TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 LẦN THỨ NHẤT ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: 2 1 x y x + = - (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) b) Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 2 là một trục đối xứng của đồ thị hàm số (1). Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình ( ) 4 4 sin cos 1 tan cot sin 2 4 x x x x x + = + Câu 3 (1,0 điểm). Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: ( ) ( ) 3 4 1 2 1 2 1 x x m x x x x m + - + - - - = Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 6 0 3 cot( ) 4 os2x x I dx c p p - = ò Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 45 0 . Tính thể tích hình chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM). Câu 6 (1,0 điểm). Cho số thực a. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 1 2 ( 3 1) 1 2 ( 3 1) 1 3 a a a a a a - + + - - + + + + + ³ Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm M(0; 2), N(5; 3), P( 2; 2), Q(2; 4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD. Tính diện tích hình vuông đó. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2; 1; 3), D(1; 1; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với AB và CD sao cho khoảng cách từ đường thẳng AB và khoảng cách từ đường thẳng CD đến mặt phẳng (P) bằng nhau. Câu 9.a (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên k, n (0 2013) k n £ £ - ta có: 0 1 1 2 2 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 . k k k k k n n n n n C C C C C C C C C + + + + + + + + + = B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình 2 2 ( 1) ( 2) 4 x y - + - = và đường thẳng (d) có phương trình x y + 7 = 0. Tìm trên (d) điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến của (C) là MA, MB(A, B là hai tiếp điểm) sao cho độ dài AB nhỏ nhất. Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình x y z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với (P) và cắt Oy, Oz lần lượt tại M, N sao cho OM = ON ¹ 0. Câu 9.b (1,0 điểm). Chứng minh rằng, với mọi cặp số nguyên k, n ( 1 k n £ £ ) ta có 1 1 k k n n kC nC - - = . Tìm số nguyên n > 4 biết rằng 0 1 2 2 5 8 . (3 2) 1600 n n n n n C C C n C + + + + + = HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Cảm ơn bạn( k46t1thptas1@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 LẦN THỨ NHẤT Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 (ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM NÀY CÓ 06 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM a) 1.0đ TXĐ: { } \ 1 D R = 2 3 ' 0, ( 1) y x D x = - < " Î - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1),(1; ) -¥ +¥ 0,25 Giới hạn: 1 1 2 2 2 lim , lim , lim 1 1 1 1 x x x x x x x x x + - ®±¥ ® ® + + + = +¥ = -¥ = - - - Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng khi 1 , 1 x x - + ® ® Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang khi x ® ±¥ 0,25 Bảng biên thiên: t 1 + y + y' 1 + 1 0,25 Đồ thị: 0,25 b) 1.0đ Câu 1 (2.0đ) Gọi I(1; 1), đồ thị hàm số đã cho là (C) x y f x ( ) = x+2 x1 1 4 2 2 O 1 2 3 5/2 Phép tịnh tiến hệ trục Oxy ® IXY theo OI uur = (1; 1): 1 1 x X y Y = + ì í = + î Hàm số đã cho trở thành 1 2 3 1 1 1 X Y Y X X + + + = Û = + - 0,25 Đường thẳng y = x + 2 trở thành 1+Y = (1 + X) + 2 Û Y = X 0,25 Trong hệ trục IXY mỗi M(X; Y) Î (C) 3 Y X Û = , với 0 X ¹ và hiển nhiên 0 Y ¹ . Khi đó 3 3 '( ; ) Y X M Y X X Y = Û - = Û - - - Î (C) 0,25 Mặt khác M(X; Y) và