TR ƯỜ NG ĐẠ I H Ọ C VINH TR ƯỜ NG THPT CHUYÊN ĐỀ KH Ả O SÁT CH Ấ T L ƯỢ NG L Ớ P 12, L Ầ N 3 - N Ă M 2013 Môn: TOÁN; Kh ố i: A và A 1 ; Th ờ i gian làm bài : 180 phút I. PH Ầ N CHUNG CHO T Ấ T C Ả THÍ SINH (7,0 đ i ể m ) Câu 1 (2,0 đ i ể m ). Cho hàm s ố 2 2 3 1 2 4 + − = mx x y (1), v ớ i m là tham s ố . a) Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị c ủ a hàm s ố (1) khi . 3 4 = m b) Tìm m để đồ th ị c ủ a hàm s ố (1) có ba đ i ể m c ự c tr ị t ạ o thành m ộ t tam giác có tâm đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p trùng g ố c t ọ a độ O . Câu 2 (1,0 đ i ể m ). Gi ả i ph ươ ng trình . 2 sin ) cos 2 (sin 2 cos ) cos 1 ( 3 sin x x x x x x + = − + Câu 3 (1,0 đ i ể m ). Gi ả i ph ươ ng trình ). 5 ( 2 1 2 ) 2 ( 3 ) 1 2 ( 4 322 x x x x x x + = − − + + Câu 4 (1,0 đ i ể m ). Tính th ể tích kh ố i tròn xoay t ạ o thành khi quay hình ph ẳ ng gi ớ i h ạ n b ở i các đườ ng 3 , 0 , 3 1 2 = = + + = xy x x y xung quanh tr ụ c hoành. Câu 5 (1,0 đ i ể m ). Cho hình l ă ng tr ụ '''. CBAABC có các đ áy là tam giác đề u c ạ nh 3 a. Hình chiếu vuông góc c ủ a 'C lên m ặ t ph ẳ ng ) ( ABC là đ i ể m D th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n DBDC 2−= . Góc gi ữ a đườ ng th ẳ ng 'AC và m ặ t ph ẳ ng ) ' ' ' ( C B A b ằ ng . 45 0 Tính theo a th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ ' ' ' . CBAABC và tính côsin góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng ' B B và AD . Câu 6 (1,0 đ i ể m ). Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 521211 2 = + + + + + zyx . Tìm giá trị lớn nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c . 2 3 3 3 z y x P + + = II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b) a. Theo ch ươ ng trình Chu ẩ n Câu 7.a (1,0 điểm). Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ , Oxy cho tam giác ABC có ), 5 ; 4 ( − B ph ươ ng trình các đườ ng th ẳ ng ch ứ a đườ ng cao k ẻ t ừ A và trung tuy ế n k ẻ t ừ B l ầ n l ượ t là 0 7 3 = − − yx và . 0 1 = + + yx Tìm t ọ a độ các đ i ể m A và C bi ế t di ệ n tích tam giác ABC b ằ ng 16. Câu 8.a (1,0 đ i ể m ). Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho các đường thẳng ; 2 3 1 1 1 : 1 − == − z y x d ; 1 1 2 2 1 : 2 − = − = z y x d . 1 1 2 2 3 : 3 z y x d = + = − − Tìm tọa độ điểm P thuộc 1 d và đ i ể m Q thu ộ c 2 d sao cho đườ ng thẳng PQ vuông góc với 3 d và độ dài PQ nhỏ nhất. Câu 9.a (1,0 điểm). Trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxy , tìm t ậ p h ợ p đ i ể m bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c z th ỏ a mãn 11 + + + + + z iz z iz là s ố thu ầ n ả o. b. