www.facebook.com/toihoctoan
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 1 - TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 17 QUANG TRUNG Cần Thơ 2013 Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929 TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 2 - ------ f(x)=(1/8 )(x ^3-3x^2-9 x-5) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 3 - 1. Định nghĩa Hàm số f đồng biến trên 1 2 1 2 1 2 D x , x D,x x f(x ) f (x ) Hàm số f nghịch biến trên 1 2 1 2 1 2 D x , x D,x x f (x ) f (x ) 2. Điều kiện cần Giả sử f có đạo hàm trên khảng I a) Nếu f đồng biến trên khảng I thì f '(x) 0, x I b) Nếu f đồng biến trên khảng I thì f '(x) 0, x I 3. Điều kiện đủ Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f '(x) 0, x I (f '(x) 0 tại một số điểm hữu hạn) thì f đồng biến trên I b) Nếu f '(x) 0, x I ( f '(x) 0 tại một số điểm hữu hạn) thì f nghịch biến trên I c) Nếu f '(x) 0, x I thì f không đổi trên I Bài toán 1. Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y f (x) ta thực hiện các bước sau: Tìm tập xác định của hàm số Tính y'. Tìm các điểm mà tại đó y' 0 hoặc y' không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) Lập bảng xét dấu y'. Từ đó kết luận sự đồng biến, nghịch biến của hàm số BÀI TẬP 1. Xét chiều biến thiên của hàm số a) 2 y 2x 4x 5 b) 2 1 5 y x x 4 4 c) 2 y x 4x 3 d) 3 2 y x 2x x 2 e) 2 y (4 x)(x 1) f) 3 2 y x 3x 4x 1 g) 4 2 1 y x 2x 1 4 h) 4 2 y x 2x 3 i) 4 2 1 1 y x x 2 10 10 j) 2x 1 y x 5 TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 4 - k) x 1 y 2 x l) 1 y 1 1 x m) 2 2x x 26 y x 2 n) 1 y x 3 1 x o) 2 4x 15x 9 y 3x 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau a) 4 3 2 y 6x 8x 3x 1 b) 2 2 x 1 y x 4 c) 2 2 x x 1 y x x 1 d) 2 2x 1 y x e) 2 x y x 3x 2 f) y x 3 2 2 x g) y 2x 1 3 x h) 2 y x 2 x i) 2 y 2x x j) y sin2x x 2 2 k) y sin2x x x 2 2 Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến Cho hàm số y f (x,m) , m tham số, có tập xác định D Hàm số đồng biến trên D y' 0, x D Hàm số đồng biến trên D y' 0, x D Từ đó suy ra điều kiện của m Chú ý 1. y' 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm 2. Nếu 2 y' ax bx c thì: a b 0 c 0 y' 0, x a 0 0 a b 0 c 0 y' 0, x a 0 0 3. Định lý về dấu của tam thức bậc 2 2 g(x) ax bx c Nếu 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a Nếu 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ b x 2a ) TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 5 - Nếu 0 thì g(x) cùng dấu với a ngoài khoảng 2 nghiệm và trái dấu với a trong khoảng 2 nghiệm. 4. So sánh của nghiệm 1 2 x ,x của tam thức bậc với 0 1 2 0 x x 0 P 0 S 0 1 2 0 0 x x P 0 S 0 1 2 x 0 x P 0 5. Để hàm số 3 2 y ax bx cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) 1 2 (x , x ) bằng d ta thực hiện như sau: Tính y' Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hay nghịch biến a 0 (1) 0 Biến đổi 1 2 x x d thành 2 2 1 2 1 2 (x x ) 4x x d Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn nghiệm. BÀI TẬP 1. chứng minh các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó a) 3 y x 5x 13 b) 3 2 1 y x 3x 9x 1 3 c) 2x 1 y x 2 d) 2 x 2x 3 y x 1 e) y 3x sin(3x 1) f) 2 x 2mx 1 y x m 2. