www.facebook.com/hocthemtoan
www.facebook.com/hocthemtoan Thầy Huy: 0968 64 65 97 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN SỐ 17 NĂM HỌC 2013 - 2014 Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG ( Dành cho tất cả các thí sinh) Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x 3 – 3x + 2 (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình y = - 3x + 2 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Câu II (2 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 232 532 22 22 yxyx yxyx 2. Giải phương trình. 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0 Câu III (1 điểm). Tính tích phân: 1 0 2 11 x dx Câu IV (1 điểm). Cho khối chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, ASB = 60 0 , BSC = 90 0 , CSA = 120 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Câu V (1 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng: 222 )12( 1 )12( 1 )12( 1 ccbbaa 2 1 B. PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chỉ chọn một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2) Phần 1: Câu VI a (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ): x + y – 1 = 0, các điểm A( 0; - 1), B(2;1). Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên ( ). Tịm tọa độ các điểm C, D. 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;0;2) và đường thẳng ( ) có phương trình tham số: x = 0; y = t; z = 2. Điểm M di động trên trục hoành, điểm N di động trên ( ) sao cho: OM + AN = MN. Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Câu VII a (1 điểm). Tìm các giá trị của a thỏa mãn: 3 x + (a – 1).2 x + (a – 1) > 0, Rx . Phần 2: Câu VI b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC trọng tâm G( 3 1 ; 3 5 ), đường tròn đi qua trung điểm các cạnh có phương trình x 2 + y 2 – 2x + 4y = 0. Hãy tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; - 2; 3), B(2; - 1;2) và đường thẳng ( ): 3 6 2 1 1 zyx . Tìm tọa độ của điểm M trên ( ) sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Câu VII b (1 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 3 1 z z = 1, iz iz 2 = 2. ---------------------Hết--------------------- HƯỚNG DẪN ĐỀ 17 Câu I: 1. Tự làm. 2. Gọi M(a;b) là điểm cần tìm. M thuộc (d) nên b = -3a + 2. Tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm (x 0 ;y 0 ) là: y = (3x 0 2 – 3)(x – x 0 ) + x 0 3 – 3x 0 +2. Tiếp tuyến đi qua M(a;b) - 3a + 2 = (3x 0 2 – 3)( a – x 0 ) + x 0 3 – 3x 0 + 2 2x 0 3 – 3ax 0 2 = 0 x 0 = 0 hoặc x 0 = 3a/2 Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là k 1 = f ’(0) = -3 và k 2 =f ‘(3a/2) = 4 27 2 a - 3 . Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau k 1 .k 2 = - 1 a 2 = 40/81 a = 9 102 . Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M( 9 102 ; 2 3 102 ). Câu II: 1. Cộng và trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được hệ tương đương: 2 3 2 7 32 22 yx yx 2 7 3) 2 3 (2 2 3 22 xx xy … ) 20 13 ; 20 17 ();( )1; 2 1 ();( yx yx 2. Phương trình ( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos 2 x – sin 2 x) = 0 ( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0 ( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0 1 tan 1;cos 2 x x . ; . , 4 3 x k x l k l ( k,l Z). Câu III: Đặt x = sint với t ] 2 ; 2 [ . Ta có:dx = costdt và ttx 222 cossin11 =|cost| = cost. Đổi cận: Với x =0 thì t = 0; Với x = 1 thì t = 2 . Từ đó: 2 0 1 0 2 cos1 cos 11 t tdt x dx = 2 0 2 2 )2/(cos2 1)2/(cos2 dt ts ts = 2 0 2 2 0 )2/(cos )2/( t td dt =( t – tan (t/2) ) | 2 0 = 2 -1 Câu IV: Tự vẽ hình. Trên các tia SB, SC lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho SB’ = SC’ = SA = a Tam giác SAB’ đều cạnh a nên AB’ = a. Tam giác SBC’ vuông cân tại S nên B’C’ = a 2 . Tam giác SC’A cân tại S có C’SA = 120 0 nên C’A = a 3 . Suy ra AB’ 2 + B’C’ 2 = C’A 2 hay tam giác AB’C’ vuông tại B’ diện tích tam giác AB’C’ = 2 2 2 a . Hạ SH mp(AB’C’) HA = HB’ =HC’ H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’ H là trung điểm của C’A SH = SA. Sin 30 0 = a/2. Thể tích khối chóp S.AB’C’ là: V’ = 12 2 2 . 2 2 . 3 1 32 aaa . Áp dụng công thức: ' . ' '. . ' SC SC SB SB V V CABS ABCS Tính được: V S.ABC = 12 2abc . Câu V. Đặt x = a 1 , y = b 1 , z = c 1 ta có x,y,z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z = 2. Ta có: a(2a – 1) 2 = 2 )1 2 ( 1 xx = 3 2 )( x zy . Từ đó: : P = 222 )12( 1 )12( 1 )12( 1 ccbbaa = 2 3 2 3 2 3 )()()( yx z xz y zy x . Áp dụng bất đẳng thức Cô si có: x xzyzy zy x 4 3 64 3 88 )( 3 3 2 3 (1) Tương tự: y xzxz xz y 4 3 88 )( 2 3 (2) z yxyx yx z 4 3 88 )( 2 3 (3). Cộng từng vế của (1), (2), (3) rồi ước lược được: P 4 1 (x + y + z) = 2 1 . Đẳng thức xảy ra x = y = z = 2/3 a = b = c = 3/2. Câu VIa: 1. Gọi I(a;b) là tâm của hình thoi.Vì I nên a + b – 1 = 0 hay b = 1 – a (1). Ta có: AI (a;b+1) và BI (a – 2;b – 1) mà ABCD là hình thoi nên AI BI suy ra : a(a – 2) + (b + 1)(b – 1) = 0 (2). Thế (1) vào (2) rồi rút gọn được: a 2 – 2a = 0 a = 0 hoặc a = 2. TH1: Với a = 0 thì I(0;1). Do I là trung điểm của AC và BD nên áp dụng công thức tọa độ trung điểm, ta có: 22 02 AIC AIC yyy xxx và 12 22 BID BID yyy xxx ; C(0;2) và D(-2;1). TH2: Với a = 2 thì I(2;-1). Tương tự ta được: C(4;-1) và D(2;-3). Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) và D(-2;1) hoặc C(4;-1) và D(2;-3). 2. Dễ dàng chứng minh được OA là đoạn đường vuông góc chung của hai đường thẳng và Ox (là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau). Từ đó MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA khi và chỉ khi OM + AN = MN. Vậy khi OM + AN = MN thì MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA cố định. (Phương trình mặt cầu là: x 2 + y 2 + ( z – 1) 2 = 1). Câu VIIa: 3 x + (a – 1).2 x + (a – 1) > 0 3 x > (1 –a).( 2 x +1) 12 3 x x > 1 – a (*). Xét hàm số: f(x) = 12 3 x x với x R. Ta có: f ‘ (x) = 2 )12( 2ln.3.23ln).12.(3 x xxxx > 0 với mọi x. Hàm số luôn đồng biến., mà: x lim f(x) = 0. Bất đẳng thức (*) đúng với mọi x 1 – a 0 a 1. Vậy đáp số: a 1. . www.facebook.com/hocthemtoan Thầy Huy: 0968 64 65 97 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN SỐ 17 NĂM HỌC 2013 - 2014 Thời gian làm bài:. Cho hàm số y = x 3 – 3x + 2 (C) 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Tìm tọa độ điểm M thu c đường thẳng (d) có phương trình y = - 3x + 2