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 đ i ể m ). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , Oxy cho điểm ).2;32(M Vi ế t ph ươ ng trình chính t ắ c của elíp (E) đi qua M biết rằng M nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông. Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ , Oxy z cho đ i ể m ) 2 ; 3 ; 1 ( K và m ặ t ph ẳ ng .03:)( =−++ zyxP Viết phương trình đường thẳng d đi qua K, song song với mặt phẳng )(Oyz và tạo với (P) một góc α có .2tan = α Câu 9.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ).,( )log1(2)22(log)1(log )36(333.2 222 2 R∈ ⎩ ⎨ ⎧ +=+++ −=− + yx yxyx yxxyx ---------------------------- Hết -------------------------- Cảm ơn cô (phuongthaodata@gmail.com ) gửi tới www.laisac.page.tl 1 TR ƯỜ NG ĐẠ I H Ọ C VINH TR ƯỜ NG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 3 - NĂM 2013 Môn: TOÁN – Kh ố i A, A 1 ; Th ờ i gian làm bài: 180 phút Câu Đ áp án Đ i ể m a) (1,0 đ i ể m) Khi 3 4 = m hàm số trở thành . 2 3 8 3 1 24 + − = x x y 1 o . T ậ p xác đị nh: R = D , y là hàm s ố ch ẵ n. 2 o . Sự biến thiên: * Gi ớ i h ạ n t ạ i vô c ự c: . ) 2 3 8 3 1 ( lim lim 4 2 4 +∞ = + − = ±∞ → ±∞ → x x x y x x * Chi ề u bi ế n thiên: Ta có . , 3 16 3 4 ' 3 R ∈ − = x x x y ⎢ ⎣ ⎡ ± = = ⇔ = 2 0 0' x x y ; ⎢ ⎣ ⎡ > < < − ⇔ > 2 0 2 0' x x y ; ⎢ ⎣ ⎡ << −< ⇔ < .20 2 0 ' x x y Suy ra hàm s ố đồ ng bi ế n trên m ỗ i kho ả ng ) 0 ; 2 ( − và ) ; 2 ( ∞ + ; ngh ị ch bi ế n trên m ỗ i kho ả ng ) 2 ; ( − −∞ và ). 2 ; 0 ( * Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm , 0 = x giá trị cực đại 2= C Đ y ; hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i các đ i ể m 2−=x và ,2=x giá tr ị c ự c ti ể u . 3 10 −= CT y 0,5 * B ả ng bi ế n thiên: 3 o . Đồ thị: Đồ th ị hàm s ố nh ậ n Oy làm tr ụ c đố i x ứ ng. 0,5 b) (1,0 điểm) Ta có ). 3 ( 3 4 4 3 4 ' 2 3 m x x mx x y − = − = Đồ th ị hàm s ố có 3 đ i ể m c ự c tr ị ⇔ ph ươ ng trình 0 ' = y có 3 nghi ệ m phân bi ệ t . 0 > ⇔ m Khi đ ó đồ th ị hàm s ố có 3 đ i ể m c ự c tr ị là )32;3(),2;0( 2 mmBA −− và ).32;3( 2 mmC − 0,5 Câu 1. (2,0 điểm) Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ O khi và chỉ khi OCOBOA == 0 ) 1 3 3 )( 1 ( ) 3 2 ( 3 2 222 = − + − ⇔ − + = ⇔ m m m m m m ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ±− = == ⇔ . 6 21 3 0,1 m mm Kết hợp điều kiện 0>m ta có giá trị của m là . 