỞ GD-ĐT VĨNH PHÚC THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN IV NĂM HỌC. 1; câu (Hình học giải tích) không nhất thi t phải vẽ hình. - Điểm toàn bài chấm chi tiết đến 0.25, không làm tròn. - HDC này có 04 trang. Câu Nội dung trình