M'( Y; X) đối xứng với nhau qua đường thẳng Y = X. Suy ra đpcm 0,25 Câu 2 (1.0đ) ĐK: sin2x 0 ¹ 0,25 ( ) 4 4 sin cos 1 tan cot sin 2 4 x x x x x + = + 2 1 1 sin 2 1 sin cos 2 sin 2 4 cos sin x x x x x x - æ ö Û = + ç ÷ è ø 0,25 2 2 2 1 1 sin 2 1 1 1 2 1 sin 2 sin 2 1 sin 2 2sin 2 2 2 x x x x x - Û = Û - = Û = 0,25 sin 2 1 2 , 2 x x k k p p Û = ± Û = + Î Z , 4 2 x k k p p Û = + Î Z thỏa điều kiện. KL: Nghiệm của phương trình đã cho là , 4 2 x k k p p = + Î Z 0,25 Phương trình ( ) ( ) 3 4 1 2 1 2 1 x x m x x x x m + - + - - - = (1) Điều kiện : 0 1 x £ £ Nếu [ ] 0;1 x Î thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là 1 1 2 x x x = - Û = . Thay 1 2 x = vào (1) ta được: 3 0 1 1 2. 2. 1 2 2 m m m m = ì + - = Þ í = ± î 0,25 * Với m = 0, (1) trở thành: ( ) 2 4 4 1 1 0 2 x x x - - = Û = Phương trình (1) có nghiệm duy nhất 0,25 Câu 3 (1.0đ) * Với m = 1, (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + - - - - - = - Û + - - - + + - - - = Û - - + - - = 4 4 1 0 1 2 1 0 x x x x x ỡ - - = ù = ớ - - = ù ợ Phngtrỡnh(1)cúnghimduynht. 0,25 *Vim=1thỡ(1)trthnh: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 4 1 2 1 1 2 1 1 1x x x x x x x x x x + - - - = - - - - = - - Tathy 1 0, 2 x x = = thaphngtrỡnh. Phngtrỡnh(1)cúhnmtnghim. KL:m=0,m=ư 1. 0,25 Tacú 6 6 0 0 3 cot tan 4 4 os2x os2x x x I dx dx c c p p p p ổ ử ổ ử - - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ = = ũ ũ v 2 2 1 tan x cos 2x 1 tan x - = + 0,25 26 6 2 0 0 tan( ) tan 1 4 os2x (t anx+1) x x I dx dx c p p p - + = = - ũ ũ 0,25 t 2 2 1 t anx dt= (tan 1) cos t dx x dx x = ị = + 0 0 1 6 3 x t x t p = ị = = ị = 0,25 Cõu4 (1.0) Suyra 1 1 3 3 2 0 0 1 1 3 ( 1) 1 2 dt I t t - = - = = + + ũ . 0,25 Cõu5 (1.0) ã GiHlgiaoimcaBMvAN. DoM,Nlcỏctrungimnờn BM AN ^ ( )SA mp ABCD BM SH BM AN ^ ỡ ị ^ ớ ^ ợ ã SA AH SHA ^ ị nhn Suyra ã SHA lgúcgiahaimtphng:(ABCD)v(SBM)nờn ã 0 45SHA = ASAH a ị = = 0,25 0,25 TrongtamgiỏcvuụngABM: 2 2 2 1 1 1 AB AM AH + = 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 5 1 5 5 5 AB AB AH AB AH AB AH AB AH a + = = = = = dt(ABNM)=dt(ABCD)ưdt(BCN)ưdt(MND) =5 2 2 2 2 5 5 25 4 8 8 a a a a - - = SuyrathtớchhỡnhchúpS.ABNMl: 2 3 1 25 25 . . 3 8 24 a a V a = = 0,25 ã GiFltrungimBC.TacúDF//BMnờnDF//mp(SBM). GiElgiaoimcaDFvAN Suyrad(D,mp(SBM))=d(E,mp(SBM)) GiKlhỡnhchiucaEtrờnngthngSHthỡ ( )EK mp SBM ^ Túd(D,mp(SBM))=d(E,mp(SBM))=EK MtrungimADnờnHltrungimAE ị HE=HA=a ýrng ã 0 45KHE = 2 a EK ị = Vy ( , ( )) 2 a d D mp SBM = 0,25 GhiChỳ: ã d(D,mp(SBM))=d(A,mp(SBM)) ã CúthgiibngPPta 2 2 2 2 2 1 2 ( 3 1) 1 2 ( 3 1) 1 3a a a a a a - + + - - + + + + + 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 ( 1) 3 2 2 2 2 a a a a a a ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử + - + - + + + + + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ (1) TrongmtphngOxy,chnA(01),B 3 1 2 2 ổ ử - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ,C 3 1 2 2 ổ ử - - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ , M(aa). Khiú,(1) MA+MB+MC 3(2) 0,25 TamgiỏcABCutõmOvOA=OB=OC=1 Suyra(2)tngngMA+MB+MC OA+OB+OC(3) Tachngminh(3). 