6 213 ,1 +− == mm 0,5 Phương trình đã cho tương đương với xxxxxxxx cos2sin2sin2sin2coscos2cos3sin +=−+ .0)1sin)(cossin(cos sincos2cos sin3sin)sin2sincos2(cos2cos3sin =−−+⇔ +=⇔ +++=+⇔ xxxx xxx xxxxxxxx 0,5 Câu 2. (1,0 điểm) * . 4 1tan0sincos π π kxxxx +−=⇔−=⇔=+ x O 2 y 2 3 10 − 2− x ∞ − ∞ + 0 0 0 0 − − + ' y y 3 10 − ∞ + – 2 2 2 + ∞ + 3 10 − 2 * ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = = ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−=+ + = + ⇔ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇔ = − . 2 2 2 2 4 4 2 44 2 1 4 cos 1 sin cos π π π π π π π π π π k x k x k x k x x x x V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là π π k x + − = 4 , . , 2 2 , 2 Z ∈ + − = = k k x k x π π π 0,5 Đ i ề u ki ệ n: . 2 1 ≥ x Ph ươ ng trình đ ã cho t ươ ng đươ ng v ớ i ) 2 5 4 ( 2 1 2 ) 2 ( 3 2 3 − + − = − − x x x x x x vì ⎢ ⎣ ⎡ +−=− = ⇔ + − − = − − ⇔ )1()12(2123 2 ) 1 2 )( 2 ( 2 1 2 ) 2 ( 3 2 2 xxxx x x x x x x x 0,5 Câu 3. (1,0 đ i ể m) Ph ươ ng trình (1) t ươ ng đươ ng v ớ i 0 2 1 2 3 ) 1 2 ( 2 2 = − − + − x x x x . 0 2 1 2 . 3 1 2 . 2 2 = − − + − ⇔ x x x x (2) Đặt .0, 1 2 ≥ − = t x x t Khi đ ó ph ươ ng trình (2) tr ở thành , 2 1 0 ) 2 )( 1 2 ( 0 2 3 2 2 = ⇔ = + − ⇔ = − + t t t t t . 0 ≥ t Suy ra , 3 2 4 0 4 8 2 ± = ⇔ = + − x x x th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n. Vậy nghiệm của phương trình là .324,324,2 −=+== xxx 0,5 Ta có . 1 0 3 1 2 − = ⇔ = + + x x x Th ể tích V c ầ n tính là th ể tích kh ố i tròn xoay t ạ o thành khi quay hình thang cong gi ớ i h ạ n b ở i các đườ ng 3 , 1 , 0 , 3 1 2 = − = = + + = x x y x x y xung quanh Ox . Suy ra ∫∫ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + = + + = 3 1 22 3 1 2 2 d 3 2 3 2 1 d 3 ) 1 ( x x x x x x x V π π () . 3 d 2 ) 3 ln 4 ( 3 d 2 | 3 | ln 3 1 2 3 1 2 1 3 2 ∫∫ − − − + −+= + −++= x x x x x x ππππ (1) 0,5 Câu 4. (1,0 điểm) Tính . 3 d 3 1 2 ∫ − + = x x I Đặ t . tan 3 t x = Khi 1 − = x thì , 6 π − = t khi 3 = x thì 3 π = t và . cos d 3d 2 t t x = Suy ra . 6 3 d 3 1 cos d 3. )tan1(3 1 3 d 3 6 3 6 2 2 3 1 2 π π π π π == + = + = ∫∫∫ − − − t t t tx x I Thay vào (1) ta được . 3 3 ) 3 ln 4 ( 2 π π −+=V 0,5 Từ giả thiết).(' ABCDC ⊥⇒ Vì )'''//()( CBAABC nên .45'))'''(,'())(,'( 0 =∠==∠ ADCCBAACABCAC Sử dụng định lí cosin cho 7aADABD =⇒Δ 745tan' 0 aADDC ==⇒ . Suy ra thể tích lăng trụ . 4 219 4 3)3( .7.' 3 2 a a aSDCV ABC === Câu 5. (1,0 điểm) 0,5 'B A C B D 'C a3 0 45 'A 3 Vì ' // ' BB AA nên AD A AD AA AD BB ' ) , ' ( ) , ' ( ∠ = ∠ = ∠ (1) Vì ) ( ' ABC D C ⊥ nên , 16 ' ' ' ' ' ' ' ) ' ' ' ( ' 2 2 2 2 a A C DC DA A C D C C B A D C = + = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ . 11 ' ' ' 2 2 a DC D C CC AA = + = = Suy ra . 77 1 '. 2 '' ' cos 2 2 2 = − + = ∠ AD AA DA AD AA AD A (2) T ừ (1) và (2) suy ra . 77 1 |'cos|),'cos( =∠= ADAADBB 0,5 Với hai số không âm a, b ta có .1111 baba +++≥+++ (1) Thật vậy, b a b a b a b a + + + + + ≥ + + + + + ⇔ 1 2 2 ) 1 )( 1 ( 2 2 ) 1 ( , 1 1 b a ab b a + + ≥ + + + ⇔ luôn đ úng. D ấ u đẳ ng th ứ c x ả y ra khi 0 = a ho ặ c . 0 = b Áp dụng (1) ta có z y x z y x 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 5 22 + + + + + ≥ + + + + + = . 2 2 1 2 2 z y x + + + + ≥ Suy ra , 8 2 2 2 ≤ + + z y x hay . 2 4 2 x z y − ≤ + (2) 0,5 Câu 6. (1,0 đ i ể m) Khi đ ó . 2 42)(2 3 2 3 3 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ≤ + + ≤ x x z y x P (3) Chú ý r ằ ng, t ừ (2) và x , y , z không âm ta có . 2 2 0 ≤ ≤ x Xét hàm số 3 2 3 2 42)( ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+= x xxf trên ]. 2 2 ; 0 [ Ta có [] . ) 16 ( 2 ) 12 ( ) 2 ( 4 3 2 4 3 6 ) ( ' 22 2 2 2 x x x x x x x x x f − + − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−= V ớ i ]22;0[∈x ta có ⎢ ⎣ ⎡ = = ⇔ = . 2 0 0 ) ( ' x x x f Từ 232)22(,24)2(,64)0( === fff suy ra ].22;0[,64)( ∈∀≤ xxf (4) Từ (3) và (4) ta có , 64 ≤ P dấu đẳng thức xảy ra khi 4,0 === zyx hoặc .4,0 === yzx V ậ y giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a P là 64, đạ t đượ c khi 4 , 0 = = = z y x ho ặ c . 4 , 0 = = = y z x 0,5 .073:pt =−+⇒⊥ yxBCAHBC ), 3 7 ; ( c c C BC C − ⇒ ∈ ).;73( aaAAHA +⇒∈ Suy ra trung điểm AC là . 2 7 3 ; 2 7 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + c a c a M Do .08201 2 7 3 2 7 3 0 1 : = + − ⇔ = + + − + + + ⇒ = + + ∈ c a c a c a y x BM M (1) 0,5 Câu 7.a (1,0 điểm) Ta có 10 |1410| ),(,410)312()4( 2 2 + = = − = − + − = a BC A d AH c c c BC .16|)75)(4(|. 2 1 =+−==⇒ acAHBCS ABC (2) Từ (1) và (2) suy ra ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −− ⇒ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =−= =−= . 5 73 ; 5 36 , 5 2 ; 5 29 )1;2(),3;2( 5 36 , 5 2 2,3 CA CA ca ca 0,5 Câu 8.a (1,0 điểm) )1;22;(),32,,1( 21 ++⇒∈++⇒∈ qqqQdQpppPdP . Suy ra ).22;22;1( −+−++−−+−= qpqpqpPQ 0)22(1)22(1)1(20. 33 =−+−+++−+−+−−⇔=⇒⊥ qpqpqpPQudPQ 02 =++−⇔ qp hay .2+= qp 0,5 A B H C M 4 Suy ra . 27 27 ) 3 ( 2 45 12 2 ) 6 ( 9 22222 ≥ + + = + + = + + + = q q q q q PQ Suy ra 3 3 min = PQ khi 3 , 1 − = − = q p hay ). 