TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC HAY ĐỘC LẬP VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này, ta thường làm theo các bước sau: - Đặt đ[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN ax bx c 0 Cho phương trình bậc hai: x1 Có hai nghiệm x1 x2 Suy ra: ; (*) x2 b 2a b 2b b 2a 2a a )( b ) b 4ac c 4a 4a 4a a b x1 x2 a - Tổng nghiệm là S : S= c x1 x2 a - Tích nghiệm là P : P= x1 x2 Vậy đặt : b b 2a a 0 ( b Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c Đây chính là nội dung Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu số ứng dụng định lí này giải toán I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = a + b + c = c x2 x a Như vây phương trình có nghiệm và nghiệm còn lại là b) Nếu cho x = thì ta có (*) a.( 1)2 + b( 1) + c = a b + c = c x2 x a Như phương trình có nghiệm là và nghiệm còn lại là Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm các phương trình sau: 2 1) x 5x 0 (1) 2) 3x x 11 0 (2) Ta thấy : 3 x2 x Phương trình (1) có dạng a b + c = nên có nghiệm và 11 x Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1 1 và Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm các phương trình sau: 2 35 x 37 x 0 x 500 x 507 0 2 x 49 x 50 0 4321x 21x 4300 0 Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm còn lại và hệ số phương trình : Vídụ: a) Phương trình x px 0 Có nghiệm 2, tìm p và nghiệm thứ hai b) Phương trình x x q 0 có nghiệm 5, tìm q và nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x x q 0 , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q và hai nghiệm phương trình (2) d) Tìm q và hai nghiệm phương trình : x qx 50 0 , biết phương trình có nghiệm và có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1 2 vào phương trình ban đầu ta : p 0 p x2 5 x1 Từ x1 x2 5 suy b) Thay x1 5 vào phương trình ban đầu ta 25 25 q 0 q 50 x2 50 50 10 x1 Từ x1 x2 50 suy c) Vì vai trò x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x2 11 và theo VI-ÉT ta có x1 x2 11 x1 x2 7 , ta giải hệ sau: x1 x2 7 Suy q x1 x2 18 x1 9 x2 d) Vì vai trò x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 2 x2 và theo VI-ÉT ta có x1 x2 50 Suy x x22 50 x22 52 x2 5 Với x2 th ì x1 10 Với x2 5 th ì x1 10 II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1; x2 Đặt S x1 x2 ; P x1 x2 , đó x1; x2 là hai nghiệm phương trình có dạng x Sx P 0 Ví dụ : Cho x1 3 ; x2 2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên S x1 x2 5 Theo hệ thức VI-ÉT ta có P x1 x2 6 x1; x2 là nghiệm phương trình có dạng: x Sx P 0 x 5x 0 Bài tập áp dụng: x1 = vµ x2 = x1 = 3a vµ x2 = a x1 = 36 vµ x2 = 104 x1 = vµ x2 = 2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: (3) V í dụ: Cho phương trình : x 3x 0 có nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc có ẩn là y thoả mãn : Theo hệ thức VI- ÉT ta có: S y1 y2 x2 P y1 y2 ( x2 y1 x2 1 y2 x1 x1 và x2 1 1 1 x x x1 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 3 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 )( x1 ) x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 y Sy P 0 Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y2 9 y 0 y y 0 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x 5x 0 có nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm (Đáp số: y2 y1 x1 1 y2 x2 x2 và x1 y 0 hay y y 0 ) 2/ Cho phương trình : x x 0 có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y 4 thoả mãn y1 x1 và y2 x2 (có nghiệm là luỹ thừa bậc các nghiệm phương trình đã cho) (Đáp số : y 727 y 0 ) 2 3/ Cho phương trình bậc hai: x x m 0 có các nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 cho : a) y1 x1 và y2 x2 (Đáp số : 2 a) y y m 0 b) y1 2 x1 và y2 2 x2 b) y y 4m 3 0 ) III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S và Tích P thì hai số đó là hai nghiệm phương trình : x Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = và tích P = ab = Vì a + b = và ab = nên a, b là nghiệm phương trình : x 3x 0 giải phương trình trên ta x 1 và x2 Vậy a = thì b = a = thì b = Bài tập áp dụng: Tìm số a và b biết Tổng S và Tích P : S = và P=2 (4) S = và P=6 S = và P = 20 S = 2x và P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a và b biết: a + b = và a2 + b2 = 41; a b = và ab = 36; a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng hai số a và b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích a và b Từ a b 9 a b 81 a 2ab b 81 ab 81 a b 20 x 4 x x 20 0 x2 5 Suy : a, b là nghiệm phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = thì b = a = thì b = 2) Đã biết tích: ab = 36 đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đặt c = b ta có : a + c = và a.c = 36 x x x 36 0 x2 9 Suy a, c là nghiệm phương trình : Do đó a = thì c = nên b = a = thì c = nên b = 2 2 Cách 2: Từ a b a b 4ab a b a b 4ab 169 a b 13 a b 132 a b 13 x x 13 x 36 0 x2 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm phương trình : Vậy a = thì b = x 4 x 13x 36 0 x2 9 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm phương trình : Vậy a = thì b = 3) Đã biết ab = 30, đó cần tìm a + b: a b 11 a b 2ab 61 2.30 121 11 a b 11 2 Từ: a2 + b2 = 61 a b *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm phương trình: x x 11x 30 0 x2 Vậy a = thì b = ; a = thì b = x 5 x 11x 30 0 x2 6 *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm phương trình : Vậy a = thì b = ; a = thì b = (5) IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối với các bài toán dạng này điều quan trọng là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VIÉT rổi tính giá trị biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1 x2 ) và x1 x2 2 2 a) x1 x2 ( x1 x1 x2 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 Ví dụ x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 b) 2 x x ( x12 ) ( x22 ) x12 x22 x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 x12 x22 c) 1 x1 x2 x x2 x1 x2 d) x1 x2 ? Ví dụ x Ta biết 2 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: 2 x1 x2 x13 x23 4 x1 x2 6 x1 x2 ( x1 x2 x1 x2 =…….) x2 x x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 =…… ) (= x12 x22 x12 x22 x1 (= (= =…… ) ( x ) ( x ) x x22 x14 x12 x22 x24 3 2 = …… ) Bài tập áp dụng: 6 2 2 5 1 x1 x2 x x x x x x Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm: a) Cho phương trình : x x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính: x x (34) 1 x x2 x1 x2 x x1 34 15 x1 x2 8 15 (46) b) Cho phương trình : x 72 x 64 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x x2 1 9 8 2 x1 x2 (65) c) Cho phương trình : x 14 x 29 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x1 x2 14 29 2 x1 x2 (138) d) Cho phương trình : x 3x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x x2 1 (3) x1 x2 x x2 (1) 3 x1 x2 (152) (6) 5 4 2 x x x1 x x2 x1 5 6 e) Cho phương trình x 3x 0 có nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, hãy tính: Q Q HD: x12 10 x1 x2 x22 x1 x23 x13 x2 x12 10 x1 x2 x22 6( x1 x2 ) x1 x2 6.(4 3) 2.8 17 3 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 5.8 (4 3) 2.8 80 g) Cho phương trình x x 0 Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức: A x13 x22 19 2 HD: Từ phương trình : x x 0 x1 3 x1 x1 x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 x1 x2 x12 x2 x13 x22 x1 x2 x12 x2 x13 x22 12 3x1 x13 x22 19 3x1 Ta có: A x13 x22 19 x1 x2 x12 x2 3x1 x1 x2 3x1 Suy ra: 4 x1 x2 4 1 0 *) Tương tự: Tính giá trị biểu thức: B 4 x1 x2 19 V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này, ta thường làm theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a và 0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa hệ thức liên hệ các nghiệm x1 và x2 m 1 x 2mx m 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : có nghiệm x1; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Để phương trình trên có nghiệm x1 và x2 thì : m 0 ' 0 m 1 m 1 m m ( m 1)( m 4) Theo hệ thức VI- ÉT ta có : m 1 m (7) 2m x x m m x x m x x (1) m x