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định của nó a) y 5x cot(x 1) b) y cos x x c) y sin x cos x 2 x 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định của nó a) 3 2 y x 3mx (m 2)x m b) x m y x m c) mx 4 y x m d) 3 2 1 m y x x 2x 1 3 2 e) 2 x 2mx 1 y x m f) 2 2 x 2mx 3m y x 2m TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 6 - 4. Tìm m để hàm số a) 3 2 y x 3x mx m nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1 b) 3 2 1 1 y x mx 2mx 3m 1 3 2 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 c) 3 2 1 y x (m 1)x (m 3)x 4 3 đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4 5. Tìm m để hàm số a) 3 2 1 y x (m 1)x (m 1)x 1 3 đồng biến trên khoảng (1, ) b) 3 2 y x 3(2m 1)x (12m 5)x 2 đồng biến trên khoảng (2, ) c) x 4 y (m 2) x m đồng biến trên khoảng (1, ) d) x m y x m đồng biến trên khoảng ( 1, ) Bài toán 3. Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau Chuyển bất đẳng thức về dạng f (x) 0 (hoặc , , ). Xét hàm số y f (x) trên tập xác định của bài toán. Xét dấu f '(x) . Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. Chú ý: Trong trường hợp ta chua xét được dấu của f '(x) thì ta đặt h(x) f '(x) và quay lại xét dấu h '(x)…đến khi nào xét dấu được thì thôi. Nếu bất đẳng thức có 2 biến thì đưa bất đẳng thức về dạng f (a) f (b) và xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (a,b) BÀI TẬP 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau a) 3 x x sin x x (x 0) 3 b) 2 1 sin x tan x x (0 x ) 3 3 2 c) x tan x (0 x ) 2 d) sin x tan x 2x (0 x ) 2 TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 7 - 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau a) tan a a (0 a b ) tan b b 2 b) a sin a b sin b (0 a b ) 2 c) a tana b tan b (0 x ) 2 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau a) 2x sin x (0 x ) 2 b) 3 3 5 x x x x sin x x (0 x) 3 6 20 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau a) x e 1 x (x 0) b) ln(x 1) x (0 x) c) 1 ln(x 1) ln x (0 x) 1 x Bài toán 4. Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Để chứng minh phương trình f (x) g(x) (*) ta thực hiện các bước sau: Nhẩm nghiệm 0 x của phương trình Xét các hàm 1 (C ) : y f(x) và 2 (C ) : y g(x) . Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó nghiệm 0 x là duy nhất. Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng thì kết luận trên vẫn đúng. BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau a) x x 5 5 b) 5 3 x x 1 3x 4 0 c) x x 5 x 7 x 16 14 d) 2 2 x 15 3x 2 x 8 2. Giải các phương trình sau a) 5 5 5 x 1 x 2 x 3 0 b) ln(x 4) 5 x c) x x x 3 4 5 d) x x x 3 4 5 38 3. Giải các bất phương trình sau a) 3 5 4 x 1 5x 7 7x 5 13x 7 8 b) 2 2x x x 7 2 x 7x 35 TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 8 - 1. Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên D và 0 x D a) 0 x là điểm cực đại của f nếu tồn tại (a,b) D và 0 x (a,b) sao cho 0 0 0 f (x) f (x ) , x (a,b) \{x } Khi đó 0 f (x ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số b) 0 x là điểm cực tiểu của f nếu tồn tại (a, b) D và 0 x (a,b) sao cho 0 0 0 f (x) f (x ) , x (a,b) \{x } Khi đó 0 f (x ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số c) Điểm 0 x là điểm cực đại hay cực tiểu ta gọi trung là điểm cực trị. 2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại 0 