2 ; 4 ; 3 ( ), 1 ; 1 ; 0 ( − − − − Q P 0,5 Gi ả s ử yi xz + = và đ i ể m bi ể u di ễ n s ố ph ứ c z là ). ; ( y x M Ta có . )1( )1(22)(2 1|| 2)(||2 11 22 2 2 2 2 yx ixxyx zzz izzizzz z iz z iz ++ ++++ = + + + + + + + + = + + + + + 0,5 Câu 9.a (1,0 đ i ể m) 1 1 + + + + + z i z z i z là s ố thu ầ n ả o ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≠ =+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠++ = + + ⇔ ). 0 ; 1 ( ) ; ( 4 1 2 1 0 ) 1 ( 0 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 y x y x y x x y x V ậ y t ậ p h ợ p đ i ể m M là đườ ng tròn 4 1 2 1 2 2 = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + y x b ỏ đ i đ i ể m ). 0 ; 1 ( − 0,5 Ph ươ ng trình chính t ắ c c ủ a ). 0 ( 1 : ) ( 2 2 2 2 > > = + b a b y a x E . 1 4 12 ) ( 2 2 = + ⇔ ∈ b a E M (1) . 16 4 2 1 90 2 2 2 1 0 2 1 = − ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ∠ b a c c F F MO MF F (2) 0,5 Câu 7.b (1,0 đ i ể m) T ừ (1) và (2) suy ra . 1 8 24 : ) ( 8 24 2 2 2 2 = + ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y x E b a 0,5 Phương trình .0:)( =xOyz Giả sử d có vtcp ). 0 ( ), ; ; ( 2 2 2 ≠ + + c b a c b a u d Ta có 0 . 1 0 . ) ( ) 2 ; 3 ; 1 ( ) //( = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∉ ⇔ a n u Oyz K Oyz d Oyz d hay .0=a Suy ra ) ; ; 0 ( c b u d và ). 1 ; 1 ; 1 ( P n 0,5 Câu 8.b (1,0 đ i ể m) Do 0 0 90 0 ≤ ≤ α nên t ừ . 3 2 sin 2 tan = ⇒ = α α Mà 2 2 . 3 | | )) ( , sin( c b c b P d + + = . 0 0 ) ( 3 2 .3 || 2 2 2 ≠ = ⇔ = − ⇔ = + + ⇒ c b c b cb cb Ch ọ n ).1;1;0(1 =⇒== d ucb Suy ra ph ươ ng trình ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += + = = . 2 3 1 : t z t y x d 0,5 Đ i ề u ki ệ n: ⎩ ⎨ ⎧ > + >−> . 0 1 0,1 xy yx Ph ươ ng trình th ứ nh ấ t c ủ a h ệ t ươ ng đươ ng v ớ i xxyyx 6 . 3 3 3 3 . 2 21 + = + ++ .1333)32(3)32( 11 +=⇔=⇔+=+⇔ + + xy x y x x y x Phương trình thứ hai của hệ tương đương với . 2 ) 1 )( 1 ( 2 log ) 1 )( 1 ( log 22 22 y xy x y xy x = + + ⇔ = + + 0,5 Câu 9.b (1,0 điểm) Từ đó ta được ⎩ ⎨ ⎧ =−− >+= ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ =+ >+= ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ =++ >+= 01 01 21 01 2)1)(1( 01 2 2 xx xy yxy xy yxyx xy ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − = + = + = ⇔ . 2 53 , 2 51 2 53 , 2 51 yx yx 0,5 Cảm ơn cô (phuongthaodata@gmail.com ) gửi tới www.laisac.page.tl . −=− + yx yxyx yxxyx -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- Hết -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - Cảm ơn cô (phuongthaodata@gmail.com ) gửi tới www .laisac. page.tl 1 TR. − = z y x d . 1 1 2 2 3 : 3 z y x d = + = − − Tìm tọa độ điểm P thu c 1 d và đ i ể m Q thu ộ c 2 d sao cho đườ ng thẳng PQ vuông góc với 3 d và độ dài