x 1 (2) m Rút m từ (1) ta có : 2 x1 x2 m m x1 x2 (3) Rút m từ (2) ta có : 3 1 x1 x2 m m 1 x1 x2 (4) Đồng các vế (3) và (4) ta có: x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 x1 x2 m 1 x 2mx m 0 Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm phương trình : Chứng minh A 3 x x x x không phụ thuộc giá trị m biểu thức Để phương trình trên có nghiệm x1 và x2 thì : m 1 m 0 ' 0 m (m 1)( m 4) 0 m 1 5m 0 m 1 m Theo hệ thức VI- ÉT ta có : 2m x x m x x m m thay vào A ta có: 2m m 6m 2m 8(m 1) 8 0 m m m m m Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m Vậy A = với m 1 và A 3 x1 x2 x1 x2 3 Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm đồng các vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: Cho phương trình : x m x 2m 1 0 có nghiệm x1; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy m 2m 1 m2 4m m (8) đó phương trình đã cho luôn có nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 x2 m x1.x2 2m m x1 x2 2(1) x1 x2 m (2) Từ (1) và (2) ta có: x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 2 Cho phương trình : x 4m 1 x m 0 Tìm hệ thức liên hệ x1 và x2 cho chúng không phụ thuộc vào m 2 Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1) 4.2(m 4) 16m 33 đó phương trình đã cho luôn có nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có: x1 x2 (4m 1) 4m ( x1 x2 ) 1(1) x1.x2 2(m 4) 4m 2 x1 x2 16(2) Từ (1) và (2) ta có: ( x1 x2 ) 2 x1 x2 16 x1 x2 ( x1 x2 ) 17 0 VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với các bài toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a và 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Dạng bản: mx m x m 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 và x2 là : m 0 ' m 1 9(m 3)m 0 m 0 2 ' 9 m 2m 1 9m 27 m 0 m 0 ' 9 m 1 0 6(m 1) x1 x2 m x x 9(m 3) m Theo hệ thức VI- ÉT ta có: và từ giả thiết: x1 x2 x1 x2 Suy ra: m 0 m (9) 6(m 1) 9(m 3) 6(m 1) 9(m 3) 6m 9m 27 3m 21 m 7 m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = thì phương trình đã cho có nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x 2m 1 x m 0 x x x x 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 là : ' (2m 1) 4( m2 2) 0 4m 4m 4m2 0 4m 0 m x1 x2 2m Theo hệ thức VI-ÉT ta có: x1 x2 m và từ giả thiết 3x1 x2 x1 x2 0 Suy ra: 3(m 2) 5(2m 1) 0 3m 10m 0 m 2(TM ) 3m 10m 0 m ( KTM ) Vậy với m = thì phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1 x2 0 Bài tập áp dụng (Một số Đề thi vào lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc) Bài 1: (Năm 2006-2007/Câu 3): Cho phương trình bậc hai với ẩn số x: x 2mx 2m 0 a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm x = Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại 2 b) Tìm m cho phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : 2 x1 x x1 x 27 Bài 2: (Năm 2007- 2008/Câu 5): Cho phương trình bậc hai: a) Giải phương trình (1) m = x m 1 x m m 0 (1) b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x thoả mãn điều kiện: x12 x 22 18 Bài 3: (Năm 2008-2009/Câu 7): Cho phương trình bậc hai: x m 1 x m 1 0 (1) a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt a, b thoả mãn 2 a 2b Bài 4: (Năm 2010-2011/Câu 6): Cho phương trình: x 2(m 1) x m 0 , (x là ẩn, m là tham số ) (10) Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt m x1 , x2 với giá trị Tìm tất các giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều 2 kiện x1 x2 10 Bài Cho phương trình x 2( m 1) x m 0 Tìm m cho nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều 2 kiện x1 x2 10 Dạng nâng cao: Cho phương trình : mx m x m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 0 Cho phương trình : x m 1 x 5m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1 3x2 1 Cho phương trình : 3x 3m x 3m 1 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 6 Hướng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có điều khác biệt so với bài tập Ví dụ và ví dụ chỗ: + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m + Còn bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn vậy, đó vấn đề đặt đây là làm nào để từ biểu thức đã cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1 x2 từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày Ví dụ và ví dụ có thể tính x1 và x2 theo tham số từ x1 x2 và hệ thức bài cho vào x1 x2 Do đó có số hướng làm sau: 16 m 0 & m 15 Bài 1: - ĐKX Đ: 2(m 4) x1 x2 m x x m m -Theo VI-ÉT: (1) *) Cách 1: Sử dụng kỹ thuật thêm bớt vào hai vế hệ thức đã cho: - Từ x1 x2 0 Suy ra: x1 x2 3x2 2( x1 x2 ) 9 x1 x2 2( x1 x2 ) 3x1 (2) - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m 127m 128 0 m1 1; m2 128 *) Cách 2: Giải hệ phương trình tính x1 & x2 theo tham số sau đó vào tích x1 x2 (11) 4(m 4) 2(m 4) 2(m 4) x x1 x2 2 x x2 3m m m x1 x2 0 x1 x2 0 x 2(m 4) 3m Ta có: 4(m 4) 2(m 4) m m7 x1 x2 m m m m Thay vào , ta được: m 1 m 9m m m 127m 128 0 m 128 Bài 2: - ĐKXĐ: m 22m 25 0 m 11 96; m 11 96 x1 x2 1 m (1) x1 x2 5m - Theo VI-ÉT: *) Cách 1: x1 1 3( x1 x2 ) x1 x2 3( x1 x2 ) 4( x1 x2 ) 1 x2 4( x1 x2 ) x x - Từ : Suy ra: x1 x2 7( x1 x2 ) 12( x1 x2 ) (2) m 0 12m(m 1) 0 m 1 - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ) *) Cách 2: Ta có hệ x1 x2 1 m x x 3x1 3x2 3 3m x 3m 4 x1 x2 1 x2 3 4m x 0 x1 x2 5m 12m m 1 0 x 1 Thay vào: 2 Bài 3: - Vì (3m 2) 4.3(3m 1) 9m 24m 16 (3m 4) 0 với số thực m nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt 3m x1 x2 (1) x x (3m 1) - Theo VI-ÉT: *) Cách 1: - Từ giả thiết: 3x1 x2 6 Suy ra: 8 x1 5( x1 x2 ) 64 x1 x2 5( x1 x2 ) 3( x1 x2 ) 8 x2 3( x1 x2 ) 64 x1 x2 15( x1 x2 ) 12( x1 x2 ) 36 m 0 m(45m 96) 0 m 32 15 - Thế (1) vào (2) ta phương trình: *) Cách 2: Ta có hệ: 15m 3m 3m x1 3 x1 3x2 3m x1 x2 x x 24 3 x1 x2 6 3 x1 x2 6 8 x2 3m x 3m (thoả mãn) (2) (12) Thay vào x1 x2 3m 1 15m 3m 3m 1 24 15m 3m 64 3m 1 45m 120m 24m 64 192m 64 0 m 0 45m 96m 0 3m 15m 32 0 m 32 15 Bài tập áp dụng: mx m 1 x m 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 1 b) Tìm m để phương trình x mx 28 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 1 c) Tìm m để phương trình thức: x1 x2 3 Dạng khác: Cho phương trình mx m 1 x m 0 x m 1 x m2 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn : x m 1 x2 3m 16 2 Cho phương trình x 2mx m m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn : x12 2mx2 9 2 Cho phương trình x x m 3m 0 (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn : x1 x2 6 Nhận xét: - Với các bài toán dạng này gây trở ngại không nhỏ cho người giải, kiện bài cho không giống mục VI.2 lúc này hai nghiệm bị lệch bậc, không còn chứa tham số - Để giải đòi hỏi quan sát tinh tế, tư linh hoạt và kiến thức tổng thể tốt Hướng dẫn cách giải: Bài 1: Để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thì: ' m 1 m 0 m2 2m m 0 m x1 x2 2 m 1 Theo VI-ÉT ta có: x1 x2 m x22 m 1 x2 m2 0 m 1 x2 x22 m2 Từ phương trình đã cho ta có: Thay (1) vào 2 2 x m 1 x2 3m 16 2 (1) , ta được: x x m 3m 16 x1 x2 x1 x2 m 3m 16 m 1 m m 3m 16 m 2m 1 m 3m 16 0 Suy ra: 8m 16 m 2 m 2 Kết hợp với điều kiện có nghiệm phương trình ta thấy với thì phương x m 1 x2 3m 16 trình đã cho có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn : (13) Bài 2: Để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thì: ' m m m 1 0 m 1 Theo hệ thức Vi-ét ta có: (*) x1 x2 2m x1 x2 m m 2 2 Từ phương trình đã cho ta có: x2 2mx2 m m 0 2mx2 x2 m m (1) 2 2 2 Thay (1) vào x1 2mx2 9 , ta được: x1 x2 m m 1 9 x1 x2 x1 x2 m m 0 2m Suy ra: m m 1 m m 1 0 3m m 10 0 m 3m 0 m KTM m TM m thì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn : x1 2mx2 9 Với Bài 3: Để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thì: '(1) 4 m 3m 0 m m 0 m 1 Theo hệ thức Vi-ét ta có: Kết hợp với giả thiết ta có: x1 x2 4 x1 x2 m 3m x1 x2 4 x12 x1 0 x1 1 x1 0 x1 x2 6 x1 x 2 2 x1 x2 m 3m m 3m 0 *) Với x1 x2 5 Từ Dễ thấy phương trình trên vô nghiệm có 9 4.5 *) Với x1 2 x2 2 m 1 x1 x2 m 3m m 3m 0 m 1 m 0 m Từ Đối chiếu ĐK có nghiệm phương trình (1) ta thấy hai giá trị trên thỏa mãn x x Vậy với m = 1; m thì phương trình (1) có hai nghiệm và thỏa mãn x1 x2 6 VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax bx c 0 (a 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm … Ta lập bảng xét dấu sau: S x1 x2 P x1 x2 Dấu nghiệm x1 x2 Điều kiện chung trái dấu P<0 0 ; P < cùng dấu, P>0 0 0 ;P>0 cùng dương, + + S>0 P>0 0 0 ;P>0;S>0 cùng âm S<0 P>0 0 0 ;P>0;S<0 Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: (14) x 3m 1 x m m 0 có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu thì 0 P (3m 1) 4.2.(m2 m 6) 0 m2 m P 0 (m 7) 0m 2m3 P (m 3)( m 2) Vậy với m thì phương trình có nghiệm trái dấu Bài tập áp dụng: mx m x m 0 3mx 2m 1 x m 0 có nghiệm cùng dấu có nghiệm âm m x x m 0 có ít nghiệm không âm VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta luôn phân tích được: Am C k B (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là số) Thì ta thấy : C m (vì A 0 ) C m A 0 C k (vì B 0 ) (*) max C k B 0 x 2m 1 x m 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : Gọi x1 và x2 là các nghiệm phương trình Tìm m để : A x12 x22 x1 x2 có giá trị nhỏ Bài giải: Theo VI-ÉT: x1 x2 (2m 1) x1 x2 m Theo đề bài : A x12 x22 x1 x2 x1 x2 8x1 x2 2m 1 8m 4m 12m (2m 3) Suy ra: A 2m 0 hay m 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x mx m 0 Bài giải: Gọi x1 và x2 là các nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức sau: (15) B x1 x2 x x22 x1 x2 1 x1 x2 m Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : x1 x2 m x1 x2 x1 x2 2(m 1) 2m B 2 x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 ) m2 m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B sau: B m m 2m 1 m2 m 1 0 m 1 1 m 1 m2 2 0 B 1 m 2 Vì Vậy max B = m = Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 2 m 2m m m 4m m m 2 2 B 2 m2 m2 2 m2 2 m 2 0 Vì B m 2 2 m 2 0 B m 2 Vậy Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn là m và B là tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với m B 2m Bm2 2m B 0 m 2 (Với m là ẩn, B là tham số) Ta có: 'm 1 B(2 B 1) 1 B B Để phương trình (**) luôn có nghiệm với m thì ’ hay B B 0 B B 0 B 1 B 1 0 2 B 0 B 0 2 B 0 B 0 Vậy: max B 1 B B 1 B B 1 2 B 1 m=1 B m 2 Ví dụ 3: (Đề thi vào 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013 - 2014) Cho phương trình x x m 0 (1) (x là ẩn, m là tham số) a) Giải phương trình với m = (**) (16) b) Tìm tất các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Gọi x1, x2 là hai nghiệm (có thể nhau) phương trình (1) Tính biểu thức P = x14 + x24 theo m, tìm m để P đạt giá trị nhỏ Bài giải: b): Điều kiện có nghiệm phương trình (1) là: ' 1 m 0 m x1 x2 Theo VI-ÉT ta có: x1 x2 m , suy ra: 2 P x14 x24 x1 x2 x1 x2 x12 x22 2m 2m 2m2 16m 16 2 m 1 12m 14 0 12 14 2 Dấu “=” xảy m 0 m Vậy minP 2 m *) Sai lầm thường mắc phải (do không chú ý điều kiện xảy dấu “=”) 2 2 P x14 x24 x1 x2 x1 x2 x12 x22 2m 2m 2m 16m 16 2 m 16 16 Từ đó suy minP = 16 m Tuy nhiên với m thì phương trình (1) không có hai nghiệm x1& x2 Bài tập áp dụng Cho phương trình A x1 x2 x 4m 1 x m 0 , có hai nghiệm x1; x2 Tìm m để biểu thức có giá trị nhỏ 2 Cho phương trình : x 2(m 4) x m 0 xác định m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) A x1 x2 3x1 x2 đạt giá trị lớn 2 b) B x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ 2 Cho phương trình : x (m 1) x m m 0 có hai nghiệm x1; x2 Với giá trị nào m, 2 biểu thức C x1 x2 đạt giá trị nhỏ Cho phương trình x (m 1) x m 0 , có hai nghiệm x1 ; x2 Xác định m để biểu thức D x12 x22 đạt giá trị nhỏ 2 Cho phương trình x (2m 1) x m m 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm E x1 x2 x1, x2 cho đạt giá trị nhỏ 2m 1 m m 9 0, m Bài 5: Hướng dẫn: Ta có nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Ta xét hai trường hợp: x m và x m (17) 1) x1 m x2 m , ta có: A m m m m m 6m m 3 Dấu “=” xảy và m 0 m 2) x1 m x2 m , ta có: A m 1 m m 1 m m 6m m 3 16 16 Dấu “=” xảy và m 0 m Vậy giá trị nhỏ A là 16 , đạt m (18)