x và đạt cực trị tại điểm đó thì 0 f '(x ) 0 Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà ở đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị a) Định lý 1: Giả sử hàm số f lien tục trên khoảng (a,b) chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên khoảng (a, b) (có thể trừ 0 x ) Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua 0 x thì f đạt cực tiểu tại 0 x Nếu f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua 0 x thì f đạt cực đại tại 0 x b) Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm C, 0 f '(x ) 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại 0 x . Nếu 0 f ''(x ) 0 thì f đạt cực đại tại 0 x Nếu 0 f ''(x ) 0 thì f đạt cực tiểu tại 0 x Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số Qui tắc 1. Dùng định lý 1 Tìm f '(x) Tìm các điểm i x (i 1,2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định Xét dấu f '(x) . Nếu f '(x) đổi dấu khi x qua i x thì hàm số đạt cực trị tại i x TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 9 - Qui tắc 2. Dùng định lý 2 Tìm f '(x) Tìm các điểm i x (i 1, 2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0. Tìm f ''(x) . Tính i f ''(x ) + Nếu i f ''(x ) 0 thì hàm số đạt cực đại tại i x + Nếu i f ''(x ) 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại i x BÀI TẬP 1. Tìm cực trị của các hàm số sau a) 2 3 y 3x 2x b) 3 2 y x 2x 2x 1 c) 3 2 1 y x 4x 15x 3 d) 4 2 1 y x x 3 2 e) 4 2 y x 4x 5 f) 4 2 1 3 y x x 2 2 g) 2 x 3x 6 y x 2 h) 2 3x 4x 5 y x 1 k) 2 x 2x 15 y x 3 l) 2 x 2x 3 y x 1 2. Tìm cực trị của các hàm số sau a) 3 4 y (x 2) (x 1) b) 2 2 4x 2x 1 y 2x x 3 c) 2 2 3x 4x 4 y x x 1 d) 2 y x x 4 e) 2 y x 2x 5 f) 2 y x 2x x 3. Tìm cực trị của các hàm số sau a) 3 2 y x 1 b) 3 2 x y 2x 1 c) x x y e 4e d) 2 y x 5x 5 2ln x e) 2 y x 4sin x f) 2 y x ln(1 x ) TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 10 - Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1. Nếu hàm số y f (x) đạt cực trị tại 0 x thì 0 f '(x ) 0 hoặc tại 0 x không có đạo hàm 2. Để hàm số y f (x) đạt cực trị tại 0 x thì f '(x) phải đổi dấu khi x qua 0 x . BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu a) 3 2 2 3 y x 3mx 3(m 1)x m b) 3 2 y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1 2. Tìm m để hàm số a) 3 2 y (m 2)x 3x mx 5 có cực đại, cực tiểu. b) 3 2 2 y x 3(m 1)x (2m 3m 2)x m(m 1) có cực đại, cực tiểu. c) 3 2 2 y x 3mx (m 1)x 2 đạt cực đại tại x 2 d) 4 2 y mx 2(m 2)x m 5 có một cực đại tại 1 x 2 e) 2 x 2mx 2 y x m đạt cực tiểu khi x 2 f) 2 x x m y x 1 có một giá trị cực đại bằng 0. 3. Tìm m để hàm số sau không có cực trị a) 3 2 y x 3x 3mx 3m 4 b) 3 2 y mx 3mx (m 1)x 1 4. Tìm a, b, c để hàm số a) 3 2 y ax bx cx d đạt CT bằng 0 tại x 0 và đạt CĐ bằng 4 27 tại 1 x 3 b) 4 2 y ax bx c có đồ thị đi gốc tọa độ O và đạt cực trị bằng – 9 tại x 3 c) 2 x bx c y x 1 đạt cực trị bằng – 6 tại x 1 5. Tìm m để hàm số a) 3 2 2 2 y x 2(m 1)x (m 4m 1)x 2(m 1) đạt cực trị tại 2 điểm 1 2 x ,x sao cho 1 2 1 2 1 1 1 (x x ) x x 2 . d ta thực hiện như sau: Tính y' Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hay nghịch biến a 0 (1) 0 Biến đổi 1 2 x x d thành 2 2 1 2. tập xác định của bài toán. Xét dấu f '(x) . Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.