0,25 ThchimphộpquaytõmAgúc60 0 . ', 'C C M M đ đ SuyraMA=MM',MC=M'C'. Khiú: MA+MB+MC=MB+MM'+M'C' BC'=OA+OB+OC 0,25 Cõu6 (1.0) Dungthcxyrakhichkhi M O a=0. M C B A M' C' 0,25 Ghi chú: · Có thể giải bằng PP véc tơ · Không dùng các bất đẳng thức không có trong SGK để chứng minh. Đường thẳng chứa cạnh AB: ax + b(y 2) = 0 Đường thẳng chứa cạnh BC: b(x 5) a(y + 3) = 0 d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) 2 2 2 2 2 ( 2 2) (2 5) ( 4 3) 2( 2 ) 3 a b b a a b a b a b a b - + - - - - - + Û = Û + = - + + 0,25 2 4 3 7 2 4 3 3 a b a b a b a b a b b a + = - = - é é Û Û ê ê + = - + = - ë ë 0,25 i) a = 7, b = 1: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = 2 Þ dt(ABCD) = 2 0,25 Câu 7a(1.0đ) ii) a = 1, b = 3: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = 10 Þ dt(ABCD) = 10 0,25 Mặt phẳng (P) song song với AB và CD có một cặp véc tơ chỉ phương: ( 1; 0; 3), ( 1; 0; 3) AB CD = - = - - uuur uuur 0,25 nên có một véc tơ pháp tuyến là , (0; 6; 0) AB CD é ù = - ë û uuur uuur Suy ra phương trình mp(P): y + D = 0 0,25 AB và CD song song (P) nên d(AB,(P)) = d(A,(P)) và d(CD,(P)) = d(C,(P)) d(AB,(P)) = d(AB,(P)) Û d(A,(P)) = d(C,(P)) Û 1 1 D D + = - + 0,25 Câu 8a(1.0đ) Û 1 1 0 1 1 D D D D D + = - + é Û = ê + = - ë . Suy ra phương trình (P): y = 0 0,25 0 1 1 2 2 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 . (0 2013) k k k k k n n n n n C C C C C C C C C k n + + + + + + + + + = £ £ - (*) VP(*) là hệ số của 2013 k x + trong khai triển 2013 (1 ) n x + + 0,25 VT(*) là hệ số của 2013 k x + trong khai triển 2013 ( 1) (1 ) n x x + + 0,25 Mặt khác 2013 (1 ) n x + + = 2013 ( 1) (1 ) n x x + + 0,25 Câu 9a(1.0đ) Hệ số của 2013 k x + trong khai triển 2013 (1 ) n x + + bằng hệ số của 2013 k x + trong khai triển 2013 ( 1) (1 ) n x x + + Suy ra đpcm. 0,25 Đường tròn (C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 2. Gọi H là giao điểm của IM và AB thì IM AB ^ và HA = HB. d(I, d) = 3 2 > R. Suy ra qua mọi M thuộc (d) đều kẻ được tiếp tuyến của (C). 0,25 Tam giác AMI vông ở M có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 1 AH AI AM AB R IM R = + Û = + - 0,25 Từ đó suy ra, AB nhỏ nhất khi chỉ khi IM nhỏ nhất , khi chỉ khi M là hình chiếu của I trên (d) 0,25 Câu 7b(1.0đ) ( ) ( ; 7) (1 ; 5 ) M d M x x MI x x Î Û + Þ = - - - uuur , d có véc tơ chỉ phương (1; 1) a = r ( ) . 0 1 5 0 2 ( 2;5) MI d MI a x x x M ^ Û = Û - - - = Û = - Þ - uuur r 0,25 Gọi M(0; a; 0), N(0; 0; b), trong đó 0 ab ¹ Ta có ( 3;2 ;2), ( 3;2; 2) AM a AN b = - + = - + uuuur uuur 0,25 Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của (Q): [ , ] (2 2 ;3 ;3 ) Q n AM AN a b ab b a = = + + uur uuuur uuur Véc tơ pháp tuyến của (P): (1; 1; 1) P n = - - uur 0,25 ( ) ( ) . 0 0 P Q P Q P Q n n n n ab a b ^ Û ^ Û = Û - - = uur uur uur uur (1) OM = ON a b a b Û = Û = ± i) a = b : (1) 0 a Û = (loại) hoặc a = 2 a = 2 thì b = 2, ta có (12;6;6) Q n = Þ uur Phương trình (Q): 2x + y 2 + z = 0 Û 2x + y + z 2 = 0 0,25 Câu 8b(1.0đ) ii) a = b: (1) 0 a Û = (loại) Vậy, phương trình (Q): 2x + y + z 2 = 0 0,25 Ta có [ ] 1 1 ! ( 1)! !( )! ( 1)! ( 1) ( 1) ! k k n n n n kC k n nC k n k k n k - - - = = = - - - - - (đpcm) 0,25 0 1 2 1 2 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 5 8 . (3 2) 1600 3 6 . 3 2( . ) 1600 3 ( . ) 2( . ) 1600 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C n C C C nC C C C n C C C C C C - - - - + + + + + = Û + + + + + + + = Û + + + + + + + = 0,25 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 5 3 3 ( . ) 2( . ) 1600 3 (1 1) 2(1 1) 1600 3 .2 2 1600 3 .2 2 100 n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C n n n - - - - - - + - - Û + + + + + + + = Û + + + = Û + = Û + = 0,25 Câu 9b(1.0đ) 7 n Û = 0,25 Cảm ơn bạn( k46t1thptas1@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl